3 Espaces vectoriels réels

3 Espaces vectoriels réels
Un ensemble non vide Econstitue un espace vectoriel réel s’il est muni
1) d’une loi de composition interne + : E ×E−→ E
(u;v)7−→ u+v
telle que
(a) (u+v) + w=u+ (v+w)quels que soient u, v, w ∈E
(b) il existe un élément de E, noté 0, tel que u+ 0 = 0 + u=upour
tout u∈E
(c) pour tout u∈E, il existe un élément de E, noté −u, tel que
u+ (−u) = 0
(d) u+v=v+uquels que soient u, v ∈E
2) d’une loi de composition externe ·:R×E−→ E
(α;u)7−→ α·u
telle que
(a) α·(β·u) = (α β)·uquels que soient α, β ∈Ret u∈E
(b) (α+β)·u=α·u+β·uquels que soient α, β ∈Ret u∈E
(c) α·(u+v) = α·u+α·vquels que soient α∈Ret u, v ∈E
(d) 1·u=upour tout u∈E
Remarque : Les propriétés 1) (a) associativité, 1) (b) existence d’un élément
neutre et 1) (c) existence d’un symétrique pour tout élément de E, signifient
que l’ensemble E, muni de la loi de composition interne +, forme un groupe .
La propriété 1) (d) commutativité veut dire qu’il s’agit d’un groupe abélien
ou commutatif.
On appelle vecteurs les éléments de E,vecteur nul l’élément 0∈E,vecteur
opposé de ul’élément −uet scalaires les nombres réels.
3.1 Démontrer les propriétés suivantes pour tout vecteur ude Eet tout scalaire α:
1) α·0 = 0
2) 0·u= 0
3) α·u= 0 ⇐⇒ α= 0 ou u= 0
4) (−α)·u=α·(−u) = −(α·u)
Indications :
1) Calculer de deux façons α·(0 + 0) .
2) Calculer de deux façons (0 + 0) ·u.
3) Vu 1) et 2), il suffit de prouver que u= 0 si α·u= 0 et α6= 0 : calculer (1
α
α)·u.
4) Calculer de deux façons α+ (−α)·uet α·u+ (−u).
Algèbre linéaire : espaces vectoriels réels 3.1

3.2 Pour tout n∈N, on désigne par Rnl’ensemble des n-uplets de nombres.
On munit Rndes opérations d’addition et de multiplication par un scalaire
définies comme suit :
x1
x2
.
.
.
xn
+
y1
y2
.
.
.
yn
=
x1+y1
x2+y2
.
.
.
xn+yn
et α·
x1
x2
.
.
.
xn
=
α x1
α x2
.
.
.
α xn
Vérifier que Rn, muni de ces deux lois de composition, constitue un espace
vectoriel réel.
3.3 Montrer que l’ensemble RNdes suites réelles avec les opérations
(un)n∈N+ (vn)n∈N= (un+vn)n∈N
α·(un)n∈N= (α un)n∈N
forme un espace vectoriel réel.
3.4 Dans l’ensemble Z, on considère l’addition, ainsi que la loi de composition
externe R×Z−→ Z
(α;u)7−→ 0
.
L’ensemble Z, muni de ces deux lois, est-il un espace vectoriel réel ?
3.5 Dans l’ensemble R2, on considère les deux lois de composition définies par :
(x;y) + (x′;y′)7−→ (x+x′;y+y′)
α·(x;y)7−→ (α x ;y)
où α, x, x′, y, y′sont des nombres réels.
Montrer que R2, muni de ces deux lois, n’est pas un espace vectoriel réel.
3.6 Montrer que l’ensemble R[x]des polynômes à coefficients réels avec l’addition
des polynômes et la multiplication d’un polynôme par un nombre réel est un
espace vectoriel réel.
3.7 Montrer que l’ensemble F[a;b]des fonctions réelles définies sur l’intervalle [a;b],
muni de l’addition et de la multiplication par un scalaire usuelles, constitue
un espace vectoriel réel.
3.8 Vérifier que l’ensemble Mm,n(R)des matrices de type m×nà coefficients réels
forme un espace vectoriel réel.
Algèbre linéaire : espaces vectoriels réels 3.2

Sous-espace vectoriel
Soit Eun espace vectoriel réel.
On appelle sous-espace vectoriel de Etout sous-ensemble de Equi est lui-
même un espace vectoriel pour les opérations d’addition et de multiplication
par un scalaire définies dans E.
On remarque qu’un sous-ensemble Fde Eest un sous-espace vectoriel de Esi
et seulement si α·u+β·v∈Fquels que soient u, v ∈Fet α, β ∈R.
Remarques
1) Pour montrer qu’un sous-ensemble Fde Eforme un sous-espace vectoriel
de E, il suffit de montrer que
(a) u+v∈Fpour tous u, v ∈F;
(b) α·u∈Fpour tous u∈Fet α∈R.
2) C’est une condition nécessaire, mais non suffisante, qu’un sous-ensemble F
de Econtienne le vecteur nul pour être un sous-espace vectoriel de E.
3.9 Montrer que l’ensemble (x;y;z;t)∈R4:x= 2 yet t= 5 xest un sous-
espace vectoriel de R4.
3.10 Les sous-ensembles suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels de R3?
1) (x;y;z)∈R3:x= 122) (x;y;z)∈R3:z= 0
3) (x;y;z)∈R3:y= 3 x4) (x;y;z)∈R3: 2 x+y+z= 21
5) (x;y;z)∈R3:x2+y2=z26) (x;y;z)∈R3:x y =z
7) (x;y;z)∈R3: 3 x+ 4 y−5z= 0
3.11 On appelle suite de Fibonacci toute suite (un)n∈Ntelle que
un+2 =un+un+1 pour tout n∈N.
Montrer que l’ensemble des suites de Fibonacci est un sous-espace vectoriel
de RN.
3.12 Montrer que l’ensemble Rn[x]des polynômes de degré inférieur ou égal à nest
un sous-espace vectoriel de R[x].
Algèbre linéaire : espaces vectoriels réels 3.3

3.13 Soit F[a;b]l’ensemble des fonctions réelles définies sur l’intervalle [a;b]. Vérifier
que les sous-ensembles suivants sont des sous-espaces vectoriels de F[a;b]:
1) l’ensemble des fonctions paires de F[a;b];
2) l’ensemble des fonctions impaires de F[a;b];
3) l’ensemble des fonctions continues de F[a;b];
4) l’ensemble des fonctions dérivables de F[a;b].
3.14 Soient Eun espace vectoriel et uun vecteur non nul de E.
Vérifier que l’ensemble F = {λ·u:λ∈R}est un sous-espace vectoriel de E.
On appelle Fla droite vectorielle engendrée par le vecteur u, notée hui
ou ∆(u).
3.15 Soient Eun espace vectoriel, uet vdeux vecteurs non nuls avec v /∈ hui.
Vérifier que l’ensemble F = {λ·u+µ·v:λ, µ ∈R}est un sous-espace vectoriel
de E.
On appelle Fle plan vectoriel engendré par les vecteurs uet v, noté
hu;viou Π(u;v).
3.16 Soient Eun espace vectoriel et (u1;u2;... ;un)une famille de vecteurs de E.
Montrer que F = {α1·u1+α2·u2+...+αn·un:α1, α2,...,αn∈R}est un
sous-espace vectoriel de E.
On appelle Fle sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs u1, u2,...,un
et on le note hu1;u2;... ;uni.
3.17 Montrer que l’ensemble des solutions d’un système linéaire homogène de méqua-
tions à ninconnues est un sous-espace vectoriel de Rn.
Indication : un tel système s’écrit matriciellement AX = 0 avec A∈Mm,n(R)et X∈Rn.
Réponses
3.10 1) non 2) oui 3) oui 4) non
5) non 6) non 7) oui
Algèbre linéaire : espaces vectoriels réels 3.4