Chapitre III.6

CHAPITRE III
SUITES D’EXPERIENCES ALEATOIRES
III.1. Le modèle
Nous commençons par introduire un modèle abstrait, qui généralise le jeu « pile ou face ».
III.1.a. Le modèle abstrait – le processus de Bernoulli
Considérons une suite d’essais d’une même expérience aléatoire que l’on répète indéfiniment
de telle sorte que les conditions soient toujours identiques et que les résultats des différents
essais soient sans influence mutuelle. Supposons que l’expérience n’a que deux résultats
possibles, succès ou échec, et la probabilité du succès soit un nombre p dans l’intervalle [0,1].
Nous appelons une telle suite d’essais un processus de Bernoulli. Il s’agit d’un cas particulier
simple du concept plus général (étudié au Ch.V.) de suite d’expériences aléatoires
indépendantes.
Il est commode d’écrire 1 ou 0 au lieu de « succès » ou « échec ». On peut donc décrire les
résultats d’une suite d’expériences par une suite de 0 et de 1 que l’on notera (Xi) où Xi vaut 0
ou 1 suivant que la i-ième expérience est un échec ou un succès. On dit que (Xi) est une suite
de variables aléatoires indépendantes (voir Ch. IV. pour la définition formelle des variables
aléatoires et Ch. V. pour la définition de l’indépendance).
L’espace fondamental d’un essai est l’ensemble {0,1}. Le processus de Bernoulli dépend d’un
seul paramètre p, la probabilité du succès, et on a
P(Xi = 1) = p et P(Xi = 0) = 1 – p
Définition : On dit que Xi suit une loi de Bernoulli de paramètre p où p est la probabilité de
succès. On écrit
Xi ∼ Bernoulli( p ) ou Xi ∼ B(1, p )
Xi est appelé variable aléatoire de Bernoulli ou plus brièvement variable de Bernoulli.

Si on fait un nombre d’essais N < ∞, l’ensemble fondamental du processus de Bernoulli est
donné par E = {0,1}N. E est l’ensemble de toutes les suites finies de longueur N (ou de N-
uplets) de 0 et de 1, donc card(E) = 2N. En utilisant l’indépendance des essais on trouve que la
probabilité d’une suite est donnée par
P(X1 = x1 , X2 = x2 ,…, XN = xN ) = pnombre de 1(1 – p)nombre de 0 =p #1(1 – p)#0 = p #1(1 – p)N - #1
où xi ∈ {0,1}. En particulier, si p = ½, chaque suite a la même probabilité 1/2N.
Dans le cas où le nombre d’expériences est infini l’ensemble fondamental du processus de
Bernoulli est donné par E = {0,1}IN. E est l’ensemble de toutes les suites infinies indexées
par 0 et 1. On peut montrer que E n’est pas dénombrable, et la probabilité de toute suite (xi)
donnée est nulle ! Bien entendu cela ne signifie pas que la probabilité de tout événement est
nulle.
III.1.b. Exemples
Exemple 1 : Pile ou face
On jette une pièce N fois. On pose Xi = 1 si le résultat du ième jet est pile et Xi = 0 si le résultat
du ième jet est face. Pour une pièce non biaisée p = ½.
Exemple 2 : Problèmes d’urne – tirages avec remise
Une urne contient m boules dont k sont blanches et l = m – k sont noires. On tire N fois une
boule avec remise. On pose Xi = 1 si la ième boule est blanche et Xi = 0 si la ième boule est
noire. On a p = k/m.
Exemple 3 :
Dans chaque unité de temps un appel arrive dans un central téléphonique avec une probabilité
égale à p. On pose Xi = 1 si un appel arrive dans la ième unité du temps et Xi = 0 sinon.
Exemple 4 :
Les transistors fabriqués par une machine sont affectés d’un défaut avec probabilité p. L’état
d’un transistor est indépendant de celui des précédents ou suivants. On pose Xi = 1 si le
transistor a un défaut et Xi = 0 sinon.
Exemple 5 :
On exécute une suite d’épreuves indépendantes. La probabilité qu’un certain événement A est
réalisé dans une épreuve est égale à p = P(A). On pose Xi = 1 si A est réalisé et Xi = 0 sinon.

III.2. La loi binomiale
III.2.a. Le nombre de succès
On définit
SN = X1 + … + XN
où Xi prend des valeurs dans {0,1}. Donc SN est égal au nombre de succès pendant les N
premières expériences. La loi de SN est donnée par
P(SN = k) = CkN pk(1 – p)N – k.
Pour établir cette loi il faut d’abord remarquer que chaque suite de longueur N comportant k
succès a pour probabilité pk(1 – p)N – k. Evidemment il y a CkN possibilités de placer k succès
parmi les N tirages.
Notons, qu’une application de la formule du binôme de Newton (voir Ch. I.2.d.), donne que la
somme de tous les P(SN = k) est 1 :
()
00
() (1) (1)1
NN N
kk Nk
NN
kk
PS k C p p p p
−
==
== − =+− =
∑∑ .
Définition : On dit que SN suit une loi binomiale de paramètres (N, p ) où N désigne le
nombre d’expériences et p est la probabilité de succès dans un essai. On écrit
SN ∼ B(N, p )
SN est appelé variable aléatoire binomiale ou plus brièvement variable binomiale.
Exemple 1: On tire (avec remise) 5 boules dans une urne contenant 10 blanches, 15 noires et
25 rouges. Quelle est la probabilité de tirer 3 boules blanches ?
Solution : On décide ici que le tirage d’une boule blanche est un succès et que le tirage d’une
boule rouge ou d’une boule noire est un échec. Ainsi la probabilité p de succès pour chaque
tirage est p = 10/50 = 1/5. Les tirages s’effectuant avec remise, nous sommes dans le cadre
des tirages indépendants, i.e. d’un processus de Bernoulli. Le nombre S5 de boules blanches
tirées lors de 5 tirages avec remise suit donc une loi binomiale de paramètres N = 5 et p = 1/5.
Alors
P(S5 = 3) = C35 (1/5)3(4/5)2 = 32/625

Exemple 2: Un système de communication comporte 5 composants. Chacun d'entre eux
fonctionnera, indépendamment des autres, avec une probabilité 0.7. Le système total pourra
fonctionner si au moins la moitié de ces composants sont opérationnels. Calculer la
probabilité que le système ne fonctionne pas.
Solution : Soit X le nombre de composants opérationnels. X est une variable aléatoire
binomiale de paramètres 5 et 0.7. La probabilité que le système ne fonctionne pas est donnée
par
P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) = C05*0.70*0.35 + C15*0.71*0.34 + C25*0.72*0.33 = 0.16308
III.2.b. Stabilité
Soient SM et SN deux variables aléatoires binomiales de paramètres (M, p) et (N, p). Si les N
expériences de Bernoulli sont indépendantes des M expériences de Bernoulli, on dit que les
variables aléatoires binomiales SM et SN sont indépendantes. Dans ce cas la somme SM + SN
est égale au nombre de succès pendant une suite des N + M expériences de Bernoulli de
paramètre p. Par conséquent, on a
SM + SN = SM+N .
Cette propriété est appelée stabilité.
Proposition : Soient SM et SN deux variables aléatoires binomiales indépendantes de
paramètres (M, p ) et (N, p ). Alors SM + SN suit une loi binomiale de paramètres (M + N, p ),
i.e.
P(SM + SN = k) = CkM+N pk(1 – p)M+N – k.
Au chapitre V on donnera une définition plus précise de l’indépendance de deux variables
aléatoires : Soient SM et SN deux variables aléatoires binomiales de paramètres (M, p) et (N, p).
On dit que SM et SN sont indépendants si et seulement si
P(SM = k et SN = l) = P(SM = k) ⋅ P(SN = l)
pour tout k = 0,…,M et l = 0,…,N .

III.3. La loi géométrique et loi binomiale négative
On considère un processus de Bernoulli de paramètre p. On s’intéresse au nombre T d’essais
jusqu’au premier succès.
III.3.a. Loi du temps du 1er succès
On introduit un temps aléatoire T, défini comme temps du 1er succès dans une suite infinie
d’expériences de Bernoulli, i.e. T = min(k : Xk = 1) = min(k : Sk = 1), où Sk = X1 + … + Xk.
Nous vérifierons ci-dessous que ce temps est fini avec probabilité 1. Pour tout k notons Ak
l’événement { Xk = 1}. L’événement {T = k} est égal à (A1)c ∩ … ∩ (Ak-1)c ∩ Ak. On calcule
alors la loi de probabilité de T.
P(T = 1) = p ,
P(T = 2) = (1 – p) ⋅ p ,
P(T = k) = (1 – p)k – 1 ⋅ p
d’où l’on peut déduire, par exemple, que
P(T > k) = ∑j > k P(T = j) = ∑j > k (1 – p)j – 1 ⋅ p = (1 – p)k.
En particulier, P(T = ∞) = lim k→∞ P(T > k) = lim k→∞ (1 – p)k = 0 si p > 0.
Donc P(T < ∞) = 1, i.e., avec probabilité 1, le temps T est fini.
Définition : On dit que T suit une loi géométrique de paramètre p où p est la probabilité de
succès dans un essai. On écrit
T ∼ Geom(1, p )
T est appelé variable aléatoire géométrique ou plus brièvement variable géométrique.
Exemple : On jette un dé équilibré jusqu’à un « 6 » sort. Quelle est la probabilité qu’on lance
le dé au plus trois fois ?
Solution : Soit T le temps jusqu’à un « 6 » sort. On a T ∼ Geom(1, 1/6). La probabilité
cherchée est
P(T ≤ 3) = P(T =1) + P(T =2) + P(T =3) = 1/6 + 5/6 ⋅1/6 + 5/6 ⋅ 5/6 ⋅1/6 = 91/216 ≅ .4212962963.
On pourra aussi calculer cette probabilité en passant par le complémentaire :
P(T ≤ 3) = 1 - P(T > 3) = 1- (5/6)3 = 1 - 125/216 = 91/216.