Variables aléatoires : Exercices corrigés.

BTS Mme LE DUFF
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Exercice 1 :
Soit une variable aléatoire discrète associée à la loi de probabilité suivante. Calculer son espérance et
sa variance.
i
x 1 2 3 4 5 6
i
p 0,1 0,1 0,1 0,1 0,1 0,5
Exercice 2 :
Une variable aléatoire X est établie par la loi de probabilité suivante :
i
x -2 -1 0 1 2 3
)(
i
xXp = 0,3 0,05 0,1 0,05 0,2 p
Soit F sa fonction de répartition.
a) Calculer p.
b) Calculer F(0,5)
c) Calculer E(X).
d) Calculer )(X
σ
.
Exercice 3 :
On tire 5 cartes au hasard dans un jeu de 32 cartes. On appelle cela une main.
Si la main contient 4 rois on gagne 100 €, si la main contient 3 rois, on gagne 50 €, si la main
contient 2 rois, on ne gagne rien et on ne perd rien, si la main contient 1 rois, on perd 10 € et si la main ne
contient aucun roi, on perd 50 €.
Soit X la variable aléatoire correspondant au gain.
a) Etablir la loi de probabilité de X.
b) Calculer l’espérance mathématique de X.
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Exercice 4:
On lance deux dés triangulaires de couleurs distinctes à 4 faces numérotées de 1 à 4. Soit Y la
variable aléatoire prenant pour valeur le résultat du dé bleu. Et X la variable aléatoire prenant pour valeur
le résultat le plus grand.
a) Quelle est la loi de probabilité conjointe de X et Y ?
b) Quelles sont les lois marginales de X et de Y ?
c) Les variables aléatoires X et Y sont-elles indépendantes ? Justifier votre réponse.
Exercice 5 :
Pour la fonction définie sur l’intervalle
[
]
3;0 par kxxf
=
)( , déterminer la valeur de k pour qu’elle soit
une densité de probabilité.
Exercice 6 :
Partie A.
Soit X la variable aléatoire dont la fonction densité est définie sur IR+ par
x
exf
4
4)(
−
=.
a) Calculer F(5).
b) Calculer )31(
<
<
Xp .
Partie B.
Pour la fonction suivante, définie sur l’intervalle
[
]
2;0 , déterminer la valeur de k pour qu’elle soit une
densité de probabilité.
3
)( kxxf =

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CORRECTION
Exercice 1 :
5.45.06...1.021.01)(
=
×
+
+
×
+
×
=
XE
25.3²5.4²65.0...²21.0²11.0)(
=
−
×
+
+
×
+
×
=
XV
Exercice 2 :
0.3+0.05+0.1+0.05+0.2+p=1 donc p=0.3
a) 45.01.005.03.0)5.0()5,0(
=
+
+
=
≤
=
XpF
b) 7.033.0...)1(05.0)2(3.0)(
=
×
+
+
−
×
+
−
×
=
XE
c)
077.2)()(
31.4²7.08.4²7²33.0...)²1(05.0)²2(3.0)(
==
=
−
=
−
×
+
+
−
×
+
−
×
=
XVX
XV
σ
Exercice 3 :
a)
i
x 100 50 0 -10 -50
)(
i
xXp =
00014
.
0
5
32
1
28
4
4
≅
×
C
CC
00751
.
0
5
32
2
28
3
4
≅
×
C
CC
09761
.
0
5
32
3
28
2
4
≅
×
C
CC
40670
.
0
5
32
4
28
1
4
≅
×
C
CC
48804
.
0
5
32
5
28
≅
C
C
b) 0795.2848804.0)50(...00751.05000014.0100)(
−
=
×
−
+
+
×
+
×
=
XE
Exercice 4:
a) Y \ X 1 2 3 4 Loi marginale
de Y
1
16
1
16
1
16
1
16
1
4
1
2 0
8
1
16
2=
16
1
16
1
4
1
3 0 0
16
3
16
1
4
1
4 0 0 0
4
1
16
4=
4
1
Loi marginale de X
16
1
16
3
16
5
16
7 1

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b) Voir tableau
c) Les variables aléatoires X et Y ne sont pas indépendantes car par exemple
[ ]
64
1
4
1
16
1
)3()1(0)3()1( =×==×=≠==∩= YpXpYXp
Exercice 5 :
f est une densité de probabilité ssi
∫
=
3
0
1)( dxxf
∫
=
3
0
1kxdx 1
2²
3
0
=
x
k
1
2²0 2²3 =
×− ×kk
1
2
9= k
9
2
=k
Exercice 6 :
Partie A.
a)
=
≤
=
)5()5( XpF
[ ]
( ) ( ) 99.01
4
4
4)(
200454
5
0
4
5
0
4
5
0
4
5
0
≅+−=−−−=
−=
−
==
−×−×−
−−−
∫∫
eee
eedxedxxf
xxx
b)
=
<
<
)31( Xp
[
]
(
)
(
)
0183.0)(
4121434
3
1
4
3
1
≅+−=−−−=−=
−−×−×−−
∫
eeeeedxxf
x
Partie B.
f est une densité de probabilité ssi
∫
=
2
0
1)( dxxf
∫
=
2
0
3
1dxkx 1
4
2
0
4
=
x
k 1
4
0
4
2
44
=
×− ×kk
14
=
k
4
1
=k