Exercice F2

Exercice F2
Partie I
1. (x2+ 2)2 −4x2=x4+ 4x2+ 4 −4x2=x4+ 4. Pour tout réel xon a x4+ 4 = (x2+ 2)2 −4x2.
2. On en déduit que : x4+ 4 = (x2+ 2)2 −(2x)2=(x2+ 2) −2x (x2+ 2) + 2x,
donc x4+ 4 = (x2−2x+ 2)(x2+ 2x+ 2) .
Partie II
1. D’après la partie I, on peut écrire n4+ 4 = (n2−2n+ 2)(n2+ 2n+ 2) = A×B
Sachant que n>2, on a n>0, donc n2+ 2n+ 2 >2, donc B>2. D’autre part A=n(n−2) + 2, donc A>2.
De plus nétant un nombre entier, A et B sont des entiers.
n4+ 4 est le produit de deux entiers naturels dont aucun n’est égal à 1. Donc : n4+ 4 n’est pas premier .
2. Soit mun diviseur de A qui divise n.
Alors mdivise n2et mdivise 2n, donc mdivise A−n2+ 2n. Or A−n2+ 2n= 2. Donc mdivise 2.
Tout diviseur de Aqui divise n, divise 2 .
3. Soit mun diviseur commun de Aet B.
Alors mdivise B−A. Or B−A=n2+ 2n+ 2 −n2+ 2n−2 = 4n
Donc : tout diviseur commun de Aet B, divise 4n.
4. Dans cette question on suppose que nest impair
(a) Puisque nest impair, on a n≡1 (2), donc n2≡12≡1 (2)
D’autre part −2n+ 2 ≡0 (2), donc n2−2n+ 2 ≡1 (2), c’est-à-dire A≡1 (2)
De même 2n+ 2 ≡0 (2), donc n2+ 2n+ 2 ≡1 (2), c’est-à-dire B≡1 (2)
Donc : Aet Bsont impairs .
Si détait multiple de 2, alors Aet Bqui sont multiples de dseraient aussi multiples de 2, donc Aet B
seraient pairs. On a démontré que Aet Bsont impairs, donc : dest impair .
(b) ddivise Aet B, donc ddivise 4n= 2 ×2×n.
détant impair, il est premier avec 2.
Comme ddivise 2×2×n, en utilisant deux fois le théorème de Gauss on en déduit que : ddivise n.
(c) On sait d’après la question 2. que tout diviseur de Aqui divise ndivise 2.
dest un diviseur de Aet ddivise n, donc : ddivise 2 .
Les diviseurs de 2étant 1et 2, puisqu’on a démontré que dest impair, on peut en déduire que d= 1,
c’est-à-dire que : Aet Bsont premiers entre eux .
5. On suppose dans cette question que nest pair.
(a) nest divisible par 2, donc n2est divisible par 4.
nest divisible par 2, donc 2nest divisible par 4.
On a donc n2−2n≡0 (4), donc n2−2n+ 2 ≡2 (4), donc : 4ne divise pas n2−2n+ 2 .
(b) nétant pair, A=n2−2n+ 2 et B=n2+ 2n+ 2 sont des nombres pairs.
Donc 2est un diviseur commun de Aet B, donc 2est un diviseur de d.
On peut donc écrire dsous la forme d= 2p, où pest un entier.
Si pétait un nombre pair, alors dserait multiple de 4, par conséquent 4serait un diviseur de det donc 4
serait un diviseur de A, ce qui n’est pas le cas d’après la question précédente.
On en déduit que pest un nombre impair, et par conséquent : dest de la forme d= 2p, où pest impair .
(c) ddivise B−A= 4n, donc 2pdivise 4n, donc pdivise 2n.
Sachant que pest impair, pest premier avec 2, donc pdivise n(Théorème de Gauss).
On sait que pdivise det que ddivise A, donc pdivise A.
pdivise alors Aet net d’après la question 2. on en déduit que pdivise 2.
pétant un nombre impair, on a alors p= 1 et par conséquent : d= 2 .
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