Fermat, Mersenne et Fibonacci - Blogdemaths

Nombres de Fermat, Mersenne et Fibonacci
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1 Nombres de Fermat
On définit la suite (Fn) des nombres de Fermat par :
∀n∈N,Fn= 22n+ 1
Théorème — . Pour tout m > 0,
Fm= F0×F1×...×Fm−1+ 2
Démonstration. Le théorème est évidemment vrai si m= 1.
Soit m > 0.
Fm+1 −2=22m+1 −1 = (22m)2−1 = (22m−1)(22m+ 1) = (Fm−2)Fm
Donc, par récurrence, si on suppose que Fm= F0×F1×...×Fm−1+ 2 alors
Fm+1 = (Fm−2)Fm+ 2
=(F0×F1×...×Fm−1)×Fm+ 2
= F0×F1×...×Fm−1×Fm+ 2
ce qui prouve le théorème.
2 Nombres de Mersenne
On définit la suite (Mn) de nombres de Mersenne par :
∀n∈N,Mn= 2n−1
Théorème — . Pour tout m>n,
PGCD(Mm,Mn) = MPGCD(m,n)
Autrement dit, PGCD(2m−1,2n−1) = 2PGCD(m,n)−1.
Démonstration. Si m>n, alors on peut faire la division euclidienne de mpar n:
m=nq +ravec r < n
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Ainsi,
2m−1=2m−2nq + 2nq −1
= 2nq+r−2qn + 2qn −1
= 2qn ×2r−2nq + 2nq −1
= 2qn(2r−1) + (2n)q−1
= 2qn(2r−1) + (2n−1)(1 + 2n+ 22n+...+ 2(q−1)n)
Donc,
Mm= 2nqMr+ Mn(1 + 2n+ 22n+...+ 2(q−1)n)
Montrons alors que les diviseurs communs à Mmet Mnsont identiques aux diviseurs
communs à Mnet Mr.
•Si dest un diviseur commun à Mmet Mnalors ddivise Mm−Mn(1 + 2n+ 22n+
...+ 2(q−1)n)=2nqMr. Mais comme ddivise le nombre Mnqui est impair, dne
peut diviser 2 et donc nécessairement, ddivise Mr.
•Réciproquement, si ddivise Mnet Mralors ddivise 2nqMr+ Mn(1 + 2n+ 22n+
...+ 2(q−1)n) = Mm. Nous avons donc montré que les diviseurs communs de Mm
et Mnsont les mêmes que les diviseurs communs de Mnet Mr. D’où :
PGCD(Mm,Mn) = PGCD(Mn,Mr)
Si on considère la suite (rn) des restes successifs dans l’algorithme d’Euclide appliqué
àmet n, et si on note rNle dernier reste non nul (qui se trouve être le PGCD de met
n) alors :
PGCD(Mm,Mn) = PGCD(Mn,Mr0)
PGCD(Mn,Mr0) = PGCD(Mr0,Mr1)
...
PGCD(MrN−1,MrN) = PGCD(MrN,M0)
Or, M0= 0 donc PGCD(Mm,Mn) = PGCD(MrN,M0) = MrN= MPGCD(m,n). CQFD.
3 Nombres de Fibonacci
On définit la suite (fn) des nombres de Fibonacci par :
f0= 0
f1= 1
fn+2 =fn+1 +fnpour tout n∈N
Théorème — . Pour tout m>n,
PGCD(fm,fn) = fPGCD(m,n)
Démonstration. Le principe est similaire à celui mis en oeuvre pour les nombres de
Mersenne.
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Etape 1 :
On commence par montrer l’égalité suivante :
∀u,v > 0,fu+v=fufv+1 +fu−1fv(1)
On fixe vet on fait une récurrence sur u.
•Si u= 1, fufv+1 +fu−1fv= 1 ×fv+1 + 0 ×fv=f1+v
•On suppose l propriété vraie au rang u.
fu+1+v=fu+(v+1)
=fufv+2 +fu−1fv+1
=fu(fv+1 +fv) + fu−1fv+1
= (fu+fu−1)fv+1 +fufv
=fu+1fv+1 +fufv
CQFD.
Etape 2 :
On montre par récurrence que pour tout entier v > 0 et tout entier naturel q,fvdivise
fqv (la récurrence est faite sur q) :
•Si q= 0, le résultat est évident car fvdivise f0= 0.
•On suppose que fvdivise fqv . D’après l’égalité (1), on a :
f(q+1)v=fqv+v
=fqv fv+1 +fqv−1fv
et comme fvdivise fqv et fv, il divise fqvfv+1 +fqv−1fvdonc f(q+1)v.
Etape 3 :
On montre que deux nombres de Fibonacci consécutifs sont premiers entre eux,
c’est-à-dire que pour tout entier naturel n, PGCD(fn,fn+1) = 1.
•C’est vrai si n= 0 car PGCD(f0,f1) = PGCD(0,1) = 1.
•On suppose que PGCD(fn,fn+1) = 1.
Si dest un diviseur commun à fn+1 et fn+2 alors ddivise fn+2 −fn+1 =fn. Ainsi,
dest un diviseur commun à fn+1 et fndonc d= 1 (car par hypothèse de récur-
rence, le plus grand diviseur commun à fn+1 et fnest 1).
Etape 4 :
A présent, passons à la démonstration du théorème à proprement parler.
Soit m>n. On commence par effectuer la division euclidienne de mpar n:
m=nq +ravec r < n
En appliquant l’égalité (1) démontrée précédemment à u=nq et v=r, on obtient :
fm=fnq+r
=fnqfr+1 +fnq−1fr
Comme pour les nombres de Mersenne, on montre que les diviseurs commun à fm
et fnsont identiques aux diviseurs commun à fnet fr:
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•Si ddivise fmet fnalors il divise fmet fnq (voir étape 2) donc il divise fm−
fnqfr+1 =fnq−1fr. Mais comme fnq et fnq−1sont consécutifs, ils sont premiers
entre eux (étape 3), donc, puisque ddivise fnq, il est lui aussi premier fnq−1.
Mais puisque ddivise le produit fnq−1fr, c’est qu’il divise fr.
•Réciproquement, si ddivise fnet fr, alors ddivise fnq (étape 2) et donc il divise
fnqfr+1 +fnq−1fr=fm.
On en déduit que PGCD(fm,fn) = PGCD(fn,fr) et le même raisonnement utilisant
l’algorithme d’Euclide que celui effectué pour les nombres de Mersenne montre que :
PGCD(fm,fn) = PGCD(frN,f0) = PGCD(fPGCD(m,n),0) = fPGCD(m,n)
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