Cours d`algèbre

Cours d’algèbre
M1 Mathématiques et applications
M1 Mathématiques et enseignement
2012/2013

Table des matières
Chapitre I. Quelques rappels sur les groupes 1
Chapitre II. Action d’un groupe sur un ensemble 13
Chapitre III. Les théorèmes de Sylow 21
Chapitre IV. Groupes abéliens 28
Chapitre V. Anneaux commutatifs 40
Chapitre VI. Anneaux principaux, anneaux factoriels 51
Chapitre VII. Corps et extensions de corps 61
Chapitre VIII. Extensions algébriques, extensions finies 71
Chapitre IX. Fermeture algébrique, corps de décomposition 75
Chapitre X. Corps finis 81
Chapitre XI. Théorie de Galois I 85
Chapitre XII. Théorie de Galois II 90
Chapitre XIII. Théorie de Galois III 94
Chapitre XIV. Quelques exemples 97
Archives : Sujets d’examens et de partiels des années précédentes 101

CHAPITRE I
Quelques rappels sur les groupes
1. Préliminaires
Ce chapitre contient uniquement des révisions. On suppose connues les notions
de groupe, de sous-groupe, d’homomorphisme de groupes, de noyau et d’image d’un
homomorphisme. . .
Exercice 1. Soit Gun groupe.
a) Montrez que toute intersection (finie ou infinie) de sous-groupes de G est une
sous-groupe de G.
b) Soient H et K deux sous-groupes de G . Montrez que H∪K est un sous-groupe
de Gsi et seulement si l’un des deux sous-groupes Hou Kcontient l’autre.
Notations. Si Aest un ensemble fini, on note |A|son nombre d’éléments.
Le nombre d’éléments d’un groupe fini est appelé son ordre.
1.1. Groupes isomorphes.
Définition I.1. Soient G et H deux groupes et f:G→H une application. On
dit que f est un isomorphisme de groupes si f est bijective et si f et l’application
réciproque f−1:H→Gsont des homomorphismes de groupe.
On dit que les groupes G et H sont isomorphes s’il existe un isomorphisme de G
dans H.
Si deux groupes sont isomorphes alors ils ont les mêmes propriétés. Cette remarque
pourra être appliquée plusieurs fois dans ce chapitre et dans la suite de ce cours.
Exercice 2. Soient G et H deux groupes et f:G→H un homomorphisme de
groupes qui est une bijection. Montrez que fest un isomorphisme de groupes.
Définition I.2. Un automorphisme d’un groupe est un isomorphisme de ce groupe
sur lui-même.
Proposition I.3 (et définition) . Soient G un groupe et g∈G . L’application ig:G→
Gdéfinie par
ig(x) = gxg−1pour tout x∈G
est un automorphisme de G , appelé la conjugaison par g . Les automorphismes de ce
type sont aussi appelés les automorphismes intérieurs de G.
Démonstration. On vérifie facilement que ig est un homomorphisme de groupes.
C’est aussi une bijection, l’application réciproque étant ig−1:x7→ g−1xg.
1.2. Sous-groupe engendré par un sous-ensemble.
Proposition I.4 (et définition) . Soient G un groupe et S un sous-ensemble non
vide de G . Alors, la famille de tous les sous-groupes de G contenant S admet un plus
petit élément. Ce sous-groupe est appelé le sous-groupe de G engendré par S et il est
noté gp(S).
1

2 I. QUELQUES RAPPELS SUR LES GROUPES
Ainsi, gp(S)est caractérisé par les deux propriétés suivantes :
i) gp(S)est un sous-groupe de Gcontenant S;
ii) si Hest un sous-groupe de Gcontenant Salors Hcontient gp(S).
Le cas le plus important est celui où S est formé d’un seul élément a , on y reviendra
plus loin (Corollaire I.19).
Démonstration. Soit S la famille de tous les sous-groupes de G contenant S .
Cette famille est non vide puisque G∈ S. Posons
K=\
H∈S
H .
Comme toute intersection de sous-groupes de G est un sous-groupe de G , K est un
sous-groupe de G. Comme tous les éléments de Scontiennent S,K⊃S.
Soit maintenant H un sous-groupe de G contenant S . Alors H∈ S , c’est donc
l’un des ensembles dont l’intersection est K , et donc H⊃K . ainsi, l’ensemble
gp(S) := Kvérifie toutes les propriétés annoncées. 
2. Classes à gauche modulo un sous-groupe
2.1. Les définitions.
Notation. Soient Hun sous-groupe du groupe Get x, y ∈H. On note :
xH ={xh:h∈H};Hy ={hy :h∈H};
xHy ={xhy :h∈H}.
Exercice 3. Soient G un groupe, a∈G et H un sous-groupe de G . Montrer que
aHa−1est un sous-groupe de G.
Proposition I.5 (et définition) . Soient G un groupe, H un sous-groupe de G , et
x, y ∈G. Les propriétés suivantes sont équivalentes :
i) x−1y∈H;ii) y∈xH ;iii) yH ⊂xH ;
iv) y−1x∈H;v) x∈yH ;vi) xH ⊂yH ;vii) xH =yH .
Si ces propriétés sont réalisées on dit que yest congru à gauche à xmodulo H.
Démonstration. Toutes les vérifications sont immédiates.
i) ⇒ii). Soit h=x−1y. d’après i), h∈H. On a y=xh, d’où ii).
ii) ⇒i). Si y∈xH, il existe h∈Havec y=xh et on a x−1y=h∈Hd’où i).
ii) ⇒ iii). Si y∈xH , il existe h∈H avec y = xh . Pour tout h0∈H on a
yh0=xhh0∈xH, d’où yH ⊂xH.
iii) ⇒ii). Comme 1G∈H,y∈yH. Si yH ⊂xH on a donc y⊂xH.
i) ⇔ iv). Pour que x−1y appartienne à H il faut et il suffit que son inverse
(x−1y)−1=y−1xappartienne à H.
iv) ⇔v)⇔vi). Comme plus haut, en échangeant les rôles de xet de y.
vii) ⇔ i). vii) implique évidement iii) qui implique i). On a vu que i) implique iii)
et vi), et donc i) implique vii). 
Dans ce chapitre, nous notons « y≡Hx » pour « y est congru à gauche à x
modulo H ». Cette notation est définie pour ce chapitre seulement, elle ne doit pas
être considérée comme « classique ».
D’après la caractérisation vii), la relation ≡H est une relation d’équivalence sur
G. En effet, cette relation est

2. CLASSES À GAUCHE MODULO UN SOUS-GROUPE 3
–reflexive : pour tout x∈Gon a x≡Hx;
–symétrique : pour tous x, y ∈G, si x≡Hyalors y≡Hx;
–transitive : pour tous x, y, z ∈G, si x≡Hyet si y≡Hzalors x≡Hz.
Soit x∈G. On rappelle que la classe d’équivalence de xest
{y∈G:y≡Hx}.
Cette classe d’équivalence est appelée la classe de congruence à gauche de x modulo
H . D’après la caractérisation ii) de la proposition I.5, la classe de congruence à
gauche de xmodulo Hest égale à xH.
D’après les propriétés générales des classes d’équivalence, nous avons :
– Chaque x∈Gappartient à sa propre classe de congruence.
– Si x et y sont congrus à gauche modulo H , alors leurs classes de congruence à
gauche modulo Hsont confondues.
– Si x et y ne sont pas congrus à gauche modulo H , alors leurs classes de
congruence à gauche modulo Hsont disjointes.
– Ainsi, les classes de congruence à gauche modulo H forment une partition de
G.
De plus, on vérifie immédiatement que
– La classe de congruence à gauche modulo Hde 1Gest H.
2.2. Cas d’un groupe fini.
Définition I.6 (et notation) . Soient G un groupe et H un sous-groupe de G . Le
nombre (fini ou infini) de classes de congruence à gauche modulo H est appelé l’indice
de Hdans Get est noté (G:H)
Supposons maintenant que G est fini. Comme les classes de congruence à gauche
modulo H forment une partition de G , elles sont en nombre fini et ( G:H )est fini.
Soit x∈G . L’application h7→ xh de h dans G est injective et son image est xH . Le
nombre d’éléments |xH| de xH est donc égal à l’ordre |H| de H . Toutes les classes de
congruence à gauche modulo H ont donc le même nombre d’éléments, égal à l’ordre
de H . Comme les classes de congruence à gauche modulo H forment une partition
de G, nous avons :
Théorème I.7. Soient Gun groupe fini et Hun sous groupe de G. Alors
|G|= (G:H)· |H|.
En particulier, l’ordre de Hdivise l’ordre de G.
Exercice 4. Soient Het Kdeux sous-groupes finis d’un groupe Get
HK def ={hk :h∈H, k ∈K}.
a) On note π:H×K→G l’application définie par π ( h, k ) = hk , de sorte que HK
est par définition l’image de cette application. Montrez que pour tout x∈HK on a
|π−1{x}| =|H∩K|.
b) En déduire que |HK|=|H|·|K|
|H∩K|.
c) On suppose de plus que |H| et |K| sont premiers entre eux. Démontrez que
|H∩K|= 1. En déduire que |HK|=|H|·|K|.