Exercices avec correction S3 pour aider à prépare

Exercices de r´evisions
pour le devoir commun de janvier
Ce facsicule 1est un recueil d’exercices corrig´es provenant de sites de la pr´epa des INP. Les
exercices ont ´et´e regroup´es suivant les modules du semestre 3 et ordonn´es arbitrairement. Il se
termine par un corrig´e partiel des devoirs communs de janvier 2015 et 2016.
Nota Bene :
Les solutions des exercices ont ´et´e r´edig´ees en courant d’ann´ee. Les solutions propos´ees ne sont
donc pas n´ecessairement optimales. Il est parfois possible d’ˆetre plus rapide ou plus efficace avec
des th´eor`emes ou propri´et´es adapt´es. Nous vous engageons vivement `a chercher les solutions
les plus efficientes.
D’autre part, il reste peut-ˆetre des erreurs ou des coquilles dans les ´enonc´es et/ou corrections.
N’h´esitez pas `a nous les signaler.
1. Version 0 - Novembre 2016

Table des mati`eres
1Courbes param´etr´ees du plan 5
1.1 Solutions des exercices sur les courbes param´etr´ees du plan ............... 9
2R´eduction des endomorphismes et des matrices carr´ees 25
2.1 Solutions - R´eduction des endomorphismes et des matrices carr´ees ........... 29
3Calcul diff´erentiel et int´egrales multiples 41
3.1 Solutions - Calcul diff´erentiel et int´egrales multiples ................... 49
4S´eries num´eriques - Int´egrales g´en´eralis´ees 73
4.1 Solutions - S´eries num´eriques - Int´egrales g´en´eralis´ees .................. 76
5Probabilit´es 85
5.1 Solutions - Probabilit´es ................................... 88
6Annales 95
6.1 Sujetdejanvier2015..................................... 95
Corrig´e des exercices 1-2-3-4 du sujet de janvier 2015 ............... 99
6.2 Sujetdejanvier2016..................................... 110
Corrig´e des exercices 1-2-3 du sujet de janvier 2016 ................ 114
3

1
Courbes param´etr´ees du plan
Exercice 1
Dans un rep`ere orthonorm´e direct R= (O,~ i,~ j) du plan on consid`ere la courbe Cde repr´esentation
param´etrique : 
x(t) = 1
t+ ln(2 + t)
y(t) = t+1
t
.
1. Donner le domaine d’´etude et le tableau de variations des fonctions xet y.
2. Etudier le point Ade Cde param`etre t=−1. Pr´eciser le rep`ere dans lequel on se place pour pour
obtenir des ´equivalents simples des coordonn´ees des points de la courbe proches de A. Pr´eciser ces
´equivalents.
Sur un dessin repr´esenter ce rep`ere et pr´eciser les branches de la courbe pour t < −1 et t > −1.
(Prendre comme unit´e 2cm.)
3. Pr´eciser les points de la courbe qui ont des tangentes remarquables.
4. Etudier les branches infinies de la courbe.
5. Sur un nouveau dessin, tracer sommairement (mais en s’appliquant) la courbe.
Quelques valeurs approch´ees :
ln(2) ≈0.7; ln(3) ≈1.1; ln(5) ≈1.6; ln(7) ≈1.9
e≈2.7; e2≈7.4; e−1≈0.4; e−2≈0.14;
Solution H
Exercice 2
Dans un rep`ere orthonorm´e direct R= (O,~ i,~ j) du plan on consid`ere la courbe Cde repr´esentation
param´etrique : 
x(t) = tan t−sin t
y(t) = 1
cos t
.
1. Sur quel domaine Dsuffit-il d’´etudier les fonctions xet y? En d´eduire que Cadmet un axe de
sym´etrie.
2. D´eterminer le tableau de variations des fonctions xet ysur D.
3. Montrer que Cposs`ede un point singulier, donner un vecteur directeur de la tangente et la nature
de ce point.
4. Etudier la branche infinie obtenue pour ttendant vers π
2.
5. Tracer sommairement C.
Solution H
5