Chapitre 3 Espaces vectoriels

Chapitre 3
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Espaces vectoriels
Notions fondamentales • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Définition (Espace vectoriel)
Soit E un ensemble non vide. On dit que E est un espace vectoriel sur K (R ou C) s’il est muni de
deux opérations notées + et · telles que :
(i) Pour tous u, v ∈ E et λ ∈ K, on a u + v ∈ E et λ · u ∈ E (règle de stabilité) ;
(ii) L’addition ‘+’ est associative, commutative, possède un élément neutre 0 et tout élément u ∈ E
admet opposé −u ∈ E tel que u + (−u) = 0 ;
(iii) Pour tous u, v ∈ E et λ, µ ∈ K,
1 · u = u, λ · (u + v) = λ · u + λ · v, (λ + µ) · u = λ · u + µ · u et λ · (µ · u) = (λµ) · u
Proposition (Sous-espace vectoriel)
Soit F ⊂ E un sous-ensemble non vide de E. Si F vérifie la règle de stabilité (i) de la définition,
alors F est un espace vectoriel sur K. On dit que c’est un sous-espace vectoriel de E.
Définition (Produit d’espaces vectoriels)
Soient E1 et E2 deux espaces vectoriels sur K. On note E = E1 × E2 l’ensemble des couples
de vecteurs (u1 , u2 ) où u1 ∈ E1 et u2 ∈ E2 et on pose pour λ ∈ K, (u1 , u2 ) et (v1 , v2 ) ∈ E,
λ · (u1 , u2 ) = (λu1 , λu2 ) et (u1 , u2 ) + (v1 , v2 ) = (u1 + v1 , u2 + v2 ).
Muni de ces opérations, E a une structure d’espace vectoriel sur K. On l’appelle produit des espaces
vectoriels E1 et E2 .
Proposition (Sous-espace vectoriel engendré)
Soit U = (u1 , . . . , un ) une famille de vecteurs de E. L’ensemble de toutes les combinaisons linéaires
des vecteurs de U est un sous-espace vectoriel de E. On l’appelle sous-espace vectoriel engendré
par U et on le note Vect(U ).
Définition (Famille libre, famille liée)
On dit qu’une famille U = (u1 , . . . , un ) de vecteurs de E est libre si la seule combinaison linéaire
des vecteurs de U égale au vecteur nul est celle dont tous les coefficients sont nuls. Dans le cas
contraire, on dit que la famille U est liée.
Définition et proposition (Base, coordonnées)
On dit qu’une famille B = (e1 , . . . , en ) est une base de E si elle est libre et si elle engendre E.
Dans ce cas, tout vecteur u de E s’écrit de manière unique u = x 1 e1 + · · · + x n en où x 1 , . . . , x n ∈ K
sont appelés coordonnées de u dans B.
Cours de mathématiques, Spé PC – [Raphaël Dieu - 12/2016]
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Théorème fondamental de la dimension
Si E est un espace vectoriel de dimension finie, alors toutes les bases de E ont le même cardinal n
appelé dimension de E, noté n = dim E. Plus précisément, pour toute famille U de vecteurs de E,
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•
Si card(U ) > n, alors U est liée,
•
Si card(U ) < n, alors U n’engendre pas E,
•
Si card(U ) = n, alors U est une base de E ⇐⇒ U est libre ⇐⇒ U engendre E.
Somme de sous-espaces vectoriels • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Définition (Somme de sous-espaces vectoriels)
On appelle somme des sous-espaces vectoriels F1 , F2 , . . . , Fq de E l’ensemble F des vecteurs de E
q
X
de la forme u = u1 + u2 + · · · + uq =
ui avec ui ∈ Fi , i ∈ v1, qw.
i=1
F est un sous-espace vectoriel de E. On le note F = F1 + F2 + · · · + Fq =
q
X
Fi .
i=1
Définition (Somme directe de sous-espaces vectoriels)
(avec les mêmes notations) On dit que la somme F =
la décomposition u =
q
X
q
X
Fi est directe si pour tout vecteur u ∈ F ,
i=1
ui avec ui ∈ Fi , i ∈ v1, qw est unique.
i=1
On note alors F = F1 ⊕ F2 ⊕ · · · ⊕ Fq =
q
M
Fi (qui se lit somme directe des Fi ).
i=1
Proposition (Caractérisations d’une somme directe)
(avec les mêmes notations) Les trois propositions sont équivalentes :
(i) La somme F =
q
M
Fi est directe (unicité des décompositions).
i=1
q
X
(ii) ∀(u1 , . . . , uq ) ∈ F1 × · · · × Fq ,
ui = 0 =⇒ u1 = u2 = · · · = uq = 0 (le vecteur nul)
i=1
X
(iii) ∀i ∈ v1, qw, Fi ∩
F j = {0} (l’espace nul).
j6=i
Proposition (Dimension d’une somme d’espaces vectoriels)
Soient F1 , . . . , Fq des sous-espaces vectoriels de l’espace vectoriel E de dimension finie.
On a dim
q
€X
i=1
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Š
Fi 6
q
X
dim Fi avec égalité si et seulement si la somme est directe.
i=1
Chapitre 3 – Espaces vectoriels
dim(F + G) = dim F + dim G − dim(F ∩ G)
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Applications et équations linéaires
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
Définition (Application linéaire)
Soient E et F des espaces vectoriels et f une application de E dans F . On dit que f est linéaire si
∀u, v ∈ E, ∀λ ∈ K on a f (u + v) = f (u) + f (v) et f (λu) = λ f (u)
On dit que f est un endomorphisme de E lorsque f est une application linéaire de E dans E.
Définition (Équation linéaire)
On appelle équation linéaire une équation de la forme :
f (u) = b
(L)
où f ∈ L(E, F ), b ∈ F est appelé le second membre et u ∈ E est l’inconnue. On appelle équation
homogène associée à (L) l’équation (H), f (u) = 0 (le vecteur nul).
Proposition et définition (Noyau d’une application linéaire)
L’ensemble des solutions de l’équation homogène (H) est un sous-espace vectoriel de E appelé
noyau de f . On le note ker f .
Proposition (Injectivité et noyau)
L’application linéaire f est injective si et seulement si ker f = {0} (l’espace nul).
Théorème (Résolution d’une équation linéaire)
L’ensemble des solutions de (L) est :
•
soit vide lorsque b ∈
/ Im f (on dit alors que l’équation est incompatible)
• soit de la forme u1 +ker f où u1 est une solution (dite particulière) de (L) et ker f est l’ensemble
des solutions de l’équation homogène (H) associée à (L) : c’est le principe de superposition des
solutions.
Méthode pratique de résolution des récurrences linéaires d’ordre 2
On note ∆ = b2 − 4ac le discriminant et z1 , z2 les racines (complexes) de l’équation caractéristique
az 2 + bz + c = 0. Alors il existe des constantes λ et µ dans C telles que ∀n ∈ N,
•
un = λz1n + µz2n , lorsque ∆ 6= 0.
•
un = (λ + µn) z1n , lorsque ∆ = 0.
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Rang et formule du rang
Soient E et F des espaces vectoriels de dimension finie et f ∈ L(E, F ). On appelle rang de f la
dimension de son image. On a la formule du rang
rg f = dim Im f = dim E − dim ker f
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Chapitre 3 – Espaces vectoriels