Fermat, Mersenne et Fibonacci - Blogdemaths

Nombres de Fermat, Mersenne et Fibonacci
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Nombres de Fermat
On définit la suite (Fn ) des nombres de Fermat par :
n
∀n ∈ N, Fn = 22 + 1
Théorème — . Pour tout m > 0,
Fm = F0 × F1 × . . . × Fm−1 + 2
Démonstration. Le théorème est évidemment vrai si m = 1.
Soit m > 0.
Fm+1 − 2 = 22
m+1
m
m
m
− 1 = (22 )2 − 1 = (22 − 1)(22 + 1) = (Fm − 2)Fm
Donc, par récurrence, si on suppose que Fm = F0 × F1 × . . . × Fm−1 + 2 alors
Fm+1 = (Fm − 2)Fm + 2
= (F0 × F1 × . . . × Fm−1 ) × Fm + 2
= F0 × F1 × . . . × Fm−1 × Fm + 2
ce qui prouve le théorème.
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Nombres de Mersenne
On définit la suite (Mn ) de nombres de Mersenne par :
∀n ∈ N, Mn = 2n − 1
Théorème — . Pour tout m > n,
PGCD(Mm , Mn ) = M PGCD(m,n)
Autrement dit, PGCD(2m − 1, 2n − 1) = 2PGCD(m,n) − 1.
Démonstration. Si m > n, alors on peut faire la division euclidienne de m par n :
m = nq + r avec r < n
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Ainsi,
2m − 1 = 2m − 2nq + 2nq − 1
= 2nq+r − 2qn + 2qn − 1
= 2qn × 2r − 2nq + 2nq − 1
= 2qn (2r − 1) + (2n )q − 1
= 2qn (2r − 1) + (2n − 1)(1 + 2n + 22n + . . . + 2(q−1)n )
Donc,
Mm = 2nq Mr + Mn (1 + 2n + 22n + . . . + 2(q−1)n )
Montrons alors que les diviseurs communs à Mm et Mn sont identiques aux diviseurs
communs à Mn et Mr .
• Si d est un diviseur commun à Mm et Mn alors d divise Mm − Mn (1 + 2n + 22n +
. . . + 2(q−1)n ) = 2nq Mr . Mais comme d divise le nombre Mn qui est impair, d ne
peut diviser 2 et donc nécessairement, d divise Mr .
• Réciproquement, si d divise Mn et Mr alors d divise 2nq Mr + Mn (1 + 2n + 22n +
. . . + 2(q−1)n ) = Mm . Nous avons donc montré que les diviseurs communs de Mm
et Mn sont les mêmes que les diviseurs communs de Mn et Mr . D’où :
PGCD(Mm , Mn ) = PGCD(Mn , Mr )
Si on considère la suite (rn ) des restes successifs dans l’algorithme d’Euclide appliqué
à m et n, et si on note rN le dernier reste non nul (qui se trouve être le PGCD de m et
n) alors :


PGCD(Mm , Mn )
= PGCD(Mn , Mr0 )





= PGCD(Mr0 , Mr1 )
PGCD(Mn , Mr0 )



.
.
.



PGCD(M
rN−1 , MrN ) = PGCD(MrN , M0 )
Or, M0 = 0 donc PGCD(Mm , Mn ) = PGCD(MrN , M0 ) = MrN = M PGCD(m,n) . CQFD.
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Nombres de Fibonacci
On définit la suite (fn ) des nombres de Fibonacci par :


f0
=0




f
=
1


1

fn+2 = fn+1 + fn pour tout n ∈ N
Théorème — . Pour tout m > n,
PGCD(fm , fn ) = fPGCD(m,n)
Démonstration. Le principe est similaire à celui mis en oeuvre pour les nombres de
Mersenne.
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Etape 1 :
On commence par montrer l’égalité suivante :
∀u, v > 0,fu+v = fu fv+1 + fu−1 fv
(1)
On fixe v et on fait une récurrence sur u.
• Si u = 1, fu fv+1 + fu−1 fv = 1 × fv+1 + 0 × fv = f1+v
• On suppose l propriété vraie au rang u.
fu+1+v = fu+(v+1)
= fu fv+2 + fu−1 fv+1
= fu (fv+1 + fv ) + fu−1 fv+1
= (fu + fu−1 )fv+1 + fu fv
= fu+1 fv+1 + fu fv
CQFD.
Etape 2 :
On montre par récurrence que pour tout entier v > 0 et tout entier naturel q, fv divise
fqv (la récurrence est faite sur q) :
• Si q = 0, le résultat est évident car fv divise f0 = 0.
• On suppose que fv divise fqv . D’après l’égalité (1), on a :
f(q+1)v = fqv+v
= fqv fv+1 + fqv−1 fv
et comme fv divise fqv et fv , il divise fqv fv+1 + fqv−1 fv donc f(q+1)v .
Etape 3 :
On montre que deux nombres de Fibonacci consécutifs sont premiers entre eux,
c’est-à-dire que pour tout entier naturel n, PGCD(fn , fn+1 ) = 1.
• C’est vrai si n = 0 car PGCD(f0 , f1 ) = PGCD(0, 1) = 1.
• On suppose que PGCD(fn , fn+1 ) = 1.
Si d est un diviseur commun à fn+1 et fn+2 alors d divise fn+2 − fn+1 = fn . Ainsi,
d est un diviseur commun à fn+1 et fn donc d = 1 (car par hypothèse de récurrence, le plus grand diviseur commun à fn+1 et fn est 1).
Etape 4 :
A présent, passons à la démonstration du théorème à proprement parler.
Soit m > n. On commence par effectuer la division euclidienne de m par n :
m = nq + r avec r < n
En appliquant l’égalité (1) démontrée précédemment à u = nq et v =r, on obtient :
fm = fnq+r
= fnq fr+1 + fnq−1 fr
Comme pour les nombres de Mersenne, on montre que les diviseurs commun à fm
et fn sont identiques aux diviseurs commun à fn et fr :
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• Si d divise fm et fn alors il divise fm et fnq (voir étape 2) donc il divise fm −
fnq fr+1 = fnq−1 fr . Mais comme fnq et fnq−1 sont consécutifs, ils sont premiers
entre eux (étape 3), donc, puisque d divise fnq , il est lui aussi premier fnq−1 .
Mais puisque d divise le produit fnq−1 fr , c’est qu’il divise fr .
• Réciproquement, si d divise fn et fr , alors d divise fnq (étape 2) et donc il divise
fnq fr+1 + fnq−1 fr = fm .
On en déduit que PGCD(fm , fn ) = PGCD(fn , fr ) et le même raisonnement utilisant
l’algorithme d’Euclide que celui effectué pour les nombres de Mersenne montre que :
PGCD(fm , fn ) = PGCD(frN , f0 ) = PGCD(fPGCD(m,n) , 0) = fPGCD(m,n)
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