Terminales S Exercices sur les nombres complexes

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Exercices sur les nombres complexes
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Exercice 1 :
1) Calculer i 2 , i 3 et i 4 .
2) En déduire i 2015 , i 2016 et i 2017 .
3) Déterminer les entiers n pour lesquels i n est
a) un réel,
b) est un imaginaire pur,
c) égal à 1.
Exercice 2 :
Ecrire sous forme algébrique chacun des nombres complexes suivants :
z1 = (1 + 3i ) − ( 2 + i )
(
z2 = ( 5 − i )( 7 + 4i )
)
z3 = 1 + i 3 (1 − i )
z4 = ( 2 + 5i )
2
Exercice 3 :
2
12
Calculer (1 + i ) . En déduire que (1 + i ) est réel.
Exercice 4 :
Ecrire sous forme algébrique chacun des nombres complexes suivants :
8i − 1
z1 =
2 − 3i
 1− i 
z3 = 

 2−i 
5
z2 = 2i +
i
2
z4 =
4−i
i
+
2+i 3+i
z5 =
1
1
−
2+i i−2
Exercice 5 :
Pour quelles valeurs du paramètre réel λ, le nombre complexe z = ( λ + i ) ( λ + 5 − i ( λ − 7 ) )
est – il un imaginaire pur ?
Exercice 6 :
Quelles conditions doivent vérifier les réels a et b pour que le nombre complexe
z = ( 2a − b − i ( a + b ) ) ( −a − i ( a + b ) ) soit un nombre réel ?
Exercice 7 :
Résoudre dans , les équations suivantes :
(a)
2iz − 3 = z + i
( b ) ( 3z − i )( z + 2 + 3i ) = 0
(c)
3z ( z + i ) = −iz
(d )
z −1
= 4i
iz + 3
Exercice 8 :
Résoudre dans , les systèmes suivants :
3 z1 + z2 = 1 − 7 i

i z1 + 2 z2 = 11i
 2 z1 − z2 = i

−2 z1 + 3i z2 = −17
Exercice 9 :
Résoudre dans , chacune des équations suivantes :
(a)
z 2 − 4 z + 53 = 0
(b)
z2 + 2z + 6 = 0
(c)
9 z 2 − 6 z + 37 = 0
Exercice 10 :
1) Résoudre l’équation ( E ) z 2 + z + 1 = 0
On note j la solution de (E) dont la partie imaginaire est positive.
2) Montrer que j 2 = j =
1
et que j 3 = 1 .
j
3) Donner les valeurs de j n suivant les valeurs de l’entier naturel n.
(d )
(
)
z2 − 1 + 2 z + 2 = 0
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Exercice 11 :
On considère l’équation ( E ) z 3 − 2 z 2 + z − 2 = 0
1) Vérifier que 2 est une solution de (E).
2) Montrer qu’il existe des réels a, b et c tels que z 3 − 2 z 2 + z − 2 = ( z − 2 ) ( az 2 + bz + c )
3) Résoudre alors l’équation (E) dans .
Exercice 12 :
A chaque point M d’affixe z du plan complexe, on associe le point M ’ d’affixe z ' = ( z − i )( 3 + 2iz ) .
Déterminer l’ensemble des points M pour lesquels M ’ appartient à l’axe imaginaire.
Exercice 13 :
A chaque point M d’affixe z du plan complexe, on associe le point M ’ d’affixe z ' = ( z − 1)( z − i ) .
Déterminer l’ensemble des points M pour lesquels M ’ appartient à l’axe imaginaire.
Exercice 14
Soient A, B, C et D les points d’affixes respectives z A = 5 + 3i , z B = 8 + i , zC = 1 − 3i et z D = −2 − i .
Démontrer que ABCD est un parallélogramme :
a) en comparant les affixes de deux vecteurs.
b) en comparant les affixes de deux milieux.
Exercice 15
Soient A, B et C les points d’affixes respectives z A = 1 + i , z B = 4 + 2i et zC = −5 − i .
Démontrer que les points A, B , C sont alignés.
Exercice 16 : Déterminer les modules des nombres complexes suivants :
z1 = 1 + i
z2 = 1 − i 3
z5 = z12
z6 =
1+ i
1− i 3
z3 = 6 − i 2
z7 =
(
z4 = −5 + 3i
)
6 − i 2 ( −5 + 3i )
Exercice 17 :
1) Déterminer géométriquement l’ensemble des points M d’affixe z du plan complexe vérifiant :
a) z − 1 = z − i
b) z + i = 4
2) Donner, dans chaque cas, une équation cartésienne de l’ensemble trouvé.
Exercice 18 :
A chaque point M d’affixe z du plan complexe, on associe le point M ’ d’affixe z ' =
1) On note A le point d’affixe −2 et B celui d’affixe i.
Interpréter géométriquement le module de z ' .
2) Déterminer géométriquement l’ensemble des points M tels que z ' = 1 .
Donner une équation cartésienne de cet ensemble.
z+2
.
1 + iz
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Exercice 19 : BAC Pondichéry 2004
Le plan est rapporté au repère orthonormal ( O, u , v ) . On prendra une unité graphique de 3 cm. On définit
l’application f qui à tout point M d’affixe z du plan associe le point M’ d’affixe z’’ avec z ' =
( 3 + 4i ) z + 5 z .
6
1) On considère les points A, B, C d'affixes
fixes respectives zA = 1 + 2i, zB = 1 et zC = 3i..
Déterminer les affixes des points A ', B ', C ' images respectives de A, B, C par f .
Placer les points A, B, C, A ', B ', C ' dans le repère.
2) On pose z = x + i y (avec x et y réels).
Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de z ' en fonction de x et y.
1
2
3) Montrer que l'ensemble des points M invariants par f est la droite (D) d'équation y = x .
Tracer (D). Quelle remarque peut-on
on faire ?
4) Soit M un point quelconque du plan et M ' son image par f .
Montrer que M ' appartient à la droite (D).
(
5) a) Montrer que, ∀z ∈ ℂ, on a
b) En déduire que, si M'
z '− z z + z
z−z
z '− z
=
+i
. En déduire que le nombre
est réel.
zA
6
3
zA
M,, les droites (OA)
(
et (MM ') sont parallèles.
6) Un point quelconque N étant donné, comment construire son image N ' ?
On pourra étudier deux cas, suivant que N appartient ou non à (D).
Effectuer la construction sur la figure.
Exercice 20 : (Extrait du BAC Antilles Juin 2011)
201
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O, u , v ) . L’unité graphique est 2 cm.
π
On note i le nombre complexe de module 1 et d’argument . On appelle J le point d’affixe i.
2
1) On considère les points A, B, C, H d’affixes respectives a = −3 − i, b = −2 + 4i, c = 3 − i et h = −2 .
Placer ces points sur une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l’exercice.
2) Montrer que J est le centre du cercle circonscrit au triangle ABC. Préciser le rayon du cercle.
3) Dans la suite de l’exercice, on admet que H est l’orthocentre1 du triangle ABC. Placer H sur la figure.
4) On note G le centre de gravité2 du triangle ABC.
Déterminer l’affixe g du point G. Placer G sur la figure.
5) Montrer que le centre de gravité, le centre du cercle circonscrit et l’orthocentre du triangle ABC sont
alignés.
A noter
1
L’orthocentre d’un triangle est le point de concours des hauteurs du triangle.
2
Le centre de gravité d’un triangle est le points de concours des médianes du triangle. Il est situé au tiers
inférieur de chacune d’elle.
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Exercice 21 : BAC Amérique du nord 2006
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct ( O, u , v ) (unité graphique 2 cm), on considère
les points A, B et C d'affixes respectives z A = 2, z B = 1 + i 3 et zC = 1 − i 3 .
Partie A
1) Donner la forme trigonométrique de z A puis z B . Placer les points A, B et C.
2) Déterminer la nature du quadrilatère OBAC.
3) Déterminer et construire l'ensemble D des points M du plan tels que z = z − 2 .
Partie B
A tout point M d'affixe z tel que z ≠ zA , on associe le point M ' d'affixe z’ défini par z ' = −
4
.
z−2
1) Déterminer l’image du point B.
2) Déterminer les points fixes de l’application.
2
3) a) ROC avec en pré requis : le module d'un nombre complexe z vérifie z = z z .
Démontrer que ∀z1 , z2 ∈ ℂ,
z1 × z2 = z1 × z2
et ∀z ∈ ℂ∗ ,
1 1
=
z
z
b) Démontrer que pour tout nombre complexe z distinct de 2, z '− 2 =
2z
z−2
.
c) On suppose dans cette question que M est un point quelconque de D, où D est l'ensemble défini à la
question 3) de la partie A. Démontrer que le point M ' associé à M appartient à un cercle Γ dont on
précisera le centre et le rayon. Tracer Γ.
Exercice 22:
On considère le plan complexe ( O, u , v ) . Par lecture graphique, déterminer un argument
de chacune des affixes des points A, B, C, D et E.
Exercice 23 :
Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes suivants :
z1 = −1 + i
z2 = i
z3 = −2
z4 = 6 − i 2
z5 = 1 − i 3
Exercice 24 :
Ecrire les nombres suivants sous forme exponentielle : z1 = 3, z2 = −2, z3 = −i , z4 = −5 + 5i 3
Exercice 25 :
Ecrire les nombres suivants sous forme algébrique : z1 = eiπ
z 2 = e − i 2π
z3 = e
i
π
2
Exercice 26 :
Ecrire sous forme exponentielle les nombres complexes z1 = −2 + 2i et z2 = −3 − i 3 .
Ecrire ensuite la forme exponentielle du produit z1 z2 .
z4 = 4e
i
2π
3
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Exercice 27 : Ecrire les nombres suivants sous forme exponentielle :
π
π
(
z1 = 3 + i 3
)
4
z2 =
1+ i 3
3 −i
sin
z3 =
12
cos
− i cos
π
12
+ i sin
12
π
12
Exercice 28 :
On considère les nombres complexes z1 = 6 − i 2 et z2 = 2 − 2i .
z1
.
z2
z
2) Ecrire sous forme exponentielle z1 , z2 et 1 .
z2
1) Ecrire sous forme algébrique le quotient
3) En déduire les valeurs exactes de cos
π
12
et sin
π
12
Exercice 29 : Amérique du sud Novembre 2007
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct ( O, u , v ) .
1
1


Soit f l’application qui à tout point M du plan d’affixe non nulle associe le point M’ d’affixe z ' =  z +  .
z
2
1) Soit E le point du plan d’affixe z E = −i .
Déterminer le point d’affixe E’, image de E par f.
2) Déterminer l’ensemble des points M tels que M’ = M.
3) On note A et B les points d’affixes respectives 1 et −1.
Soit M un point distinct des points O, A et B.
2
a) Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de 0, 1 et −1, on a :
b) Donner une expression de
z '+ 1  z + 1 
=
 .
z '− 1  z − 1 
M 'B
MB
en fonction de
.
M 'A
MA
c) Donner une expression de l’angle orienté ( AM ', BM ') en fonction de ( AM , BM ) .
d) Soit ∆ la médiatrice du segment [AB].
Montrer que si M est un point de ∆ distinct de O, alors M’ est aussi un point de ∆.
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Exercice 30 :
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct ( O, u , v ) . On prendra pour unité graphique 5 cm.
1+ i
zn .
2
1) On note An le point du plan d'affixe zn. Calculer z1 , z2 , z3 , z4 et vérifier que z4 est un nombre réel.
Placer les points A0 , A1 , A2 , A3 , A4 sur une figure.
On pose z0 = 2 et, pour tout entier naturel n, zn +1 =
n
 2
2) ∀n ∈ ℕ, on pose un = zn . Etablir que ∀n ∈ ℕ, un = 2 

 2 
3) A partir de quel rang n0 tous les points An appartiennent-ils au disque de centre O et de rayon 0,1 ?
z −z
4) a) Etablir que, pour tout entier naturel n, n +1 n = i . En déduire la nature du triangle OAnAn+1.
zn +1
b) Pour tout entier naturel n, on note Ln la longueur de la ligne brisée A0A1A2...An-1An.
On a ainsi : Ln = A0A1 + A1A2 + ... + An-1An.
Exprimer Ln en fonction de n. Quelle est la limite de la suite (Ln) ?
Exercice 31 BAC Antilles Guyane Sept 2014
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O, u , v ) . L’unité graphique est 2 cm.
On note i le nombre complexe de module 1 et d’argument
π
2
. On complétera le graphique au fur et à mesure
sur une feuille de papier millimétré.
On considère la fonction f qui à tout nombre complexe z associe f ( z ) = z 2 + 2 z + 9 .
1) Calculer l’image de −1 + i 3 .
2) Résoudre dans ℂ l’équation f ( z ) = 5 . Mettre les solutions sous forme exponentielle.
On note A et B les points dont les affixes sont les deux solutions.
La partie imaginaire de l’affixe de A est positive. Construire les points A et B.
3) Soit λ un nombre réel. Déterminer l’ensemble des valeurs de λ pour lesquelles l’équation f ( z ) = λ admet
deux solutions complexes conjuguées.
4) Soit ( F ) l’ensemble des points du plan complexe dont l’affixe z vérifie f ( z ) − 8 = 3 .
Prouver que ( F ) est le cercle de centre Ω d’affixe −1 et de rayon
3 . Construire ( F ) .
5) Soit z ∈ ℂ, z = x + iy , x, y ∈ ℝ.
a) Montrer que la forme algébrique de f ( z ) est x 2 − y 2 + 2 x + 9 + i ( 2 xy + 2 y )
b) On note ( E ) l’ensemble des points du plan complexe dont l’affixe z est telle que f ( z ) est un nombre
réel. Montrer que ( E ) est la réunion de deux droites D1 et D2 dont on précisera les équations.
Tracer les deux droites.
1) Déterminer les points d’intersection des ensembles ( E ) et ( F ) .