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EPFL - Mathématiques Bachelor 3-4
D’après le cours du professeur Eva Bayer
Algèbre I-II
Jallut
Automne 2010
0
1
Table des matières
1 Notions fondamentales
1.1 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Congruences, classes de congruences et groupes algébriques
1.3 Actions d’un groupe sur un ensemble . . . . . . . . . . . . .
1.4 Anneaux, corps, théorème d’Euler et le théorème chinois . .
2 Groupes
2.1 Classes modulo, un sous-groupe . . . . . .
2.2 Sous-groupes normaux et groupe quotient
2.3 Théorème d’isomorphisme . . . . . . . . .
2.4 Actions de groupe et structure quotient .
2.5 Sous-groupes de groupes quotients . . . .
2.6 Sous-groupes des commutateurs . . . . . .
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4
4
11
14
18
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26
26
29
31
33
34
36
3 Groupes abéliens finis
38
4 Groupes finis
4.1 Rappels... . . . . . . . .
4.2 Equation des classes . .
4.3 Les p-groupes . . . . . .
4.4 Les théorèmes de Sylow
42
42
42
43
44
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5 Anneaux de polynômes
47
5.1 Polynôme à coefficient dans un anneau commutatif . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2 Polynôme à coefficient dans un corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
6 Idéaux et anneaux quotients
49
6.1 Idéal d’anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
6.2 Anneau quotient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
7 Anneaux commutatifs
54
7.1 Idéaux premiers et maximaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
7.2 Théorème chinois . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
7.3 Anneaux principaux et anneaux factoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
2
TABLE DES MATIÈRES
7.4
7.5
0
Caractéristique d’un anneau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
Anneaux intègres et corps de fractions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
8 Corps
8.1 Extensions de corps . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Extensions algébriques et extensions transcendantes
8.3 Extensions monogènes . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4 Construction d’extensions monogènes . . . . . . . . .
8.5 Corps finis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.6 Corps des racines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.7 Corps algébriquement clos . . . . . . . . . . . . . . .
9 Polyômes sur un anneau factoriel
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61
61
61
62
63
64
68
70
72
10 Quaternions
75
10.1 Corps des quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
10.2 Groupe des quaternions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
11 Introduction à le théorie de Galois
79
3
Chapitre 1
Notions fondamentales
1.1
Groupes
Définition 1.1.1.
Un groupe est un ensemble G muni d’une loi de composition
G × G −→ G
(g, g 0 ) 7−→ g ∗ g 0
et qui vérifie les propriétés suivantes :
1. g ∗ (h ∗ k) = (g ∗ h) ∗ k pour tout g, h, k ∈ G (associativité) ;
2. il existe e ∈ G tel que e ∗ g = g ∗ e = g pour tout g ∈ G (élément neutre) ;
3. pour tout g ∈ G, il existe g 0 ∈ G tel que g ∗ g 0 = g 0 ∗ g = e.
Définition 1.1.2.
On dit que (G, ∗) est un groupe abélien (commutatif) si pour tout g, h ∈ G
g ∗ h = h ∗ g.
Définition 1.1.3.
On dit que (G, ∗) est un groupe fini si ]G est fini. (G n’a qu’un nombre fini d’élément).
De plus, ]G est appelé l’ordre de G.
Exemples :
1. (Z, +) est un groupe abélien :
(a) clair ;
(b) élément neutre : 0 ;
(c) Si a ∈ Z, alors a + (−a) = 0.
2. (Z, ·) n’est pas un groupe :
(a) clair ;
4
1.1. GROUPES
1
(b) élément neutre : 1 ;
(c) Si a = 3, alors il n’existe pas de b ∈ Z tel que 3b = 1.
3. (Q, +) est un groupe abélien.
4. (Q∗ ,·) est un groupe abélien :
(a) clair ;
(b) élément neutre : 1 ;
(c) Si a ∈ Q - {0} , alors
1
a
= a−1 ∈ Q − {0} et on a aa−1 = a−1 a = 1.
5. Mn (R) = matrice n × n à coefficient dans R
(Mn (R), +) est un groupe abélien :
(a) clair ;
(b) élément neutre est la matrice nulle ;
(c) M ∈ Mn (R), alors −M ∈ Mn (R) et M + (−M ) = 0.
6. Soit GLn (R) = {M ∈ Mn (R) | det M 6= 0} (matrices inversibles)
(GLn (R), ·) est un groupe, mais non abélien.
(a) la multiplication de matrice est associative ;
(b) élément neutre : Matrice In ;
(c) si M ∈ GLn (R), alors M −1 ∈ GLn (R) et M M −1 = M −1 M = In .
7. D3 groupe des rotations et symétrie d’un triangle équilatéral.
Liste des éléments de D3 :
(a) Id ;
(b) rotation de 120 degrés dans le sens = r = 240 degrés dans le sens ;
(c) rotation de 240 degrés dans le sens = r ∗ r = r2 = 120 degrés dans le sens ;
(d) symétrie s ;
(e) symétrie s ∗ r = sr = r2 s ;
(f) symétrie s ∗ r ∗ r = sr2 = rs.
Ceci est un groupe non-abélien d’ordre 6. L’élement neutre est Id. Or, la troisième
propriété n’est pas vérifiée, car : s2 = Id , (sr)2 = Id, (rs)2 = Id, rr2 = Id.
Non-abélien, car rs 6= sr.
Notation :
1. On note g ∗ h = gh (sauf lorsque G est abélien et ∗ = + , on note alors souvent
g ∗ h = g + h).
2. On note e = 1 (sauf lorsque G est abélien et ∗ = + , on note alors e = 0).
3. Si g 0 ∈ G est tel que gg 0 = g 0 g = 1, alors on note g 0 = g −1 et on l’appelle l’inverse
(sauf lorsque G est abélien et ∗ = + , on note alors g 0 = −g).
Définition 1.1.4.
Soit G un groupe. Un sous-groupe de G est un sous ensemble H de G tel que
5
1.1. GROUPES
1
1. pour tout g, h ∈ H, on a gh ∈ H ;
2. pour tout g, on a g −1 ∈ H.
Exemples :
1. (Z, +) est un sous-groupe de (Q, +) ;
2. ({−1, +1} , ·) est un sous groupe de (Q∗ , ·) ;
3. N ⊂ Z n’est pas un sous-groupe . Par exemple, −5 ∈
/ N;
4. {−2, +2} ⊂ Q∗ n’est pas un sous groupe. Par exemple, 2(−2) = −4 ∈
/ {−2, +2} ;
5. (Mn (R), +) et H = {M ∈ Mn (R)| Tr(M ) = 0}. Alors H est un sous groupe.
En effet, si M et N ∈ H, alors Tr(M + N ) = Tr(M ) + Tr(N ) = 0, donc M + N ∈ H.
De plus, si M ∈ H, alors Tr(−M ) = −Tr(M ) = 0, donc −M ∈ H.
6. (Z, +), soit H = 3Z, alors H est un sous groupe.
En effet, si a, b ∈ H, alors a = 3a0 , b = 3b0 pour a0 , b0 ∈ Z. On a : a + b = 3a0 + 3b0 =
3(a0 + b0 ) ∈ H.
De plus, si a ∈ H, a = 3a0 avec a0 ∈ Z, alors −a = −3a0 = 3(−a0 ) ∈ H.
Remarque : Tous les sous-groupes de (Z, +) sont de la forme mZ pour un certain
m ∈ Z. (cf. exercice 2 série 3)
7. (GLn (R), ·) et
(a) H = {M ∈ GLn (R)| det(M ) = 1} = SLn . Alors SLn est un sous-groupe.
Soit M, N ∈ SLn (R). On a det(M + N ) = det(M ) det(N ) = 1,
donc M N ∈ SLn (R).
De plus, si M ∈ SLn (R), alors det(M −1 ) = (det(M ))−1 = 1,
donc M −1 ∈ SLn (R).
(b) On (R) = M ∈ GLn (R)|M M t = In , "le groupe orthogonal".
Remarquons que M ∈ On (R) ⇐⇒ M −1 = M t . Donc, on a aussi M t M = In .
Vérifions que On (R) est un sous-groupe.
M}t = In , donc
Soient M, N ∈ On (R), alors : (M N )(M N )t = M |N{z
N}t M t = M
| {z
=In
=In
M N ∈ On (R).
De plus, si M ∈ On (R), alors (M −1 )(M −1 )t = M t (M t )t = M t M = In , donc
M −1 ∈ On (R).
(c) remarquons que si M ∈ On (R), alors det(M M t ) = det(In ) = 1, donc det(M ) det(M t ) =
1, donc (det(M ))2 = 1, donc det(M ) = ±1 et donc On (R) * SLn (R).
(d) posons SOn (R) = On (R) ∩ SLn (R), alors SOn (R) est un sous-groupe de On (R)
et aussi de SLn (R), ainsi que GLn (R).
Définition 1.1.5. 1. Soient G et H deux groupes et soit F : G −→ H une application.
On dit que F est un homomorphisme de groupes si
F (gh) = F (g)F (h)
6
∀g, h ∈ G.
1.1. GROUPES
1
2. Un homomorphisme bijectif s’appelle un isomorphisme. Si il existe un isomorphisme de groupes F : G −→ H, alors on dit que G et H sont isomorphes et on
note F ∼
= H.
3. Un isomorphisme de groupes F : G −→ G est appelé un automorphisme de G et
on note Aut(G), l’ensemble de tous les automorphismes de G.
Exemples :
1. G = (Mn (R), +) et H = (R, +). On considère F : Mn (R) −→ R définie par
M 7−→ Tr(M ). Alors, F est un homomorphisme de groupes. En effet,
soient M, N ∈ Mn (R), alors F (M + N ) = Tr(M + N ) = Tr(M ) + Tr(N ) = F (M ) +
F (N ).
2. G = (GLn (R), ·) et H = (R∗ , ·). On considère F : GLn (R) −→ R définie par
M 7−→ det(M ). Alors, F est un homomorphisme de groupes. En effet,
si M, N ∈ GLn (R), alors F (M N ) = det(M N ) = det(M ) det(N ) = F (M )F (N ).
a
1
1
0
3. On considère le groupe (GL2 (R), ·). Posons G =
|a ∈ R
⊂ GL2 (R).
Alors G est un sous-groupe. (Vérification triviale... ou presque).
1 a
Soit H = (R, +). On considère F : G −→ H, définie par
7−→ a. Alors, F
0
1
a
1
est un homomorphisme de groupes. En effet :
F(
1
0
a
1
1
0
b
1
1
0
) = F(
a+b
1
) = a + b = F(
1
0
) + F(
1
0
b
1
)
De plus, F est bijective. En effet, F est injective :
Si F (
1
0
a
1
) = F(
1
0
b
1
) =⇒ a = b =⇒
F est aussi surjective : soit a ∈ R, alors a = F (
1
0
1
0
a
1
a
1
=
1
0
b
1
.
).
∼ (R, +).
Donc, F est un isomorphisme de groupes (G, ·) =
Définition 1.1.6.
Soit F : G −→ H un homomorphisme de groupes. On appelle le noyau de F, l’ensemble
ker(F ) = {g ∈ G | F (g) = 1} .
On appelle l’image de F, l’ensemble
Im (F ) = F (G) = {h ∈ H | ∃g ∈ G
avec F (g) = h} .
Proposition 1.1.7.
Soit F : G −→ H un homomorphisme de groupes. Alors ker(F ) est un sous-groupe de G
et Im(F ) est un sous-groupe de H.
7
1.1. GROUPES
1
Démonstration. Montrons que ker(F ) est un sous-groupe de G. Soient g, h ∈ ker(F ), alors
F (gh) = F (g)F (h) = 1, donc gh ∈ ker(F ). De plus, si g ∈ ker(F ), alors F (g −1 ) =
F (g)−1 = 1, donc g −1 ∈ ker(F ).
Montrons que Im(F ) est un sous-groupe de H. Soient h1 , h2 ∈ Im(F ), alors il existe
g1 , g2 ∈ G avec h1 = F (g1 ) et h2 = F (g2 ). On a donc h1 · h2 = F (g1 )F (g2 ) = F (g1 g2 ),
donc h1 h2 ∈ Im(F ). On a aussi, si h ∈ Im(F ), alors h = F (g) pour un certain g ∈ G. On
a alors h−1 = F (g)−1 = F (g −1 ), donc h−1 ∈ Im(F ).
Exemples :
1. G = (Mn (R), +) et H = (R, +) et F : Mn (R) −→ R définie par M 7−→ Tr(M ).
Alors, on a ker(F ) = {M ∈ Mn (R) | F (M ) = 0} = {M ∈ Mn (R) | Tr(M ) = 0} et
Im(F ) = R.
2. G = (GLn (R), ·) et H = (R∗ , ·), F : GLn (R) −→ R définie par M 7−→ det(M ).
Alors, on a ker(F ) = SLn (R) et Im(F ) = R∗ .
Groupes symétriques : Sn , ensemble des permutations de n-éléments. On a ]Sn = n! .
Sn est un groupe par rapport à la loi de composition consistant à composer les
permutations.
Définition 1.1.8.
Soit σ ∈ Sn . On dit que σ est une permutation paire si σ = τ1 ◦ τ1 ◦ . . . ◦ τr avec τi
des transpositions et r est pair. On dit que σ est une permutation impaire sinon. On
définit
Sign : Sn −→ {±1}
(
σ 7−→
1 si σ est paire.
−1 si σ est impaire.
Alors sign est un homomorphisme de groupes. Posons An = ker(sign). On appelle An , le
groupe alterné. C’est un sous-groupe de Sn .
Exemple : On considère S3 . On a ]S3 = 6.
ρ=
σ=
1
2
2
3
3
1
1
2
2
1
3
3
σ◦ρ=
ρ2
= (1 2 3) ,
= (1 2) ,
◦σ =
1
1
2
3
3
2
ρ2
σ2
=
=
1
1
1
3
2
2
2
2
3
1
3
3
= (1 3 2),
= (2 3) et σ ◦
= Id,
ρ2
=ρ◦σ =
1
3
2
2
3
1
= (1 3).
On remarque que S3 est un groupe non-abélien, car σρ 6= ρσ et donc on a
n
o
S3 = id, ρ, ρ2 , σ, σρ, σρ2 .
8
1.1. GROUPES
1
De plus, A3 = Id, ρ, ρ2 , car ρ = σσρ et ρ2 = σσρ2 .
D3 = id, r, r2 , s, sr, sr2 , groupe des rotations et symétries d’un triangle équilatéral. On
a un homomorphisme de groupes :
D3 −→ S3
r 7→ ρ
r2 7→ ρ2
s 7→ σ
sr 7→ σρ
sr2 7→ σρ2
On vérifie que c’est un homomorphisme de groupes et aussi une bijection, donc un isomorphisme de groupes.
Définition 1.1.9.
Soit G un groupe et soit g ∈ G. La conjugaison par g est
Cg : G −→ G
x 7→ gxg −1
C’est un automorphisme de g, appelé automorphisme intérieur de G. On note Int(G)
l’ensemble des automorphismes intérieur de G.
Montrons qu’il s’agit bien d’un automorphisme.
Homomorphisme : cg (xy) = g(xy)g −1 = gxg −1 gyg −1 = cg (x)cg (y).
Injectivité : cg (x) = cg (y) ⇐⇒ gxg −1 = gyg −1 ⇐⇒ x = y.
Surjectivité : Soit x ∈ G. Posons x = g −1 yg, alors gxg −1 = g(g −1 yg)g −1 = y.
Définition 1.1.10.
Soit G un groupe et soit H un sous-groupe de G. On dit que H est un sous-groupe
normal de G si gHg −1 = H pour tout g ∈ G. Ceci est équivalent à dire que pour tout
h ∈ H et pour tout g ∈ G, ghg −1 ∈ H.
Exemples : G = S3
1. H = {id, σ} est un sous-groupe de S3 , σ 2 = id.
Est ce que H est un sous-groupe normal de S3 ? Autrement dit, est ce que gσg −1 ∈ H,
pour tout g ∈ S3 . Prenons g = ρ, on a : ρσρ−1 = ρσρ2 , car ρ−1 = ρ2 puisque ρ3 = id
et donc,
(ρσ)ρ2 = (σρ2 )ρ2 = σρ4 = σρ ∈
/ H;
donc H n’est pas un sous-groupe normal de S3 .
9
1.1. GROUPES
1
2. H = A3 = id, ρ, ρ2 (groupe alterné) ;
ici, par contre, il s’agit d’un sous-groupe normal de S3 . On a
σρσ −1 = σρσ = ρ2 σσ = ρ2 σ 2 = ρ2 ∈ A3 ;
σρ2 σ −1 = σρ2 σ = ρσσ = ρ ∈ A3 .
On vérifie de même que gρg −1 ∈ A3 , pour tout g ∈ S3 et que gρ2 g −1 ∈ A3 , pour
tout g ∈ S3 . Donc, A3 est un sous-groupe normal de S3 .
Proposition 1.1.11.
Soit F : G −→ H un homomorphisme de groupes. Alors ker(F ) est un sous-groupe normal
de G.
Démonstration. Soit x ∈ ker(F ) et soit g ∈ G. Alors, F (gxg −1 ) = F (g)F (x)F (g −1 ) =
F (g)F (g)−1 = 1, car F (x) = 1 puisque x ∈ ker(F ). Donc, on a gxg −1 ∈ ker(F ), pour tout
g ∈ G et ainsi ker(F ) est bien un sous-groupe normal de G.
Remarque : Si G est abélien, alors Int(G)={id} et tout sous-groupes de G est normal.
En effet,
cg (x) = gxg −1 = x gg −1 = x ∀x ∈ G.
| {z }
=id
Définition 1.1.12.
Soit G un groupe et g ∈ G. On dit que l’ordre de g est égal à n si g n = 1 et g m 6= 1, si
0 < m < n. Si un tel n n’existe pas, on dit que g est d’ordre infini.
Exemples : Si on a σ 2 = id et σ 6= id, alors l’ordre de σ est 2.
ρ3 = id et ρ 6= ρ2 6= id, alors l’ordre de ρ est 3.
Théorème 1.1.13 (Lagrange).
Soit G un groupe fini d’ordre n (n = ]G). Soit g ∈ G, alors g n = 1.
Démonstration pour les groupes abéliens. Supposons G abélien. On a G = {g1 , g2 , . . . , gn },
alors G = {gg1 , gg2 , . . . , ggn }. On a donc
g1 g2 . . . gn = (gg1 )(gg2 ) . . . (ggn ) = g n (g1 g2 . . . gn )
et donc g n = 1.
Proposition 1.1.14.
Soit F : G −→ H un isomorphisme de groupes. Alors, pour tout g ∈ G, l’ordre de g est
égal à l’ordre de F (g).
Démonstration. Soit g ∈ G et soit n l’ordre de g. On a donc g n = 1 et g m 6= 1 pour
tout 0 < m < n. Alors, F (g)n = F (g n ) = 1. Donc l’ordre de F (g) ≤ n. Montrons que
F (g)m 6= 1 pour 0 < m < n. En effet, supposons F (g)m = 1, alors F (g m ) = 1. Comme F
est injectif, ceci entraine g m = 1. Contradiction avec l’hypothèse.
10
1.2. CONGRUENCES, CLASSES DE CONGRUENCES ET GROUPES
ALGÉBRIQUES
1
Proposition 1.1.15.
Soit F : G −→ H un homomorphisme de groupes. Alors
F injectif ⇐⇒ ker(F ) = {1} .
Démonstration. =⇒ : est clair.
⇐= : Soient g1 , g2 ∈ G, avec F (g1 ) = F (g2 ). Alors, F (g1 g2−1 ) = 1, donc g1 g2−1 ∈ ker(F ) =
{1}, donc g1 g2−1 = 1. Ainsi, on a g1 = g2 .
1.2
Congruences, classes de congruences et groupes algébriques
Soit m ∈ N, m > 1 :
Définition 1.2.1.
Soient a, b ∈ Z. On dit que a et b sont congrus modulo m, noté a ≡ b mod (m) si
m|a − b.
Proposition 1.2.2.
La congruence modulo m est une relation d’équivalence.
1. a ≡ a mod (m) ∀a ∈ Z (réflexivité) ;
2. a ≡ b mod (m) =⇒ b ≡ a mod (m)
∀a, b ∈ Z (symétrie) ;
3. ∀a, b, c ∈ Z, on a : a ≡ b mod (m) et b ≡ c mod (m), alors a ≡ c mod (m)
(transitivité).
Démonstration. Immédiate !
Soit Z/mZ, l’ensemble des classes de congruences modulo m. On a ](Z/mZ) = m. On
note : [a]m ∈ Z/mZ la classe de a ∈ Z.
Exemple : m = 3, on a
[0]3 = [3]3 = [−33]3 = · · ·
[1]3 = [4]3 = [−2]3 = · · ·
[2]3 = [5]3 = [−1]3 = · · ·
Donc, Z/3Z = {[0]3 = [1]3 = [2]3 }.
De manière générale, on a Z/mZ = {[0]m = [1]m = · · · = [m − 1]m }.
Proposition 1.2.3.
Soient a, a0 , b, b0 ∈ Z tels que : a ≡ a0 mod (m), b ≡ b0 mod (m). Alors,
1. a + b ≡ a0 + b0 mod (m) ;
2. ab ≡ a0 b0 mod (m).
Démonstration. Immédiate aussi !
11
1.2. CONGRUENCES, CLASSES DE CONGRUENCES ET GROUPES
ALGÉBRIQUES
1
La partie 1. de la proposition nous permet de définir une addition sur Z/mZ. On définit
+ : Z/mZ × Z/mZ −→ Z/mZ
([a]m , [b]m ) 7−→ [a]m + [b]m = [a + b]m ;
par la proposition, ceci est bien défini. De plus, on a que (Z/mZ, +) est un groupe abélien,
d’élément neutre [0]m . On a [a]m + [−a]m = [0]m . On a aussi un homomorphisme de
groupes :
(Z, +) −→ (Z/mZ, +)
a 7−→ [a]m
appelé la réduction modulo m, dont le noyau est mZ.
Définition 1.2.4.
Soit G un groupe et soit X un sous-ensemble de G. Le sous-groupe de G engendré par
X, noté hXi est l’intersection de tous les sous-groupes de G contenant X. C’est le plus
petit sous-groupe de G contenant X.
Exemples :
1. G = Z, X = {3}, hXi = 3Z ;
2. G = Z, X = {3, 5}, hXi = Z. En effet, par Bezout : 2 × 3 − 5 = 1, donc tout
sous-groupe de Z contenant 3 et 5 contient aussi 1. On a donc bien hXi = Z.
3. G = Z/6Z, X = {[1]6 }, alors : hXi = Z/6Z ;
4. G = S3 , X = {ρ}, alors : hXi = A3 . En effet, A3 = id, ρ, ρ2 .
Définition 1.2.5. 1. On dit qu’on groupe est cyclique s’il peut être engendré par un
seul élément. Autrement dit, G est cyclique s’il existe g ∈ G avec G = h{g}i.
2. (G, ·) est un groupe cyclique si il existe g ∈ G tel que Fg : (Z, +) −→ (G, ·) soit
surjective.
Ou Fg est un homomorphisme définit comme suit. Soit g ∈ G
Fg : (Z, +) −→ (G, ·)
n 7−→ g n
Notation : h{g}i = hgi
Remarque : G est cyclique si et seulement si G = 1, g, g 2 , . . . , g n , . . . |n ∈ Z .
Exemples :
1. (Z, +) est cyclique ;
(Z, +) −→ (Z, +)
n 7−→ n
n 7−→ −n
12
choix g = 0;
choix g = −1.
1.2. CONGRUENCES, CLASSES DE CONGRUENCES ET GROUPES
ALGÉBRIQUES
1
2. G = Z/2Z ;
(Z, +) −→ (Z/2Z, +)
n 7−→ [n]2
Proposition 1.2.6.
Soit G un groupe cyclique, c’est à dire qu’il existe Fg :(Z, +) −→ (G, ·). Alors,
Fg n’est pas injectif ⇐⇒ (G, ·) ∼
= (Z/mZ, +).
Démonstration. =⇒ : Supposons que Fg ne soit pas injectif. Soit N = ker(F g) 6= 0.
ker(F g) est un sous groupe de Z. Soit n ∈ N, le plus petit élément positif de N . Comme
n ∈ N , on a g n = 1. On définit un homomorphisme
Z/nZ −→ (G, ·)
0 7−→ 1
1 7−→ g
..
.
n − 1 7−→ g n−1
n 7−→ g n = 1.
Cet homomorphisme est surjectif. Soit g m ∈ G, pour un certain m ∈ Z. En effectuant la
division euclidienne, on a : m = xn + n0 avec 0 ≤ n0 < n.
0
0
0
Donc, g m = g xn+n = (g n )x g n = g n et ainsi Z/nZ −→ G est surjectif.
| {z }
=1
Il reste à montrer l’injectivité. Supposons g m = 1, avec 0 ≤ m < n. Or, un tel m ne peut
pas exister par hypothèse de minimalité sur n. Donc,
Z/nZ −→ G est injectif.
m 7−→ g m
C’est donc un isomorphisme et donc les deux groupes sont isomorphes.
⇐= : Supposons que Z/mZ −→ G défini par [n]n 7−→ g n soit un isomorphisme de groupes.
Alors, g m = 1 implique directement que Fg n’est pas injectif.
Proposition 1.2.7.
Supposons que G soit de cardinal n (]G = n). Alors,
G est cyclique ⇐⇒ ∃ g ∈ G d’ordre n.
13
1.3. ACTIONS D’UN GROUPE SUR UN ENSEMBLE
1
Démonstration. =⇒ : Supposons que G soit cyclique. Alors on a
(Z, +) −→ (G, ·)
m 7−→ g m
est injectif. Par la proposition précédente, on sait que
Z/aZ −→ (G, ·)
m 7−→ g m
est un isomorphisme. Ceci implique que ](Z/aZ) = ]G = n. Ainsi, a = n.
Donc, Z/n/Z −→ (G, ·) est un isomorphisme. Dans Z/nZ, 1 est d’ordre n. g est donc
d’ordre n.
⇐= : Supposons que G soit d’ordre n (]G = n).Alors,
n
o
1, g, g 2 , · · · , g n−1 ⊂ G;
de plus, g i 6= g j ∀i 6= j ∈ {0, 1, · · · , n − 1}. Donc G est cyclique.
1.3
Actions d’un groupe sur un ensemble
Définition 1.3.1.
Soient G un groupe et X un ensemble. Une action (à gauche) de G sur X est une
application
G × X −→ X
(g, x) 7−→ g · x;
satisfaisant les deux propriétés suivantes :
1. 1 · x = x pour tout x ∈ X ;
2. g1 · (g2 · x) = (g1 · g2 ) · x pour tout g1 , g2 ∈ G et pour tout x ∈ X.
Remarques : On peut aussi définir une action à droite :
G × X −→ X
(g, x) 7−→ x · g;
satisfaisant les deux propriétés suivantes :
1. x · 1 = x pour tout x ∈ X ;
2. (x · g1 ) · g2 = x · (g1 · g2 ) pour tout g1 , g2 ∈ G et pour tout x ∈ X.
On dit parfois que X est un "G-ensemble" au lieu de dire que "G agit sur X".
14
1.3. ACTIONS D’UN GROUPE SUR UN ENSEMBLE
1
1. G = Z/2Z, X = C ;
Z/2Z × C −→ C
([0] , w) 7−→ w
∀w ∈ C;
([1] , w) 7−→ w
∀w ∈ C;
où w représente la conjugaison complexe. Il reste à vérifier les deux propriétés
d’une action.
2. G = (R, +), X = R2 ;
R + R2 −→ R2
(t, p) 7−→ eit p;
où eit p représente la rotation d’angle t. C’est une action. (Exercice de vérifier...)
3. G= un groupe quelconque ;
G × G −→ G
(g, h) 7−→ gh
Ceci définit une action de G sur lui-même. Vérifions 2 ;
g1 (g2 h) = g1 g2 h = (g1 g2 )h.
Rappel : X un ensemble. Sym(X) = {φ : X → X|φ une bijection} est un groupe muni
de la composition.
Proposition 1.3.2.
Soit X un ensemble et G un groupe. Se donner une action de G sur X est équivalent à se
donner un homomorphisme de groupes.
G −→ Sym(X)
Démonstration. Soit A l’ensemble des actions de G sur X et Hom(F , Sym(X)) l’ensemble
des homomorphismes de G, dans Sym(X). On définit
φ : A −→ Hom(G,Sym(X))
φ(a1 )
(g)(x) = g · x
∀g ∈ G, ∀x ∈ X.
| {z }
∈Hom(G,Sym(X))
|
{z
∈Sym(X)
}
On vérifie tout d’abord que φ est bien défini. On doit vérifier que pour tout g ∈ G , on a
φ(a1 )(g) ∈ Sym(X), donc que φ(a1 )(g) est une bijection de X dans X.
Affirmation : X −→ X défini par x 7→ gx est une bijection.
On considère l’application
X −→ X
x 7−→ g −1 x
15
1.3. ACTIONS D’UN GROUPE SUR UN ENSEMBLE
1
et on vérifie que les deux applications sont inverses l’une de l’autre : x 7→ gx 7→ g −1 (gx) =
x. Donc on a que φ : A → Hom(G,Sym(x)) est bien définie. On définit à présent l’application ψ : Hom(G,Sym(X)) → A par
ψ : G × X −→ X
(g, x) 7−→ f (g)(x)
∀f ∈ Hom(G,Sym(X));
On doit vérifier que ψ et φ sont inverses l’un de l’autre.
φ
ψ
A −→ Hom(G,Sym(X)) −→ A;
z}|{
z}|{
a1 7−→ φ(a1 )(g)(x) 7−→ G × X 7−→ X;
|
{z
}
g·x
ψ
φ
Hom(G,Sym(X)) −→ A −→ Hom(G,Sym(X));
z}|{
(
f 7−→
ψ(f ) : G × X → X
gx = f (g)x
z}|{
)
7−→ φ(ψ(
f
))(g)(x) =⇒ φ(ψ(f )) = f
∀f ;
|{z}
f (g)(x) ∀g∈G,∀x∈X
=⇒ ψφ = φψ = Id.
Remarque : En général, si G × X −→ X est une action, alors l’homomorphisme
G −→ Sym(X) associé, n’est pas injectif.
Par exemple, G × X −→ X défini par (g, x) 7→ x a pour homomorphisme associé ;
G −→ Sym(X)
g 7→ Id
∀g ∈ G.
Définition 1.3.3.
Soit G × X −→ X une action de G sur X. Si {gx = x ∀x ∈ X} ⇒ g = 1. On dit que
l’action est effective. (Dans ce cas là, G −→ Sym(X) associé à cette action est injective.)
Définition 1.3.4.
Soit G × X −→ X une action de G sur X et x ∈ X. On appelle Gx ⊂ X l’orbite de x
que l’on note Orb(x). Ainsi, Orb(x) = {y ∈ X| ∃g ∈ G avec y = gx}.
Exemple : (R, +) agit sur R2 par rotation d’angle α ∈ R.
Proposition 1.3.5.
Soit G × X −→ X une action de G sur X. Alors, les orbites forment une partition de X,
i.e,
1. tout x ∈ X appartient à une orbite ;
2. orb(x) ∩ orb(y) 6= ∅ =⇒ orb(x) = orb(y).
Démonstration.
1. En effet, x ∈ orb(x), car 1 · x = x.
16
1.3. ACTIONS D’UN GROUPE SUR UN ENSEMBLE
1
2. Supposons que orb(x) ∩ orb(y) 6= ∅. Alors, il existe z ∈ X tel que z = gx = hy avec
g, h ∈ G. Alors,
h−1 (hy) = h−1 (gx);
|
{z
=y
}
y = h−1 gx =⇒ y ∈ orb(x).
De même, x ∈ orb(y) et ainsi, on a orb(x) = orb(y).
Définition 1.3.6.
On dit que l’action est transitive s’il n’y a qu’une seule orbite.
Exemples :
1. Soit G un groupe. Alors G agit sur lui-même par multiplication à gauche. Cette
action est transitive. En effet :
si x, y ∈ G, alors il existe g ∈ G avec g · x = y. Il suffit de prendre g = yx−1 .
On a
−1
(yx−1 )x = y x
| {z x} = y.
=1
2. D3 agit sur l’ensemble de les sommets X = {A, B, C} d’un triangle équilatéral.
Si s est la symétrie par rapport à l’axe vertical, alors on a
sA = A,
sB = C,
sC = B.
L’action est transitive. En effet, pour tout x, y ∈ X, il existe g ∈ D3 avec gx = y.
Proposition 1.3.7.
Soit G×X −→ X une action et soit x ∈ X. Alors Gx = {g ∈ G|gx = x} est un sous-groupe
de G.
Démonstration. Soient g, h ∈ Gx . Alors, gx = x, hx = x et on a,
(gh)x = g (hx) = gx = x.
| {z }
=x
Donc gh ∈ Gx .
Soit g ∈ Gx , alors gx = x. Il faut montrer que g −1 ∈ Gx .
g −1 (gx)
= g −1 x =⇒ g −1 x = x.
| {z }
(g −1 g)x=1·x=x
Donc, g −1 ∈ Gx et donc on a montré que Gx est un sous-groupe de G.
Définition 1.3.8.
Gx s’appelle groupe d’isotropie ou stabilisateur de X.
Exemples : On reprend les exemples précédents :
17
1.4. ANNEAUX, CORPS, THÉORÈME D’EULER ET LE THÉORÈME CHINOIS
1
1. Rotation d’angle α. Alors Gx = multiple de 2π si x 6= 0 et G0 = G.
2. Multiplicité à gauche. Soit x ∈ G, alors Gx = {g ∈ G | gx = x} = {1}.
3. D3 . On veut calculer les invariants de A. Autrement dit, le groupe d’isotropie
GA = {id, s}.
4. Soit G un groupe, alors G agit sur lui-même par conjugaison
G × G −→ G
(g, x) 7−→ gxg −1
et ceci est bien une action. On le vérfiie.
1. 1x = 1x1−1 = x ∀x ∈ G;
2. (gh)x = (gh)x(gh)−1 = g(hxh−1 )g −1 = g (hxh−1 ) = ghx ∀g, h ∈ G et ∀x ∈ X.
|
{z
=hx
}
Les orbites sont les classes de conjugaisons. Si x ∈ G, alors
n
o
g ∈ G | gxg −1 = x = {g ∈ G | gx = xg} = CG (x);
et on appelle CG (x) le centralisateur de x dans G.
Le centre de G est par définition Z(G) = {g ∈ G | gx = xg ∀x ∈ X}, l’intersection de
tous les centralisateurs de X dans G.
Remarque : Si G est abélien, alors Z(G) = G.
1.4
Anneaux, corps, théorème d’Euler et le théorème chinois
Soit m ∈ N, m > 1. On sait que (Z/mZ, +) est un groupe abélien. On peut aussi définir
la multiplication sur Z/mZ.
Z/mZ × Z/mZ −→ Z/mZ
([a]m , [b]m ) 7−→ [a]m [b]m = [ab]m .
Elle est bien définie, car a0 ≡ a mod (m) et b0 ≡ b mod (m), alors a0 b0 ≡ ab mod (m).
Ceci conduit à la définition d’anneau.
Définition 1.4.1.
Soit A un ensemble muni de deux lois de composition, notées + et · . On dit que A est un
anneau si
1. (A, +) est un groupe abélien. (On note 0 l’élément neutre de A) ;
2. a · (b · c) = (a · b) · c ∀a, b, c ∈ A
(associativité) ;
3. il existe 1A = 1 ∈ A avec 1A · a = a · 1A = a ∀a ∈ A
(élément unité) ;
4. a · (b + c) = a · b + a · c et (b + c) · a = b · a + c · a ∀a, b, c ∈ A
18
(distributivité).
1.4. ANNEAUX, CORPS, THÉORÈME D’EULER ET LE THÉORÈME CHINOIS
1
On dit que A est commutatif si a · b = b · a, pour tout a, b ∈ A.
Exemples :
1. Z est un anneau commutatif ;
2. Z/mZ est aussi un anneau commutatif ;
3. Mn (R) est un anneau, non-commutatif.
Définition 1.4.2.
Soit A un anneau. On dit que a ∈ A est une unité (ou élément inversible) s’il existe
b ∈ A tel que ab = ba = 1.
Si a est une unité, alors son inverse b est unique et est noté a−1 .
Notation : On note A∗ l’ensemble des unités de A.
Exemples :
1. Z∗ = {1, −1} ;
2. Mn∗ (R) = GLn (R).
Proposition 1.4.3.
Soit A un anneau. Alors (A∗ , ·) est un groupe. Si A est un anneau commutatif, alors (A∗ , ·)
est même abélien.
Démonstration. En effet,
A∗ × A∗ −→ A∗
(a, b) 7−→ ab
est une loi de composition. A voir, si a, b ∈ A∗ , alors ab ∈ A∗ et a−1 , b−1 ∈ A∗ aussi. En
effet,
(ab)(b−1 a−1 ) = a(bb−1 )a−1 = aa−1 = 1;
(b−1 a−1 )(ab) = b−1 (a−1 a)b = b−1 b = 1.
L’associativité résulte de la propriété 2. de A. L’élément neutre de (A∗ , ·) est 1, par la
propriété 3. de A. De plus, tout a ∈ A∗ a un inverse a−1 ∈ A∗ par la définition de A∗ .
Donc, (A∗ , ·) est un groupe.
Définition 1.4.4.
Soit A un anneau commutatif. On dit que A est un corps si A∗ = A {0}. Autrement
dit, A est un corps si et seulement si tout élément non nul de A est inversible.
Exemples :
1. Z n’est pas un corps ;
2. Q est un corps ;
3. R est un corps ;
19
1.4. ANNEAUX, CORPS, THÉORÈME D’EULER ET LE THÉORÈME CHINOIS
1
4. C est un corps.
Proposition 1.4.5.
Soit m ∈ N, m > 1. Soit a ∈ Z, alors :
[a]m ∈ (Z/mZ)∗ ⇐⇒ (a, m) = 1.
Démonstration. ⇐ : Il existe r, s ∈ Z avec ra + sm = 1 par l’identité de Bezout ! Ceci
implique que ra ≡ 1 mod (m), donc [r]m [a]m = [1]m et donc [a]m ∈ (Z/mZ)∗ .
⇒ ; Supposons [a]m ∈ (Z/mZ)∗ , alors il existe b ∈ Z tel que [a]m [b]m = [1]m .
Donc, ab ≡ 1 mod (m) et donc il existe c ∈ Z avec ab + cm = 1, d’où on tire que
(a, m) = 1.
Corollaire 1.4.6.
n
o
Soit p un nombre premier. Alors, (Z/pZ)∗ = (Z/pZ) [0]p . Autrement dit, si a ∈ Z est
tel que p - a, alors [a]p ∈ (Z/pZ)∗ .
Corollaire 1.4.7.
Si p est un nombre premier, alors Z/pZ est un corps.
Notation : On note ce corps Fp .
Exemples :
1. m = 5 et Z/5Z = {[0]5 , [1]5 , [2]5 , [3]5 , [4]5 } ;
(Z/5Z)∗ = {[1]5 , [2]5 , [3]5 , [4]5 } ;
car [2]5 [3]5 = [1]5 , et donc ](Z/5Z)∗ = 4. Ainsi, on a (Z/5Z)∗ = F5 .
2. m = 6, Z/6Z = {[0]6 , [1]6 , [2]6 , [3]6 , [4]6 , [5]6 } ;
(Z/6Z)∗ = {[1]6 , [5]6 } ;
Donc on a, ](Z/6Z)∗ = 2.
Définition 1.4.8.
Soit m ∈ N, m > 1. Posons ϕ(m) = ](Z/mZ)∗ , ϕ(m) s’appelle indicatrice d’Euler.
Exemples : ϕ(5) = 4, ϕ(6) = 2.
Proposition 1.4.9.
Soit p un nombre premier. Alors, ϕ(p) = p − 1.
n
o
Démonstration. En effet, (Z/pZ)∗ = Z/pZ\ [0]p . Donc, ϕ(p) = ](Z/pZ)∗ = p − 1.
Proposition 1.4.10.
Soit p un premier. Alors, ϕ(pn ) = (p − 1)pn−1 .
Démonstration. (cf. Série 8 Exercice2)
20
1.4. ANNEAUX, CORPS, THÉORÈME D’EULER ET LE THÉORÈME CHINOIS
1
Théorème 1.4.11 (Théorème d’Euler).
Soit m ∈ N, m > 1. Soit a ∈ Z tel que (a, m) = 1. Alors
aϕ(m) ≡ 1
mod (m).
Démonstration. On regarde le groupe abélien G = (Z/mZ)∗ . Soit g = [a]m ∈ (Z/mZ)∗ .
On a, n = ]G = ](Z/mZ)∗ = ϕ(m).
Par le théorème de Lagrange, on a g n = 1. Ce qui implique que
= [1]m et donc aϕ(m) ≡ 1
[a]ϕ(m)
m
mod (m).
Corollaire 1.4.12 (Petit théorème de Fermat).
Soit p un premier et soit a ∈ Z, tel que p - a. Alors,
ap−1 ≡ 1
mod (p).
Démonstration. En effet, si m = p, alors ϕ(m) = p − 1.
Exemple : p = 5, a = 2, alors : 25−1 = 24 = 16 ≡ 1 mod (5).
En passant et pour votre culture générale...
Test de primalité : Soit m ∈ N. Si 2m−1 1 mod (m), alors m n’est pas premier.
et
Conjecture d’Artin Soit p un nombre premier, p 6= 2. On sait que 2p−1 ≡ 1 mod (p),
alors il existe une infinité de premier p tel que pn 1 mod (p), si 0 < n < p − 1.
Exemple : p = 3, 22 = 4 ≡ 1 mod (3) ; p = 5, 24 = 16 ≡ 1 mod (5), mais pour p = 7,
on a 23 = 8 ≡ 1 mod (7) et donc 6 n’est pas minimal.
Revenons à nos moutons...
Théorème chinois :
Problème : Soient m1 , m2 ∈ N, m1 , m2 > 1 et (m1 , m2 ) = 1. Soient a1 , a2 ∈ Z.
Existe-t-il x ∈ Z tel que,
"
x ≡ a1 mod (m1 )
x ≡ a2 mod (m2 )
Exemple : m1 = 5, m2 = 7, a1 = 3, a2 = 2.
Identité de Bezout : 3 · 5 + (−2) · 7 = 1.
Posons x1 = (−2)7 = −14 ≡ 1 mod (5) et x1 = −14 ≡ 0 mod (7)
et posons x2 = 3 · 5 = 15 ≡ 0 mod (5) et x2 = 15 ≡ 1 mod (7).
Enfin, en posant x = a1 x1 + a2 x2 = 3(−14) + 2 · 15 = −12 et ainsi, on a bien,
21
1.4. ANNEAUX, CORPS, THÉORÈME D’EULER ET LE THÉORÈME CHINOIS
(
−12 ≡
3
2
1
mod (5)
mod (7)
Approche plus conceptuel du théorème chinois...
Définition 1.4.13.
Soient A et B deux anneaux. Le produit de A et B est par définition :
A × B = {(a, b) | a ∈ A, b ∈ B} ;
avec les lois de compositions,
(a, b) + (a0 , b0 ) = (a
+ a0 , b + b0 ) ∈ A × B;
| {z } | {z }
∈A
∈B
(a, b) · (a0 , b0 ) = (|{z}
aa0 , |{z}
bb0 ) ∈ A × B.
∈A
∈B
L’élément zéro est (0,0) et l’élément unité est (1,1).
Définition 1.4.14.
Soient A et B deux anneaux et soit f : A −→ B une application. On dit que f est un
homomorphisme d’anneaux si
1. f (a + b) = f (a) + f (b) ∀a, b ∈ A ;
2. f (ab) = f (a)f (b) ∀a, b ∈ A ;
3. f (1A ) = 1B .
∼ B.
Si de plus, f est bijectif, alors c’est un isomorphisme d’anneaux et on note A =
Théorème 1.4.15 (Théorème chinois version moderne).
Soient m1 , m2 ∈ N tel que m1 , m2 > 1 et (m1 , m2 ) = 1. Alors
Z/m1 m2 Z ∼
= Z/m1 Z × Z/m2 Z.
Démonstration. Posons m = m1 m2 et soit f : Z/mZ −→ Z/m1 Z × Z/m2 Z définie par
[a]m 7→ ([a]m1 , [a]m2 ) et montrons que f est bien un isomorphisme d’anneaux. Vérifions la
bijectivité.
Injectivité : Soient a, b ∈ Z tels que f ([a]m ) = f ([b]m ). On a alors
([a]m1 , [a]m2 ) = ([b]m1 , [b]m2 ).
Donc, [a]m1 = [b]m1 et [a]m2 = [b]m2 et ainsi, on a que m1 | a − b et m2 | a − b. Comme
(m1 , m2 ) = 1, on a m = m1 m2 | a − b.
Donc, [a]m = [b]m , d’où l’injectivité.
Surjectivité : ](Z/mZ) = m1 m2 , mais aussi ](Z/m1 Z × Z/m2 Z) = m1 m2 . Comme f est
injective, ceci entraîne la surjectivité.
Ainsi, f est bien un isomorphisme d’anneaux.
22
1.4. ANNEAUX, CORPS, THÉORÈME D’EULER ET LE THÉORÈME CHINOIS
1
Corollaire 1.4.16.
Soient m1 , m2 ∈ N, m1 , m2 > 1 et (m1 , m2 ) = 1. Soient a1 , a2 ∈ Z. Posons m = m1 m2 .
Alors, il existe x ∈ Z tel que
"
x ≡ a1 mod (m1 )
x ≡ a2 mod (m2 )
De plus, si y ∈ Z vérifie les mêmes propriétés, alors x ≡ y mod (m).
Démonstration. C’est une conséquence du théorème précédent. La première affirmation est
équivalente à la surjectivité de f . Soit ([a1 ]m1 , [a2 ]m2 ) ∈ Z/m1 Z × Z/m2 Z. La surjectivité
de f signifie qu’il existe x ∈ Z tel que f ([x]m ) = ([a1 ]m1 , [a2 ]m2 ). Donc,
"
x ≡ a1
x ≡ a2
mod (m1 )
mod (m2 )
La deuxième affirmation est équivalente à l’injectivité de f . En effet, f ([x]m ) = f ([y]m ) =
([a1 ]m1 , [a2 ]m2 ) =⇒ [x]m = [y]m =⇒ x ≡ y mod (m).
Corollaire 1.4.17.
Soient m1 , . . . , mn ∈ N, mi > 1 et (mi , mj ) = 1 si i 6= j. Posons m = m1 m2 · · · mn . Alors
Z/mZ ∼
= Z/m1 Z × Z/m2 Z × · · · × Z/mn Z.
Corollaire 1.4.18.
Soient m1 , . . . , mn ∈ N, mi > 1 et (mi , mj ) = 1 si i 6= j. Posons m = m1 m2 · · · mn . Soient
encore a1 , . . . , an ∈ Z. Alors, il existe x ∈ Z tel que

x ≡ a1
mod (m1 )
..
.
x ≡ an
mod (mn )



De plus, si y ∈ Z vérifie les mêmes propriétés, alors x ≡ y mod (m).
Remarque : L’hypothèse (m1 , m2 ) = 1 est indispensable. En effet,
m1 = 2, m2 = 2, m = 4, mais,
Z/4Z Z/2Z × Z/2Z.
On a [1]4 + [1]4 + [1]4 + [1]4 = [0]4 , mais [1]4 + [1]4 = [2]4 6= [0]4 .
Z/2Z × Z/2Z = {([0]2 , [0]2 ), ([0]2 , [1]2 ), ([1]2 , [0]2 ), ([1]2 , [1]2 )} .
Proposition 1.4.19.
Soit f : A −→ B un homomorphisme d’anneaux. Alors f induit un homomorphisme de
groupes f : A∗ −→ B ∗ .
23
1.4. ANNEAUX, CORPS, THÉORÈME D’EULER ET LE THÉORÈME CHINOIS
1
Démonstration. Vérifier que si a ∈ A∗ , alors f (a) ∈ B ∗ . Puisque a ∈ A∗ , il existe
b ∈ A∗ avec ab = ba = 1. Donc, f (ab) = f (ba) = f (1) = 1, puisque f est un homomorphisme d’anneaux. On a aussi que f (ab) = f (a)f (b) et f (ba) = f (b)f (a). Donc,
f (a) f (b) = f (b) f (a) = 1. On en déduit que f (a) ∈ B ∗ .
| {z } |{z}
∈B
∈B
|{z} | {z }
∈B
∈B
Montrons que f est un homomorphisme de groupes. Pour ceci, il suffit de vérifier que
pour tout a, b ∈ A, on a f (ab) = f (a)f (b). Mais ceci est l’une des propriétés d’un homomorphisme d’anneaux.
Corollaire 1.4.20.
Si f : A −→ B est un isomorphisme d’anneaux, alors f induit un isomorphisme de groupes
f : A∗ −→ B ∗ .
Démonstration. En effet, comme f est un isomoprhisme d’anneaux, son inverse f −1 :
B −→ A est aussi un homomorphisme de groupes et induit donc un homomorphisme de
groupes f −1 : B ∗ −→ A∗ par la proposition précédente. Donc, f : A∗ −→ B ∗ est bien un
isomoprhisme de groupes.
Définition 1.4.21.
Soient G et H deux groupes. Alors, on définit le produit direct G × H comme suit, on
pose le groupe (G × H, ·), où on définit
(g, h) · (g 0 , h0 ) = ( gg 0 , |{z}
hh0 ).
|{z}
∈G
∈H
L’élément neutre est (1, 1) = (eG , eH ) et l’inverse de (g, h) est (g −1 , h−1 ).
Proposition 1.4.22.
Soit A et B des anneaux. Alors, (A × B)∗ = A∗ × B ∗ .
Démonstration. Il est claire que A∗ × B ∗ ⊆ (A × B)∗ . Montrons que (A × B)∗ ⊆ A∗ × B ∗ .
Soit (a, b) ∈ (A × B)∗ . Il existe donc (c, d) ∈ A × B tel que
(a, b)(c, d) = (1, 1) = (c, d)(a, b);
(ac, bd) = (1, 1) = (ca, db).
Ce qui implique que ac = 1 = ca et bd = 1 = db. Donc, a ∈ A∗ , b ∈ B ∗ .
Ainsi, (a, b) ∈ A∗ × B ∗ .
Corollaire 1.4.23 (du théorème chinois).
Soient m1 , m2 ∈ N, m1 , m2 > 1 et (m1 , m2 ) = 1. Posons encore m = m1 m2 . Alors
(Z/mZ)∗ ∼
= (Z/m1 Z)∗ × (Z/m2 Z)∗ .
24
1.4. ANNEAUX, CORPS, THÉORÈME D’EULER ET LE THÉORÈME CHINOIS
1
Démonstration. Par le théorème chinois moderne, on a que :
Z/mZ ∼
= Z/m1 Z × Z/m2 Z.
Ceci entraîne un isomorphisme de groupes :
(Z/mZ)∗ ∼
= ((Z/m1 Z) × (Z/m2 Z))∗ = (Z/m1 Z)∗ × (Z/m2 Z)∗ , où la dernière égalité provient de la proposition précédente.
Corollaire 1.4.24.
Soient m1 , m2 ∈ N, m1 , m2 > 1 et (m1 , m2 ) = 1. Alors
ϕ(m1 m2 ) = ϕ(m1 )ϕ(m2 ).
Démonstration. En effet, ϕ(m1 m2 ) = ](Z/m1 m2 Z)∗ = ]((Z/m1 Z)∗ × (Z/m2 Z)∗ )
= ]((Z/m1 Z)∗ )]((Z/m2 Z)∗ ) = ϕ(m1 )ϕ(m2 ).
Résumé des propriétés de l’indicatrice d’Euler :
Si p est un premier et n ∈ N, alors ϕ(pn ) = (p − 1)pn−1 .
Si m1 , m2 ∈ N, m1 , m2 > 1 et (m1 , m2 ) = 1, alors ϕ(m1 m2 ) = ϕ(m1 )ϕ(m2 ).
Exemple : ϕ(32 · 53 · 72 ) = ϕ(32 )ϕ(53 )ϕ(72 ) = (2 · 3)(4 · 25)(6 · 7) = 25200.
25
Chapitre 2
Groupes
2.1
Classes modulo, un sous-groupe
Rappel : G = Z et H = mZ, alors a ≡ b ←→ a − b ∈ mZ est une relation d’équivalence.
De plus, Z/mZ est un groupe.
Nouvelle construction :
G un groupe, H un sous-groupe de G. On définit une relation d’équivalencesur G. Si
g, g 0 ∈ G. Alors,
g ∼ g 0 ⇐⇒ g −1 g 0 ∈ H.
On vérifie assez aisément que ceci est bien une relation d’équivalence. On note l’ensemble
des classes d’équivalence G/H.
Proposition 2.1.1.
Soit x ∈ G, alors la classe d’équivalence de x est égal à xH.
Démonstration. En effet, on a : x ∼ y ⇔ x−1 y ∈ H ⇔ y ∈ xH.
Terminologie : Les xH avec x ∈ G s’appelle les classes à gauche modulo H.
Exemple : G = Z, H = 3Z. Les classes à gauche modulo H sont ;
- classe à gauche de 0 : 0 + 3Z = 3Z ;
- classe à gauche de 1 : 1 + 3Z = {. . . , −2, 1, 4, 7, . . .} ;
- classe à gauche de 2 : 2 + 3Z = {. . . , −1, 2, 5, 8, . . .}.
Ainsi, G/H = Z/3Z.
Proposition 2.1.2.
Les classes à gauche modulo H forment une partition de G.
Démonstration. En effet, les classes à gauche sont des classes d’équivalence et on sait
qu’elles forment une partition (cf. Série 7).
On écrit : G =
modulo H.
Exemples :
F
x∈R xH,
où R est un système de représentant de classes à gauche
26
2.1. CLASSES MODULO, UN SOUS-GROUPE
2
1. G = Z, H = 3Z. Les classes à gauche modulo H sont 3Z, 1 + 3Z, 2 + 3Z. On a bien
une partition de Z.
G
Z=
a + 3Z.
a∈{0,1,2}
2
2. G = S3 = id, ρ, ρ2 , σ, σρ, σρ où on avait, σ = (12), ρ = (123) et les propriétés
que σρ = ρ2 σ et σρ2 = ρσ.
Posons H = {id, σ}. Les classes à gauche mod H sont ;
- la classe de id mod H : idH = {id, σ} ;
- la classe de ρ mod H : ρH = {ρ, ρσ} = ρ, σρ2 ;
- la classe de ρ2 mod H : ρ2 H = ρ2 , ρ2 σ = ρ2 , σρ .
On remarque que ces 3 classes forment une partition de S3 . Ainsi, si on calcule les
autres classes à gauche, on aura ;
- la classe de σ mod H : σH = {σ, σσ} = {σ, id} = idH ;
- la classe de σρ mod H : σρH = {σρ, σρσ} = σρ, σσρ2 = σρ, ρ2 = ρ2 H ;
- la classe de σρ2 mod H : σρ2 H = σρ2 , σρ2 σ = σρ2 , ρσσ = σρ2 , ρ = ρH.
Donc, on a : G/H = idH, ρH, ρ2 H et ](G/H) = 3.
3. G = S3 , H = A3 = id, ρ, ρ2 . Les classes à gauche modulo A3 sont ;
- la classe de id mod A3 : idA3 = id, ρ, ρ2 (= ρA3 = ρ2 A3 ) ;
- la classe de σ mod A3 : σA3 = σ, σρ, σρ2 (= σρA3 = σρ2 A3 ).
Ces deux classes forment une partition de S3 .
Donc, S3 /A3 = {idA3 , σA3 } et ](S3 /A3 ) = 2.
Remarques :
1. G/H 6= R. En revanche, on a une bijection entre ces deux ensembles, R ←→ G/H ;
où x 7→ xH.
2. On a aussi une application entre G −→ G/H ; x 7→ xH.
3. Enfin, pour tout x ∈ G, on a une bijection H −→ xH ; h 7→ xh.
Notation : Supposons que ](G/H) < ∞, alors on note [G : H] = ](G/H), appelé
l’indice de H dans G.
Exemples : Dans les exemples précédents, on a [S3 : H] = 3 ; [S3 : A3 ] = 2.
Théorème 2.1.3 (Lagrange).
Soit G une groupe fini et soit H un sous-groupe de G. Alors
]G = (]H) [G : H] .
F
Démonstration. G = x∈R xH avec R un système de classes de représentant de classes à
gauche. On a ]R = ](G/H) et ](xH) = ]H pour tout x ∈ G. Ainsi,
]G = (]R)(]H) = (]H)(](G/H)) = (]H) [G : H] .
27
2.1. CLASSES MODULO, UN SOUS-GROUPE
2
Corollaire 2.1.4 (Lagrange encore).
Soit G un groupe fini et soit H un sous-groupe de G. Alors, ]H | ]G.
Corollaire 2.1.5 (Lagrange toujours).
Soit G un groupe fini avec ]G = n. Soit x ∈ G, alors xn = 1.
Démonstration. Posons H = hxi, le sous-groupe cyclique engendré par x. Soit m = ]H.
On a xm = 1. Par le corolaire précédent, on a que m | n, donc xn = 1.
Définition 2.1.6.
G un groupe et H un sous-groupe. R relation d’équivalence sur G,
x ∼ y ⇐⇒ xy −1 ∈ H.
Les classes d’équivalence s’appellent les classes à droite modulo H.
Proposition 2.1.7.
Soit x ∈ G, alors la classe à droite modulo H contenant x est Hx = {hx | h ∈ H}.
Proposition 2.1.8.
F
Les classes à droite forment une partition de G. G = x∈R0 Hx, où R0 est un système de
représentants des classes à droite modulo H.
Notation : On note l’ensemble des classes à droite modulo H, H\G.
Remarques :
1. On a une application G −→ H\G ; x 7→ Hx.
2. On a une bijection R0 ←→ H\G ; x 7→ Hx.
3. On a une bijection H ←→ Hx pour tout x ∈ G.
Exemples :
1. G = S3 , H = {id, σ}. On a
- Hid = {id, σ} ;
- Hρ = {ρ, σρ} ;
- Hρ2 = ρ2 , σρ2 .
On remarque dans cet exemple que R = R0 , mais que Hρ 6= ρH et Hρ2 6= ρ2 H.
2. G = S3 , H = A3 . On a
- A3 id = id, ρ, ρ2 ;
- A3 σ = σ, ρσ, ρ2 σ .
Or dans cette exemple, on remarque que A3 id = idA3 et A3 σ = σA3 .
Cette observation motivera la prochaine section de ce chapitre.
Proposition 2.1.9.
Soit R un système de représentants des classes à gauche mod H. Posons R0 = x−1 | x ∈ R .
Alors, R0 est un système de représentants des classes à droites mod H.
28
2.2. SOUS-GROUPES NORMAUX ET GROUPE QUOTIENT
Démonstration. Par hypothèse, on a G =
G définie par x 7→ x−1 .
G = f (G) = f (
G
x∈R
xH) =
F
x∈R xH.
G
2
On considère l’application f : G −→
f (xH) =
x∈R
G
Hx−1 =
x∈R
G
Hx,
x∈R
donc R0 est bien un système de représentants des classes à droite mod H.
Remarque : On a une bijection G/H ←→ H\G ; xH ↔ Hx−1 , mais en général
G/H 6= H\G.
2.2
Sous-groupes normaux et groupe quotient
Rappel : Soit G un groupe et H un sous-groupe de G. On dit que H est un
sous-groupe normal de G si xHx−1 = H pour tout x ∈ G.
Proposition 2.2.1.
Soit H un sous-groupe normal de G, alors les classes à gauche coïncident avec les classes
à droites. Autrement dit, xH = Hx pour tout x ∈ G.
Démonstration. Soit x ∈ G, alors puisque H est un sous-groupe normal de G, on a
xHx−1 = H. On a donc clairement que xH = Hx.
Proposition 2.2.2.
Soit G un groupe et H un sous-groupe normal de G, alors G/H est un groupe et π : G −→
G/H, π(x) = xH est un homomorphisme de groupes.
Démonstration. On définit une loi de composition sur G/H en posant :
(xH)(yH) = (xy)H
x, y ∈ G.
Montrons que ceci est bien défini. On montre que si x0 , y 0 ∈ G avec x0 H = xH et y 0 H = yH,
alors (x0 y 0 )H = (xy)H. Or, l’hypothèse implique que x0 = xh et y 0 = yk avec h, k ∈ H.
On a donc puisque H est un sous-groupe normal,
kH = xyH.
(x0 y 0 )H = xhykH = xy y −1 hy |{z}
| {z }
∈H
∈H
L’élément neutre est 1 · H = H et l’inverse de xH est x−1 H. On a bien x−1 HxH =
xx−1 H = H. Enfin, l’associativité est immédiate. Donc G/H est un groupe.
Enfin, montrons que π : G −→ G/H est un homomorphisme de groupes. On a
π(xy) = xyH = xHyH = π(x)π(y),
donc π(xy) = π(x)π(y) pour tout x, y ∈ G.
Terminologie : - G/H est appelé le groupe quotient de G par H.
- L’homomorphisme π : G −→ G/H s’appelle la projection ou projection canonique.
29
2.2. SOUS-GROUPES NORMAUX ET GROUPE QUOTIENT
2
Proposition 2.2.3 (Propriété universelle du groupe quotient).
Soit G un groupe, H un sous-groupe normal de G et soit F : G −→ Γ un homomorphisme
de groupes, tel que F (H) = {1}. Alors, il existe un unique homomorphisme de groupes
F : G/H −→ Γ tel que F ◦ π = F , i.e. :
F
G
π
{
{
{
/
{= Γ
F
G/H
Démonstration. On définit F : G/H −→ Γ par F (xH) = F (x).
- Vérfions que F est bien défini. Soit x0 ∈ G tel que xH = x0 H. On a alors x0 = xh avec
h ∈ H. On a donc
F (x0 H) = F (xhH) = F (xh) = F (x) F (h) = F (x) = F (xH).
| {z }
=1
Donc F est bien défini.
- On a xH = π(x), donc (F ◦ π(x)) = F (xH) = F (x) pour tout x ∈ G. Donc, on a bien
F ◦ π = F.
- Vérifions que F est un homomorphisme de groupes.
F ((xH)(yH)) = F (xyH) = F (xy) = F (x)F (y) = F (xH)F (yH) ∀x, y ∈ G.
- Montrons enfin que F est unique. Soit Fe : G/H −→ Γ tel que Fe ◦ π = F . Alors,
Fe (xH) = Fe (π(x)) = Fe ◦ π(x) = F (x) = F (xH) ∀x ∈ G.
On a donc Fe = F , d’où l’unicité de F .
Terminologie : On dit que F se factorise par G/H et que F est induit par F .
Exemples :
1. F : Sn −→ {−1; 1}, avec s 7→ sign(s) est un homomorphisme de groupes. Le
sous-groupe An de Sn est un sous-groupe normal, car An ∈ ker(F ). Donc, on a
F (An ) = {1}. Il existe donc F : Sn /An −→ {−1; 1} tel que F ◦ π = F , où
π : Sn −→ Sn /An est la projection canonique.
2. F : GLn (R) −→ R∗ , avec M 7→ det(M ) est un homomorphisme de groupes. Le
sous-groupe SLn (R) = {M ∈ GLn (R) | det(M ) = 1} est un sous-groupe normal de
GLn (R). De plus, on a ker(SLn (R)) = {1}. Il existe donc un homomorphisme
F : GLn (R)/SLn (R) −→ R∗ tel que F ◦ π = F où π : GLn (R) −→ GLn (R)/SLn (R)
est la projection canonique.
30
2.3. THÉORÈME D’ISOMORPHISME
2.3
2
Théorème d’isomorphisme
Théorème 2.3.1 (1er théorème d’isomorphisme).
Soit F : G −→ Γ un homomorphisme de groupes, alors il existe un isomorphisme de
groupes F : G/ ker(F ) −→ Im(F ).
Démonstration. On applique la propriété universelle du groupe quotient avec H = ker(F ).
Il est claire que F (ker(F )) = {1}. On sait aussi que ker(F ) est un sous-groupe normal de
G. Donc, on peut appliquer la propriété universelle et on obtient un homomorphisme de
groupes
F : G/ ker(F ) −→ Γ, avec F (x ker(F )) = F (x), ∀x ∈ G.
Montrons que F : G/ ker(F ) −→ Im(F ) est surjectif. En effet, Im(F )= Im(F ), comme
F (x ker(F )) = F (x) pour tout x ∈ G.
Montrons que F : G/ ker(F ) −→ Im(F ) est injectif. Il suffit de montrer que ker(F ) = {1}.
En effet, supposons que F (x ker(F )) = F (x) = 1. Alors, x ∈ ker(F ) et donc x ker(F ) =
ker(F ). Ainsi, F est injectif.
Donc, F : G/ ker(F ) −→ Im(F ) est un isomorphisme de groupes.
Corollaire 2.3.2.
Soit F −→ Γ un homomorphisme de groupes surjectif. Alors, il existe un isomorphisme
F : G/ ker(F ) −→ Γ.
Démonstration. Clair, car ici, Im(F ) = Γ.
Exemples :
1. F : Sn −→ {−1; 1}, avec s 7→ sign(s) est un homomorphisme de groupes surjectif,
ker(F ) = An . On a donc un isomorphisme entre Sn /An et {−1; 1}. Donc,
Sn /An ∼
= {−1; 1}.
2. F : GLn (R) −→ R∗ , avec M 7→ det(M ) est un homomorphisme de groupes
surjectif, ker(F ) = SLn (R). On a donc GLn (R)/SLn (R) ∼
= R∗ .
Proposition 2.3.3.
Soit G un groupe et soient H et N deux sous-groupes de G. Soit N H = {nh | n ∈ N, h ∈ H}.
Supposons que N soit un sous-groupe normal de G. Alors, N H est un sous-groupe de G
et on a N H = HN .
Démonstration. Montrons que N H est un sous-groupe de G. Soient nh, n0 h0 ∈ N H avec
n, n0 ∈ N et h, h0 ∈ H. A montrer : (nh)(n0 h0 ) ∈ N H. On a puisque N est un sous-groupe
−1
hh0 ∈ N H. Soit nh ∈ N H avec n ∈ N et h ∈ H. Alors,
normal, nhn0 h0 = n |hnh
{z } |{z}
∈N
∈H
−1 −1
(nh)−1 = h−1 n−1 = h
n h} h−1 ∈ N H.
| {z
∈N
∈N
z }| {
Montrons que N H = HN . Soit nh ∈ N H avec n ∈ N et h ∈ H. On a nh = h h−1 nh ∈ HN .
31
2.3. THÉORÈME D’ISOMORPHISME
2
−1
On a donc N H ⊂ HN . De même, on a si hn ∈ HN , avec h ∈ H, n ∈ N , hn = hnh
| {z } h ∈
∈N
N H, donc HN ⊂ N H. Donc, on a bien HN = N H.
Théorème 2.3.4 (2ème théorème d’isomorphisme).
Soit G un groupe, H un sous-groupe de G et N un sous-groupe normal de G. Alors, on a
N H/N ∼
= H/N ∩ H.
Démonstration. Rappelons que N H est un groupe, puisque N est normal dans G. Remarquons que N est aussi un sous-groupe normal de N H. Montrons que N ∩ H est un sous−1
groupe normal de H. En effet, si h ∈ H, on a h(N ∩ H)h−1 = hN
h−1} ∩ hHh
| {z
| {z } = N ∩ H.
=N
=H
Soit F : H −→ N H l’inclusion et soit π : N H −→ N H/N . On a donc π◦F : H −→ N H/N .
H
F
/NH
π
/ N H/N
5
π◦F
Montrons que π ◦ F est surjectif. Soit x ∈ N H/N . Comme π est surjectif, il existe n ∈ N
et h ∈ H avec π(nh) = x. Mais, π(nh) = π(n)π(h) = π(h). On a donc (π ◦ F )(h) =
π(F (h)) = π(h) = x. Donc, on a bien que π ◦ F est surjectif. Par le premier théorème
d’isomorphisme, on a H/ ker(π ◦ F ) ∼
= N H/N .
Il reste juste à montrer que ker(π ◦ F ) = H ∩ N . On a ker(π ◦ F ) = (π ◦ F )−1 (1) =
F −1 (π −1 (1)) = F −1 (N ) = H ∩ N .
On a donc H/N ∩ H ∼
= N H/N.
Théorème 2.3.5 (3ème théorème d’isomorphisme).
Soit G un groupe, N et M des sous-groupes normaux de G et N ⊂ M . Alors, on a
(G/N )/(M/N ) ∼
= G/M.
Démonstration. Remarquons que M/N est un sous-groupe normal de G/N (cf. exercices).
Soit π1 : G −→ G/N et π2 : G/N −→ (G/N )/(M/N ). On a donc :
G
π1
/ G/N
π2
/ (G/N )/(M/N )
2
π2 ◦π1
On a que π2 ◦ π1 : G −→ (G/N )/(M/N ) est surjectif, puisque π1 et π2 . De plus, on a
ker(π2 ◦ π1 ) = (π2 ◦ π1 )−1 (1) = π1−1 (π2−1 (1)) = π1−1 (M/N ) = M . Ainsi, on peut utiliser
le premier théorème d’isomorphisme pour obtenir le résultat. En effet, G/ ker(π2 ◦ π1 ) =
G/M ∼
= (G/N )/(M/N ).
32
2.4. ACTIONS DE GROUPE ET STRUCTURE QUOTIENT
2.4
2
Actions de groupe et structure quotient
Soit G un groupe et H un sous-groupe de G. Alors, G agit à gauche sur G/H. Si
g, x ∈ G ;
G × G/H −→ G/H
(g, xH) 7−→ g · (xH) = gxH.
Vérifions que c’est une action.
1. 1 · (xH) = 1xH = xH pour tout x ∈ G.
2. g · (g 0 · (xH)) = g · (g 0 xH) = gg 0 xH = (g · g 0 ) · (xH) pour tout x, g, g 0 ∈ G.
De même, on a une action à droite de G sur H\G. A partir de maintenant, "action"
signifiera action à gauche (et les mêmes notions et propriétés valent aussi pour les
actions à droite).
Terminologie : Supposons qu’un groupe G agisse sur un ensemble X, alors on dit que
X est un G-ensemble. Si de plus, l’action est transitive, on dit que X est un G-ensemble
transitif.
Définition 2.4.1.
Soit G un groupe et soient X, Y deux G-ensembles. Soit F : X −→ Y une application. On
dit que F est un morphisme de G-ensembles ou que F préserve l’action de G si
g · F (x) = F (g · x) ∀x ∈ X, ∀g ∈ G.
Proposition 2.4.2.
Soit X un G-ensemble transitif. Alors, pour tout x ∈ X, on a un isomorphisme de Gensembles, X ∼
= G/Gx où Gx est le groupe d’isotropie, i.e. Gx = {g ∈ G | g · x = x}.
Démonstration. Supposons gGx = hGx, alors g −1 h ∈ Gx , donc (g −1 h) · x = x, d’où
g (g −1 h) · x = g · x. Donc, hx = gx. On peut donc définir F : G/Gx −→ X par F (gGx) =
gx.
- Montrons que F est un morphisme de G-ensembles.
F (g · (hGx )) = F (ghGx ) = (gh) · x = g · (hx) = gF (hGx )
∀g, h ∈ G.
- F est surjectif. En effet, on a Im(F ) = {g · | g ∈ G} = orb(x) = X, donc F est surjectif.
- F est injectif. Soient g, h ∈ G tels que F (gGx ) = F (hGx ). Donc, g −1 (gx) = g −1 (hx) et
| {z }
g·x
| {z }
h·x
ainsi x = (g −1 h) · x.
On a (g −1 h)·x = x, donc g −1 h ∈ Gx . Ceci implique que gGx = hGx , donc F est injectif.
Corollaire 2.4.3.
Soit G un groupe fini et soit X un G-ensemble transitif. Alors, X est un ensemble fini et
]X = [G : Gx ] pour tout x ∈ X.
33
2.5. SOUS-GROUPES DE GROUPES QUOTIENTS
2
Démonstration. Par la proposition précédente, nous avons un isomorphisme de G-ensembles,
X ∼
= G/Gx . On a donc ]X = ](G/Gx ) = [G : Gx ]. En particulier, X est fini puisque G
l’est par hypothèse.
Corollaire 2.4.4.
Soit G un groupe fini et soit X un G-ensemble. Soit x ∈ X, alors on a ]orb(x) = [G : Gx ].
Démonstration. Remarquons que G agit transitivement sur orb(x). Donc, par le corollaire
précédent, on a directement que ]orb(x) = [G : Gx ].
2.5
Sous-groupes de groupes quotients
Lemme 2.5.1.
Soient G1 , G2 deux groupes et F : G1 −→ G2 un homomorphisme de groupes. Alors
i) L’image d’un sous-groupe H de G1 est un sous-groupe de G2 .
ii) L’image réciproque d’un sous-groupe K de G2 est un sous-groupe de G1 .
Démonstration. i) Soit H un sous-groupe de G1 . On va montrer que F (H) est un sousgroupe de G2 . On considère F |H : H −→ G2 . C’est encore un homomorphisme de groupes.
Son image est F (H) et on sait que l’image d’un homomorphisme de groupes est un sousgroupe. Donc, on a bien que F (H) est un sous-groupe de G2 .
ii) Soit K un sous-groupe de G2 . On va démontrer que F −1 (K) est un sous-groupe
de G1 . Soient x, y ∈ F −1 (K), alors F (x), F (y) ∈ K. On a F (xy −1 ) = F (x)F (y −1 ) =
F (x)F −1 (y) ∈ K et ainsi, xy −1 ∈ F −1 (K). Donc, F −1 (K) est un sous-groupe de G1 .
Lemme 2.5.2.
Soient G1 , G2 deux groupes et F : G1 −→ G2 un homomorphisme de groupes. Alors
i) Supposons F surjectif. Alors l’image d’un sous-groupe normal H de G1 est un sousgroupe normal de G2 .
ii) L’image réciproque d’un sous-groupe normal K de G2 est un sous-groupe normal de
G1 .
Démonstration. i) On sait que F est surjectif. Soit H un sous-groupe normal de G1 . On
va montrer que F (H) est un sous-groupe normal de G2 .
Remarque : On a l’équivalence suivante si G est un groupe et N un sous-groupe normal
de G :
∀x ∈ G, xN x−1 = N ⇐⇒ ∀x ∈ G, xN x−1 ⊆ N.
Soit x ∈ G2 , a-t-on xF (H)x−1 = F (H) ?
Puisque F est surjectif, il existe y ∈ G1 tel que F (y) = x et ainsi on a
xF (H)x−1 = F (y)F (H)F −1 (y) = F (yHy −1 ) = F (H).
Donc, F (H) est un sous-groupe normal de G2 .
34
2.5. SOUS-GROUPES DE GROUPES QUOTIENTS
2
ii) Soit K un sous-groupe normal de G2 . On va montrer que F −1 (K) est un sous-groupe
normal de G1 .
Soit π : G2 −→ G2 /K la projection canonique. On considère alors π ◦ F : G1 −→ G2 /K.
C’est clairement un homomorphisme de groupes. Montrons que ker(π ◦ F ) = F −1 (K). Par
définition, on a
ker(π ◦ F ) = (π ◦ F )−1 (eG2 /K ) = F −1 (π −1 (eG2 /K )) = F −1 (K).
| {z }
K
Ainsi, par une proposition du cours, on sait que le noyau d’un homomorphisme de groupes
est toujours un sous-groupe normal. Donc, on a montré que F −1 (K) est un sous-groupe
normal de G1 .
Théorème 2.5.3.
Soit G un groupe et N un sous-groupe normal de G. La projection canonique π : G → G/N
induit une application
f : {H | H sous-groupe de G : N ⊆ H} −→ {K | K sous-groupe de G/N } ; H 7−→ π(H)
avec les propriétés suivantes :
1. f est bijective ;
2. f induit une correspondance bijective entre les sous-groupes de G contenant N et
les sous-groupes normaux de G/N .
3. Soient H1 , H2 deux sous-groupes de G1 contenant N . Alors
i) Si H1 ⊆ H2 , alors f (H1 ) ⊆ f (H2 ) ;
ii) f (H1 ∩ H2 ) = f (H1 ) ∩ f (H2 ) ;
iii) f (hH1 ∪ H2 i) = hf (H1 ) ∪ f (H2 )i.
4. Soient K1 , K2 deux sous-groupes de G/N . Alors
i) Si K1 ⊆ K2 , alors f −1 (K1 ) ⊆ f −1 (K2 ) ;
ii) f −1 (K1 ∩ K2 ) = f −1 (K1 ) ∩ f −1 (K2 ) ;
iii) f −1 (hK1 ∪ K2 i) = hf −1 (K1 ) ∪ f −1 (K2 )i.
Démonstration. i) Par le lemme 2.5.1, on a que f est bien défini. Considérons
g : {K | K sous-groupe de G/N } −→ {H | H sous-groupe de G : N ⊆ H} ; K 7−→ π −1 (K).
Par le lemme 2.5.2, g est bien défini.
Soit H un sous-groupe de G, N ⊆ H. On calcule g(f (H)) = π −1 (π(H)). Montrons que
π −1 (π(H)) = H.
On a toujours que π −1 (π(H)) ⊇ H, car si x ∈ H, alors π(x) ∈ π(H) et donc x ∈
π −1 (π(H)).
Montrons que π −1 (π(H)) ⊆ H. Soit y ∈ π −1 (π(H)), donc π(y) ∈ π(H), alors il existe
x ∈ H tel que yN = xN , donc xy −1 ∈ N . Comme N ⊆ H, on a xy −1 ∈ H, mais x ∈ H,
−1
−1 −1
−1
donc y = (y −1 )−1 = (x
|{z} (xy )) ∈ H. Donc y ∈ H et ainsi π (π(H)) ⊆ H.
∈H
| {z }
∈H
35
2.6. SOUS-GROUPES DES COMMUTATEURS
2
On a donc montré que H = π −1 (π(H)).
Soit K un sous-groupe de G/N . On calcule f (g(K)) = π(π −1 (K)). Montrons que π(π −1 (K)) =
K.
On a tojours que π(π −1 (K)) ⊆ K, car x ∈ π(π −1 (K)) ⇒ x = π(y), y ∈ π −1 (K), comme
x = π(y) ∈ K. On a x ∈ K.
Montrons que π(π −1 (K)) ⊇ K. Soit x ∈ K. Comme π est surjectif, il existe y ∈ G, π(y) =
x ⇒ y = π −1 (x) ∈ π −1 (K) ⇒ x ∈ π(π −1 (K)), d’où K ⊇ π(π −1 (K)) et donc on a montré
que π(π −1 (K)) = K.
Ainsi, on a montré que f est bijective.
ii) Par le lemme 2.5.3, f se restreint à une application bien définie
fb : {H | H sous-groupe normal de G : N ⊆ H} −→ {K | K sous-groupe normal de G/N }
De manière analogue pour g, on définit gb. Comme f ◦g = g ◦f = id, on obtient directement
que fb ◦ gb = gb ◦ fb = id, donc fb est bijectif.
2.6
Sous-groupes des commutateurs
Définition 2.6.1.
Soit G un groupe et soient g, h ∈ G. On appelle commutateur [g, h] = ghg −1 h−1 .
Remarque : [g, h] = 1 ⇔ gh = hg.
Définition 2.6.2.
On appelle sous-groupe des commutateurs le sous-groupe de G engendré par tous les
commutateurs.
Notation : On note [G; G] le sous-groupe des commutateurs de G.
Proposition 2.6.3.
[G; G] est un sous-groupe normal de G et G/[G; G] est abélien.
Démonstration. Soit [g, h] ∈ [G; G] et soit x ∈ G.
A montrer : x[g, h]x−1 ∈ [G; G].
En effet, x[g, h]x−1 = xghg −1 h−1 x−1 = (xgx−1 )(xhx−1 )(xg −1 x−1 )(xh−1 x−1 )
= [xgx−1 , xhx−1 ] ∈ [G; G].
Soit π : G −→ G/[G; G] la projection canonique
A montrer : pour tous x, y ∈ G/[G; G], on a xy = yx, autrement dit [x, y] = 1.
Il existe g, h ∈ G tels que x = π(g) et y = π(h). On a [x, y] = [π(g), π(h)] = π([g, h]) = 1.
Donc, xy = yx.
Notation : On note Gab = G/[G; G] et on l’appelle l’abénialisé de G.
Exemples : 1. Si G est abélien [G; G] = {1} et Gab ∼
= G.
2. G = S3 , [S3 , S3 ] = A3 et (S3 )ab = S3 /A3 ∼
= C2 . (groupe cyclique d’ordre 2).
36
2.6. SOUS-GROUPES DES COMMUTATEURS
2
Proposition 2.6.4.
Soit G un groupe et soient H et K deux sous-groupes normaux de G. Supposons que
G = HK et H ∩ K = {1}. Alors G ∼
= H × K.
Démonstration. Montrons d’abord que pour tout h ∈ H et k ∈ K, on a hk = kh. On
−1
−1 −1
a [h, k] = h |kh−1
∈ K. Donc, [h, k] ∈ H ∩ K et puisque
{zk } ∈ H et [h, k] = hkh
| {z } k
∈H
∈K
par hypothèse H ∩ K = {1}, on a [h, k] = 1. Soit f : H × K −→ G; (h, k) → hk est un
homomorphisme de groupes car hk = kh.
Montrons que f est bijectif. f est surjectif, car G = HK. f est injectif. En effet, soit
h ∈ H et k ∈ K tels que f (h, k) = 1. On a f (h, k) = hk. Comme f (h, k) = hk = 1, on a
h = k −1 ∈ K et k = h−1 ∈ H. Donc, h, k ∈ H ∩ K = {1}, donc h = k = 1. Donc, f est un
isomorphisme de groupes d’ou on tire que G ∼
= H × K.
37
Chapitre 3
Groupes abéliens finis
Théorème 3.0.5.
Tout groupe abélien fini est isomorphe à un produit direct de groupes cycliques.
Notation : On note Cn le groupe cyclique (unique à isomorphisme près) d’ordre n.
Remarque : Cn ∼
= (Z/nZ, +).
Théorème 3.0.6.
Tout groupe abélien fini est isomorphe à un produit direct de la forme. Cpn11 × · · · × Cpnrr
où p1 , . . . , pr sont des nombres premiers et les ni ∈ N.
Définition 3.0.7.
Soit p un nombre premier. On dit qu’un groupe G est un p-groupe si G est un groupe
fini dont l’ordre est une puissance de p.
Théorème 3.0.8.
Tout groupe abélien fini est isomorphe à un produit direct de la forme Cd1 × · · · × Cdr avec
d1 , . . . , dr ∈ N tel que d1 |d2 | . . . |dr .
Notation : (A, +) groupe abélien, élément neutre 0.
Définition 3.0.9.
Soit A un groupe abélien fini. On dit que A est annulé par n ∈ N si |a + a +{z. . . + a} =
na = 0. On dit que A est annulé par n si tout a ∈ A est annulé par n.
Exemples : 1. Z/8Z × Z/4Z × Z/4Z × Z/2Z × Z/8Z est annulé par 8.
2. Z/3Z × Z/5Z est annulé par 15.
n
Proposition 3.0.10.
Soit A un groupe abélien fini annulé par n ∈ N. Supposons n = rs avec (r, s) = 1. Alors,
∼ A1 × A2 où A1 = {a ∈ A|ra = 0} et A2 = {a ∈ A|sa = 0}. De plus, on a que A1 = sA
A=
et A2 = rA.
Démonstration. Par l’identité de Bezout, on a ur + vs = 1 avec u, v ∈ Z. Montrons que
A = rA + sA. On a A = (ru + sv)A ⊂ rA + sA ⊂ A. Donc A = rA + sA. Remarquons
que rA et sA sont des sous-groupes de A.
38
3
Montrons que rA ∩ sA = {0}. Soit a ∈ rA ∩ sA, alors a = rb et a = sc avec b, c ∈ A. Donc,
on a a = rb, donc sa = srb = nb = 0. De plus, a = sc, donc ra = rsc = nc = 0. Donc,
a = (ur + vs)a = ura + vsa = 0. On a donc A ∼
= rA × sA.
Montrons enfin que rA = A2 et sA = A1 . Il est clair que rA ⊂ A2 . Il reste à montrer que
A2 ⊂ rA. Soit a ∈ A2 , on a sa = 0. On a a = (ur + vs)a = ura + |{z}
vsa = r(ua) ∈ rA.
=0
Donc, A2 ⊂ rA et donc A2 = rA. On montre de la même manière que A1 = sA. Donc,
∼ A1 × A2 .
A=
Corollaire 3.0.11.
Soit A un groupe abélien fini annulé par n. Supposons que n = m1 m2 . . . mr avec (mi , mj ) =
∼ A1 × . . . × Ar avec Ai = {a ∈ A|mi a = 0}. De plus, Ai =
1 si i 6= j. Alors, A =
(m1 . . . mi−1 mi+1 . . . mr )A.
Démonstration. Récurrence sur r. Le cas r = 1 est évident. Le cas r = 2 est la proposition.
Supposons que r > 3. Par la proposition, on a A ∼
= B×Ar avec B = {a ∈ A|(m1 . . . mr−1 )a = 0}.
∼ A1 × · · · × Ar−1 , donc A ∼
On applique l’hypothèse de récurrence à B. On a B =
=
A1 × · · · × Ar .
Corollaire 3.0.12.
Soit A un groupe abélien fini annulé par pn1 1 · · · pnr r où p1 , ..., pr sont des nombres premiers
Q
n
n
distincts et ni ∈ N, alors A ∼
= A1 × . . . × Ar avec Ai = {a ∈ A| pi i a = 0} = i6=j pj j A.
Démonstration. Ceci découle du corollaire précédent en posant mi = pni i .
Lemme 3.0.13.
Soit A un groupe abélien fini, annulé par n.
1. Soit r ∈ N, (r, n) = 1. Alors, mr : A −→ A définie par mr (a) = ra est un automorphisme du groupe A.
2. Supposons de plus que A soit cyclique d’ordre n, alors si a ∈ A engendre A, alors
rA engendre aussi A. Autrement dit, si A = hai, alors A = hrai.
Démonstration. i) Comme (n, r) = 1, alors par l’identité de Bezout, il existe u, v ∈ Z
tels que un + vr = 1. On veut montrer que mr : A −→ A définie par mr (a) = ra est
un automorphisme. Il est clair que mr est un homomorphisme de groupes. Il suffit donc
de montrer que mr est bijectif. Considérons l’homomorphisme mv : A −→ A définie par
mv (a) = va et montrons que mv est l’inverse de mr . On a pour tout a ∈ A,
(mv ◦ mr )(a) = (mv (mr (a))) = (mv (ra)) = vra = vra + 0 = vra + una = a (vr + un) = a
|
{z
=1
}
Donc, (mv ◦ mr )(a) = idA . De même, on montre que (mr ◦ mv )(a) = idA . Donc, mr est
bijectif, donc un automorphisme de groupes.
ii) Par hypothèse, on a A = hai = {0, a, 2a, ..., (n − 1)a}. On a r ∈ N avec (n, r) = 1.
Nous avons vu que mr : A −→ A est bijectif. Donc, on a A = {0, a, 2a, ..., (n − 1)a} =
{0, ra, 2ra, ..., (n − 1)ra} = hrai.
39
3
Lemme 3.0.14.
Soit A un p-groupe abélien fini, où p un nombre premier. Soit a ∈ A un élément d’ordre
maximal. Posons, A1 = hai et posons Ā = A/A1 et soit π : A −→ Ā, la projection
canonique. Soit x ∈ Ā, alors il existe y ∈ A tel que π(y) = x et tel que l’ordre de y dans
A soit égal à l’ordre de x dans Ā.
Démonstration. cf.Série 15, exercice 3.
Théorème 3.0.15.
Tout p-groupe abélien fini est isomorphe à un produit direct de groupes cycliques.
Démonstration. Par récurrence sur l’ordre de A. Supposons ]A = p. Alors, A est isomorphe
à un groupe cyclique d’ordre p, i.e., A ∼
= Cp . Soit a1 ∈ A un élément d’ordre maximal.
Posons, A1 = hai et Ā = A/A1 et soit π : A −→ Ā, la projection canonique. On a ]Ā < ]A.
En appliquant l’hypothèse de récurrence à Ā, on obtient Ā ∼
= Ā2 × . . . × Ār où Ā2 , · · · , Ār
sont des sous-groupes cycliques de Ā. On a Āi = hāi i pour un certain āi ∈ Āi , i = 1, 2, ..., r.
Par le lemme, il existe ai ∈ Ai , i = 1, ..., r tels que π(ai ) = āi et tel que l’ordre de ai dans
A soit égal à l’ordre des āi dans Āi .
Posons Ai = hai i ⊂ A. Soit pni l’ordre des āi dans Āi , i = 2, ..., r. Alors, par construction,
l’ordre des ai dans Ai est aussi égal à pni , i.e, ]Ai = pni = ]Āi .
On s’intéresse à A2 + . . . + Ar qui est un sous-groupe de A. On a π(A2 + . . . + Ar ) =
Ā2 +. . .+ Ār ∼
= Ā2 ×. . .× Ār . L’ordre de Ā2 ×· · ·× Ār = pn2 · · · pnr Donc, ](A2 +. . .+Ar ) ≥
N = pn2 · · · pnr .
D’autre part, tous les éléments de A2 + . . . + Ar s’écrivent sous la forme λ2 a2 + . . . + λr ar
où 0 ≤ λi ≤ pni − 1. Il y a au plus pn2 · · · pnr éléments de ce type, donc ](A2 + . . . +
Ar ) ≤ N = pn2 · · · pnr . On a alors ](A2 + . . . + Ar ) = N = pn2 · · · pnr . D’autre part,
∼ A2 × · · · × Ar .
]Ai = pni i = 2, . . . , r. D’où, on tire A2 + . . . + Ar =
Montrons que
∼ A1 × A2 × · · · × Ar = A1 × (A2 × · · · × Ar ) ∼
A=
= A1 × (A2 + . . . + Ar )
Pour cela, il suffit de montrer que
1. A = A1 + (A2 + . . . + Ar ).
2. A1 ∩ (A2 + . . . + Ar ) = {0}.
1. Il est claire que A ⊃ A1 + (A2 + . . . Ar ). Montrons l’autre inclusion. Soit x ∈ A,
alors π(x) ∈ Ā = A/A1 = Ā2 + . . . + Ār , donc π(x) = x2 + . . . + xr avec xi ∈ Ai , i =
2, . . . , r. Soit y1 , . . . , yr ∈ A tels que π(yi ) = xi pour tout i = 2, . . . , r. On a donc,
π(x) = x2 + . . . + xr = π(y2 ) + . . . + π(yr ) = π(y2 + . . . + yr ). Donc, π(x − y1 − . . . − yr ) = 0.
On a x − (y2 + · · · + yr ) ∈ ker(π). Mais ker(π) = A1 . Ainsi, x − (y2 + · · · + yr ) ∈ A1 . Posons
y1 = x − (y2 + · · · + yr ) ∈ A1 . On obtient alors x = y1 + y2 + · · · + yr avec yi ∈ Ai pour
tout i = 1, . . . , r.
2. On a A1 ∩ (A2 + · · · + Ar ) = ker(π) ∩ (A2 + · · · + Ar ) = ker(π|A2 +···+Ar ) = {0}, car
π|A2 +···+Ar : (A2 + · · · + Ar ) −→ (Ā2 + · · · + Ār ) est un isomorphisme. Ce qui conclut enfin
notre preuve.
40
3
Corollaire 3.0.16.
Soit A un groupe abélien fini, alors il existe d1 , d2 , . . . , dn ∈ N tel que d1 |d2 | · · · |dn et que
∼ Cd × Cd × · · · × Cd . De plus, les entiers di sont entiers.
A=
n
1
2
Démonstration. Cf. Série 16, exercice 2 !
Exemple : A ∼
= A1 × A2 × A3 × A4 avec
A1 = C8 × C4 × C2 (2-groupe)
A2 = C27 × C3 (3-groupe)
A3 = C5 (5-groupe)
A4 = C7 × C7 (7-groupe)
Posons alors :
B1 = C8 × C27 × C5 × C7 ∼
= C8·27·5·7
∼
B2 = C4 × C3 × C7 = C4·3·7
B 3 = C2
Alors, on a A ∼
= B1 × B2 × B3 avec Bi cycliques. Posons
d1 = 2, d2 = 4 · 3 · 7, d3 = 8 · 27 · 5 · 7. Alors, on a bien que d1 |d2 |d3 et A ∼
= Cd1 × Cd2 × Cd3 .
Proposition 3.0.17.
Soit A un p-groupe abélien fini. Alors, A contient un élément d’ordre p.
Remarque : Nous verrons que la proposition est aussi vraie si A n’est pas abélien.
Démonstration. Cf. Série 16, exercice 3
41
Chapitre 4
Groupes finis
4.1
Rappels...
Théorème 4.1.1 (Lagrange).
Soit G un groupe fini et H un sous-groupe de G, alors ]H | ]G et donc ]G = ]H[G : H].
Proposition 4.1.2.
Soit X un G-ensemble. Soit x ∈ X. Alors, ] orb(x) = [G : Gx ] où Gx est le groupe
d’isotropie, i.e., Gx = {g ∈ G| gx = x} et orb(x)= {g · x| x ∈ X} ⊂ X.
Corollaire 4.1.3.
]orb(x) | ]G.
Définition 4.1.4.
Soit X un G-ensemble et soit x ∈ X. On dit que x est un point fixe si gx = x pour tout
g ∈ G. On dit alors que orb(x) = {x} est un orbite triviale.
Remarque : x est un point fixe ⇐⇒ Gx = G ⇐⇒ [G : Gx ] = 1.
Définition 4.1.5.
Soit G un groupe fini. On a l’action G × G −→ G définie par (g, x) → gxg −1 . Alors
CG (x) = g ∈ G|gxg −1 = x = {g ∈ G|gx = xg} est appelé le centralisateur de x.
Z(G) = {g ∈ G|gx = xg ∀x ∈ G} est appelé le centre de G.
Proposition 4.1.6.
Soit X un G-ensemble fini et soient x1 , . . . , xn les représentants des orbites. Alors,
]X =
n
X
]orb(xi ) =
i=1
Démonstration. En effet, X =
4.2
n
X
[G : CG (xi )]
i=1
Fn
i=1 orb(xi ).
Equation des classes
Proposition 4.2.1 (Equation des classes).
Soit G un groupe fini et soient x1 , . . . , xm des représentants des orbites triviales et xm+1 , . . . , xn
42
4.3. LES P-GROUPES
4
des représentants des orbites non-triviales. Alors,
]G = ]Z(G) +
n
X
[G : CG (xi )]
i=m+1
Démonstration. On a ]G = ni=1 [G : CG (xi )] =
De plus, on a les équivalences suivantes :
P
Pm
i=1 [G
: CG (xi )] +
Pn
i=m+1 [G
: CG (xi )].
{xi } une orbite triviale ⇐⇒ xi est un point fixe
⇐⇒ gxi g −1 = xi
⇐⇒ gxi = xi g
∀g ∈ G
∀g ∈ G
⇐⇒ xi ∈ Z(G)
⇐⇒ G = CG (xi )
⇐⇒ [G : CG (xi )] = 1.
On a donc ]Z(G) = m (nombre d’orbites triviales). Pour tout i = 1, . . . , m, on a
[G : CG (xi )] = 1. On a finalement,
]G =
4.3
m
X
n
X
i=1
i=m+1
[G : CG (xi )]+
[G : CG (xi )] = m+
n
X
[G : CG (xi )] = ]Z(G)+
i=m+1
n
X
[G : CG (xi )]
i=m+1
Les p-groupes
Définition 4.3.1.
Soit p un premier et soit G un groupe fini. Alors, G est dit un p-groupe si son ordre est
une puissance de p.
Proposition 4.3.2.
Le centre d’un p-groupe est toujours non-trivial.
Démonstration. Soit G un p-groupe et montrons que ]Z(G) > 1. Par l’équation des classes,
on a
n
]G = ]Z(G) +
X
[G : CG (xi )]
i=m+1
Rappelons que xm+1 , . . . , xn sont des représentants des orbites non-triviales.
Donc, [G : CG (xi )] > 1 si i = m + 1, . . . , n. Comme G est un p-groupe, ceci implique que
p | [G : CG (xi )].
On a aussi que p | ]G. Par l’équation des classes, on a alors que p | ]Z(G). Mais, on a
]Z(G) ≥ 1, p > 1, donc ]Z(G) > 1.
Remarque : Il existe des groupes finis avec Z(G) = {1}. Par exemple, on a Z(S3 ) = {1}.
43
4.4. LES THÉORÈMES DE SYLOW
4.4
4
Les théorèmes de Sylow
Soit p un premier et soit G un groupe fini d’ordre pr k avec r ≥ 1 et (p, k) = 1
Définition 4.4.1.
Un p-sous-groupe de Sylow (où p-Sylow) de G est un sous-groupe P de G avec ]P = pr .
Théorème 4.4.2 (1er théorème de Sylow).
Si p | ]G, alors G admet un p-sous-groupe de Sylow.
Démonstration. Par récurence sur ]G.
Si ]G = p, alors le théorème est évident.
Supposons que ]G > p. Par l’équation des classes, on a
]G = ]Z(G) +
n
X
[G : CG (xi )]
i=m+1
On va distinguer deux cas.
Cas 1 : Il existe i avec m + 1 ≤ i ≤ n avec p - [G : CG (xi )]. On sait que [G : CG (xi )] > 1.
Donc, ]CG (xi ) < ]G. Comme p - [G : CG (xi )], on a ]CG (xi ) = pr k 0 avec k 0 | k (k 0 < k).
Par l’hypothèse de récurrence appliquée à CG (xi ), on a que CG (xi ) possède un p-sousgroupe de Sylow. Il existe donc un sous-groupe P de CG (xi ) d’ordre pr . Mais, P est aussi
un sous-groupe de G et donc on a ]P = pr , donc P est un p-Sylow de G.
Cas 2 : p | [G : CG (xi )] pour tout i = m + 1, . . . , n. On a
]G
n
X
= ]Z(G) +
|{z}
[G : CG (xi )] .
i=m+1
divisible par p
|
{z
divisible par p
}
Donc, on a p | ]Z(G).
Les groupe Z(G) est abélien et p | ]Z(G). Donc, Z(G) contient un élément d’ordre p. Soit
z ∈ Z(G) d’ordre p. Posons H = hzi, le sous-groupe engendré par z. Alors, H est un
sous-groupe normal de G, car H ⊂ Z(G).
Posons Ḡ = G/H et π : G −→ Ḡ la projection canonique. On a ]H = p, donc ]Ḡ =
]G/p = pr−1 k < ]G.
Par l’hypothèse de récurrence appliquée à Ḡ, il existe un sous-groupe P̄ de Ḡ avec ]P̄ =
pr−1 . Soit P = π −1 (P̄ ). Alors, P est un sous-groupe de G. Remarquons que π|P : P −→ P̄
est surjectif et le noyau est H. Donc, par le premier théorème d’isomoprhisme, on a
P̄ ∼
= P/H. Donc, ]P = ]P̄ · ]H = pr−1 p = pr .
Donc, P est un p-sous-groupe de Sylow de G.
Corollaire 4.4.3.
Si un nombre premier p divise l’ordre de G, alors G a un élément d’odre p.
Démonstration. Par le premier théorème de Sylow, on sait qu’il existe un p-Sylow P . On a
donc ]P = pr . On sait que P 6= {1}. Soit g ∈ P avec g 6= 1. Par le théorème de Lagrange,
l’ordre de g est pr avec 1 ≤ n ≤ r.
n−1
Posons h = g p , alors h est d’ordre p.
44
4.4. LES THÉORÈMES DE SYLOW
4
Lemme 4.4.4.
Soient P et Q deux p-sous-groupes de G tels que P ⊂ NG (Q). Alors, P Q est un p-sousgroupes de G.
Démonstration. Exercice 3, série 17.
Théorème 4.4.5 (2ème théorème de Sylow).
i) Tous les p-sous-groupes de Sylow de G sont conjugués.
ii) Tout p-sous-groupes de G est contenue dans un p-sous-groupe de Sylow.
Théorème 4.4.6 (3ème théorème de Sylow).
Soit P un p-sous-groupe de Sylow de G. Le nombre de p-sous-groupe de Sylow de G est
égal à [G : NG (P )]. Ce nombre est ≡ 1 mod (p) et divise l’ordre de G.
Démonstration. Nous allons montrer les deux théorèmes en même temps.
Soit P un p-Sylow de G. Posons X = gP g −1 | g ∈ G .
Alors, ]X = [G : NG (P )].
On considère l’action conjuguée de P sur X. Alors, X est une réunion d’orbites triviales
et non-triviales.
Soit {Q} une orbite triviale (Q ∈ X, donc Q = gP g −1 pour un certain g ∈ G). On a donc
hQh−1 = Q pour tout h ∈ P . Ceci implique que P ⊂ NG (Q). Par le lemme, P Q est un
p-sous-groupe de G. On a ](P Q) ≤ pr . On a P ⊂ P Q et ]P = pr . On a donc P = P Q,
mais on a aussi Q ⊂ P Q et ]Q = pr . Donc, Q = P Q.
On obtient donc Q = P .
Donc, il existe exactement une orbite triviale qui est égale à {P }. D’autre part, le cardinal
de tout orbite non-triviale est divisible par p. On a donc
]X = 1 + multiple de p.
On a donc ]X ∼
= 1 mod (p).
Soit R un p-sous-groupe de G et on regarde l’action de R sur X.Alors, X est une réunion
d’orbites triviales et non-triviales. Comme R est un p-groupe, le cardinal de toutes orbites
non-triviales est divisible par p. Donc, ]X =(nombre d’orbites triviales) + (multiple de
p).
Soit {Q} une orbite triviale. On a donc rQr−1 = Q pour tout r ∈ R. Ceci implique
que R ⊂ NG (Q). Par le lemme, RQ est un p-sous-groupe de G. On a Q ⊂ RQ et ]Q = pr .
D’autre part, ](RQ) ≤ pr . Donc ]Q = ]RQ = pr . On a donc Q = RQ.
Mais on a aussi R ⊂ RQ, ce qui entraine R ⊂ Q. On a Q = gpg −1 pour un certain g ∈ G.
Donc R est contenu dans un p-Sylow de G qui est un conjuguée de P .
Si de plus, R est un p-Sylow, alors ]R = ]Q = pr . On a donc R = Q = gP g −1 .
Donc, R est conjugué à P et on a ENFIN fini.
Corollaire 4.4.7.
Soit P un p-sous-groupe de Sylow de G. Alors, P est l’unique p-Sylow de G si et seulement
si P est un sous-groupe normal de G.
45
4.4. LES THÉORÈMES DE SYLOW
4
Démonstration. En effet, P est l’unique p-Sylow de G ⇐⇒ [G : NG (P )] = 1 ⇐⇒ G =
NG (P ) ⇐⇒ P est un sous-groupe normal de G.
Exemple : Soit G un groupe d’ordre 35. Alors, G ∼
= C5 × C7 . Autrement dit, G est
cyclique.
En effet, par le 3ème théorème de Sylow, le nombre de 5-Sylow de G est ≡ 1 mod (5) et
c’est un diviseur de ]G = 35. Les diviseurs de 35 sont 1, 5, 7 et 35.
le seul diviseur de 35 qui est ≡ 1 mod (5) est 1. Donc, G contient un 5-Sylow, isomorphe
à C5 . Par le corollaire, ce 5-Sylow est un sous-groupe normal de G. De plus, le nombre de
7-Sylow de G est un diviseur de 35 et ≡ 1 mod (7). Mais le seul diviseur de 35 qui
convient est 1.
Donc, G contient un 7-Sylow qui est isomorphe à C7 . Par le corollaire, ce 7-Sylow est un
sous-groupe normale de G.
On a donc G ∼
= C5 × C7 .
46
Chapitre 5
Anneaux de polynômes
5.1
Polynôme à coefficient dans un anneau commutatif
Soit A un anneau commutatif. Un polynôme (à une variable) à coefficient dans A est
an X n + an−1 X n−1 + . . . + a1 X + a0
où a0 , . . . , an ∈ A.
On note A[X] l’ensemble des polynômes à coefficients dans A. Alors, A[X] est un
anneau commutatif par rapport à l’addition et multiplication des polynômes. Les éléments
neutres sont 0 et 1. L’anneau A est un sous-anneau de A[X].
Définition 5.1.1.
Soit f (X) = an X n + . . . + a0 ∈ A[X] avec an 6= 0. Alors, le degré de f , noté deg(f ) est
égal à n.
Définition 5.1.2.
On dit que A est un anneau intègre si A ne contient pas de diviseur de zéro. Autrement
dit, si ab = 0 avec a, b ∈ A, alors a = 0 où b = 0.
Proposition 5.1.3.
Soit A un anneau intègre. Alors, deg(f g) = deg(f ) + deg(g).
Démonstration. Soit f (X) = an X n + . . . + a0 et g(X) = bm X m + . . . + b0 avec ai , bi ∈ A.
et an 6= 0, bm 6= 0.
Alors, deg(f ) = n et deg(g) = m. Alors, f (X)g(X) = an bm X m+n + . . . + a0 b0 .
Comme A est intègre, on a an bm 6= 0. Donc, deg(f g) = n + m = deg(f ) + deg(g).
Exemple : A = Z/4Z qui est non-intègre. Soit f (X) = [2]4 X + [1]4 et
g(X) = [2]4 X − [1]4 . Alors,
f (X)g(X) = [2]4 [2]4 X 2 − [1]4 = [4]4 X 2 − [1]4 = −[1]4 .
On a donc deg(f ) = 1 = deg(g), mais deg(f g) = 0 6= 2 = deg(f ) + deg(g).
47
5.2. POLYNÔME À COEFFICIENT DANS UN CORPS
5
Évaluation d’un polynôme :
Soit B un anneau commutatif qui contient A comme sous-anneau. On définit un
homomorphisme d’anneau, l’évaluation en b ∈ B comme suit :
evb : A[X] −→ B
f (X) 7−→ f (b)
On note A[b] l’image A[X] par l’homomorphisme evb , i.e., A[b] = {f (b) | f ∈ A[X]}.
Alors, A[b] est un sous-anneau de B.
Exemple : Soit A = Z, B = C et b = i. Alors, on a
evi : Z[X] −→ C
f (X) 7−→ f (i)
Alors, Z[i] = {f (i) | f ∈ Z[x]} ⊂ C. Remarquons que i2 = −1, donc
(
n
(i) =
±1
si n est pair
±i si n est impair
Donc, Z[i] = {ai + b | a, b ∈ Z}
5.2
Polynôme à coefficient dans un corps
Soit K un corps (commutatif) et on considère l’anneau K[X].
Proposition 5.2.1 (Division eucludienne).
Soient f, g ∈ K[X], g 6= 0. Alors, il existe q, r ∈ K[X] avec f = gq + r avec deg(r)<deg(g).
De plus, q et r sont uniques.
Démonstration. Exercice
Corollaire 5.2.2.
Soit f ∈ K[X] et soit a ∈ K. Alors, f (a) = 0 ⇐⇒ (x − a) divise f (x).
Démonstration. ⇐= : Évident.
=⇒ : Par le théorème, il existe q, r ∈ K[X] avec f (x) = (x − a)q(x) + r(x) et deg(r) <
deg(r − a) = 1.
Comme deg(r) < 0, on a r ∈ K. On a donc f (x) = (x − a)q(x) + r, donc r = 0.
On a donc f (x) = (x − a)q(x), donc x − a divise f .
48
Chapitre 6
Idéaux et anneaux quotients
6.1
Idéal d’anneau
Définition 6.1.1.
Soit A un anneau et soit I un sous-groupe additif de A. On dit que
1. I est un idéal à gauche si ax ∈ I pour tout a ∈ A et x ∈ I.
2. I est un idéal à droite si xa ∈ I pour tout a ∈ A et x ∈ I.
3. I est un idéal bilatère si I est un idéal à gauche et à droite.
Exemples :
1. Soit A = Z, I = mZ avec m ∈ N. Alors, I est un idéal (bilatère) de A.
2. Soit A = K[X] où K un corps et soit P ∈ K[X] un polynôme. Alors, I = P K[X]
est un idéal (bilatère) de A.
3. Soit A = M2 (R) et soit I =
A
I estun sous-groupe
de A.
x
z
Soit
On a
x
z
y
t
a
b
∈ M2 (R) et soit
y
t
a
b
0
0
=
0
0
a
b
ax + by
az + bt
| a, b ∈ R . Alors, I est un idéal à gauche de
0
0
=
0
0
a
b
∈ I.
∈ I, donc I est un idéal à gauche de A.
Remarquons que I n’est pas un idéal à droite :
a
b
0
0
x
z
y
t
=
ax
bz
ay
bt
et
ay, bt ne sont pas nuls en général.
4. A = M2 (R), J =
a
0
b
0
| a.b ∈ R . Alors, J est un idéal à droite de A, mais
pas un idéal à gauche.
Définition 6.1.2.
On dit qu’un idéal I est propre si I 6= {0} , A.
Proposition 6.1.3.
Un corps n’a aucun idéal propre.
49
6.2. ANNEAU QUOTIENT
6
Démonstration. Soit K un corps et soit I un idéal de K. Supposons que I 6= {0}. Soit
x ∈ I, x 6= 0. Il existe y ∈ K tel que xy = 1. Comme I est un idéal et x ∈ I, on a xy = 1.
Comme I est un idéal et x ∈ I, on a xy ∈ I, donc 1 ∈ I. On a donc K ⊂ I.
En effet, soit a ∈ K, alors a = a1 ∈ I. Alors, par définition, I ⊂ K et donc I = K.
6.2
Anneau quotient
Soit A un anneau et soit I un idéal bilatère de A. On a donc le groupe quotient A/I et
l’homomorphisme de groupes canonique π : A −→ A/I. Si a ∈ A, notons ā = π(a).
¯ Montrons que ceci est bien défini. Soient a0 , b0 ∈ A
Soient ā, b̄ ∈ A/I. Posons ā · b̄ = ab.
¯
tel que ā0 = ā et b̄0 = b̄. Il faut que vérifier que a¯0 b0 = ab.
On a a0 = a + x avec x ∈ I et b0 = b + y avec y ∈ I. On a
a0 b0 = (a + x)(b + y) = ab + xb + ay + xy . En effet, xb ∈ I comme I est un idéal à droite.
|
{z
}
∈I
ay ∈ I, comme I est un idéal à droite et de même pour xy.
¯
Et donc, a¯0 b0 = ab.
Alors, π est aussi un homomoprhisme d’anneaux. En effet, on sait déjà que c’est un
homomorphisme de groupe. On a π(ab) = π(a)π(b) pour tout a, b ∈ A par définition du
produit dans A/I.
Proposition 6.2.1 (Propriété universelle de l’anneau quotient).
Soit A un anneau et I un idéal bilatère et π : A −→ A/I la projection canonique. Soit B
un anneau et soit f : A −→ B un homomorphisme d’anneaux tel que I ⊂ ker(f ). Alors,
il existe un unique homomorphisme d’anneaux f¯ : A/I −→ B tel que f¯ ◦ π = f . Donc le
diagramme suivant commute.
A
π
f
{
{
{ f¯
/B
{=
A/I
Démonstration. Par la propriété du groupe quotient, f¯ : A/I −→ B existe et est unique.
On a f¯(ā) = f (a). Vérifions que f¯ est un homomorphisme d’anneaux. On a f¯(āb̄) =
¯ = f (ab) = f (a)f (b) = f¯(ā)f¯(b̄).
f¯(ab)
Proposition 6.2.2.
Soit A un anneau et I ⊂ A. Alors, I est un idéal bilatère de A si et seulement si I est le
noyau d’un homomorphisme d’anneaux.
Démonstration. =⇒ : Soit I un idéal bilatère de A et soit π : A −→ A/I, l’homomorphisme
canonique. Alors, I = ker(π).
⇐= : Soit f : A −→ B un homomorphisme d’anneaux et soit I = ker(f ). On sait déjà que
I est un sous-groupe additif de A.
Montrons que I est un idéal bilatère. Soit x ∈ I, on a alors f (x) = 0. Soit a ∈ A. On a
50
6.2. ANNEAU QUOTIENT
6
f (ax) = f (a) f (x) = 0. On a donc ax ∈ ker(f ) = I, d’où I est un idéal à gauche.
| {z }
=0
On a aussi f (xa) = f (x) f (a) = 0. On a donc xa ∈ ker(f ) = I. Donc I est un idéal à
| {z }
=0
droite. Donc, I est un idéal bilatère.
Théorème 6.2.3 (1er théorème d’isomorphisme).
Soit f : A −→ B un homomorphisme d’anneaux. Alors, f induit un isomorphisme d’anneaux f¯ : A/ ker(f ) −→ Im(f ). En particulier, si f est surjectif, alors on a un isomorphisme d’anneaux f¯ : A/ ker(f ) −→ B.
Démonstration. Par la propriété universelle, on a un homomorphisme d’anneaux unique
f¯ : A/ ker(f ) −→ Im(f ). Par le premier théorème d’isomorphisme pour les groupes, on
sait que f¯ est bijectif. Donc, f¯ est un isomorphisme d’anneaux.
Si de plus, f est surjectif, alors B = Im(f ) et donc on a bien un isomorphisme d’anneaux
f¯ : A/ ker(f ) −→ B.
Proposition 6.2.4.
Soit f : A −→ B un homomorphisme d’anneaux.
1. Supposons que f soit surjectif. Alors, l’image par f d’un idéal à gauche (respectivement à droite où bilatère) de A est un idéal à gauche (respectivement à droite où
bilatère) de B.
2. L’image réciproque d’un idéal à gauche (respectivement à droite où bilatère) de B
est un idéal à gauche (respectivement à droite où bilatère) de A.
Démonstration. i) Soit I un idéal à gauche de A. On sait déjà que f (I) est un sous-groupe
additif de B. Soit x ∈ f (I) et b ∈ B. Alors, montrons que bx ∈ f (I).
On a x = f (y) avec y ∈ I. Comme f est surjectif, il existe a ∈ A tel que f (a) = b. On a
donc
bx = f (a)f (y) = f ( ay ) ∈ f (I).
|{z}
∈I
Donc, f (I) est un idéal à gauche de B.
On utilise le même argument pour les idéaux à droite, ce qui nous donnera le résultat pour
les idéaux bilatères.
ii) Soit J un idéal à gauche de B. Montrons que f −1 (J) est un idéal à gauche de A. On
sait déjà que f −1 (J) est un sous-groupe additif de A.
Soit x ∈ f −1 (J) et a ∈ A. Montrons que ax ∈ f −1 (J). On a f (x) ∈ J. Comme J est un
idéal à gauche, on a f (a)f (x) ∈ J. Mais, f (a)f (x) = f (ax). On a donc f (ax) ∈ J, donc
ax ∈ f −1 (J).
Donc, f −1 (J) est un idéal à gauche de A.
On utilise le même argument pour les idéaux à droite, ce qui nous donnera le résultat pour
les idéaux bilatères.
51
6.2. ANNEAU QUOTIENT
6
Exemple : Soit f : Z −→ Q l’inclusion. C’est un homomorphisme d’anneaux
non-surjectif. Soit I = 2Z. Alors, I est un idéal de Z. On a f (I) = 2Z. C’est un
sous-groupe additif de Q, mais pas un idéal.
Théorème 6.2.5.
Soit I un idéal bilatère de A. Alors, on a une bijection entre
(Idéaux à gauche (reps. à droite, resp. bilatère) de A contenant I)
l
(Idéaux à gauche (reps. à droite, resp. bilatère) de A/I)
Démonstration. Nous savons déjà que la projection canonique π : A −→ A/I induit une
bijection
Sous-groupe de A contenant I ←→ Sous groupe de A/I
Nous savons que π est un homomorphisme d’anneau surjectif. Il suffit donc de vérifier que
l’image d’un idéal à gauche (resp. à droite, resp. bilatère) par π est un idéal à gauche
(resp. à droite, resp. bilatère). Ceci est une conséquence de la proposition précédente.
Exemple : A = Z, I = 5Z, alors
(Idéaux de Z contenant 5Z) ←→ (Idéaux de Z/5Z)
(Z, 5Z) ←→ (Z/5Z, {0})
Opérations sur les idéaux :
Soient I, J deux idéaux à gauche (reps. à droite, resp. bilatères). On définit
IJ =
( n
X
)
ai bi | ai ∈ I, bi ∈ J, n ∈ N .
i=1
Alors, I ∩ J, IJ, I + J sont des idéaux à gauche (reps. à droite, resp. bilatères).
Remarque : Si I et J sont bilatères, alors IJ ⊂ I ∩ J. En effet, soient a ∈ I et b ∈ J.
Alors, ab ∈ I ∩ J.
Exemples : 1. A = Z, I = 2Z, J = 3Z. On a IJ = 6Z, I ∩ J = 6Z, I + J = Z par Bezout.
2. A = Z, I = 2Z, J = 4Z. On a IJ = 8Z, I ∩ J = 4Z, I + J = 2Z
Théorème 6.2.6 (2ème théorème d’isomorphisme).
Soit B un sous-anneau de A et soit I un idéal bilatère de A. Alors, B + I est un anneau
et I est un idéal bilatère de B + I. On a un isomorphisme d’anneaux
∼ B/(I ∩ B)
(B + I)/I =
Démonstration. On a un homomorphisme d’anneaux
f :B
/B + I
π
/ B + I/I
4
Par le 2ème théorème d’isomorphisme pour les groupes, on sait que f est surjectif et que
ker(f ) = I ∩ B. Donc par le 1er théorème d’isomorphisme, f induit un isomorphisme
d’anneaux (B + I)/I ∼
= B/(I ∩ B).
52
6.2. ANNEAU QUOTIENT
6
Exemple : Montrer que Z + 5Z[i]/5Z[i] ∼
= Z/5Z = F5 .
Posons A = Z[i] = {a + bi | a, b ∈ Z} et I = 5Z[i] est un idéal de A. Soit B = Z, alors par
le 2ème théorème d’isomorphisme, on a (B + I)/I ∼
= B/(I ∩ B). On a I ∩ J = 5Z. Donc,
∼
on a bien Z + 5Z[i]/5Z[i] = Z/5Z = F5
Théorème 6.2.7 (3ème théorème d’isomorphisme).
Soient I et J deux idéaux bilatères de A avec J ⊂ I. Alors, on a un isomorphisme d’anneaux
A/I ∼
= (A/J)/(I/J).
Démonstration. On a un homomorphisme d’anneaux
f :A
π
π 0/
/ A/J
(A/J)/(I/J)
3
Par le 3ème théorème d’isomorphisme pour les groupes, on sait que f est surjectif et que
ker(f ) = I. Donc, f induit un isomorphisme d’anneaux A/I ∼
= (A/J)/(I/J).
Corollaire 6.2.8.
Soient J, J 0 deux idéaux bilatères de A. Alors, on a un isomorphisme d’anneaux
(A/J)/[(J + J 0 )/J] ∼
= (A/J 0 )/[(J + J 0 )/J 0 ].
Démonstration. Posons I = J + J 0 . Alors, J ⊂ I, alors par le 3ème théorème d’isomorphisme , on a
A/(J + J 0 ) = A/I ∼
= (A/J)/(I/J) = (A/J)/[(J + J 0 )/J]
On a aussi J 0 ⊂ I, alors en réutilisant le 3ème théorème d’isomorphisme , on a
A/(J + J 0 ) = A/I ∼
= (A/J 0 )/(I/J 0 ) = (A/J 0 )/[(J + J 0 )/J 0 ].
Et ainsi, on a montré le résultat.
53
Chapitre 7
Anneaux commutatifs
7.1
Idéaux premiers et maximaux
Dans ce chapitre, nous considérerons toujours un anneau A commutatif.
Définition 7.1.1.
i) Soit I un idéal de A et supposons I 6= A. On dit que I est un idéal premier si pour
tout a, b ∈ A, on a ab ∈ I =⇒ a ∈ I ou b ∈ I.
ii) On dit que I est un idéal maximal si pour tout idéal J de A tel que I ⊂ J, on a soit
I = J, soit J = A, i.e. I ⊂ J ⊂ A.
Proposition 7.1.2.
Soit I un idéal de A tel que I 6= A. Alors, on a
i) I est un idéal premier de A ⇐⇒ A/I est un anneau intègre.
ii) I est un idéal maximal de A ⇐⇒ A/I est un corps.
Démonstration.
i) I n’est pas un idéal premier ⇐⇒ ∃a, b ∈ A tel que a ∈
/ I, b ∈
/ I, mais ab ∈ I
⇐⇒ ∃ā, b̄ ∈ A/I tel que ā 6= 0, b̄ 6= 0, mais āb̄ = 0
⇐⇒ A/I a des diviseurs de 0
⇐⇒ A/I est un corps.
ii) On a une bijection entre X = (idéaux de A contenant I) et X̄ = (idéaux de A/I).
I est un idéal maximal ⇐⇒X = {I, A}
⇐⇒X̄ = {{0} , A/I}
⇐⇒A/I est un corps.
Corollaire 7.1.3.
Tout idéal maximal est premier.
54
7.2. THÉORÈME CHINOIS
7
Démonstration. En effet, I maximal =⇒ A/I est un corps =⇒ A/I est un anneau intègre
=⇒ I est un idéal premier.
1. A = Z. Soit p un premier et soit I = pZ. Alors, A/I = Z/pZ = Fp est un corps. Alors
I = pZ est un idéal maximal, donc premier.
2. A = Z[X]. Posons I = XZ[X]. Alors, I est un idéal de A. On a
A/I = Z[X]/XZ[X] ∼
= Z.
En effet, considérons l’homomorphisme d’anneaux f : Z[X] −→ Z défini par p(x) 7→ p(0)
avec p(x) = an xn + . . . + a0 et donc p(0) = a0 . Alors, f est surjectif et
ker(f ) = XZ[X] = I.
Par le 1er théorème d’isomorphisme, on a un isomorphisme d’anneaux
A/I ∼
= Z[X]/XZ[X] ∼
= Z.
Comme Z est un anneau intègre, l’idéal I = XZ[X] est premier. Mais Z n’est pas un
corps et donc I n’est pas maximal.
3. A = R[X] et posons I = XR[X]. Alors, I est un idéal de A. On a
A/I ∼
= R[X]/XR[X] ∼
= R.
Par le même raisonnement, I est un idéal maximal, car R est un corps. De plus, on a
directement que I est premier.
7.2
Théorème chinois
Lemme 7.2.1.
Soient I, J deux idéaux de A tels que I + J = A. Alors
IJ = I ∩ J.
Démonstration. Nous savons déjà que IJ ⊂ I ∩ J. Montrons que I ∩ J ⊂ IJ.
On a I + J = A, donc il existe a ∈ I et b ∈ J tels que a + b = 1. Soit x ∈ I ∩ J. Alors,
x = x · 1 = x(a + b) = xa + xb, mais x ∈ I ∩ J ⊂ J, donc xa ∈ IJ, car x ∈ J, a ∈ I. On a
aussi x ∈ I ∩ J ⊂ I, donc xb ∈ IJ, car x ∈ I, b ∈ J.
Donc, x = xa + xb est aussi dans IJ. On a donc I ∩ J ⊂ IJ. Donc IJ = I ∩ J.
Théorème 7.2.2 (Théorème chinois).
Soit A un anneau commutatif. Soient I et J deux idéaux de A tel que I + J = A. Alors,
A/IJ ∼
= A/I × A/J.
Démonstration. cf.Exercice 2, Série 20
Cas particulier : On prend A = Z et I = nZ et J = mZ avec (m, n) = 1. Alors,
I + J = nZ + mZ = (n, m)Z = Z et on a bien
Z/(mn)Z ∼
= Z/nZ × Z/mZ.
55
7.3. ANNEAUX PRINCIPAUX ET ANNEAUX FACTORIELS
7.3
7
Anneaux principaux et anneaux factoriels
Soit A un anneau commutatif.
Définition 7.3.1.
Soit X ⊂ A. On appelle idéal engendré par X le plus petit idéal de A (au sens de l’inclusion)
contenant X. C’est l’intersection de tous les idéaux de A contenant X. On le note hXi.
On peut montrer que
hXi = {a1 x1 + · · · + an xn | n ∈ N, x1 , . . . , xn ∈ X, a1 , . . . , an ∈ A} .
En particulier, si X = {a} , a ∈ A, alors hXi = aA = {ba | b ∈ A}. On dit que a est un
générateur de hXi et par abus de notation, on écrit h{a}i = hai.
Définition 7.3.2.
i) Soit I un idéal de A. On dit que I est principal s’il existe a ∈ A tel que I = hai.
ii) Soit A un anneau commutatif intègre. On dit que A est principal si tout idéal de A
est principal.
Désormais, on suppose que A est intègre et on note A∗ l’ensemble des unités de A.
Définition 7.3.3.
Soit a, b ∈ A. On dit que a divise b et on écrit a|b s’il existe c ∈ A tel que b = ac = ca.
Définition 7.3.4.
Soient a, b ∈ A. On dit que a est associé à b s’il existe u ∈ A∗ tel que a = ub. La relation
"être associé à" est une relation d’équivalence sur A.
Lemme 7.3.5.
Soient a, b ∈ A − {0}. Alors, a et b sont associés ⇐⇒ hai = hbi.
Démonstration. ⇒ : On suppose que a et b sont associés, alors il existe u ∈ A∗ tel que
a = ub. Il s’ensuit que a ∈ hbi, d’où hai ⊆ hbi. De même, on a b = u−1 a, d’où hbi ⊆ hai.
Ainsi, hai = hbi.
⇐ : Réciproquement, on suppose hai = hbi. De a ∈ hai = hbi, on déduit qu’il existe x ∈ A
tel que a = bx. De b ∈ hbi = hai, on déduit qu’il existe y ∈ A tel que b = ay. Il suit que
a = bx = (ay)x = a(yx). Puisque A est intègre, on obtient 1 = xy = yx, donc x, y ∈ A∗ .
Donc, a et b sont bien associés.
Définition 7.3.6.
Soit a ∈ A. On dit que a est irréductible si a 6= 0 et a ∈
/ A∗ et si pour tout x, y ∈ A
(a = xy ⇒ x ∈ A∗ ou y ∈ A∗ ).
Définition 7.3.7.
Soit A un anneau commutatif intègre. On dit que A est factoriel si pour tout a ∈ A − {0},
i) il existe r ∈ N et p1 , p2 , . . . , pr ∈ A irréductibles tel que a = p1 p2 · · · pr .
ii) Si a = p1 p2 . . . pr et a = q1 q2 . . . qs sont deux décompositions de a en produits de
facteurs irréductibles, alors r = s et il existe σ ∈ Sr telle que qσ (i) soit associé à pi .
56
7.3. ANNEAUX PRINCIPAUX ET ANNEAUX FACTORIELS
7
Exemple : Z est un anneau factoriel. 6 = 2 · 3 = (−3) · (−2) sont deux décompositions
de 6 en produits de facteurs irréductibles.
Lemme 7.3.8.
Soit A un anneau commutatif intègre et soit a ∈ A − {0}. Si hai est premier, alors a est
irréductible.
Démonstration. On suppose que hai soit premier. Par suite, hai =
6 A, donc a ∈
/ A∗ . Soient
x, y ∈ A tels que a = xy. Alors, xy ∈ hai. Comme hai est premier, on a que x ∈ hai ou
y ∈ hai. Si x ∈ hai, il existe z ∈ A tel que x = az. Il vient a = xy = (az)y = a(zy), d’où
1 = zy = yz. Par suite, y est inversible.
De même, y ∈ hai, alors x ∈ A∗ . Ainsi, a est irréductible.
Lemme 7.3.9.
Soit A un anneau factoriel. Soit a ∈ A, alors a est irréductible ⇐⇒ hai est premier.
Démonstration. Cf.Exercice
Lemme 7.3.10.
Soit A un anneau principal. Soit a ∈ A − {0}. Les conditions suivantes sont équivalentes :
i) a est irréductible ;
ii) hai est premier ; iii) hai est maximal.
Démonstration. On a toujours iii) ⇒ ii) ⇒ i). Montrons que i) ⇒ iii).
On suppose que a est irréductibl. Soit I un idéal de A tel que hai ⊆ I ⊆ A. Comme A est
principal, il existe b ∈ A tel que I = hai. De a ∈ hai ⊆ hbi, on déduit qu’il existe x ∈ A
tel que a = bx. Du fait que a est irréductible, b ∈ A∗ ou x ∈ A∗ . Dans le premier cas,
I = hbi = A. Dans le second, a et b sont associés et donc I = hai = hbi.
Donc, hai est maximal.
Théorème 7.3.11.
Tout anneau principal est factoriel.
Pour démontrer ce théorème, nous avons besoin des deux résultats suivant.
Proposition 7.3.12.
Soit A un anneau principal, alors tout ensemble non-vide d’idéaux de A totalement ordonné
par l’inclusion admet une borne supérieur.
Proposition 7.3.13.
Soit A un anneau principal. Alors, tout ensemble non-vide d’idéaux de A ordonné par
l’inclusion admet un élément maximal.
Démonstration. Par la proposition précédente, tout sous-ensemble non-vide totalement
ordonné de l’ensemble d’idéaux I considéré admet une borne supérieur. Par conséquent,
l’ensemble est inductif. Par le lemme de Zorn, I admet un élément maximal.
57
7.4. CARACTÉRISTIQUE D’UN ANNEAU
7
Démonstration du théorème. Soit A un anneau principal. Montrons que A est factoriel.
i) Existence de la décomposition en produit de facteurs irréductibles :
Par l’absurde, on suppose que l’ensemble E des éléments non-nuls de A ne se décomposant
pas en produit de facteurs irréductibles et non-vides.
Soit I = {hai | a ∈ A}. Ainsi, I est une famille non-vide d’idéaux de A. Par la proposition
précédente, il existe a0 ∈ E tel que ha0 i soit un élément maximal de I. Puisque a0 ∈ E,
a0 n’est pas irréductible. Il existe donc x, y ∈ A, x, y ∈
/ A∗ tel que a0 = xy.
On a a0 ∈ hxi, donc ha0 i ⊆ hxi. De même, ha0 i ⊆ hyi. Du fait que y ∈
/ A∗ , a0 et x ne sont
pas associés, donc ha0 i =
6 hxi. Donc, on a ha0 i ⊂ hxi et ha0 i ⊂ hyi.
Par maximalité de ha0 i dans I, on a hxi ∈
/ I et hyi ∈
/ I, donc x, y ∈
/ E.
Ainsi, x = p1 · · · pr et y = q1 · · · qs se décomposent en produits de facteurs irréductibles. il
en va donc de même de a0 = xy = p1 · · · pr q1 · · · qs . Contradiction !
Par conséquent, E = ∅, donc tout élément non-nul de A s’écrit comme produit de facteurs
irréductibles.
ii) Unicité de la décomposition :
Soit a ∈ A − {0}. Soient a = p1 p2 · · · pr = q1 q2 · · · qs deux décompositions de a en produits
de facteurs irréductibles. On a q1 · · · qs ∈ hp1 i. Comme A est principal et que p1 est irréductible, ip1 h est premier. Donc, l’un des qj ∈ hp1 i. Quitte à renuméroter les qj , on peut
supposer que c’est q1 . On a donc q1 ∈ hp1 i, d’où q1 = p1 x avec x ∈ A. Comme q1 et p1
sont irréductibles, x ∈ A∗ . Par suite, q1 et p1 sont associés, donc hq1 i = hp1 i.
En raisonnant par récurrence sur r, on voit que s = r et que les qj correspondent bijectivement aux pi , à éléments inversibles près.
Proposition 7.3.14.
Soit K un corps et soit A = K[X]. Alors, A est un anneau principal.
Démonstration. Il est clair que A est intègre. Montrons que tout idéal de A est principal.
Soit I un idéal non-nul de A. Soit g ∈ I avec g 6= 0 et tel que pour tout g 0 ∈ I, g 0 6= 0.,
deg(g)<deg(g 0 ). Soit f ∈ I. Alors, il existe q, r ∈ A = K[X] tel que f = qg + r et
deg(r)<deg(g). On a r = f − gq ∈ I. On a de plus deg(r)<deg(g). Donc, par minimalité
de deg(g), on a r = 0.
Donc, f = gq, d’où I = gA = hgi. Donc I est principal.
Corollaire 7.3.15.
K[X] est un anneau factoriel.
Les élément irréductibles de K[X] sont les polynômes irréductibles.
7.4
Caractéristique d’un anneau
Soit A un anneau commutatif.
58
7.5. ANNEAUX INTÈGRES ET CORPS DE FRACTIONS
7
Proposition 7.4.1.
Il existe un unique homomorphisme d’anneau f : Z −→ A.
Démonstration. Unicité : Soit f : Z −→ A un homomorphisme d’anneaux. On a f (1) =
1A . Soit n ∈ N, alors
f (n) = f (1
+ 1 +{z. . . + 1}) = f (1) + f (1) + · · · + f (1) = 1A + 1A + · · · + 1A = n1A
|
n fois
|
{z
n fois
}
|
{z
n fois
}
et
f (−n) = −f (n) = −n1A .
Donc f est uniquement déterminée.
Existence : On définit f : Z −→ A par f (n) = 1A +· · ·+1A pour n ∈ N et f (−n) = −f (n).
Alors, f est un homomorphisme d’anneaux.
Soit f : Z −→ A l’unique homomorphisme d’anneaux, alors ker(f ) = nZ, avec n ∈ N.
Définition 7.4.2.
On pose car(A) = n la caractéristique de l’anneau A.
1er cas : n = 0, alors f : Z −→ A est injectif, donc A contient un sous-anneau isomorphe à Z.
Exemples : Z, Q, R, C, Z[X].
Remarque : Si car(A)=0, alors A est infini.
2ème cas : n > 0, alors le noyau de f est non-nul. ker(f ) = nZ 6= {0}. Par la
propriété universelle des anneaux quotients, f induit f¯ : Z/nZ −→ A, un homomorphisme
d’anneaux. Donc, A contient un sous-anneau isomorphe à Z/nZ.
Exemples : Z/nZ, (Z/nZ)[X].
Remarque : car(A) = n ⇐⇒ 1A + . . . + 1A = 0A avec n minimal.
Proposition 7.4.3.
Soit A un anneau intègre. Alors, car(A) = 0 ou car(A) = p avec p un nombre premier.
Démonstration. Supposons car(A) = n = rs avec r, s ∈ N et r, s > 1. Soit f : Z −→ A
l’unique homomorphisme d’anneaux. Soient a = f (r), b = f (s). On a a 6= 0, b 6= 0, car r, s
ne sont pas des diviseurs de n. D’autre part, ab = f (r)f (s) = f (rs) = f (n) = 0. Donc, A
n’est pas intègre.
7.5
Anneaux intègres et corps de fractions
Soit A un anneau intègre.
Proposition 7.5.1.
Soient a, b, c ∈ A avec c 6= 0. Si ac = bc, alors a = b.
59
7.5. ANNEAUX INTÈGRES ET CORPS DE FRACTIONS
7
Démonstration. En effet, si ac = bc, alors (a − b)c = 0. Comme A est intègre et c 6= 0, on
a a − b = 0. Donc, a = b.
Construction du corps des fractions de A :
On définit une relation d’équivalence sur A × (A − {0}).
(a, b) ∼ (a0 , b0 ) ⇐⇒ ab0 = ba0 .
On note ab la classe d’équivalence de (a, b) et on note K l’ensemble des classes
d’équivalences. On a donc K = ab | a, b ∈ A, b 6= 0 . Alors, K est un corps appelé corps
des fractions de A.
Exemples :
1. A = Z, alors K = Q.
2. A = k[X] où k est un corps, K = k(x) =
K = k(X), le corps des fonctions sur k.
n
f
g
o
| g, g ∈ k[X], g 6= 0 . On appelle
Soit A un anneau intègre et K le corps des fraction de A. Alors, K contient un
sous-anneau isomorphe à A.
60
Chapitre 8
Corps
8.1
Extensions de corps
Soit K un corps.
Définition 8.1.1.
Une extension de corps L de K est un corps L qui contient K en tant que sous-corps.
Notations : L/K.
Exemples : R/Q , C/R , C/Q , Q(X)/Q , Fp (X)/Fp .
Remarque : Si L/K est une extension de corps, alors L est un espace vectoriel sur K.
Définition 8.1.2.
Le degré de l’extension L/K, noté [L : K] est par définition la dimension de L en tant
qu’espace vectoriel sur K, i.e., [L : K] = dimK (L).
Exemples :
1. [R : Q] = ∞ ;
2. [C : R] = 2 ;
3. [C : Q] = ∞ ;
4. [Q(X) : Q] = ∞ ;
5. [Fp (X) : Fp ] = ∞.
Proposition 8.1.3.
Soient M/L et L/K deux extensions. Alors [M : K] = [M : L] = [L : K].
Démonstration. cf. Exercices
8.2
Extensions algébriques et extensions transcendantes
Soit L/K une extension de corps et soit α ∈ L.
61
8.3. EXTENSIONS MONOGÈNES
8
Définition 8.2.1.
On dit que α est algébrique sur K s’il existe f ∈ K[X] avec f (α) = 0. On dit que α est
transcendant sur K si α n’est pas algébrique sur K.
Exemples :
1. C/R, α = i. Alors, i est algébrique sur R. Soit f (x) = x2 + 1 ∈ R[X], alors f (i) = 0.
√
2. R/Q, α = 3 2. Alors, α est algébrique sur Q. Soit f (x) = x3 − 2 ∈ Q[X], alors
√
f ( 3 2) = 0.
3. R/Q, α = π. Alors, π est transcendant sur Q, mais il est difficile de le montrer.
Définition 8.2.2.
On dit que L/K est une extension algébrique si tout α ∈ L est algébrique sur K. On
dit que L/K est une extension transcendante si elle n’est pas algébrique.
Définition 8.2.3.
Soit α ∈ C. On dit que α est un nombre algébrique si α est algébrique sur Q et on dit que
α est un nombre transcendant si α est transcendant sur Q.
√
Exemple : 3 2 est un nombre algébrique et π est un nombre transcendant.
8.3
Extensions monogènes
Soit L/K une extension de corps et soit α ∈ L, On a l’homomorphisme d’anneaux
ev
α
: K[X] −→ L
f (X) 7−→ f (α)
On note K[α] l’image de evα . Remarquons que K[α] est le plus petit sous-anneau de L
contenant K et α. Comme K[α] est un sous-anneau du corps K, alors K[α] est un
anneau intègre.
On note K(α) son corps des fractions. Alors, K(α) est une extension de K, appelée
extension monogène.
1er cas :
α algébrique sur K ⇐⇒ evα n’est pas injectif.
⇐⇒ ker(evα ) 6= {0}
⇐⇒ ker(evα ) est un idéal non-nul de K[X].
⇐⇒ ker(evα ) = hgi avec g ∈ K[X], g 6= 0.
On a evα : K[X] −→ K[α] ⊂ L.
Par le 1er théorème d’isomorphisme, on a un isomorphisme d’anneaux et donc
K[X]/hgi ∼
= K[α] ⊂ L.
62
8.4. CONSTRUCTION D’EXTENSIONS MONOGÈNES
8
Comme K[α] est intègre, hgi est un idéal premier de K[X]. De plus, K[X] est un anneau
principal, donc hgi est aussi maximal. On a donc g ∈ K[X] est irréductible. Comme hgi
est un idéal maximal de K[X], on a que K[X]/hgi est un corps. Donc, K[α] ∼
= K[X]/hgi
est un corps, d’où K[α] = K(α).
On peut supposer g ∈ K[X] unitaire. On appelle g le polynôme minimal de α.
Proposition 8.3.1.
[K(α) : K] = deg(g).
Démonstration. cf.Exercices
2ème cas :
α est transcendant sur K ⇐⇒ evα est injectif.
∼ K[X].
On a alors K[α] =
Corollaire 8.3.2.
α est algébrique sur K ⇐⇒ K[α] est un corps (K[α] = K(α)) ⇐⇒ [K(α) : K] < ∞.
Proposition 8.3.3.
Soient α, β ⊂ L algébrique sur K, ayant le même polynôme minimal. Alors, K(α) ∼
= K(β).
Démonstration. En effet, soit f ∈ K[X] le polynôme commun de α et β. Alors,
K(α) ∼
= K(β).
= K[X]/(f ) ∼
Exemple : K = Q, L = C, α =
commun est x3 − 2.
On a donc Q(α) ∼
= Q(β).
8.4
√
3
√
2iπ
2, β = ω 3 2 où ω = e 3 . Alors le polynôme minimal
Construction d’extensions monogènes
Soit K un corps et soit f ∈ K[X]. irréductible (et unitaire). Posons L ∼
= K[X]/(f ). C’est
un corps, extension de K. Considérons l’homomorphisme canonique
π : K[X] −→ L = K[X]/(f )
x 7−→ π(x) = α.
Posons α = π(x) ∈ L. Alors, L = K(α) et on a f (α) = 0. On a donc un corps L,
extension de K contenant une racine α de f . On a [L : K] = deg(f ).
Exemples :
1. K = Q, f (X) = X 2 + 1, alors Q[X]/(f ) ∼
= Q(i) ⊂ C.
2
2. K = F2 , f (X) = X + X + 1 ∈ F2 [X]. Alors, f est irréductible et alors
F2 (α) = F2 /(x2 + x + 1) est un corps, où f (α) = 0. On a deg(f ) = 2, donc
[F2 (α) : F2 ] = 2.
On a F2 (α) = {a + bα | a, b ∈ F2 }. Alors, ]F2 = 4. On a donc construit un corps fini à 4
éléments.
63
8.5. CORPS FINIS
8
Proposition 8.4.1.
Soit K un corps et f ∈ K[X]. Alors, il existe une extension L/K contenant toutes les
racines de f .
Démonstration. Par récurrence sur deg(f ).
- deg(f ) = 1, clair.
- Supposons deg(f ) > 1. Soit g ∈ K[X] un facteur irréductible de f . On considère
K[X]/(g) = K(α). On a f (X) = (X − α)h(X) avec h ∈ K(α)[X] et deg(h) < deg(f ). Par
hypothèse de récurrence, il existe un corps L contenant K(α) et toutes les racines de h.
Alors, L contient K et toutes les racines de f .
8.5
Corps finis
Soit p un nombre premier. Alors Fp est un corps fini à p-éléments. Il y en a d’autres,
par exemple, F2 (α) = F2 [X]/(X 2 + X + 1) est un corps fini à 4 éléments. Nous verrons les
résultats suivants :
1. Soit K un corps fini. Alors, il existe un nombre premier p et n ∈ N tel que ]K = pn .
2. Pour tout nombre premier p et tout n ∈ N, il existe un corps fini K avec ]K = pn .
3. Deux corps finis ayant le même nombres d’éléments sont isomorphes.
Proposition 8.5.1.
Soit K un corps fini. Alors il existe un nombre premier p et n ∈ N tel que ]K = pn .
Démonstration. Comme K est fini, on a car(K) 6= 0. En effet, tout corps de caractéristique
nul contient un sous-groupe isomorphe à Z, donc est infini. Ainsi, car(K) > 0.
Nous avons vu que la caractéristique d’un anneau intègre est un nombre premier. Donc,
il existe un premier p tel que car(K) = p. Alors, K contient un sous-corps isomorphe
à Fp . Donc, K est une extension de Fp . On a [K : Fp ] = n < ∞. On a donc K =
{a1 e1 + . . . + an en | ai ∈ Fp } où e1 , . . . , en ∈ K forment une base de K sur Fp .
On a donc ]K = pn .
Remarque : Soit K un corps fini à pn éléments. Posons q = pn . Alors, K ∗ est un
groupe fini à q − 1 éléments. Soit a ∈ K ∗ . Alors, par le théorème de Lagrange, on a
aq−1 = 1.
Donc, a est racine de X q−1 − 1 ∈ Fp . Tout élément de K est racine de X q − X ∈ Fp .
Lemme 8.5.2.
Soit K un corps et soit f ∈ K[X]. Supposons que le polynôme f ∈ K[X] et f 0 ∈ K[X] où
(f 0 est la dérivée de f ) n’ont pas de racines communes. Alors, toutes les racines de f sont
distinctes.
Démonstration. Supposons que f ait une racine multiple. Alors, f (x) = (x − a)2 g(x).
Alors, on a f 0 (x) = 2(x − a)g(x) + (x − a)2 g 0 (x). Donc, a est aussi une racine de f 0 et donc
f et f 0 ont une racine commune.
64
8.5. CORPS FINIS
8
Théorème 8.5.3.
Soient un nombre premier p et n ∈ N, alors il existe un corps fini K avec ]K = pn .
Démonstration. Posons q = pn . Soit F (X) = X q −X ∈ Fp [X]. Alors, il existe une extension
E/Fp contenant toutes les racines de F . Posons
K = {a ∈ E | aq = a} = {a ∈ E | F (a) = 0} .
Montrons que K est un corps. Soient a, b ∈ K, alors aq = a et bq = b. A montrer :
a + b, a − b, ab, a−1 ∈ K.
1. (ab)q = aq bq = ab, donc ab ∈ K.
2. (a + b)q = aq +
+bq = aq + bq = a + b ∈ K. De même pour a − b.
p(. . .)
| {z }
=0, carcar(E)=P
3. Supposons a 6= 0, a ∈ K. Alors, a−1 ∈ E. On a aq = a, donc (a−1 )q = (aq )−1 = a−1 ,
donc a−1 ∈ K.
On a donc que K est un sous-corps de E.
Montrons encore que ]K = q. Pour cela, montrons que les racines de F (X) = X q − X ∈ Fp
sont disctintes. On a F 0 (X) = qxq−1 −1 ∈ Fp [X], donc F 0 (X) = −1 ∈ Fp [X].
| {z }
=0
Donc, F 0 n’a aucune racine. On a donc que F et F 0 n’ont aucune racine en commun. Par
le lemme ..., ceci entraîne que toutes les racines de F sont distinctes.
Donc ]K = q.
Théorème 8.5.4.
Soit K un corps fini. Alors le groupe multiplicatif K ∗ est cyclique.
Démonstration. Le groupe K ∗ est un groupe abélien. Par le théorème de structure des
groupes abéliens finis, on sait que
K ∗ = Cd1 × · · · × Cdr
où Cdi est le groupe cyclique d’ordre di , et d1 |d2 | · · · |dr . On a ]K ∗ = d1 · · · dr .
Comme d1 |d2 | · · · |dr , on a, pour tout x ∈ K ∗ , que xdi = 1. Ceci implique que tout x ∈ K ∗
est racine de polynôme X dr − 1 ∈ Fp [x] ; où p =car(K). Nous savons qu’un polynôme de
degré dr a au plus dr racines.
On a donc ]K ∗ ≤ dr et d’autre part, ]K ∗ = d1 · · · dr . Ceci entraîne que r = 1, donc
K∗ ∼
= Cdr . Donc K ∗ est cyclique.
Exemples :
1. K = F2 [X]/(X 2 + X + 1) = F2 (α) avec α2 + α + 1 = 0.
K = {0, 1, α, α + 1} ;
K ∗ = {1, α, α + 1} ;
alors ]K = 4 et ]K ∗ = 3.
65
8.5. CORPS FINIS
8
On a K ∗ = hαi = hα + 1i. En effet, α2 = α + 1, α3 = α(α + 1) = α2 + α = 1.
(α + 1)2 = α2 + 1 = α, (α + 1)3 = α(α + 1) = α2 + α = 1.
2. K = F3 [X]/(X 2 + 1) ;
X 2 + 1 ∈ F3 [X] est irréductible. En effet, on a 0 + 1 6= 0, 1 + 1 6= 0, 4 + 1 6= 0.
Ainsi, on a bien un corps K ∼
= F3 (α) à 32 = 9 éléments.
K = 0, 1, 2, α, 2α, α + 1, α + 2, 2α + 1, 2α + 2 avec α2 + 1 = 0, donc α2 = 2
K ∗ = 1, 2, α, 2α, α + 1, α + 2, 2α + 1, 2α + 2 et ]K ∗ = 8.
Est ce que K ∗ = hαi ?
On a α2 = 2, α3 = 2α, α4 = 4 ≡ 1, donc K ∗ 6= hαi.
Par contre, K ∗ = hα + 1i.
On a (α + 1)2 = α2 + 2α + 1 = 2 + 2α + 1 = 3 + 2α = 2α 6= 1,
(α + 1)4 = (2α)2 = 4α2 = α2 = 2 6= 1 et (α + 1)8 = 22 = 1.
Proposition 8.5.5.
Soit K un corps fini de caractéristique p. Alors il existe α ∈ K tel que K = Fp (α).
Démonstration. Par le théorème précédent, il existe α ∈ K ∗ tel que K ∗ =< α >. Remarquons que hαi ⊆ Fp (α) et hαi ⊂ Fp (α)∗ .
On a aussi Fp (α) ⊂ K, donc Fp (α)∗ ⊂ K ∗ , donc hαi ⊂ Fp (α)∗ ⊂ K ∗ .
Comme hαi = K ∗ , on a donc hαi = Fp (α)∗ = K ∗ , d’où K = Fp (α).
Corollaire 8.5.6.
Soit K un corps fini de caractéristique p. Alors il existe f ∈ Fp [X] irréductible tel que
K∼
= Fp [X]/(f ).
Démonstration. En effet, il existe α ∈ K tel que K = Fp (α). Soit f ∈ Fp [X] le polynôme
minimal de α. Alors K ∼
= Fp [X]/(f ).
Corollaire 8.5.7.
Soit p un nombre premier et n ∈ N. Alors il existe un polynôme irréductible f ∈ Fp [X]
avec deg(f ) = n.
Démonstration. Il existe un corps fini K à pn éléments. Par le corollaire précédent, il existe
un polynôme irréductible f ∈ Fp [X] tel que K ∼
= Fp [X]/(f ).
Alors deg(f ) = [K : Fp ] = n.
Proposition 8.5.8.
Soit p un nombre premier et n ∈ N. Soit f ∈ Fp [X] irréductible et deg(f ) = n. Alors f
n
divise le polynôme X p − X ∈ Fp [X].
n
Démonstration. Posons F (X) = X p − X ∈ Fp [X]. Montrons la proposition par l’absurde.
Supposons que f ne divise pas F . Comme f est irréductible, ceci entraîne que f et F sont
66
8.5. CORPS FINIS
8
premiers entre eux.
Par l’identité de Bezout, il existe g, h ∈ Fp [X] tels que
f (X) · g(X) + F (X) · h(X) = 1.
(?)
Soit K = Fp [X]/(f ) = Fp (α). On a f (α) = 0. On a aussi F (α) = 0. En effet, ]K = pn .
n
n
On a donc pour tout a ∈ K, que ap = a. En particulier, αp = α. Donc F (α) = 0.
Remplaçons X par α dans (?). On obtient f (α) g(α) + F (α) h(α) = 0 = 1, donc contra| {z }
| {z }
=0
=0
diction. Donc f divise F , ce qui démontre la proposition.
Théorème 8.5.9.
Deux corps finis ayant le même nombre d’éléments sont isomorphes.
Démonstration. Soient K et L deux corps finis, ]K = ]L = pn avec p un nombre premier.
On sait qu’il existe f ∈ Fp [X] tel que K ∼
= Fp [X]/(f ) = Fp (α), avec f (α) = 0. (f
n
p
irréductible). Posons F (X) = X − X.
Par la proposition précédente, f divise F . On a ]L = pn . Donc, pour tout a ∈ L, on a
n
ap = a. Ceci entraîne que tout a ∈ L est racine de F . D’autre part, f divise F . Donc il
existe β ∈ L tel que f (β) = 0.
Le polynôme minimal de β est égal à f , car f est irréductible. Donc Fp (β) ∼
= Fp [X]/(f ).
n
On a Fp (β) ⊂ L. Mais ]Fp (β) = p . Donc Fp (β) = L.
∼ Fp [X]/(f ) =
∼ Fp (β) = L, donc K =
∼ L.
On a donc K = Fp (α) =
Notation : Soit p un nombre premier, et soit n ∈ N. Posons q = pn . On note Fq le corps
fini à q éléments, unique à isomorphisme près.
Exemple : F9
Soit f (X) = X 2 + 1 ∈ F3 [X], et soit K = F3 [X]/(f ). Alors f est irréductible, donc K est
un corps fini à 9 éléments. On a K ∼
= F9 .
2
Soit g(X) = X + X + 2 ∈ F3 [X]. Alors g est irréductible. Posons L = F3 [X]/(g). Alors
L est un corps fini à 9 éléments. Donc L ∼
= F9 . On a donc K ∼
= L.
Proposition 8.5.10.
Soit K un corps fini à q = pn éléments et soit E/K une extension. Alors
K = {a ∈ E | aq = a} .
Démonstration. On sait déjà que K ⊂ {a ∈ E | aq = a}. Comme ]K = q, on a égalité.
2
Soit K un corps. On note K 2 = a2 | a ∈ K et K ∗ = a2 | a ∈ K ∗ .
Proposition 8.5.11.
2
Soit K un corps fini de caractéristique 2. Alors K ∗ = K ∗ .
Démonstration. cf.exercice 4, série 25
67
8.6. CORPS DES RACINES
8
Proposition 8.5.12.
Soit K un corps fini, avec car(K) 6= 2. Soit q = ]K. Soit a ∈ K ∗ . Alors,
2
a ∈ K ∗ ⇐⇒ a
q−1
2
= 1.
2
Démonstration. =⇒: est clair. En effet, si a ∈ K ∗ , alors il existe b ∈ K ∗ avec a = b2 .
q−1
Comme b ∈ K ∗ , on a bq−1 = 1. Ceci entraine que a 2 = bq−1 = 1.
⇐=: Soit a ∈ K ∗ , et soit E une extension de K contenant toutes les racines de X 2 − a ∈
K[X].
Soit b ∈ E une racine de X 2 − a. On a alors b2 = a. On a
b ∈ K ⇔ bq−1 = 1 ⇔ a
q−1
2
= 1.
Ceci démontre la proposition.
Proposition 8.5.13.
Soit K un corps fini à q éléments, et soit E/K une extention de degré fini. Alors,
1. ]E = q m pour un certain m ∈ N;
2. σ : E −→ E; a 7−→ aq est un automorphisme de E ;
3. K = {a ∈ E | σ(a) = a} .
Démonstration. 1. E est une extension de K. Posons m = [E : K]. Alors ]E = q m .
2. Montrons que σ est un automorphisme. On a σ(1) = 1, σ(ab) = (ab)q = aq bq =
σ(a)σ(b), pour tout ab ∈ E.
On a σ(a + b) = (a + b)q = aq + q(. . .) +bq = aq + bq = σ(a) + σ(b), pour tout a, b ∈ E.
| {z }
=0
Donc σ est bien un homomorphisme d’anneaux, donc de corps. Il reste à montrer que σ
est bijectif. Comme σ est un homomorphisme d’anneaux, ker(σ) est un idéal de E qui est
un corps, donc ker(σ) = {0} ou ker(σ) = E. Mais σ 6= 0, donc ker(σ) 6= E.
Ainsi, ker(σ) = {0} et donc σ est injective. Comme σ est une application injective entre
deux ensembles de même cardinalité q k , σ est bijective.
8.6
Corps des racines
Définition 8.6.1.
Soit K un corps et p(x) ∈ K[X]. Un corps L s’appelle corps des racines de p(x) si L =
Q
K[a1 , . . . , an ], où a1 , . . . , an sont des racines de p(x) et p(x) = c ni=1 (x − ai ) avec c le
coefficient dominant de p(x).
Exemples :
1. K = R, p(x) = x2 + 1 ∈ R[X]. Les racines sont i, −i, donc L = R[−i, i] est un corps
des racines de p(x). On remarque que L = R[i] = C.
68
8.6. CORPS DES RACINES
8
√ √
√ √
2. K = Q, p(x) = x2 − 3 ∈ Q[X]. Les racines sont − 3, 3, donc L = Q[− 3, 3] est
√
un corps des racines de p(x). On remarque que L = Q[ 3].
3. K = Q, p(x) = x2 − 2 ∈ Q[X]. On note ω une racine primitive de x3 − 1 = 0.
√
√ √
Les racines de p(x) sont 3 2, 3 2ω, 3 2ω 2 . On a
√ √
√
√ √
L = Q[ 3 2, 3 2ω, 3 2ω 2 ] = Q[ 3 2, 3 2ω].
On va démontré que le corps des racines d’un polynôme est unique à isomorphisme près.
Lemme 8.6.2.
Un isomorphisme ϕ : K1 −→ K2 de deux corps induit un isomorphisme ϕ : K1 [X] −→
K2 [X].
Démonstration. On a ϕ : K1 [X] −→ K2 [X] avec ni=0 ai xi 7−→ ni=0 ϕ(ai )xi qui est
un homomorphisme bijectif, car son inverse est donné par ϕ−1 : K2 [X] −→ K1 [X] avec
Pn
Pn
i
−1
i
i=0 bi x 7−→
i=0 ϕ (bi )x
P
P
Théorème 8.6.3.
Soient K1 , K2 deux corps et ϕ : K1 −→ K2 un isomorphisme de corps. Soit p(x) ∈
K1 [X], L1 un corps des racines de p(x) et L2 un corps des racines de ϕ(p(x)). Alors
L1 ∼
= L2 .
Démonstration. On remarque que L1 est une extension finie de K1 (de même pour L2 et
K2 ). On procède par récurrence sur [L1 : K1 ].
Q
Si [L1 : K1 ] = 1, alors L1 = K1 , donc a1 , . . . , an ∈ K1 . Alors, p(x) = ni=1 implique
Q
Q
Q
ϕ(p(x)) = ϕ( ni=1 (x − ai )) = ni=1 ϕ(x − ai ) = ni=1 (x − ϕ(ai )). Donc, toutes les racines
de ϕ(p(x)) sont dans K2 . Ainsi, L2 = K2 et donc L1 = K1 ∼
= K2 = L2 .
On suppose le résultat vrai pour [L1 : K1 ] < n et supposons que [L1 : K1 ] = n.
Si toutes les racines de p(x) sont dans K1 , alors on procède comme précédemment.
Supposons qu’il y a au moins une racine a1 de p(x) tel que a1 ∈
/ K1 . Soit q(x) le polynôme
minimal de a1 sur K1 . On a les isomorphismes d’anneaux suivant
K1 [x]/(q(x)) −→ K1 [a1 ]
et
K2 [x]/(ϕ(q(x))) −→ K2 [b1 ]
où b1 est une racine du polynôme irréductible ϕ(q(x)) dans L2 . L’isomorphisme d’anneaux
ϕ : K1 [x] −→ K2 [x] induit l’isomorphisme de corps ϕb : K2 [x]/(q(x)) −→ K2 [x]/(ϕ(q(x))).
En effet, on considère la projection canonique π : K2 [x] −→ K2 [x]/(ϕ(q(x))).
Comme π est surjectif, π ◦ ϕ est surjectif. Son noyau est (q(x)). En effet, R(x) ∈ ker(π ◦
ϕ) ⇐⇒ π(ϕ(R(x))) = 0 ⇐⇒ ϕ(R(x)) ∈ (ϕ(q(x))) ⇐⇒ ϕ(q(x)) | ϕ(R(x)) ⇐⇒ q(x) | R(x) ⇐⇒
R(x) ∈ (q(x)).
b Par
Par le 1er théorème d’isomorphisme, on obtient l’existence d’un isomorphisme ϕ.
composition, on a l’isomorphisme
K1 [x]/(q(x)) −→ K2 [x]/(ϕ(q(x))) −→ K2 [b1 ]
69
8.7. CORPS ALGÉBRIQUEMENT CLOS
8
x + q(x) 7−→ x + ϕ(q(x)) 7−→ b1
et l’isomorphisme
K1 [x]/(q(x)) −→ K1 [a1 ]
x + q(x) 7−→ a1
Par composition, on obtient un isomorphisme ψ : K[a1 ] −→ K2 [b1 ] avec a1 7→ b1 et
λ ∈ K1 7→ ϕ(λ).
n
1 :K1 ]
On a [L1 : K1 [a1 ]] = [K[L
= deg(q)
< n, car deg(q) ≥ 2. Par l’hypothèse de récurrence,
1 :K1 [a1 ]]
l’isomorphisme ψ s’étend en un isomorphisme L1 −→ L2 . On remarque que L1 est un corps
des racines de p(x) ∈ K1 [a1 ][x], de même pour L2 et ψ(ϕ(x)) = ϕ(p(x)).
Corollaire 8.6.4.
Soit K un corps et p(X) ∈ K[X]. Alors, deux corps des racines sont isomorphes.
Démonstration. On prend K1 = K2 = K et φ = id dans le théorème 8.6.3.
bf Remarque : Soit p un nombre premier et n ∈ N, alors Fpn est le corps des racines du
n
polynôme X p − X ∈ Fp [X]. Ceci redémontre l’unicité à isomorphisme près des corps
finis.
8.7
Corps algébriquement clos
Théorème 8.7.1.
Soit K un corps. Les conditions suivantes sont équivalentes.
1. Tout polynôme de K[X] irréductible est de degré 1.
2. Tout polynôme de K[X] non-constant s’écrit comme produit de polynôme de degré
1.
3. Tout polynôme de K[X] non-constant a une racine dans K.
4. Toute extension algébrique L de K est de degré 1. (L = K).
Démonstration. 1. =⇒ 2. : Clair, car K[X] est un anneau factoriel.
2. =⇒ 3. : Clair.
3. =⇒ 1. : Soit p(X) ∈ K[X] un polynôme irréductible. Par 3., il existe a ∈ K tel que
p(a) = 0, donc X − a | p(X). Il existe donc c ∈ K tel que p(X) = c(X − a) et alors
deg(p(X)) = 1.
1. =⇒ 4. : Soit L/K une extension algébrique et a ∈ L. Soit p(X) le polynôme minimal
de a sur K. Comme p(X) est irréductible, il est de degré 1 par hypothèse. Donc, [K[a] :
K] = deg(p(X)) = 1. Donc, on a bien K[a] = K et donc a ∈ K. Ainsi, K = L.
4. =⇒ 1. Soit p(X) un polynôme irréductible et L = K[X]/(p(X)). Alors, L est une
extension finie de K, de degré deg(p(X)). Donc, L/K est algébrique et par 4., [L : K] = 1
et donc deg(p(X)) = 1.
70
8.7. CORPS ALGÉBRIQUEMENT CLOS
8
Définition 8.7.2.
Un corps qui satisfait une des conditions du théorème 8.7.1. s’appelle un corps algébriquement clos.
Exemples :
1. F2 n’est pas algébriquement clos. Par exemple, p(X) = X 2 + X + [1]2 ∈ F2 [X] n’a pas
de racines dans F2 .
2.R n’est pas algébriquement clos. Par exemple, p(X) = X 2 + 1 ∈ R[X] n’a pas de
racines dans R.
3. Q n’est pas algébriquement clos.
Théorème 8.7.3.
C est un corps algébriquement clos.
Théorème 8.7.4.
Tout corps algébriquement clos est infini.
Définition 8.7.5.
Soit K un corps. Une extension algébrique normale de K s’appelle clôture algébrique de
K.
Théorème 8.7.6.
Pour tout corps K, la clôture algébrique de K, notée K existe et elle est unique à isomorphisme près.
71
Chapitre 9
Polyômes sur un anneau factoriel
Soit A un anneau factoriel.
Définition 9.0.7.
Soient a, b ∈ A non-nuls. L’élément c ∈ A s’appelle un plus grand diviseur commun
de a et de b s’il satisfait
i) c|a et c|b ;
ii) si d ∈ A, d|a et d|b, alors d|c.
On remarque que le pgcd est défini à multiplication par un inversible près. (Si c satisfait
i), ii), alors pour tout u ∈ A∗ , cu les satisfait aussi.)
Exemples :
1. Dans Z, 4 est un pgcd de 12 et de 16, tout comme −4.
2. Dans F3 [t], t + [1]3 est un pgcd de (t + [1]3 )(t + [2]3 ) et de t(t + [1]3 ), tout comme
[2]3 (t + [1]3 ).
Théorème 9.0.8.
Soit A un anneau factoriel. Pour tout a, b ∈ A non-nuls, il existe un pgcd de a et b.
Démonstration. Soient p1 , . . . , pn tous les irréductibles de A qui divisent a ou b. Alors,
a = upα1 1 · · · pαnn et b = vpβ1 1 · · · pβnn avec u, v ∈ A∗ et αi , βi ≥ 0.
On pose c = pγ11 · · · pγnn , γi = min(αi , βi ). On va montrer que c est un pgcd de a et b.
Comme pour tout i, γi ≤ αi , c|a. De même pour b, on a c|b.
Soit d ∈ A tel que d|a et d|b. Alors d = wpδ11 · · · pδnn , w ∈ A∗ et δi ≤ 0. Comme d|a, on
a δi ≤ αi pour tout i et de même δi ≤ βi . Donc δi ≤ min(αi , βi ) = γi . pour tout i. Par
conséquent, d|c.
Définition 9.0.9.
Soit A un anneau factoriel. Le contenu d’un polynôme non-nul f ∈ A[x] est le pgcd de
ses coefficients.
Le contenu est défini à multiplication par un inverse près.
72
9
Exemples : Dans Z[x], le contenu de f = 2x3 + 16x + 4 est 2 et celui de
g = 4x4 + 3x + 5 est 1.
Définition 9.0.10.
Un polynôme de A[x] s’appelle primitif si son contenu est 1.
Remarques :
1. Tout f ∈ A[x] − {0} s’écrit comme f = cont(f )f¯, où f¯ ∈ A[x] est primitif.
2. Soit p ∈ A irréductible. L’homomorphisme d’anneaux πp : A −→ A/(p), a 7→ a + (p)
la surjection canonique induit l’homomorphisme d’anneaux
π̃p : A[x] −→ [A/(p)][x], an xn + · · · + ao 7→ (an + (p))xn + · · · + a0 + (p).
3. Un polynôme f ∈ A[x] − {0} n’est pas primitif s’il existe un irréductible p ∈ A qui
divise tous ses coefficients, i.e. f ∈ ker(π̃p ).
Lemme 9.0.11 (Lemme de Gauss).
Soit A un anneau factoriel. Soient f, g ∈ A[x] non-nuls. Si f, g sont primitifs, alors f · g
l’est aussi.
Démonstration. Soient f et g primitifs. Par l’absurde, supposons que f · g ne soit pas
primitif. Alors, il existe p ∈ A tel que 0 = π̃p (f ·g) = π̃p (f )π̃p (g). Comme p est irréductible,
(p) est un idéal premier, donc A/(p) est un anneau intègre. Ceci entraîne que (A/(p))[x]
est intègre. Par conséquent, π̃p (f ) = 0 ou π̃p (g) = 0, donc f ou g n’est pas primitif.
Contradiction avec l’hypothèse de départ. Ainsi, f · g est primitif.
Corollaire 9.0.12.
Pour tout f, g ∈ A[x] − {0}, alors cont(f g) = cont(f )cont(g).
Démonstration. Soient f = cf¯ et g = dḡ, où c = cont(f ) et d = cont(g) et f¯, ḡ ∈ A[x]
primitifs. Alors, f · g = (cd)f¯ · ḡ. Comme f¯ et ḡ sont primitifs, alors f¯ · ḡ l’est aussi par le
lemme de Gauss. Donc, cont(f g) = cd = cont(f )cont(g).
Soit K le corps des fractions de A.
Théorème 9.0.13.
Soit f ∈ A[x] − {0} un polynôme primitif. Alors, f est irréductible dans A[x] ⇐⇒ f est
irréductible dans K[x].
Démonstration. =⇒: Supposons que f soit irréductible dans K[x]. Montrons que f l’est
dans A[x]. Soit f = gh, g, h ∈ A[x]. non-inversibles. Ceci peut être vu comme une décomposition de f dans K[x]. Il reste à voir que g et h ne sont pas inversibles dans K[x]. Si
g ∈ K[x]∗ , alors g ∈ K ∗ . Comme g ∈ A[x], on a g ∈ A − {0}, ce qui contredit le fait que
f soit primitif, car g divise tous ses coefficients.
73
9
⇐=: Réciproquement, supposons que f soit irréductible dans A[x]. Soit f = gh avec
g, h ∈ K[x], non-inversibles.
Soit g = abnn xn + · · · + ab00 avec ai , bi ∈ A et bi 6= 0. Alors,
g=
a0n xn + · · · + a00
pgcd(b0 , . . . , bn )
Notons g 0 le numérateur de g. On a g 0 ∈ A[x] et g 0 = cont(g 0 )ḡ 0 , avec ḡ 0 ∈ A[x] prmitif.
Donc,
cont(g 0 )
g=
ḡ 0 .
pgcd(b0 , . . . , bn )
Par conséquent, tout polynôme g ∈ K[x] s’écrit comme g = cḡ avec c ∈ K ∗ , ḡ ∈ A[x]
primitif. De même, soit h = dh̄ avec d ∈ K ∗ , h̄ ∈ A[x] primitif.
Alors, f = cdḡ h̄. Comme ḡ et h̄ sont primitifs, alors par le lemme de Gauss, ḡ h̄ l’est aussi.
Soit cd = uv , u, v ∈ A, v 6= 0. On a f = uv ḡ h̄, donc vf = uḡ h̄ ∈ A[x]. Le contenu est à la
fois u et v, donc il existe w ∈ A∗ tel que u = vw, donc uv = w. Ainsi, f = wḡ h̄.
Comme f est irréductible dans A[x], on peut supposer sans perte de généralité que ḡ
soit inversible, i.e., g ∈ (A[x])∗ = A∗ . Donc g ∈ K ∗ , donc g est inversible dans K[x].
Contradiction ! Donc f est irréductible dans K[x].
Corollaire 9.0.14.
Un polynôme primitif de Z[x] est irréductible dans Z[x] ⇐⇒ il l’est dans Q[x].
Exemple : f = 6x2 + 5x + 1 ∈ Z[x]. On a 61 f = x2 + 56 x + 61 = (x + 12 )(x + 13 ). Comme f
n’est pas irréductible dans Q[x], il ne l’est pas dans Z[x] non plus.
Théorème 9.0.15 (Gauss).
Si A est un anneau factoriel, alors A[x] l’est aussi.
Remarques : Les éléments irréductibles dans A[x] sont de deux types :
i) Les élément irréductibles de A. (vu comme polynôme de degré 0) ;
ii) Les polynômes f ∈ A[x], primitifs dans A[x] et irréductibles dans K[x].
Corollaire 9.0.16.
Si A est factoriel, alors A[x1 , . . . , xn ] l’est aussi.
Démonstration. Par récurrence sur n. Si n = 1, alors par le théorème de Gauss, A[x1 ] est
factoriel.
Supposons que A[x1 , . . . , xn−1 ] est factoriel. Par Gauss encore, on a A[x1 , . . . , xn−1 ][xn ] =
A[x1 , . . . , xn ]
Corollaire 9.0.17.
1. Pour tout corps K, K[x1 , . . . , xn ] est factoriel.
2. Z[x1 , . . . , xn ] est factoriel.
74
Chapitre 10
Quaternions
Définition 10.0.18.
Soit A un anneau non-commutatif. On dit que A est un corps non-commutatifs (ou corps
gauche, anneau à division) si pour tout a ∈ A, il existe b ∈ A tel que ab = ba = 1 (i.e.
A∗ = A\ {0}).
Théorème 10.0.19.
Soit K un corps (commutatif ou non) qui soit un espace vectoriel de dimension finie sur
R. Alors, dimR (K) = 1, 2, 4.
10.1
Corps des quaternions
Soit H = {a · 1 + b · i + c · j + d · k | a, b, c, d ∈ R} muni de la multiplication déterminée
par les propriétés suivantes :
1. L’élément 1 est l’unité de la multiplication ;
2. La multiplication est associative et bilinéaire ;
3. On a i2 = −1, j 2 = −1, k 2 = −1 et ij = −ji = k.
Remarque : On a ik = i(ij) = i2 j = −j ; ki = (ij)i = iji = i(−ji) = −i2 j = j ; jk =
j(−ji) = −j 2 i = i ; kj = −i.
On peut plonger R dans H par l’application a 7−→ 1 · a + 0 · i + 0 · j + 0 · k. Donc H
contient un sous-espace isomorphe à R. Remarquons que H est un anneau non-commutatif
et est un espace vectoriel de dimension 4 sur R.
Définition 10.1.1.
Soit x ∈ H avec x = a + bi + cj + dk. Posons x̄ = a − bi − cj − dk. Ceci définit une
application R-linéaire
H −→ H
x 7−→ x̄
appelée la conjugaison de H.
75
10.1. CORPS DES QUATERNIONS
10
Lemme 10.1.2.
On a les propriétés suivantes :
¯ = x pour tout x ∈ H ;
1. x̄
2. {x ∈ H | x̄ = x} = R.
¯ y = x̄ + ȳ pour tout x, y ∈ H.
3. x +
4. xy
¯ = x̄ȳ pour tout x, y ∈ H.
Démonstration. 1, 2, 3 sont évidentes. Montrons 4. Par bilinéarité de la multiplication, il
suffit de vérifier cette propriété pour les éléments de la base. On a
¯ = k̄ = −k ; j̄ ī = (−j)(−i) = ji = −k.
ij
¯ = j̄ ī. Remarquons que īj̄ = (−i)(−j) = ij = k 6= ij
¯ = −k. On procède de même
Donc ij
avec les autres éléments de la base.
Définition 10.1.3.
On définit la norme N : H −→ R par N (x) = xx̄.
Lemme 10.1.4.
N (x) ∈ R pour tout x ∈ R.
¯ = xx̄ = N (x) pour tout x ∈ H. Ainsi, on a N ¯(x) = N (x)
Démonstration. N ¯(x) = xx̄
pour tout x ∈ H. Donc par 2. du lemme 10.1.2. on a N (x) ∈ R pour tout x ∈ H.
Lemme 10.1.5.
N (xy) = N (x)N (y) pour tout x, y ∈ H.
Démonstration. N (xy) = (xy)(xy)
¯ = x(y ȳ)x̄ = xN (y)x̄ = xx̄N (y) = N (x)N (y).
Lemme 10.1.6.
Soit x = a + bi + cj + dk ∈ H. Alors, N (x) = a2 + b2 + c2 + d2 .
Démonstration.
N (x) = xx̄ = (a + bi + cj + dk)(a − bi − cj − dk)
= ...
= a2 + (bi)(−bi) + (cj)(−cj) + (dk)(−dk) + 0
= a2 + b2 + c2 + d2 .
Lemme 10.1.7.
Soit x ∈ H. Alors N (x) = 0 ⇐⇒ x = 0.
Démonstration. En effet, si x = a + bi + cj + dk, alors N (x) = a2 + b2 + c2 + d2 = 0 ⇔
x = 0.
76
10.2. GROUPE DES QUATERNIONS
10
Théorème 10.1.8.
H est un corps non-commutatif.
Démonstration. Soit x ∈ H, x 6= 0. On a donc N (x) 6= 0. Posons y = N 1(x) x̄ ∈ H. On a
x · y = x · N 1(x) x̄ = N 1(x) xx̄ = N 1(x) N (x) = 1. De même, yx = N 1(x) x̄ · x = N 1(x) xx̄ = 1.
Théorème 10.1.9.
Soit K un corps non-nécésserairement commutatif qui est un espace vectoriel de dimension
∼ R, C, H.
finie sur R. Alors, K =
Lemme 10.1.10.
Posons H0 = {a + bi + cj + dk | a, b, c, d ∈ Z} ⊂ H. Alors, H0 est un sous-anneau de H.
Démonstration. En effet, on a i ∈ H0 et pour tout x, y ∈ H0 , x + y, x − y et xy ∈ H0 .
Lemme 10.1.11.
Soit x ∈ H0 , alors x̄ ∈ H0 .
Démonstration. Clair, car si a, b, c, d ∈ Z, alors −a, −b, −c, −d ∈ Z aussi.
Lemme 10.1.12.
Soit x ∈ H0 , alors N (x) ∈ N.
Démonstration. Conséquence du fait que si a ∈ Z, alors a2 ∈ N et du fait que N (x) =
a2 + b2 + c2 + d2 .
Lemme 10.1.13.
Soit x ∈ H0 . Alors, x ∈ H0∗ ⇐⇒ N (x) = 1.
Démonstration. =⇒ : Soit x ∈ H0∗ , alors y ∈ H0 avec xy = yx = 1. On a N (xy) =
N (x) N (y) = N (1) = 1, donc N (x) = 1.
| {z } | {z }
∈N
∈N
⇐= : Soit x ∈ H0 tel que N (x) = 1. Posons y = x̄. On a xy = xx̄ = N (x) = 1. On sait
que y = x̄ ∈ H0 . De même, yx = 1, donc x ∈ H0∗ .
10.2
Groupe des quaternions
Posons Q8 = H0∗ . Alors, Q8 est un groupe appelé groupe des quaternions.
Proposition 10.2.1.
On a Q8 = {1, i, j, k, −1, −i, −j, −k}. En particulier, Q8 est un groupe non-abélien fini à
8 éléments.
Démonstration. Soit x = a + bi + cj + dk ∈ Q8 = H0∗ . On a N (x) = a2 + b2 + c2 + d2 = 1
avec a, b, c, d ∈ Z. Donc, soit
1. a2 = 1, b2 = c2 = d2 = 0 ⇐⇒ a = ±1, b = c = d = 0 ⇐⇒ x = ±1 ;
2. b2 = 1, a2 = c2 = d2 = 0 ⇐⇒ b = ±1, a = c = d = 0 ⇐⇒ x = ±i ;
77
10.2. GROUPE DES QUATERNIONS
10
3. c2 = 1, b2 = a2 = d2 = 0 ⇐⇒ c = ±1, b = a = d = 0 ⇐⇒ x = ±j ;
4. d2 = 1, b2 = c2 = a2 = 0 ⇐⇒ d = ±1, b = c = a = 0 ⇐⇒ x = ±k.
De plus, Q8 est non-abélien, ij 6= ji.
Remarquons que Q8 est un 2-groupe.
Proposition 10.2.2.
Z(Q8 ) = {−1, 1}.
Démonstration. En effet, ij 6= ji et jk 6= kj.
78
Chapitre 11
Introduction à le théorie de Galois
Définition 11.0.3.
Soit K un corps. Soit f ∈ K[x] irréductible. On dit que f est séparable si toutes les
racines de f sont distinctes.
f (x) = (x − a1 ) · · · (x − an )
ai 6= aj , i 6= j
Soit L/K une extension. Soit α ∈ L. On dit que α est séparable si le polynôme minimal de
α sur K est un polynôme de K[x] séparable. On dit que L/K est une extension séparable
si tout α ∈ L est séparable.
Proposition 11.0.4.
Soit f ∈ K[x] et soit a une racine de f (dans une extension de K). Alors, a est une racine
multiple de f si et seulement si f 0 (a) = 0 i.e. a est aussi une racine de f 0 .
Corollaire 11.0.5.
Soit f ∈ K[x]. Alors toutes les racines de f sont distinctes si et seulement si f et f 0 n’ont
pas de racines communes.
Corollaire 11.0.6.
Soit f ∈ K[x] irréductible. Alors f est séparable si et seulement si f 0 6= 0.
Démonstration. Par le corollaire précédent, on a
f séparable ⇐⇒ (f, f 0 ) = 1 ⇐⇒ f 0 6= 0.
En effet, on a deg(f 0 ) < deg(f ).
Corollaire 11.0.7.
Supposons car(K) = 0. Alors tout polynôme irréductible est séparable.
Démonstration. En effet, deg(f ) ≥ 1, donc f 0 6= 0.
Corollaire 11.0.8.
Toute extension d’un corps de caractéristique nulle est séparable.
79
11
Exemple : Soit p un premier. Soit K = Fp (y) où y est une variable. Soit
f (x) = xp − y ∈ K[x]. On a f 0 (x) = pxp−1 = 0. Donc f n’est pas séparable.
Proposition 11.0.9.
Soit p un premier et soit f ∈ Fp [x] un polynôme irréductible. Alors, f est séparable.
Démonstration. En effet, soit n = deg(f ). On sait que f divise F (x) = xp − x. Nous avons
vu que F n’a pas de racine multiple. Donc, f est séparable.
Corollaire 11.0.10.
Toute extension d’un corps fini est séparable.
Définition 11.0.11.
Soit L/K une extension de degré fini. On dit que L/K est une extension normale si le
polynôme minimalde tout élément de L a ses racines dans L.
Exemple :
√
√
1. K = Q, L = Q( 3 2). Soit α = 3 2 ∈ L. Le polynôme minimal de α est x3 − 2. Or,
√
√
√
2iπ
3
3
/ L. Donc, L/K n’est
x3 − 2 = (x − 3 2)(x − ζ 2)(x − ζ 2 2) où ζ = e 3 et β, γ ∈
| {z }
β
| {z }
γ
pas normale.
√
2. K = Q, L = Q( 2). Alors, L/K est une extension normale. Soit par exemple
√
√
√
α = 3 2 ∈ L. Alors, le polynôme minimale de α est x2 − 2 = (x − 2)(x + 2) et
les deux racines sont dans L.
Plus g énéralement, on peut montrer que le polynôme minimal de tout élement de
L a toutes ses racines dans L.
Proposition 11.0.12.
Toute extension L/Fp où p est un premier est une extension normale.
Démonstration. Soit α ∈ L et soit f ∈ Fp [x] le polynôme minimal de α. Soit n = [L : Fp ].
n
Alors, deg(f )|n. On sait que f divise F (x) = xp − x Or, L consiste en les racines de F ,
donc toutes les racines de f sont dans L.
Définition 11.0.13.
Soit L/K une extension de corps de degré fini. On dit que L/K est une extension galoisienne si elle est séparable et normale.
Exemple :
√
1. K = Q, L = Q( 3 2). Alors, L/K n’est pas galoisienne.
√
2. K = Q, L = Q( 2). Alors, L/K est galoisienne.
3. K = F3 , L = F3 . Alors, L/K est galoisienne.
Théorème 11.0.14.
Soit f ∈ K[x] un polynôme séparable. Alors, tout corps des racines de f est une extension
galoisienne de K.
80
11
Notation : Soit L un corps. On note Aut(L) les automorphismes de corps de L. Soit
L/K une extension de K. On note Aut(L/K) l’ensemble des automorphismes de L dont
la restriction à K est l’identité.
De plus, on a que Aut(L) est un groupe par rapport à la composition et Aut(L/K) est
un sous-groupe de Aut(L).
Exemple :
√
√
1. K = Q, L = Q( 2). Le polynôme minimal de 2 est x2 − 2. Soit σ ∈ Aut(L/K).
√
√
√
√
Alors, σ( 2) est aussi racine de x2 − 2. Donc, σ( 2) = 2 ou − 2. Soit
√
√
σ ∈ Aut(L/K) défini par σ( 2) = − 2. Alors, Aut(L/K) = {id, σ}.
√
√
2. K = Q, L = Q( 3 2). Le polynôme minimal de 3 2 est x3 − 2.On a
√
√
√
2iπ
x3 − 2 = (x − 3 2)(x − ζ 3 2)(x − ζ 2 3 2) où ζ = e 3 . Soit σ ∈ Aut(L/K). Alors,
√
3
σ( 2) =
 √
3


 2 −→ σ = id
√
ζ32∈
/L


3
 ζ2 √
2∈
/ L.
Donc, Aut(L/K) = {id}.
Notation : Soit L/K une extension galoisienne. Alors, on note Gal(L/K) = Aut(L/K).
Ce groupe est appelé groupe de Galois de L/K.
Théorème 11.0.15.
Soit L/K une extension galoisienne. Alors, ]Gal(L/K) = [L : K].
Définition 11.0.16.
Soit f ∈ K[x] séparable. On dit que l’équation f (x) = 0 est résoluble par radicaux si
on peut exprimer toutes les racines de cette equation par les quatre opérations de base et
des extractions de racines.
Exemple : deg(f ) = 2, alors f est résoluble par radicaux.
Définition 11.0.17.
Soit G un groupe fini. On dit que G est résoluble s’il existe une chaîne de sous-groupes
{1} = H0 ⊂ H1 ⊂ · · · ⊂ Hn = G
tell que pour i = 0, 1, . . . , n − 1, le sous-groupe Hi est un sous-groupe normal de Hi+1 et
que le groupe quotient Hi+1 /Hi soit abélien.
Théorème 11.0.18.
Soit f ∈ K[x] un polynôme séparable et soit L un corps des racines de f . Soit G =
Gal(L/K). Alors, l’équation f (x) = 0 est résoluble par radicaux si et seulement si G est
un groupe résoluble.
Théorème 11.0.19.
Si n ≥ 5, alors Sn n’est pas résoluble.
81
11
Exemple : Soit f (x) = x5 − 4x + 2 ∈ Q[x]. Alors, f (x) = 0 n’est pas résoluble par
radicaux.
Soit N/K une extension galoisienne et soit G = Gal(N/K). Soit H un sous-groupe
de G et posons L = N H = {x ∈ N | h(x) = x ∀h ∈ H}. Alors, L est un sous-corps de N
contenant K.
On voit que N est une extension galoisienne de L et G = Gal(N/K) = H.
Théorème 11.0.20 (Théorème fondamental de la théorie de Galois).
On a une bijection
(Sous-groupes de G) ←→ (Sous-corps L de N contenant K)
H 7−→ L = N H
H = Gal(N/L) ←− L
De plus, H est un sous-groupe normal de G si et seulement si L/K est une extension
galoisienne. On a alors
Gal(L/K) ∼
= G/H.
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