Solutions 5

Théorie des nombres. Mat 3632
Devoir 5. Ne pas remettre. Les solutions seront données le 28 novembre.
−2 −2 3 3 3 , 13 , 17 , 11 , 13 , 17 .
1. Trouver la valeur de −2
11
−1
=
Solution: Par le critère d’Euler et le lemme de Gauss: −2
11
11
1;
2
−2
= −1
= 1(−1) = −1;
13
13
13
2
−2
= −1
= 1 · 1 = 1.
17
17
17
11−1 3−1
3
Par la loi de réciprocité quadratique: 11
= (−1) 2 2 11
=−
3
13−1 3−1
3
= (−1) 2 2 13
= 31 = 1,
13
3
17−1 3−1
3
2
17
2
2
=
(−1)
=
= −1.
17
3
3
2
11
2
3
= (−1)(−1) =
= 1,
2. Trouver la valeur du symbole de Legendre dans chacun des cas suivants:
51
71
a) −23
,
b)
,
c)
.
83
71
73
Solution: On utilise le critère d’Euler, le lemme de Gauss et la loi de réciprocité
quadratique:
22 3 5 3
83−1 3−1
83−1 5−1
60
83
2
−23
2
2
(−1)
=
−
=
a) 83 = 83 = 83 83 83 = (−1) 2 2 83
3
5
3
5
−1.
17 71 3
3
71
2
17
2
b) 51
=
=
−
=
−
=
=
= −1.
71
71
3
17
3
3
71 −1 2 3 17
71
−2
c) 73 = 73 = 73 73 = 1 · 1 = 1
3. Trouver tous les nombres premiers p > 11 pour lesquels
x2 ≡ 11 mod p
possède une solution.
Solution: On cherche p > 11 tel que
11
p
= (−1)
11
p
11−1 p−1
2
2
= 1. Par la loi de réprocité quadratique,
p
p
p−1
= (−1) 2
.
11
11
Alors, on cherche les premiers qui satisfont
p ≡ 1 mod 4
ou
p ≡ 1, 3, 4, 5, 9 mod 11
p ≡ 3 mod 4
p ≡ 2, 6, 7, 8, 10 mod 11
Par le théorème chinois du reste, on trouve p ≡ ±1, ±5, ±7, ±9, ±19 mod 44 toujours
avec p > 11.
4. Combien de solutions les congruences suivantes possèdent-elles?
a) x2 ≡ −1 mod 134
b) x2 ≡ −1 mod 2173
c) x2 ≡ −1 mod 122
Solution: a) L’équation est équivalente à résoudre
2
x ≡ −1 mod 2
x2 ≡ −1 mod 67
Mais −1
= −1, car 67 ≡ 3 mod 4, alors le système n’a aucune solution.
67
b) L’équation est équivalente à résoudre
2
x ≡ −1 mod 41
x2 ≡ −1 mod 53
Chaque équation a deux solutions differentes (soit ±α
et ±β les deux solutions
−1
=
= 1. Cela donne 4 systèmes
modulo 41 et 53 de chaque équation), car −1
41
53
d’équation linéaires:
x ≡ α mod 41
x ≡ −α mod 41
,
x ≡ β mod 53
x ≡ β mod 53
x ≡ α mod 41
x ≡ −α mod 41
,
x ≡ −β mod 53
x ≡ −β mod 53
Par le théorème du reste Chinois, on trouve 4 solutions modulo 2173.
c) L’équation est équivalente à résoudre
2
x ≡ −1 mod 2
x2 ≡ −1 mod 61
La première équation a une solution
(x ≡ 1 mod 2) alors que la deuxième a deux
solutions ±α modulo 61, car −1
=
1
(61 ≡ 1 mod 4). Cela donne deux systèmes
61
x ≡ 1 mod 2
x ≡ 1 mod 2
,
x ≡ α mod 61
x ≡ −α mod 61
Par le théorème du reste Chinois, on trouve 2 solutions modluo 122.
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5. En remarquant que 2717 = 11 · 13 · 19, déterminer si la congruence quadratique x2 ≡
1237 mod 2717 possède des solutions.
Solution:
Comme x2 ≡ 1237 mod 2717 implique que x2 ≡ 1237 ≡ 2 mod 13 et
2
= −1, la congruence ne possède pas de solution.
13
6. Soit p un nombre premier impair. Rappelons que x2 ≡ 2 mod p a des solutions si et
seulement si p ≡ 1 ou 7 mod 8. À l’aide de ce résultat, montrer que 24n+3 ≡ 1 mod (8n +
7) si 8n + 7 est premier. En particulier, trouver un diviseur propre de nombre de
Mersenne: 2131 − 1.
2
Solution: Si 8n + 7 premier, on a 8n+7
= 1. Soit x0 tel que x20 ≡ 2 mod (8n + 7).
Alors,
24n+3 ≡ x8n+6
≡ 1 mod (8n + 7).
0
On a que 131 = 4 · 32 + 3, alors 8 · 32 + 7 = 263 | 2131 − 1.
7. Combien de solutions les congruences suivantes possèdent-elles?
a) 4x2 + 5x + 6 ≡ 0 mod 87
b) 3x2 + 7x − 2 ≡ 0 mod 97
c) 2x2 + 7x − 5 ≡ 0 mod 1099
Solution: a) Le discriminant de l’équation est b2 − 4ac = 25 − 4 · 4 · 6 = −71 ≡
16 mod 87. Alors, l’équation est équivalente à résoudre
2
y ≡ 1 mod 3
y 2 ≡ 16 mod 29
Chaque équation a deux solutions, car 16 est toujours un carré. Cela donne lieu à 4
systèmes linéaires d’équations (voir problème 4) et 4 solutions.
b) Le discriminant de l’équation est b2 − 4ac = 73, alors l’équation est équivalente à
résoudre y 2 ≡ 73 mod 97. Puisque 73 et 97 sont des premiers, on a
73
97
24
2
3
73
1
=
=
=
=·
=
= 1.
97
73
73
73
73
3
3
Alors, il y a deux solutions.
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c) Le discriminant de l’équation est b2 − 4ac = 89. L’équation est équivalente à
résoudre
2
y ≡ 5 mod 7
y 2 ≡ 89 mod 157
Mais
5
7
2
=
=
= −1.
7
5
5
Alors, il n’y a pas de solution.
Problèmes additionels suggérés: pages 142-143: 1, 2, 4, 6, 7, 8, 10, 12, 14 16, 20
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