Solutions 5

Th´eorie des nombres. Mat 3632
Devoir 5. Ne pas remettre. Les solutions seront donn´ees le 28 novembre.
1. Trouver la valeur de −2
11 ,−2 13 ,−2 17 ,3 11 ,3 13 ,3 17 .
Solution: Par le crit`ere d’Euler et le lemme de Gauss: −2
11 =−1 11 2 11 = (−1)(−1) =
1;
−2
13 =−1 13 2 13 = 1(−1) = −1;
−2
17 =−1 17 2 17 = 1 ·1 = 1.
Par la loi de r´eciprocit´e quadratique: 3
11 = (−1)11−1
2
3−1
211
3=−2 3= 1,
3
13 = (−1)13−1
2
3−1
213
3=1 3= 1,
3
17 = (−1)17−1
2
3−1
217
3=2 3=−1.
2. Trouver la valeur du symbole de Legendre dans chacun des cas suivants:
a) −23
83 , b)51 71 , c) 71 73 .
Solution: On utilise le crit`ere d’Euler, le lemme de Gauss et la loi de r´eciprocit´e
quadratique:
a)−23
83 =60 83 =22 83 3 83 5 83 = (−1)83−1
2
3−1
283
3(−1)83−1
2
5−1
283
5=−2 33 5=
−1.
b) 51
71 =3 71 17 71 =−71 371 17 =−2 33 17 =17 3=2 3=−1.
c) 71
73 =−2 73 =−1 73 2 73 = 1 ·1=1
3. Trouver tous les nombres premiers p > 11 pour lesquels
x2≡11 mod p
poss`ede une solution.
Solution: On cherche p > 11 tel que 11
p= 1. Par la loi de r´eprocit´e quadratique,
11
p= (−1)11−1
2
p−1
2p
11= (−1)p−1
2p
11.
Alors, on cherche les premiers qui satisfont
p≡1 mod 4
p≡1,3,4,5,9 mod 11 ou p≡3 mod 4 p≡2,6,7,8,10 mod 11

Par le th´eor`eme chinois du reste, on trouve p≡ ±1,±5,±7,±9,±19 mod 44 toujours
avec p > 11.
4. Combien de solutions les congruences suivantes poss`edent-elles?
a) x2≡ −1 mod 134
b) x2≡ −1 mod 2173
c) x2≡ −1 mod 122
Solution: a) L’´equation est ´equivalente `a r´esoudre
x2≡ −1 mod 2
x2≡ −1 mod 67
Mais −1
67 =−1, car 67 ≡3 mod 4, alors le syst`eme n’a aucune solution.
b) L’´equation est ´equivalente `a r´esoudre
x2≡ −1 mod 41
x2≡ −1 mod 53
Chaque ´equation a deux solutions differentes (soit ±αet ±βles deux solutions
modulo 41 et 53 de chaque ´equation), car −1
41 =−1 53 = 1. Cela donne 4 syst`emes
d’´equation lin´eaires:
x≡αmod 41
x≡βmod 53 ,x≡ −αmod 41 x≡βmod 53
x≡αmod 41
x≡ −βmod 53 ,x≡ −αmod 41 x≡ −βmod 53
Par le th´eor`eme du reste Chinois, on trouve 4 solutions modulo 2173.
c) L’´equation est ´equivalente `a r´esoudre
x2≡ −1 mod 2
x2≡ −1 mod 61
La premi`ere ´equation a une solution (x≡1 mod 2) alors que la deuxi`eme a deux
solutions ±αmodulo 61, car −1
61 = 1 (61 ≡1 mod 4). Cela donne deux syst`emes
x≡1 mod 2
x≡αmod 61 ,x≡1 mod 2 x≡ −αmod 61
Par le th´eor`eme du reste Chinois, on trouve 2 solutions modluo 122.
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5. En remarquant que 2717 = 11 ·13 ·19, d´eterminer si la congruence quadratique x2≡
1237 mod 2717 poss`ede des solutions.
Solution: Comme x2≡1237 mod 2717 implique que x2≡1237 ≡2 mod 13 et
2
13 =−1, la congruence ne poss`ede pas de solution.
6. Soit pun nombre premier impair. Rappelons que x2≡2 mod pa des solutions si et
seulement si p≡1 ou 7 mod 8. ` A l’aide de ce r´esultat, montrer que 24n+3 ≡1 mod (8n+
7) si 8n+ 7 est premier. En particulier, trouver un diviseur propre de nombre de
Mersenne: 2131 −1.
Solution: Si 8n+ 7 premier, on a 2
8n+7 = 1. Soit x0tel que x2
0≡2 mod (8n+ 7).
Alors,
24n+3 ≡x8n+6
0≡1 mod (8n+ 7).
On a que 131 = 4 ·32 + 3, alors 8 ·32 + 7 = 263 |2131 −1.
7. Combien de solutions les congruences suivantes poss`edent-elles?
a) 4x2+ 5x+ 6 ≡0 mod 87
b) 3x2+ 7x−2≡0 mod 97
c) 2x2+ 7x−5≡0 mod 1099
Solution: a) Le discriminant de l’´equation est b2−4ac = 25 −4·4·6 = −71 ≡
16 mod 87. Alors, l’´equation est ´equivalente `a r´esoudre
y2≡1 mod 3
y2≡16 mod 29
Chaque ´equation a deux solutions, car 16 est toujours un carr´e. Cela donne lieu `a 4
syst`emes lin´eaires d’´equations (voir probl`eme 4) et 4 solutions.
b) Le discriminant de l’´equation est b2−4ac = 73, alors l’´equation est ´equivalente `a
r´esoudre y2≡73 mod 97. Puisque 73 et 97 sont des premiers, on a
73
97=97 73=24 73=2 73 3 73=·73 3=1 3= 1.
Alors, il y a deux solutions.
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c) Le discriminant de l’´equation est b2−4ac = 89. L’´equation est ´equivalente `a
r´esoudre y2≡5 mod 7
y2≡89 mod 157
Mais 5
7=7 5=2 5=−1.
Alors, il n’y a pas de solution.
Probl`emes additionels sugg´er´es: pages 142-143: 1, 2, 4, 6, 7, 8, 10, 12, 14 16, 20
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