Probl`eme : le sous-groupe de Frattini d`un groupe

MPSI 1 DM no12 – Sous-groupe de Frattini d’un groupe 2010-2011
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A rendre le lundi 6 d´ecembre
Exercice 1 – Un isomorphisme
On consid`ere les ensembles suivants
E=C0(R,R) et F={g∈C1(R,R)|g(0) = g0(0) = 0 et g0d´erivable en 0}
ainsi que l’application
Φ : E−→ F
f7−→ Φf:x7→ Zx
0
tf(t)dt .
1. Montrer que Eet Fsont des R-espaces vectoriels.
2. V´erifier que Φf∈Fet que Φ est lin´eaire.
3. Soit g∈F. On d´efinit fpar f(x) = g0(x)/x si x6= 0 et f(0) = g00 (0). Montrer
que f∈Eet en d´eduire que Φ est surjective.
4. Montrer que Φ est un isomorphisme.
Exercice 2 – Sur des projecteurs
Soit Eun espace vectoriel. Soient p, q ∈ L(E) deux projecteurs.
1. Montrer que pet qsont deux projecteurs sur le mˆeme sous-espace si et seule-
ment si p◦q=qet q◦p=p.
2. Montrer que pet qsont deux projecteurs parall´element au mˆeme sous-espace
si et seulement si p◦q=pet q◦p=q.
Probl`eme : le sous-groupe de Frattini d’un groupe
Soit Gun groupe fini. Si Aest une partie de G, on note hAile sous-groupe de G
engendr´e par A. Un ´el´ement x∈Gest dit mou si d`es qu’une partie g´en´eratrice de
Gcontient x, elle est encore g´en´eratrice sans x. Autrement dit,
∀A⊂G, hAi=G=⇒ hA\ {x}i =G.
On note F rat(G) le sous-ensemble de Gconstitu´e des ´el´ements mous. On dit
qu’un sous-groupe H⊂Gest maximal si H6=Get si les seuls sous-groupes de G
contenant Hsont Het G.
A. F rat(G)est un sous-groupe
Soit Gun groupe fini non r´eduit `a un ´el´ement.
1. Montrer que F rat(G) est non-vide.
2. Montrer qu’il existe un sous-groupe maximal de G.
3. Soit Hun sous-groupe maximal de Get x∈F rat(G). Que vaut hHi? En
d´eduire que x∈H.
4. Soit Kun sous-groupe de Gdistinct de G. Montrer qu’il existe un sous-groupe
maximal de Gqui contient K.
5. En d´eduire que F rat(G) est l’intersection des sous-groupes maximaux de G.
(En particulier, F rat(G)est un sous-groupe de G.)
B. Le sous-groupe de Frattini de Sn
Soit n>2 un entier naturel.
6. Pour tout i∈[[1, n]], on consid`ere Gi={g∈Sn|g(i) = i}. Montrer que Gi
est un sous-groupe maximal de Sn. En d´eduire F rat(Sn).
C. Le sous-groupe de Frattini de Z/nZ
Soit n>2 un entier. On note k=kmod net h:Z→Z/nZl’application
k7→ k. On rappelle que hest un homomorphisme de groupe surjectif. On admet
que F rat(G) est l’intersection des sous-groupes maximaux de G, mˆeme si Gest
infini.
7. Montrer que les sous-groupes de Zsont exactement les dZavec d∈N.
8. ` A quelle condition n´ecessaire et suffisante sur les entiers naturels a, b ≥1
a-t-on aZ⊂bZ? En d´eduire la liste des sous-groupes maximaux de Zpuis
F rat(Z).
9. Soit Hun sous-groupe de Z/nZ. D´eterminer Ker h. Montrer que Hest un
sous-groupe maximal de Z/nZsi et seulement si h−1(H) est un sous-groupe
maximal de Zcontenant nZ.
10. En d´eduire les ´el´ements mous de Z/nZen fonction de la d´ecomposition en
facteurs premiers de n.
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