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Pôle Universitaire Léonard de Vinci 2016/2017
ESILV
Complément statistique / SUJET 2
C. Guillot
EXAMEN du 7 Octobre 2016
DUREE: 2 heures
AUCUN DOCUMENT AUTORISE
CALCULATRICE PROGRAMMABLE AUTORISEE
EXERCICE 1:
Une fléchette est lancée au hasard sur une cible circulaire de rayon 30 cm. On suppose que la fléchette atteint la
cible avec une probabilité 1. On trace sur la cible trois cercles concentriques de rayons respectifs 10, 20 et 30 cm.
Le joueur gagne 20, 10 ou 5 points selon la région qu'il atteint. On note X, la variable aléatoire « Gain du
joueur »
1. Donnez l’ensemble des résultats possibles de X
2. Déterminer la loi de X
EXERCICE 2:
Soit X une variable aléatoire suivant une loi normale N(8,4). Donner des valeurs approchées pour :
1. P(X<7.5)
2. P(X>8.5)
3. P(6.5<X<10)
4. P(X>6/X>5)
EXERCICE 3:
On lance deux fois un dé équilibré.
Soit la variable aléatoire X1 : Nombre de points sur le dé lors du premier tirage.
Soit la variable aléatoire X2 : Nombre de points sur le dé lors du deuxième tirage.
Nous définissons deux nouvelles variables aléatoires :
Y1 : le plus petit chiffre obtenu Y1=Min(X1,X2)
Y2 : le plus grand chiffre obtenu Y2=Max(X1,X2)
1. Donner la loi de probabilité de X1
2. Calculer E(X1) et Var(X1)
3. Donner la loi de probabilité de X2
4. Donner la loi de probabilité de Y1
5. Donner la loi de probabilité de Y2
6. Donner la loi de probabilité jointe du vecteur aléatoire (Y1,Y2)
7. Donner la loi de probabilité conditionnelle de X1 sachant que Y1 vaut 3 ou 4
8. X1 et Y1 sont elles indépendantes ? Justifiez et commentez
EXERCICE 4:
Soit X une variable aléatoire dont la fonction de répartition est la suivante :
X
0 si x 0
F (x) x si 0 x 1
1 si x 1
1. Vérifier que FX est bien une fonction de répartition
2. Représenter graphiquement FX
3. X est-elle une variable aléatoire discrète ou continue ?
4. Calculer les probabilités suivantes :
P(X
0.3)
5. X admet-elle une fonction de densité ? Si oui, la déterminer
Recalculer P(X
0.3) avec la fonction de densité
6. Calculer l’espérance de X et la variance de X
7. Soit la variable aléatoire suivante : Y=X+2
Déterminer la fonction de densité de Y
8. Calculer l’espérance de Y de deux façons