Nombres complexes

Nombres complexes
1 Questions de cours
1. Énoncer les formules d’Euler.
2. Énoncer la formule de Moivre.
3. Énoncer les inégalités triangulaires.
2 Applications directes
1. Linéariser cos4(θ). En déduire
cos4(π/8) + cos4(3π/8) + cos4(5π/8) + cos4(7π/8).
2. Résoudre dans Cl’équation z3=z.
3. Soient a, b, c ∈C. Montrer que
|1 + a|+|a+b|+|b|>1.
3 Exercices
1. Théorème de Napoléon : Soit (ABC) un triangle quelconque. On construit sur les côtés de (ABC) des
triangles équilatéraux (CBP ), (ACQ) et (BAR). On note A′B′et C′les isobarycentres de ces trois
triangles. Montrer que (A′B′C′) est un triangle équilatéral.
Comparer les isobarycentres de (ABC) et de (A′B′C′).
2. Soit p∈N. On cherche à montrer que les solutions de l’équation
pzp=
p−1
X
k=0
zk(Ep)
différentes de 1 sont toutes de modules strictement inférieur à 1.
(i) Montrer que les solutions de (Ep) sont de module inférieur à 1.
(ii) Soit zune solution de Ep. On suppose que zest d’argument θet de module 1. Montrer que
ei(p+1)θ
2=sin(pθ/2)
psin(θ/2).
En déduire une contradiction.
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3. Soient uet vdeux complexes. On pose z=u+iv. Donner une condition nécessaire et suffisante sur uet
vpour qu’on ait
|z|2=u2+v2.
4. Soient aet bdeux complexes non nuls vérifiant a+b6= 0. Donner une condition nécessaire et suffisante
pour que 1
a+b=1 a+1 b.
5. Soient a, b ∈C, et soit c=a−b
1−ab . Montrer que |c|= 1 si et seulement si |a|= 1 ou |b|= 1.
6. Soient α, β ∈R, et n∈N. Calculer
S=
n
X
k=0
Ck
ncos(α+kβ) et S′=
n
X
k=0
Ck
nsin(α+kβ).
4 Corrections
4.1 Cours
1. Formules d’Euler :
cos(ϕ) = 1
2(eiϕ +e−iϕ) et sin(ϕ) = 1 2i(eiϕ −e−iϕ).
2. Formule de Moivre :
(cos(ϕ) + isin(ϕ))n= cos(nϕ) + isin(nϕ).
3. Inégalités triangulaires :
|z1+z2|6|z1|+|z2|et ||z1| − |z2|| 6|z1−z2|.
4.2 Applications
1.
cos4(θ) = 1
8cos(4θ) + 1 2cos(2θ) + 3 8
S=3
2.
2. Indice : Passer aux modules.
|z3|=|z|
||z|(|z|2−1) = 0
|z|= 0 ou |z|=±1
Donc z= 0, ou zest de module 1, i.e z=1
z. D’où zest une racine quatrième de l’unité. Réciproquement,
ok.
3. On part de |1|=|1 + a−a−b+b|, puis on utilise l’inégalité triangulaire.
2

4.3 Exercices
1. On note j=e2iπ/3. On a
p−c=−j2(b−c),
d’où
p=−jc −bj2.
De même, on trouve
q=−cj2−aj et r=−aj2−bj.
On note α, β, γ est affixes de A′, B′, C′. On trouve
α=1−j
3(c−j2b)
β=1−j
3(a−j2c)
γ=1−j
3(b−j2a)
Il ne reste qu’à vérifier que γ−α=−j2(β−α).
On vérifie enfin que α+β+γ
3=a+b+c 3.
2. (i) Soit zune solution de module r. On a alors
prp6rp−1
r−1,
soit
prp(r−1) −rp+ 1 60.
Or le polynôme correspondant est strictement croissant après 1, et vaut 0 en 1.
(ii) Soit z=eiθ différent de 1, solution de (Ep).
On a alors
pzp=peipθ
=1−eipθ
1−eiθ
=−2isin(pθ/2)eipθ/2
−2isin(θ/2)eiθ/2
sin(pθ/2)
psin(θ/2) =ei(p+1)θ/2
On a donc ei(p+1)θ/2réel, et donc (p+ 1)θ/2 = kπ, soit p=2kπ−θ
θ.
On obtient alors
ei(p+1)θ/2= (−1)k=sin(−θ/2 + kπ)
psin(θ/2) =−(−1)k p,
et on en déduit
p=−1.
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3. On a toujours
|z|2= (u+iv)(u−iv),
et la factorisation
u2+v2= (u+iv)(u−iv).
On a donc
|z|2=u2+v2
⇐⇒ (u+iv)(u−iv) = (u+iv)(u−iv)
⇐⇒ (u+iv)(u−u−iv +iv) = 0
⇐⇒ u+iv = 0 ou u−u=i(v−v)
On a donc z= 0, ou iℑ(u) = −ℑ(v), i.e uet vréels.
4. Par analyse-synthèse.
Soient aet btels que 1
a+b=1 a+1 b. On a alors
1
a+b=a+b ab .
On pose S=a+bet P=ab, et on a alors S2=P. Donc aet bsont solutions de X2−SX +S2= 0.
Cela nous donne (par exemple) a=−jS et b=−j2S,S∈C∗.
Réciproquement, les complexes de cette forme conviennent.
5. On a
|c|= 1 ⇐⇒ |a−b|=|1−ab|
⇐⇒ (a−b)(a−b) = (1 −ab)(1 −ab)
⇐⇒ |a|2|b|2− |a|2− |b|2+ 1 = 0
⇐⇒ (|a|2−1)(|b|2−1) = 0
6. On va calculer Z=S+iS′, puis identifier les parties réelles et imaginaires.
Z=eiα
n
X
k=0
Ck
neikβ
=eiα(eiβ + 1)n
=eiα(eiβ/22 cos(β/2))n
= 2ncosn(β/2)ei(α+nβ/2)
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