DM no 12 – Sous-groupe de Frattini d’un groupe MPSI 1 A. F rat(G) est un sous-groupe À rendre le lundi 6 décembre Soit G un groupe fini non réduit à un élément. Exercice 1 – Un isomorphisme 1. Montrer que F rat(G) est non-vide. On considère les ensembles suivants 2. Montrer qu’il existe un sous-groupe maximal de G. 3. Soit H un sous-groupe maximal de G et x ∈ F rat(G). Que vaut hHi ? En déduire que x ∈ H. E = C 0 (R, R) et F = {g ∈ C 1 (R, R) | g(0) = g 0 (0) = 0 et g 0 dérivable en 0} ainsi que l’application Φ:E −→ 4. Soit K un sous-groupe de G distinct de G. Montrer qu’il existe un sous-groupe maximal de G qui contient K. F Z f 7−→ 2010-2011 Φf : x 7→ x 5. En déduire que F rat(G) est l’intersection des sous-groupes maximaux de G. (En particulier, F rat(G) est un sous-groupe de G.) tf (t) dt . 0 1. Montrer que E et F sont des R-espaces vectoriels. B. Le sous-groupe de Frattini de Sn 2. Vérifier que Φf ∈ F et que Φ est linéaire. Soit n > 2 un entier naturel. 3. Soit g ∈ F . On définit f par f (x) = g 0 (x)/x si x 6= 0 et f (0) = g 00 (0). Montrer que f ∈ E et en déduire que Φ est surjective. 6. Pour tout i ∈ [[1, n]], on considère Gi = {g ∈ Sn | g(i) = i}. Montrer que Gi est un sous-groupe maximal de Sn . En déduire F rat(Sn ). 4. Montrer que Φ est un isomorphisme. C. Le sous-groupe de Frattini de Z/nZ Exercice 2 – Sur des projecteurs Soit n > 2 un entier. On note k = k mod n et h : Z → Z/nZ l’application k 7→ k. On rappelle que h est un homomorphisme de groupe surjectif. On admet que F rat(G) est l’intersection des sous-groupes maximaux de G, même si G est infini. Soit E un espace vectoriel. Soient p, q ∈ L(E) deux projecteurs. 1. Montrer que p et q sont deux projecteurs sur le même sous-espace si et seulement si p ◦ q = q et q ◦ p = p. 2. Montrer que p et q sont deux projecteurs parallélement au même sous-espace si et seulement si p ◦ q = p et q ◦ p = q. 7. Montrer que les sous-groupes de Z sont exactement les dZ avec d ∈ N. 8. À quelle condition nécessaire et suffisante sur les entiers naturels a, b ≥ 1 a-t-on aZ ⊂ bZ ? En déduire la liste des sous-groupes maximaux de Z puis F rat(Z). Problème : le sous-groupe de Frattini d’un groupe 9. Soit H un sous-groupe de Z/nZ. Déterminer Ker h. Montrer que H est un sous-groupe maximal de Z/nZ si et seulement si h−1 (H) est un sous-groupe maximal de Z contenant nZ. Soit G un groupe fini. Si A est une partie de G, on note hAi le sous-groupe de G engendré par A. Un élément x ∈ G est dit mou si dès qu’une partie génératrice de G contient x, elle est encore génératrice sans x. Autrement dit, 10. En déduire les éléments mous de Z/nZ en fonction de la décomposition en facteurs premiers de n. ∀A ⊂ G, hAi = G =⇒ hA \ {x}i = G. On note F rat(G) le sous-ensemble de G constitué des éléments mous. On dit qu’un sous-groupe H ⊂ G est maximal si H 6= G et si les seuls sous-groupes de G contenant H sont H et G. 1