correction Terminale ES Devoir surveillé n°1

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Devoir surveillé n°1
Terminale ES
Exercice 1 : 5 pts
La courbe ci-contre représente une
fonction f.
1. on lit :
en - ∝, lim f = 1
en 0, lim f = + ∝
en 2, lim f = - ∝
en + ∝, lim f = 1
2. Les asymptotes sont
- deux asymptotes verticales qui
sont l’axe des ordonnées, soit
x = 0 et la droite d’équation x = 2.
- Une asymptote horizontale y = 1
3. Le tableau de variations est :
CI-DESSOUS et aussi on a :
f(1) = 0, f(3) = 0 et f(4) = 1,5.
x
−∞
0
2
+∞
f(x)
+∞
1,5
−∞
1
4
1
Exercice 2 : 6 pts
Soit C la courbe représentative, dans un repère du plan de la fonction f définie par
2x + 2
f(x) =
x² + 2x - 3
1. Résoudre l’équation x² + 2x – 3 = 0 dans R.
C’est une équation du second degré avec a = 1, b = 2 et c = -3
∆ = b² - 4ac = 4 - 4×1×(-3) = 16. Il y a deux solutions x’ = -3 et x’’ = 1
2. En déduire le domaine de définition de f.
D = R – {-3 ;1]
3. Etudier les limites de f en - ∝, et en + ∝.
Une fonction rationnelle a même limite que ses termes de plus haut degré.
2x
2
en - ∝, lim f = lim = lim = 0 (par valeurs négatives)
x²
x
2x
2
en + ∝, lim f = lim = lim = 0 (par valeurs positives)
x²
x
Qu’en déduit-on pour l’axe des abscisses par rapport à la courbe C de f ?
On en déduit que l’axe des abscisses est asymptote à C en + ∝, et - ∝,
4. Etudier les limites de f en – 3 à gauche et à droite. Qu’en déduit-on ?
En -3 par valeurs inférieures, lim (2x + 2) = -4 et lim (x² + 2x – 3) = 0+ alors lim f = - ∝
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En -3 par valeurs supérieures, lim (2x + 2) = -4 et lim (x² + 2x – 3) = 0- alors lim f = + ∝
La droite d’équation x = -3 est asymptote verticale à C.
5. Etudier les limites de f en 1 à gauche et à droite. Qu’en déduit-on ?
En 1 par valeurs inférieures, lim (2x + 2) = 4 et lim (x² + 2x – 3) = 0- alors lim f = - ∝
En 1 par valeurs supérieures, lim (2x + 2) = 4 et lim (x² + 2x – 3) = 0+ alors lim f = + ∝
La droite d’équation x = 1 est asymptote verticale à C.
Visualisation à la calculatrice :
y
6
5
4
3
2
1
-8
-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
Exercice 3 : 5 pts
Soit u la fonction définie sur R par u (x) = x3 et ϕ la fonction définie sur R par ϕ (x) = 2x + 5
Définir ϕ[u(x)]
ϕ[u(x)] est définie sur R par ϕ[u(x)] = 2x3 + 5
Justifier que ϕ[u(x)] est dérivable et calculer sa dérivée
ϕ[u(x)] est composée de fonctions dérivables sur r donc est dérivable sur R.
De plus, (ϕ[u(x)])’ = ϕ’[u(x)]× u’(x) avec u’(x) = 3x² et ϕ’(x) = 2
Alors (ϕ[u(x)])’ = 2 × 3x² = 6x²
Ou bien directement (2x3 + 5)’ = 6x²
Exercice 4 : 4 pts
Soit f la fonction définie sur R par f(x) = 2x² - 8x + 4 et C sa courbe représentative dans un
repère (O, i , j).
Donner une équation de la tangente T1 à C en x = 0 et de la tangente T2 à C en x = 2
une équation de la tangente T à C en x = a est y = f ’(a) (x – a) + f(a) donc ici
avec a = 0, f(0) = 4 et f ’(x) = 4x – 8 soit alors f ‘ (0) = -8, on a
T1 : y = -8(x – 0) + 4 = -8x + 4
avec a =2, f(2) = -4 et f ’(x) = 4x – 8 soit alors f ‘ (2) = 0, on a
T1 : y = 0(x – 2) - 4 = - 4 donc droite horizontale
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Visualisation calculatrice :
y
4
3
2
1
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x
-1
-2
-3
-4
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