Chapitre 3 Espaces vectoriels

Chapitre 3Espaces vectoriels
1Notions fondamentales • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
D´ efinition (Espace vectoriel)
Soit Eun ensemble non vide. On dit que Eest un espace vectoriel sur K(Rou C)s’il est muni de
deux op´ erations not´ ees +et ·telles que :
(i)Pour tous u,v∈Eet λ∈K, on a u+v∈Eet λ·u∈E(r` egle de stabilit´ e);
(ii)L’addition ‘+’ est associative, commutative, poss` ede un ´ el´ ement neutre 0 et tout ´ el´ ement u∈E
admet oppos´ e−u∈Etel que u+ (−u) = 0 ;
(iii)Pour tous u,v∈Eet λ,µ∈K,
1·u=u,λ·(u+v) = λ·u+λ·v,(λ+µ)·u=λ·u+µ·uet λ·(µ·u) = (λµ)·u
Proposition (Sous-espace vectoriel)
Soit F⊂Eun sous-ensemble non vide de E. Si Fv´ erifie la r` egle de stabilit´ e(i)de la d´ efinition,
alors Fest un espace vectoriel sur K. On dit que c’est un sous-espace vectoriel de E.
D´ efinition (Produit d’espaces vectoriels)
Soient E1et E2deux espaces vectoriels sur K. On note E=E1×E2l’ensemble des couples
de vecteurs (u1,u2)o` uu1∈E1et u2∈E2et on pose pour λ∈K,(u1,u2)et (v1,v2)∈E,
λ·(u1,u2) = (λu1,λu2)et (u1,u2)+(v1,v2) = (u1+v1,u2+v2).
Muni de ces op´ erations, Ea une structure d’espace vectoriel sur K. On l’appelle produit des espaces
vectoriels E1et E2.
Proposition (Sous-espace vectoriel engendr´ e)
Soit U= (u1, . . . , un)une famille de vecteurs de E. L’ensemble de toutes les combinaisons lin´ eaires
des vecteurs de Uest un sous-espace vectoriel de E. On l’appelle sous-espace vectoriel engendr´ e
par Uet on le note Vect(U).
D´ efinition (Famille libre, famille li´ ee)
On dit qu’une famille U= (u1, . . . , un)de vecteurs de Eest libre si la seule combinaison lin´ eaire
des vecteurs de U´ egale au vecteur nul est celle dont tous les coefficients sont nuls. Dans le cas
contraire, on dit que la famille Uest li´ ee.
D´ efinition et proposition (Base, coordonn´ ees)
On dit qu’une famille B= (e1, . . . , en)est une base de Esi elle est libre et si elle engendre E.
Dans ce cas, tout vecteur ude Es’´ ecrit de mani` ere unique u=x1e1+· · · +xneno` ux1, . . . , xn∈K
sont appel´ es coordonn´ ees de udans B.
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Th´ eor` eme fondamental de la dimension
Si Eest un espace vectoriel de dimension finie, alors toutes les bases de Eont le mˆ eme cardinal n
appel´ e dimension de E, not´ en=dim E. Plus pr´ ecis´ ement, pour toute famille Ude vecteurs de E,
•Si card(U)>n, alors Uest li´ ee,
•Si card(U)<n, alors Un’engendre pas E,
•Si card(U) = n, alors Uest une base de E⇐⇒ U est libre ⇐⇒ U engendre E.
2Somme de sous-espaces vectoriels • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
D´ efinition (Somme de sous-espaces vectoriels)
On appelle somme des sous-espaces vectoriels F1,F2, . . . , Fqde El’ensemble Fdes vecteurs de E
de la forme u=u1+u2+· · · +uq=
q
X
i=1
uiavec ui∈Fi,i∈v1, qw.
Fest un sous-espace vectoriel de E. On le note F=F1+F2+· · · +Fq=
q
X
i=1
Fi.
D´ efinition (Somme directe de sous-espaces vectoriels)
(avec les mˆ emes notations)On dit que la somme F=
q
X
i=1
Fiest directe si pour tout vecteur u∈F,
la d´ ecomposition u=
q
X
i=1
uiavec ui∈Fi,i∈v1, qwest unique.
On note alors F=F1⊕F2⊕ · · · ⊕ Fq=
q
M
i=1
Fi(qui se lit somme directe des Fi).
Proposition (Caract´ erisations d’une somme directe)
(avec les mˆ emes notations)Les trois propositions sont ´ equivalentes :
(i)La somme F=
q
M
i=1
Fiest directe (unicit´ e des d´ ecompositions).
(ii)∀(u1, . . . , uq)∈F1× · · · × Fq,
q
X
i=1
ui=0=⇒u1=u2=· · · =uq=0(le vecteur nul)
(iii)∀i∈v1, qw,Fi∩X
j6=i
Fj={0}(l’espace nul).
Proposition (Dimension d’une somme d’espaces vectoriels)
Soient F1, . . . , Fqdes sous-espaces vectoriels de l’espace vectoriel Ede dimension finie.
On a dim
q
X
i=1
Fi6
q
X
i=1
dim Fiavec ´ egalit´ e si et seulement si la somme est directe.
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dim(F+G) = dim F+dim G−dim(F∩G)
3Applications et ´ equations lin´ eaires • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
D´ efinition (Application lin´ eaire)
Soient Eet Fdes espaces vectoriels et fune application de Edans F. On dit que fest lin´ eaire si
∀u,v∈E,∀λ∈Kon a f(u+v) = f(u) + f(v)et f(λu) = λf(u)
On dit que fest un endomorphisme de Elorsque fest une application lin´ eaire de Edans E.
D´ efinition (´ Equation lin´ eaire)
On appelle ´ equation lin´ eaire une ´ equation de la forme :
f(u) = b(L)
o` uf∈L(E,F),b∈Fest appel´ e le second membre et u∈Eest l’inconnue. On appelle ´ equation
homog` ene associ´ ee ` a(L)l’´ equation (H),f(u) = 0(le vecteur nul).
Proposition et d´ efinition (Noyau d’une application lin´ eaire)
L’ensemble des solutions de l’´ equation homog` ene (H)est un sous-espace vectoriel de Eappel´ e
noyau de f. On le note ker f.
Proposition (Injectivit´ e et noyau)
L’application lin´ eaire fest injective si et seulement si ker f={0}(l’espace nul).
Th´ eor` eme (R´ esolution d’une ´ equation lin´ eaire)
L’ensemble des solutions de (L)est :
•soit vide lorsque b/∈Im f(on dit alors que l’´ equation est incompatible)
•soit de la forme u1+ker fo` uu1est une solution (dite particuli` ere)de (L)et ker fest l’ensemble
des solutions de l’´ equation homog` ene (H)associ´ ee ` a(L): c’est le principe de superposition des
solutions.
M´ ethode pratique de r´ esolution des r´ ecurrences lin´ eaires d’ordre 2
On note ∆ = b2−4ac le discriminant et z1,z2les racines (complexes)de l’´ equation caract´ eristique
az2+bz +c=0. Alors il existe des constantes λet µdans Ctelles que ∀n∈N,
•un=λzn
1+µzn 2, lorsque ∆6=0.
•un= (λ+µn)zn
1, lorsque ∆ = 0.
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Rang et formule du rang
Soient Eet Fdes espaces vectoriels de dimension finie et f∈L(E,F). On appelle rang de fla
dimension de son image. On a la formule du rang
rg f=dim Im f=dim E−dim ker f
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