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Fr´ed´eric Bertrand & Myriam Maumy-Bertrand IPAG - 2009/2010
Exercice 2 : D’apr`es un Sujet blanc EN3S, 2009.
Nous consid´erons dans R2, espace vectoriel sur R, les normes d´efinies pour X(x, y)
par :
kXk1=|x|+|y|et kXk∞= max {|x|,|y|}.
a) D´eterminez deux r´eels positifs, αet β, tels que :
αkXk∞6kXk16βkXk∞.
b) Pour aet br´eels, posons N(X) = akXk1+bkXk∞puis X1= (1,0), Y1= (0,1),
X2= (1,1) et Y2= (−1,1). Calculez N(X1), N(Y1), N(X2) et N(Y2). En
d´eduire qu’une condition n´ecessaire et suffisante pour que Nsoit une norme
est :
a>0, b >0,(a, b)6= (0,0).
Nous supposerons que cette condition est v´erifi´ee par la suite.
c) Le plan est rapport´e `a un rep`ere orthonorm´e d’origine O. Pour toute norme,
nous appelons boule de centre O et de rayon R, et nous notons B(O,R), l’en-
semble des points Mtels que kOMk6R. Montrez que A∈Bet B∈B
implique [AB]∈B.
d) La sph`ere unit´e ´etant l’ensemble des points Mtels que kOMk= 1, construire
sur un mˆeme rep`ere, en indiquant leurs ´el´ements de sym´etrie, les sph`eres unit´es
S1,S∞et SNdans le cas o`u a=b= 1/2.
e) Nous notons B1(O, R), B∞(O, R) et BN(O, R) les boules de centre O et de
rayon Rpour les normes respectives k·k1,k·k∞et N. Montrez qu’il existe un
nombre Rtel que :
B1(O, R)⊂BN(O,1) ⊂B∞(O, R).
Exercice 3 : ´
Equivalence de normes.
Notons El’espace des fonctions continues de [0,1] dans R. Notons k · k1,k · k2et
k · k∞les normes de la convergence en moyenne, de la convergence en moyenne
quadratique et de la convergence uniforme.
Pour tout n∈N∗, nous notons fnl’´el´ement de Ed´efini par :
fn(t) =
2nt, si t∈0,1
2n
−2nt + 2,si t∈1
2n,1
n·
0,si t∈1
n,1
En ´etudiant la suite (fn)n∈N∗, montrer que les trois normes sont deux `a deux non
´equivalentes.
Exercice 4 : ´
Equivalence de normes.
Nous notons E=C1([0,1],R) et pour f∈E, nous posons kfk=kfk∞+kf0k∞.
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