Nombres complexes

Nombres complexes
1
Questions de cours
1. Énoncer les formules d’Euler.
2. Énoncer la formule de Moivre.
3. Énoncer les inégalités triangulaires.
2
Applications directes
1. Linéariser cos4 (θ). En déduire
cos4 (π/8) + cos4 (3π/8) + cos4 (5π/8) + cos4 (7π/8).
2. Résoudre dans C l’équation z 3 = z.
3. Soient a, b, c ∈ C. Montrer que
|1 + a| + |a + b| + |b| > 1.
3
Exercices
1. Théorème de Napoléon : Soit (ABC) un triangle quelconque. On construit sur les côtés de (ABC) des
triangles équilatéraux (CBP ), (ACQ) et (BAR). On note A′ B ′ et C ′ les isobarycentres de ces trois
triangles. Montrer que (A′ B ′ C ′ ) est un triangle équilatéral.
Comparer les isobarycentres de (ABC) et de (A′ B ′ C ′ ).
2. Soit p ∈ N. On cherche à montrer que les solutions de l’équation
pz p =
p−1
X
zk
k=0
différentes de 1 sont toutes de modules strictement inférieur à 1.
(i) Montrer que les solutions de (Ep ) sont de module inférieur à 1.
(ii) Soit z une solution de Ep . On suppose que z est d’argument θ et de module 1. Montrer que
e
i(p+1)θ
2
En déduire une contradiction.
1
=
sin(pθ/2)
.
p sin(θ/2)
(Ep )
3. Soient u et v deux complexes. On pose z = u + iv. Donner une condition nécessaire et suffisante sur u et
v pour qu’on ait
|z|2 = u2 + v 2 .
4. Soient a et b deux complexes non nuls vérifiant a + b 6= 0. Donner une condition nécessaire et suffisante
pour que
1 1
1
= + .
a+b
a b
5. Soient a, b ∈ C, et soit c =
a−b
1−ab .
Montrer que |c| = 1 si et seulement si |a| = 1 ou |b| = 1.
6. Soient α, β ∈ R, et n ∈ N. Calculer
S=
n
X
Cnk
cos(α + kβ) et S =
′
k=0
4
n
X
Cnk sin(α + kβ).
k=0
Corrections
4.1
Cours
1. Formules d’Euler :
cos(ϕ) =
1 iϕ
1
(e + e−iϕ ) et sin(ϕ) = (eiϕ − e−iϕ ).
2
2i
2. Formule de Moivre :
(cos(ϕ) + i sin(ϕ))n = cos(nϕ) + i sin(nϕ).
3. Inégalités triangulaires :
|z1 + z2 | 6 |z1 | + |z2 | et ||z1 | − |z2 || 6 |z1 − z2 |.
4.2
Applications
1.
cos4 (θ) =
1
1
3
cos(4θ) + cos(2θ) +
8
2
8
3
S= .
2
2. Indice : Passer aux modules.
|z 3 | = |z|
||z|(|z|2 − 1) = 0
|z| = 0 ou |z| = ±1
Donc z = 0, ou z est de module 1, i.e z = z1 . D’où z est une racine quatrième de l’unité. Réciproquement,
ok.
3. On part de |1| = |1 + a − a − b + b|, puis on utilise l’inégalité triangulaire.
2
4.3
Exercices
1. On note j = e2iπ/3 . On a
p − c = −j 2 (b − c),
d’où
p = −jc − bj 2 .
De même, on trouve
q = −cj 2 − aj et r = −aj 2 − bj.
On note α, β, γ est affixes de A′ , B ′ , C ′ . On trouve
1−j
(c − j 2 b)
3
1−j
β=
(a − j 2 c)
3
1−j
γ=
(b − j 2 a)
3
α=
Il ne reste qu’à vérifier que γ − α = −j 2 (β − α).
= a+b+c
.
On vérifie enfin que α+β+γ
3
3
2.
(i) Soit z une solution de module r. On a alors
prp 6
rp − 1
,
r−1
soit
prp (r − 1) − rp + 1 6 0.
Or le polynôme correspondant est strictement croissant après 1, et vaut 0 en 1.
(ii) Soit z = eiθ différent de 1, solution de (Ep ).
On a alors
pz p = peipθ
1 − eipθ
1 − eiθ
−2i sin(pθ/2)eipθ/2
=
−2i sin(θ/2)eiθ/2
=
sin(pθ/2)
= ei(p+1)θ/2
p sin(θ/2)
.
On a donc ei(p+1)θ/2 réel, et donc (p + 1)θ/2 = kπ, soit p = 2kπ−θ
θ
On obtient alors
sin(−θ/2 + kπ)
(−1)k
ei(p+1)θ/2 = (−1)k =
=−
,
p sin(θ/2)
p
et on en déduit
p = −1.
3
3. On a toujours
|z|2 = (u + iv)(u − iv),
et la factorisation
u2 + v 2 = (u + iv)(u − iv).
On a donc
|z|2 = u2 + v 2
⇐⇒ (u + iv)(u − iv) = (u + iv)(u − iv)
⇐⇒ (u + iv)(u − u − iv + iv) = 0
⇐⇒ u + iv = 0 ou u − u = i(v − v)
On a donc z = 0, ou iℑ(u) = −ℑ(v), i.e u et v réels.
4. Par analyse-synthèse.
1
Soient a et b tels que a+b
=
1
a
+ 1b . On a alors
a+b
1
=
.
a+b
ab
On pose S = a + b et P = ab, et on a alors S 2 = P . Donc a et b sont solutions de X 2 − SX + S 2 = 0.
Cela nous donne (par exemple) a = −jS et b = −j 2 S, S ∈ C∗ .
Réciproquement, les complexes de cette forme conviennent.
5. On a
|c| = 1
⇐⇒
|a − b| = |1 − ab|
⇐⇒
(a − b)(a − b) = (1 − ab)(1 − ab)
⇐⇒
|a|2 |b|2 − |a|2 − |b|2 + 1 = 0
⇐⇒
(|a|2 − 1)(|b|2 − 1) = 0
6. On va calculer Z = S + iS ′ , puis identifier les parties réelles et imaginaires.
Z = eiα
n
X
Cnk eikβ
k=0
= eiα (eiβ + 1)n
= eiα (eiβ/2 2 cos(β/2))n
= 2n cosn (β/2)ei(α+nβ/2)
4