DM - IMJ-PRG

Université Pierre et Marie Curie Probabilités : 3M290
Année 2016-2017
Devoir Maison
À rendre la semaine du 18 avril
Exercice 1.
Des catastrophes se produisent aux temps T1, T2, ... On suppose que les durées (Ti+1 −Ti)i≥1
qui s’écoulent entre deux catastrophes successives sont indépendantes et de même loi, et que
cette loi est intégrable. On appelle Nt=card{n:Tn≤t}le nombre de catastrophes qui se sont
produites au temps t.
1. Montrer que Nt→ ∞ p.s.
2. Montrer que Nt
tconverge presque sûrement vers 1
E[T1].
Exercice 2.
Soit (Xn)n≥1une suite de variables aléatoires indépendantes, identiquement distribuées de loi
uniforme sur [0,1]. On note Mn= max1≤k≤nXket Nn= min1≤k≤nXk.
1. Montrer que Mnconverge en probabilité vers 1.
2. Montrer que Nnconverge en norme L2vers 0.
3. Montrer que n(1 −Mn)converge en loi vers une exponentielle de paramètre 1.
Exercice 3.
Soient X1, X2, . . . des variables aléatoire réelles indépendantes, de loi exponentielle de para-
mètre 1.
1. Montrer que pour tout k≥1,P(il existe une infinité de ntel que Xn≥k) = 1.
2. En déduire que p.s. lim supn→∞ Xn= +∞.
On pose Yn:= Qn
i=1 Xi.
3. Que vaut E[Yn]?
4. Montrer que E[√X1] = √π/2. En déduire la valeur de E[√Yn].
5. Montrer que, pour tout t > 0,P(Yn≥t)≤1
√t(√π/2)n.
6. En déduire que p.s. limn→∞ Yn= 0.
Exercice 4.
Soit X1, X2, ... une suite de copies indépendantes d’une variable aléatoire Xà valeurs dans Z,
d’espérance nulle et de variance unité. On notera Sn:= P1≤i≤nXiles sommes partielles et ΦY
la fonction caractéristique d’une variable aléatoire Y.
1. Montrer que l’on a, lorsque x→0,ΦX(x)=1−x2
2+o(x2). En déduire, pour tout t∈R,
la limite limn→∞ ΦSn(t
√n).
2. Montrer que l’on a, pour tout n,
1{Sn=0}=1
2πZ[−π,π]
eitSndt
3. En déduire que √nP(Sn= 0) = 1
2πZ[−√nπ,√nπ]
ΦSn(t
√n)dt

4. Faire une conjecture sur un équivalent de P(Sn= 0) quand ntend vers l’infini.
5. On suppose que les Xisont à valeur dans {−1,1}, avec P(X= +1) = P(X=−1) = 1
2.
Calculer P(Sn= 0), en distingant selon la parité de n. En déduire un équivalent de
P(Sn= 0) quand ntend vers l’infini (toujours suivant la parité de n). Qu’en est-il de la
conjecture ?
La conjecture vient du fait qu’on a envie de faire converger l’intégrale la question 3, ce qui n’est
pas toujours vrai...
Exercice 5. (Autour de la loi exponentielle)
1. Soit Uune variable aléatoire suivant une loi uniforme sur [0,1]. Déterminer la loi de
E=−1
λln(1 −U), pour λ > 0.
2. Soit Xune variable aléatoire suivant une loi exponentielle de paramètre λ. Démontrer que
la variable aléatoire Y=bXc(où b·c désigne la partie entière) suit une loi géométrique.
3. Soient X1, . . . , Xndes variables aléatoires indépendantes suivant une même loi exponen-
tielle de paramètre λ > 0. Montrer que la variable min1≤i≤nXisuit une loi exponentielle
de paramètre nλ, puis que la variable nmin1≤i≤nXisuit une loi exponentielle de para-
mètre λ.
4. Soit (Ui)i∈N∗une suite de variables aléatoires i.i.d. suivant une loi uniforme sur [0,1].
Montrer que nmin1≤i≤nUiconverge en loi vers une variable aléatoire suivant une loi
exponentielle de paramètre 1.
5. Soit λ > 0. Pour tout entier n>λ, on fixe (Xn
i)i≥1une suite de variables aléatoires
indépendantes de Bernoulli de paramètre pn=λ
n. On considère alors la variable aléatoire
Nn=1
ninf{i≥1; Xn
i= 1}. Démontrer que la suite (Nn)converge en loi vers une variable
aléatoire réelle de loi exponentielle de paramètre λ.