Probabilités conditionnelles.

PROBABILITES CONDITIONNELLES
1°) Rappels sur la probabilité d'un événement.
a) Vocabulaire.
On envisage une expérience aléatoire comportant un nombre fini d'issues (ou éventualités).
L'ensemble des éventualités est appelé UNIVERS, il est souvent noté Ω.
Un événement est une partie de l'univers
événement élémentaire : une seule éventualité.
événement certain : c'est l'univers entier.
événement impossible : c'est l'ensemble vide.

L'événement complémentaire (ou contraire) de l'événement A, noté A, contient tous les éléments de Ω qui ne sont pas
éléments de A.
Si A et B sont deux événements : l'événement A ∩ B (A et B) est réalisé si A et B sont réalisés tous les deux ;
l'événement A ∪ B (A ou B) est réalisé si l'un au moins des deux événements A et B est
réalisé.
Si A ∩ B = ∅ , A et B sont des événements incompatibles.
Exemple si Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 
; 6} et A
= {1 ; 2}, B = {2 ; 5 ; 6} , C = {3 ; 5 ; 6}, D = {1 ; 2 ; 4}

L'événement contraire de A, noté A est A = {3 ; 4 ; 5 ; 6}.
A ∪ B = {1 ; 2 ; 5 ; 6} contient toutes les éventualités qui sont dans A ou dans B.
A ∩ B = {2} contient les éventualités communes à A et à B.
A ∩ C = ∅ , A et C sont des événements incompatibles.
A ⊂ D : Si A est réalisé, alors D est réalisé.
b) Probabilité.
Déf 1 : Soit Ω un univers fini et P (Ω
Ω ) l'ensemble des parties de Ω .
Une probabilité sur Ω est une application P de P (Ω
Ω) dans [0 ; 1] telle que :
• P(Ω
Ω ) = 1.
• si A et B sont des événements incompatibles, alors P(A ∪ B) = P(A) + P(B).
Propriété 1 : Si A et B sont des événements de Ω

P( A) = 1 – P(A)
P(∅
∅ ) =0
0 ≤ P(A) ≤ 1

P(A) = P(A ∩ B) + P(A ∩ B)
P( A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
la probabilité d'un événement A est égale à la somme des probabilités des événements élémentaires de A.
c) Equiprobabilité.
Déf 2: Soit Ω un univers fini.
On dit qu'il y a équiprobabilité quand tous les événements élémentaires ont la même probabilité.
1
Si Ω = {ω1 , ω2 , ω3 , … ωn} alors P ({ωi }) = pour tout i de l'intervalle [1 ; n].
n
Exemple : On lance un dé non truqué.
On note P({ i }) = pi ; par exemple p2 = P({2})
1
On a p1 = p2 = p3 = p4 = p5 = p6 = .
6
1 1 1
P({1 ; 2}) = P({1}) + P({2}) = p1 + p2 = + = .
6 6 3
3 1
= .
6 2
Exemple lors du tirage d'une carte dans un jeu de 32 cartes:
1
1
1
1
8
1
P({roi de trèfle}) =
P(un trèfle) =
+
+ …. =
= .
32
32 32
32 32
4
P(un nombre pair) = P({2 ; 4 ; 6}) = p2 + p4 + p6 =
Prop 2: Soit A un événement de Ω dans le cas d'équiprobabilité
nombre d'éléments de A
nombre de cas favorables
P(A) =
=
.
nombre de cas possibles
nombre d'éléments de Ω
exemple : dans une classe de 30 élèves, il y a 18 filles.
On considère l'expérience : on choisit au hasard une personne dans la classe.
Soit F l'événement : " la personne choisie est une fille ".
nombre de filles 18
P(F) =
=
= 0,6.
nombre d'élèves 30
d) Variables aléatoires.
Définir une variable aléatoire X sur Ω, c'est associer à chaque éventualité de l'expérience un nombre réel.
L'événement " X prend la valeur xi " peut s'écrire (X = xi).
Définir la loi de probabilité de X, c'est définir P(X= xi) pour chaque valeur xi prise par X.
On peut noter pi = P (X = xi).
k
Déf 3 : Espérance mathématique de X : E(X) =
∑ pi xi.
i=1
k
Variance de X: V(X) =
∑ pi (xi – E(X)) ²
k
=
i=1
∑ pi xi.² – (E(X)) ²
i=1
Ecart type de X : σ (X) = V(X).
2°) Probabilité conditionnelle.
a) Probabilité de A sachant B.
Exemple : on lance un dé Ω = {1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6}.
Soit A l'événement : " le résultat est impair " ; A = {1 ; 3 ; 5 }.
Soit B l'événement : " le résultat est inférieur ou égal à 3 " ; B = {1 ; 2 ; 3 }.
A ∩ B = { 1 ; 3}
P(A ∩ B) =
1 1 1
+ = .
6 6 3
3 1
3 1
=
P(B) = = .
6 2
6 2
Si on me dit
A est réalisé , c'est que l'on a tiré soit 1, soit 3, soit 5 ; B est alors réalisé si on a tiré soit 1 soit 3,
(mais pas 5), c'est-à-dire si A ∩ B est réalisé.
2
La probabilité de B sachant que A est réalisé est alors .
3
2 1 1
P(A ∩ B)
On écrit PA(B) = P(B/A) = = : =
.
3 3 2
P(A)
2
1
Si C = {3 ; 4},
P(C) = ;
A ∩ C = {3},
P(A ∩ C ) = .
6
6
Si on me dit
A est réalisé , alors C est réalisé si on tire un 3.
1 1 3
P(A ∩ C)
PA(C) = = : =
.
3 6 6
P(A)
P(A) =
Déf 4 : Soit B un événement de probabilité non nulle.
On appelle probabilité de A sachant que B est réalisé (ou probabilité de A sachant B) , PB(A) = P(A/B) =
b) Probabilité d'une intersection
Th 1 : Soit A et B deux événements de probabilité non nulle.
P(A ∩ B) = PB(A) x P(B)
P(A ∩ B) = PA(B) x P(A).
PB(A)
P(A)
B
A
A∩B
le chemin en pointillé représente A ∩ B
La probabilité de A ∩ B est le produit des
probabilités des branches.
P(A ∩ B)
P(B)
c) Formule des probabilités totales.
PB(A)
A
PB (A)
A

A∩B
A = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B)

(A ∩ B) et (A ∩ B) sont incompatibles
B
P(A)



A ∩B
donc P(A) = P (A ∩ B) + P (A ∩ B)

= PB(A) x P(B) + PB (A) x P( B).
B


Th 2: P(A) = PB(A) x P(B) + P B (A) x P( B ).

Déf 5 : Soit B1, B2, …., Bn n événements tels que :
• chaque Bk a une probabilité non nulle,
• deux quelconques d'entre eux sont incompatibles
• leur réunion est l'univers Ω
On dit que les événements B1, B2, …., Bn forment une partition de Ω .
Prop 3 : Soit les événements B1, B2, …., Bn formant une partition de Ω et un événement E de Ω .
P(E) = PB1(E) P(B1) + PB2(E) P(B2) + …. + PBn(E) P(Bn).
PB1(E)
E
E ∩ B1
B1
P(E) = PB1(E) P(B1) + PB2(E) P(B2) + PB3(E) P(B3).
P(B1)
PB2(E)
E
E ∩ B2
E
E ∩ B3
E
B2
PB3(E)
B3
PB3(E)
La somme des probabilités marquées sur des branches issues d'un même nœud est égale à 1.
La probabilité d'un événement au bout d'un "chemin" est le produit des probabilités inscrites sur les branches.
La probabilité d'un événement est la somme des probabilités des branches aboutissant à cet événement.
3°) Indépendance.
a) Indépendance de deux événements.
Prop 4 : Soit Ω un univers et P une loi de probabilité sur Ω .
Etant donné deux événements A et B de probabilités non nulles, il est équivalent de dire :
PA(B) = P(B) ;
PB(A) = P(A) ;
P(A ∩ B) = P(A) . P(B).
Déf 6 :Lorsque l'une de ces égalités est vraie, on dit que les événements A et B sont indépendants relativement à P.
Si A et B sont indépendants, le fait que A soit réalisé ou pas n'influe pas sur la probabilité de B.
Déf 7 : Soit Ω un univers et P une loi de probabilité sur Ω . Deux variables aléatoires X et Y sont indépendantes si
pour toute valeur x prise par X et toute valeur y prise par Y : P(X = x et Y = y) = P(X = x) P(Y = y), c'est-à-dire si
les événements (X = x) et (Y = y) sont indépendants.
4°) Modélisation d'expériences indépendantes.
Si une expérience aléatoire E consiste à enchaîner plusieurs expériences E1 , E2 , …….,En ayant pour modèles (Ω1, P1),
(Ω2, P2) , …. (Ωn Pn) telles que chacune se déroule dans des conditions qui ne dépendent pas des résultats des épreuves
précédentes (on dit que ces expériences sont indépendantes), on modélise E par la loi de probabilité P qui à chaque
résultat (a1, a2 , …an) associe le produit P({(a1, a2 , …an)}) = P1({a1}) . P2({a2}) …. Pn({an}).
On admet que l'on a bien défini une loi de probabilité, que l'on appelle loi produit des lois P i.
Cas particulier : les expériences Ei sont les répétitions d'une même épreuve e réalisée dans des conditions
indépendantes.
Exemple: on lance huit fois une pièce bien équilibrée.
1 8
1
La probabilité d'avoir 10 pile est P( 1ère est pile) . P(2ème est pile) …P(8ème est pile) =   =
.
2
256
 
Exemple : on lance une pièce puis on lance un dé.
1 1 1
La probabilité d'avoir pile et un numéro supérieur ou égal à 5 est
x
=
2 3 6