Terminales S Exercices sur les nombres complexes

Terminales S Exercices sur les nombres complexes
Page 1 sur 6
Exercice 1 :
1) Calculer
2 3 4
, et
i i i
.
2) En déduire
2015 2016 2017
, et
i i i
.
3) Déterminer les entiers n pour lesquels
n
i
est
a) un réel,
b) est un imaginaire pur,
c) égal à 1.
Exercice 2 :
Ecrire sous forme algébrique chacun des nombres complexes suivants :
( ) ( ) ( )( )
(
)
( ) ( )
2
1 2 3 4
1 3 2 5 7 4 1 3 1 2 5
z i i z i i z i i z i
= + − + = − + = + − = +
Exercice 3 :
Calculer
( )
2
1
i
+
. En déduire que
( )
12
1
i
+
est réel.
Exercice 4 :
Ecrire sous forme algébrique chacun des nombres complexes suivants :
2
1 2 3 4 5
8 1 5 1 4 1 1
2
2 3 2 2 3 2 2
i i i i
z z i z z z
i i i i i i i
− − −
= = + = = + = −
− − + + + −
Exercice 5 :
Pour quelles valeurs du paramètre réel λ, le nombre complexe
(
)
(
)
(
)
5 7
z i i λ λ λ = + + − −
est – il un imaginaire pur ?
Exercice 6 :
Quelles conditions doivent vérifier les réels a et b pour que le nombre complexe
(
)
(
)
(
)
(
)
2
z a b i a b a i a b
= − − + − − +
soit un nombre réel ?
Exercice 7 :
Résoudre dans , les équations suivantes :
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
1
2 3 3 2 3 0 3 4
3
z
a iz z i b z i z i c z z i iz d i
iz
−
− = + − + + = + = − =
+
Exercice 8 :
Résoudre dans , les systèmes suivants :
1 2 1 2
1 2 1 2
3 1 7 2
2 11 2 3 17
z z i z z i
i z z i z i z
+ = − − =
+ = − + = −
Exercice 9 :
Résoudre dans , chacune des équations suivantes :
( ) ( ) ( ) ( )
(
)
2 2 2 2
4 53 0 2 6 0 9 6 37 0 1 2 2 0
a z z b z z c z z d z z
− + = + + = − + = − + + =
Exercice 10 :
1) Résoudre l’équation
(
)
2
1 0
E z z
+ + =
On note j la solution de (E) dont la partie imaginaire est positive.
2) Montrer que
2
1
j j
j
= =
et que
3
1
j
=
.
3) Donner les valeurs de
n
j
suivant les valeurs de l’entier naturel n.

Terminales S Exercices sur les nombres complexes
Page 2 sur 6
Exercice 11 :
On considère l’équation
(
)
3 2
2 2 0
E z z z
− + − =
1) Vérifier que 2 est une solution de (E).
2) Montrer qu’il existe des réels a, b et c tels que
(
)
(
)
3 2 2
2 2 2
z z z z az bz c
− + − = − + +
3) Résoudre alors l’équation (E) dans .
Exercice 12 :
A chaque point M d’affixe z du plan complexe, on associe le point M ’ d’affixe
(
)
(
)
' 3 2
z z i iz
= − + .
Déterminer l’ensemble des points M pour lesquels M ’ appartient à l’axe imaginaire.
Exercice 13 :
A chaque point M d’affixe z du plan complexe, on associe le point M ’ d’affixe
(
)
(
)
' 1
z z z i
= − −
.
Déterminer l’ensemble des points M pour lesquels M ’ appartient à l’axe imaginaire.
Exercice 14
Soient A, B, C et D les points d’affixes respectives
5 3i
A
z
= +
,
8 i
B
z
= +
,
1 3i
C
z
= −
et
2 i
D
z
= − −
.
Démontrer que ABCD est un parallélogramme :
a) en comparant les affixes de deux vecteurs.
b) en comparant les affixes de deux milieux.
Exercice 15
Soient A, B et C les points d’affixes respectives
1 i
A
z
= +
,
4 2i
B
z
= +
et
5 i
C
z
= − −
.
Démontrer que les points A, B , C sont alignés.
Exercice 16 : Déterminer les modules des nombres complexes suivants :
( )
( )
1 2 3 4
2
5 1 6 7
1 1 3 6 2 5 3
16 2 5 3
1 3
z i z i z i z i
i
z z z z i i
i
= + = − = − = − +
+
= = = − − +
−
Exercice 17 :
1) Déterminer géométriquement l’ensemble des points M d’affixe z du plan complexe vérifiant :
a) 1
z z i
− = −
b)
4
z i
+ =
2) Donner, dans chaque cas, une équation cartésienne de l’ensemble trouvé.
Exercice 18 :
A chaque point M d’affixe z du plan complexe, on associe le point M ’ d’affixe
2
'
1
z
z
iz
+
=
+
.
1) On note A le point d’affixe −2 et B celui d’affixe i.
Interpréter géométriquement le module de
'
z
.
2) Déterminer géométriquement l’ensemble des points M tels que
' 1
z
=
.
Donner une équation cartésienne de cet ensemble.

Terminales S
Exercices sur les nombres complexes
Exercice 19 : BAC Pondichéry 2004
Le plan est rapporté au
repère orthonormal
l’application f qui à tout point M
d’affixe
1) On considère les points A, B, C d'af
fixes respectives
Déterminer les affixes des points A
',
Placer les points A, B, C, A ', B ', C
' dans le repère.
2) On pose z x i y= + (avec x et y
réels).
Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de
3) Montrer que l'ensemble des points
M
Tracer (D). Quelle remarque peut-
on faire ?
4) Soit M un point
quelconque du plan et
Montrer que M
' appartient à la droite (
5) a) Montrer que,
'
, on a
A
z z z z z z
z i
z
− + −
∀ ∈ = +
ℂ
b) En déduire que, si M' M
, les droites (
6) Un point quelconque N
étant donné, comment construire son image
On pourra étudier deux cas, suivant que
Effectuer la construction sur la figure.
Exercice 20
: (Extrait du BAC Antilles Juin 201
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct
On note i
le nombre complexe de module 1 et d’argument
1) On considère les points A, B, C, H
d’affixes respectives
Placer ces points sur une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l’exercice.
2) Montrer que J
est le centre du cercle circonscrit au triangle
3)
Dans la suite de l’exercice, on admet que
4) On note G le centre de gravité
2
du triangle
Déterminer l’affixe g du point G.
Placer
5)
Montrer que le centre de gravité, le centre du cercle circonscrit et l’orthocentre du triangle
alignés.
A noter
1
L’orthocentre d’un triangle est le point de concours des hauteurs du triangle.
2
Le centre de gravité d’un triangle est le points de
inférieur de chacune d’elle.
Exercices sur les nombres complexes
repère orthonormal
( )
, ,O u v
. On prendra une unité graphique de 3 cm. On définit
d’affixe
z du plan associe le point M’ d’affixe z
’ avec
fixes respectives
z
A
= 1 + 2i, z
B
= 1 et z
C
= 3i
.
',
B ', C ' images respectives de A, B, C par
f
' dans le repère.
réels).
Déterminer la partie réelle et la partie imaginaire de
z ' en fonction de x et y.
M
invariants par f
est la droite (D) d'équation
on faire ?
quelconque du plan et
M ' son image par f .
' appartient à la droite (
D).
6 3
z z z z z z
z i
− + −
∀ ∈ = +
. En déduire que le nombre
z z
z
, les droites (
OA) et (MM ') sont parallèles.
étant donné, comment construire son image
N ' ?
On pourra étudier deux cas, suivant que
N appartient ou non à (D).
Effectuer la construction sur la figure.
: (Extrait du BAC Antilles Juin 201
1)
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct
( )
, ,O u v
. L’unité graphique est 2 cm.
le nombre complexe de module 1 et d’argument
2
π
. On appelle J
le point
d’affixes respectives
3 , 2 4 , 3 et 2
a i b i c i h
= − − = − + = − = −
Placer ces points sur une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l’exercice.
est le centre du cercle circonscrit au triangle
ABC.
Préciser le rayon
Dans la suite de l’exercice, on admet que
H est l’orthocentre
1
du triangle ABC.
Placer
du triangle
ABC.
Placer
G sur la figure.
Montrer que le centre de gravité, le centre du cercle circonscrit et l’orthocentre du triangle
L’orthocentre d’un triangle est le point de concours des hauteurs du triangle.
Le centre de gravité d’un triangle est le points de
concours des médianes du triangle. Il est situé au tiers
Page 3 sur 6
. On prendra une unité graphique de 3 cm. On définit
’ avec
( )
3 4 5
'6
i z z
z+ + =
.
.
f
.
est la droite (D) d'équation
1
2
y x=
.
'
A
z z
z
−
est réel.
. L’unité graphique est 2 cm.
le point
d’affixe i.
3 , 2 4 , 3 et 2
a i b i c i h
= − − = − + = − = −
.
Placer ces points sur une figure qui sera complétée au fur et à mesure de l’exercice.
Préciser le rayon
du cercle.
Placer
H sur la figure.
Montrer que le centre de gravité, le centre du cercle circonscrit et l’orthocentre du triangle
ABC sont
concours des médianes du triangle. Il est situé au tiers

Terminales S Exercices sur les nombres complexes
Page 4 sur 6
Exercice 21 : BAC Amérique du nord 2006
Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct
(
)
, ,
O u v
(unité graphique 2 cm), on considère
les points A, B et C d'affixes respectives
2, 1 3 et 1 3
A B C
z z i z i
= = + = − .
Partie A
1) Donner la forme trigonométrique de
puis
A B
z z
. Placer les points A, B et C.
2) Déterminer la nature du quadrilatère OBAC.
3) Déterminer et construire l'ensemble D des points M du plan tels que
2
z z
= −
.
Partie B
A tout point M d'affixe z tel que z ≠ z
A
, on associe le point M ' d'affixe z’ défini par
4
'
2
z
z
= −
−
.
1) Déterminer l’image du point B.
2) Déterminer les points fixes de l’application.
3) a) ROC avec en pré requis : le module d'un nombre complexe z vérifie
2
z z z
=
.
Démontrer que
1 2 1 2 1 2
1 1
, , et ,z z z z z z z
z z
∗
∀ ∈ × = × ∀ ∈ =
ℂ ℂ
b) Démontrer que pour tout nombre complexe z distinct de 2,
2
' 2
2
z
zz − =
−
.
c) On suppose dans cette question que M est un point quelconque de D, où D est l'ensemble défini à la
question 3) de la partie A. Démontrer que le point M ' associé à M appartient à un cercle Γ dont on
précisera le centre et le rayon. Tracer Γ.
Exercice 22:
On considère le plan complexe
(
)
, ,
O u v
. Par lecture graphique, déterminer un argument
de chacune des affixes des points A, B, C, D et E.
Exercice 23 :
Déterminer le module et un argument de chacun des nombres complexes suivants :
1 2 3 4 5
1 2 6 2 1 3
z i z i z z i z i
= − + = = − = − = −
Exercice 24 :
Ecrire les nombres suivants sous forme exponentielle :
1 2 3 4
3, 2, , 5 5 3
z z z i z i
= = − = − = − +
Exercice 25 :
Ecrire les nombres suivants sous forme algébrique :
2
2
3
2
1 2 3 4
e e e 4e
ii
i i
z z z z
π
π
π π −
= = = =
Exercice 26 :
Ecrire sous forme exponentielle les nombres complexes
1 2
2 2 et 3 3
z i z i
= − + = − − .
Ecrire ensuite la forme exponentielle du produit
1 2
z z
.

Terminales S Exercices sur les nombres complexes
Page 5 sur 6
Exercice 27 : Ecrire les nombres suivants sous forme exponentielle :
( )
4
1 2 3
sin cos
1 3
12 12
3 3 3
cos sin
12 12
i
i
z i z z
ii
π π
π π
−
+
= + = =
−+
Exercice 28 :
On considère les nombres complexes
1 2
6 2 et 2 2
z i z i
= − = −
.
1) Ecrire sous forme algébrique le quotient
1
2
z
z
.
2) Ecrire sous forme exponentielle
1
1 2
2
, et
z
z z
z
.
3) En déduire les valeurs exactes de
cos et sin
12 12
π π
Exercice 29 : Amérique du sud Novembre 2007
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormal direct
(
)
, ,
O u v
.
Soit f l’application qui à tout point M du plan d’affixe non nulle associe le point M’ d’affixe
1 1
'2 z z
z
= +
.
1) Soit E le point du plan d’affixe
E
z i
= −
.
Déterminer le point d’affixe E’, image de E par f.
2) Déterminer l’ensemble des points M tels que M’ = M.
3) On note A et B les points d’affixes respectives 1 et −1.
Soit M un point distinct des points O, A et B.
a) Montrer que, pour tout nombre complexe z différent de 0, 1 et −1, on a :
2
' 1 1
' 1 1
z z
z z
+ +
=
− −
.
b) Donner une expression de
'
'
M B
M A
en fonction de
MB
MA
.
c) Donner une expression de l’angle orienté
(
)
', '
AM BM
en fonction de
(
)
,
AM BM
.
d) Soit ∆ la médiatrice du segment [AB].
Montrer que si M est un point de ∆ distinct de O, alors M’ est aussi un point de ∆.