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EPFL - Mathématiques Bachelor 3-4
D’après le cours du professeur Eva Bayer
Algèbre I-II
Jallut
Automne 2010

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Table des matières
1 Notions fondamentales 4
1.1 Groupes...................................... 4
1.2 Congruences, classes de congruences et groupes algébriques . . . . . . . . . 11
1.3 Actions d’un groupe sur un ensemble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.4 Anneaux, corps, théorème d’Euler et le théorème chinois . . . . . . . . . . . 18
2 Groupes 26
2.1 Classes modulo, un sous-groupe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2 Sous-groupes normaux et groupe quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Théorème d’isomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4 Actions de groupe et structure quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.5 Sous-groupes de groupes quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.6 Sous-groupes des commutateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3 Groupes abéliens finis 38
4 Groupes finis 42
4.1 Rappels... ..................................... 42
4.2 Equationdesclasses ............................... 42
4.3 Lesp-groupes................................... 43
4.4 LesthéorèmesdeSylow ............................. 44
5 Anneaux de polynômes 47
5.1 Polynôme à coefficient dans un anneau commutatif . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2 Polynôme à coefficient dans un corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6 Idéaux et anneaux quotients 49
6.1 Idéald’anneau .................................. 49
6.2 Anneauquotient ................................. 50
7 Anneaux commutatifs 54
7.1 Idéaux premiers et maximaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7.2 Théorèmechinois................................. 55
7.3 Anneaux principaux et anneaux factoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
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TABLE DES MATIÈRES 0
7.4 Caractéristique d’un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
7.5 Anneaux intègres et corps de fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
8 Corps 61
8.1 Extensionsdecorps ............................... 61
8.2 Extensions algébriques et extensions transcendantes . . . . . . . . . . . . . 61
8.3 Extensionsmonogènes .............................. 62
8.4 Construction d’extensions monogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
8.5 Corpsfinis..................................... 64
8.6 Corpsdesracines................................. 68
8.7 Corps algébriquement clos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
9 Polyômes sur un anneau factoriel 72
10 Quaternions 75
10.1Corpsdesquaternions .............................. 75
10.2 Groupe des quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
11 Introduction à le théorie de Galois 79
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Chapitre 1
Notions fondamentales
1.1 Groupes
Définition 1.1.1.
Un groupe est un ensemble Gmuni d’une loi de composition
G×G−→ G
(g, g0)7−→ g∗g0
et qui vérifie les propriétés suivantes :
1. g∗(h∗k)=(g∗h)∗kpour tout g, h, k ∈G(associativité) ;
2. il existe e∈Gtel que e∗g=g∗e=gpour tout g∈G(élément neutre) ;
3. pour tout g∈G, il existe g0∈Gtel que g∗g0=g0∗g=e.
Définition 1.1.2.
On dit que (G, ∗)est un groupe abélien (commutatif) si pour tout g, h ∈G
g∗h=h∗g.
Définition 1.1.3.
On dit que (G, ∗)est un groupe fini si ]G est fini. (Gn’a qu’un nombre fini d’élément).
De plus, ]G est appelé l’ordre de G.
Exemples :
1. (Z,+) est un groupe abélien :
(a) clair ;
(b) élément neutre : 0 ;
(c) Si a∈Z, alors a+ (−a)= 0.
2. (Z,·)n’est pas un groupe :
(a) clair ;
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