Les calculatrices sont autoris´
ees
N.B. : Le candidat attachera la plus grande importance `
a la clart´
e, `
a la pr´
ecision et `
a la concision
de la r´
edaction.
Si un candidat est amen´
e`
a rep´
erer ce qui peut lui sembler ˆ
etre une erreur d’´
enonc´
e, il le signalera
sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a ´
et´
e
amen´
e`
a prendre.
PROBLEME
Les parties I,II et III sont totalement ind´ependantes. La partie IV utilise certains r´esultats des parties
I,II et III.
Notations
On note M3(R)l’espace vectoriel des matrices carr´ees `a 3lignes `a coefficients dans R.
On appelle vecteur colonne de R3toute matrice `a 3lignes et 1colonne `a coefficients dans R.
On note tMla transpos´ee de la matrice M.
Partie I
Un exemple num´
erique
Dans cette partie, on se propose d’´etudier le syst`eme lin´eaire suivant :
(S)
2xy= 3
x+ 2yz=5
y+ 2z= 5
1/5
1. Montrer que, si on pose X=
x
y
z
, le syst`eme (S)s’´ecrit sous forme matricielle AX =B
avec Aune matrice de M3(R)et Bun vecteur colonne que l’on d´eterminera.
2. Calculer det(A).On pourra utiliser la calculatrice.
La matrice Aest-elle inversible ?
3. D´eterminer l’inverse A1de A.On pourra utiliser la calculatrice.
4. Montrer que le syst`eme (S)n’admet qu’une seule solution Qque l’on d´eterminera.
5. a. Montrer que le syst`eme (S)est ´equivalent au syst`eme X=JX +Kavec un vecteur
colonne Kde R3que l’on d´eterminera et la matrice
J=
01
20
1
201
2
01
20
.
b. Justifier sans calcul qu’il existe une matrice orthogonale Pet une matrice diagonale D
telles que J=P DtP.
c. D´eterminer les valeurs propres et les sous-espaces propres associ´es de J. En d´eduire les
matrices Pet D.
d. Pour tout entier naturel p, d´eterminer Jpen fonction de Det de la matrice P.
On d´efinit la suite de vecteurs colonnes (X(p))pNpar X(0) =
1
2
0
et la relation de r´ecurrence
pN:X(p+1) =JX(p)+K
On appelle x(p),y(p)et z(p)les composantes de X(p)c’est-`a-dire X(p)=
x(p)
y(p)
z(p)
. On pose enfin
(p)=X(p)Q.
6. Calculer les vecteurs colonnes X(1) et (1).
7. Ecrire un programme dans le langage de Maple ou Mathematica qui calcule le vecteur
colonne X(2008).
8. a. En utilisant le fait que Qv´erifie Q=JQ +K, montrer que pour tout entier naturel p,
(p+1) =J(p)puis que (p)=P DptP(0).
b. Soit U=
a
b
c
un vecteur colonne de R3. On note kUk=a2+b2+c2sa norme
euclidienne. Montrer que pour tout entier naturel p,kDpUk61
2p
2kUk.
c. Exprimer kUken fonction de Uet tUpuis montrer que kP Uk=kUket ktP Uk=kUk.
d. D´eduire des questions pr´ec´edentes que k(p)k61
2p
2k(0)kpuis que k(p)k6r13
2p.
9. Prouver alors les trois in´egalit´es :
|x(p)1|6r13
2p;|y(p)(1)|6r13
2p;|z(p)2|6r13
2p.
2/5
10. Quelles sont les limites respectives des suites (x(p))pN,(y(p))pNet (z(p))pN?
11. D´eterminer une valeur de p`a partir de laquelle le vecteur colonne X(p)est une valeur approch´ee
de la solution exacte Q`a 103pr`es, c’est-`a-dire tel que k(p)k6103.
Partie II
Un espace de matrices
Pour (a, b)R2, on consid`ere les matrices
J(a, b) =
a b b
b a b
b b a
et U(b) =
b b b
b b b
b b b
.
On d´efinit l’ensemble E={J(a, b)/(a, b)R2}.
On note I3=
100
010
001
la matrice identit´e.
1. Montrer que Eest un espace vectoriel dont on d´eterminera la dimension.
2. Montrer que Eest stable par produit matriciel c’est-`a-dire que pour toutes matrices Met Nde
E, le produit MN appartient `a E.
On suppose d´esormais que b6= 0.
3. Justifier sans calcul que les matrices J(a, b)et U(b)sont diagonalisables.
4. Quel est le rang de la matrice U(b)? En d´eduire la dimension du sous-espace vectoriel Ker(U(b)).
5. D´eterminer un r´eel λtel que U(b) = J(a, b)λ.I3.
6. En d´eduire une valeur propre de J(a, b)et la dimension du sous-espace propre associ´e.
7. A l’aide de la trace, d´eterminer l’autre valeur propre de J(a, b).
Partie III
Une norme matricielle
Si M= (mij )16i63
16j63
est une matrice de M3(R), on note pour tout indice ide {1,2,3},li=
3
X
j=1 |mij |.
Autrement dit, liest la somme des valeurs absolues des coefficients de la ligne ide la matrice M.
Puis, on d´efinit le r´eel positif ϕ(M)par ϕ(M) = max{l1, l2, l3}.
Si X=
x
y
z
est un vecteur colonne de R3alors on d´efinit la norme infinie du vecteur Xpar
kXk= max{|x|,|y|,|z|}.
3/5
1. a. Justifier que si A=
1 2 2
0 1 0
11 4
alors ϕ(A) = 6.
b. Justifier que si U=
2
4
3
alors kUk= 4.
2. a. On note X=MX avec X=
x
y
z
. Donner les expressions de x,yet zen fonction
de x,y,zet des coefficients de la matrice M.
b. Montrer que |x|6(|m11|+|m12|+|m13|)kXk. D´eterminer de mˆeme une in´egalit´e
pour |y|et pour |z|.
c. En d´eduire que kMXk6ϕ(M)kXkpuis que, si Md´esigne une matrice de M3(R)
alors kMMXk6ϕ(M)ϕ(M)kXk.
Partie IV
La m´
ethode de Jacobi
On consid`ere le syst`eme lin´eaire
(S)
a1,1x+a1,2y+a1,3z=a
a2,1x+a2,2y+a2,3z=b
a3,1x+a3,2y+a3,3z=c
avec pour tout i∈ {1,2,3}et pour tout j∈ {1,2,3},ai,j Ret (a, b, c)R3.
On suppose que le syst`eme (S)admet une unique solution not´ee Q=
q1
q2
q3
. On suppose de plus
que a1,16= 0 et a2,26= 0 et a3,36= 0.
1. Montrer que le syst`eme (S)est ´equivalent au syst`eme suivant :
(SJ)
x=a1,2
a1,1
ya1,3
a1,1
z+a
a1,1
y=a2,1
a2,2
xa2,3
a2,2
z+b
a2,2
z=a3,1
a3,3
xa3,2
a3,3
y+c
a3,3
2. Montrer que, si on pose X=
x
y
z
, le syst`eme (SJ)peut se mettre sous la forme matri-
cielle X=JX +Kavec June matrice de M3(R)et Kun vecteur colonne de R3que l’on
d´eterminera.
4/5
Pour un syst`
eme lin´
eaire comportant un grand nombre d’´
equations et d’inconnues, les m´
ethodes de
r´
esolution directe (comme celle du pivot de Gauss) aboutissant `
a une solution exacte deviennent
tr`
es gourmandes en temps de calcul. Il est alors plus judicieux de calculer une solution approch´
ee
`
a l’aide d’une suite d´
efinie par r´
ecurrence convergeant vers la solution exacte, comme cela se fait
dans la m´
ethode de Jacobi que nous allons nous contenter d’illustrer sur un syst`
eme 3×3.
On d´efinit ainsi la suite de vecteurs (X(p))pNde R3par la donn´ee d’un vecteur initial X(0) et la
relation de r´ecurrence
pN:X(p+1) =JX(p)+K
On d´efinit aussi la suite (∆(p))pNpar (p)=X(p)Q. Le vecteur (p)permet d’appr´ecier l’erreur
d’approximation entre la solution approch´ee X(p)et la solution exacte Q.
3. En utilisant le fait que Qest la solution de l’´equation (SJ) : X=JX +K, montrer que pour
tout entier naturel p,(p+1) =J(p)puis k(p+1)k6ϕ(J)k(p)k.
4. En d´eduire que pour tout entier naturel p,k(p)k6(ϕ(J))pk(0)k.
5. En d´eduire une condition suffisante (C1)sur la matrice Jpour que la suite (k(p)k)pN
converge vers 0.
6. On pose pour tout entier naturel p:X(p)=
x(p)
y(p)
z(p)
et (p)=
α(p)
β(p)
γ(p)
.
a. Montrer les trois in´egalit´es :
|α(p)|6k(p)k;|β(p)|6k(p)k;|γ(p)|6k(p)k.
b. Lorsque la condition (C1)est v´erifi´ee, montrer que les suites (x(p))pN,(y(p))pNet (z(p))pN
convergent respectivement vers q1,q2et q3.
7. La condition (C1)est-elle v´erifi´ee par la matrice Jde la partie I?
8. On revient au cas g´en´eral. On suppose dans cette question que la matrice Jest diagonalisable :
il existe donc une matrice diagonale Det une matrice inversible Ptelles que J=P DP 1.
On peut montrer alors, comme dans la partie Ique, pour tout entier naturel p,(p)=P DpP1(0).
a. Montrer que k(p)k6ϕ(P)(ϕ(D))pϕ(P1)k(0)k.
b. En d´eduire une condition suffisante (C2)sur ϕ(D)pour que la suite (k(p)k)pNconverge
vers 0.
c. La condition (C2)est-elle v´erifi´ee par la matrice Dde la partie I?
9. Dans cette question, on reprend l’exemple de la matrice J(a, b)avec b6= 0 d´efinie `a la partie
II. On a vu que cette matrice est diagonalisable. Il existe donc une matrice diagonale Det une
matrice inversible Ptelles que J(a, b) = P DP 1.
a. Calculer ϕ(J(a, b)) et ϕ(D).
b. La matrice J1
2,1
3v´erifie-t-elle la condition (C1)? la condition (C2)?
c. Dessiner dans le plan l’ensemble des couples (a, b)de R2qui v´erifient la condition (C1)
et ceux qui v´erifient la condition (C2).
Fin de l’´
enonc´
e
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