I. Vocabulaire des événements II. Probabilité

Chapitre 10 : probabilités
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I. Vocabulaire des événements
⋆une expérience aléatoire est une expérience qui s’effectue dans des circonstances parfaitement définies et pour laquelle
l’ensemble des résultats possibles est connu mais sans que l’on puisse prévoir lequel de ces résultats sera effectivement
obtenu.
⋆l’univers d’une expérience aléatoire est l’ensemble des issues possibles appelé également éventualités. On le note Ω.
D`é¨fˇi‹n˚i˚tˇi`o“nffl
E”x´e›m¯p˜l´e 1 : Quels sont les univers des expériences aléatoires suivantes ?
1E1: Lancer un dé à six faces. Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}
2E2: Lancer une pièce de monnaie. Ω = {Pile;Face}
3E3: Jouer au loto (FDJ). Ωcontient plusieurs millions d’éléments du type (2; 5; 19; 35; 42; 23),(4; 8; 9; 21; 34; 12), ...
4E4: Naissance (genre). Ω = {Fille ; garçon}
⋆un événement est une partie de l’univers. Si cette partie n’est constituée que d’une seule issue, c’est un événement
élémentaire.
⋆si un événement ne peut se réaliser, il est dit impossible et on le note ∅.
⋆si un événement ne peut que se réaliser, il est dit certain.
D`é¨fˇi‹n˚i˚tˇi`o“nffl
E”x´e›m¯p˜l´e 2 : on s’intéresse ici à l’expérience E1
•A: "obtenir un nombre pair" . A={2; 4; 6}
•B: "obtenir un multiple de 3". B={3; 6}
•C: "obtenir au moins 5". C={5 ; 6}
•D: "obtenir un résultat supérieur strictement à 3". D={4 ; 5 ; 6}
•E: "obtenir un résultat inférieur strictement à 2". E={1}
•F: "obtenir un résultat supérieur strictement à 3 et inférieur strictement à 2 ". F=∅
•G: "obtenir un résultat supérieur ou égal à 1". G= Ω
Donner un exemple d’un événement élémentaire, d’un événement impossible et d’un événement certain.
Eest un événement élémentaire, Fest un événement impossible, Gest un événement certain.
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II. Probabilité
E”x´e›m¯p˜l´e 3 :
Dans une urne fermée, il y a trois boules jaunes et deux boules bleues. Un dispositif permet de mettre en vue une seule boule.
L’expérience aléatoire : on secoue l’urne nfois de suite et on regarde la boule visible dont on relève la couleur.
Les résultats : un relevé statistique des proportions de jaunes vues, en fonction de n.
n400 1 000 2 000 10 000
p0,589 0,603 0,601 0,613
Nous allons donc supposer que la probabilité de vision d’une jaune est de 0,6 et en déduire que l’urne doit contenir 3
jaunes.
La probabilité d’un événement peut être déterminée à partir d’un relevé statistique. Si fest la fréquence de l’événement
Adans le cadre d’une expérience aléatoire, nous poserons que la probabilité de Aest fet nous noterons :
p(A) = f
D`é¨fˇi‹n˚i˚tˇi`o“nffl

Chapitre 10 : probabilités 2
Méthode 1 dénombrer avec un tableau
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Pour dénombrer les événements ou calculer la fréquence d’événements d’une situation sur laquelle on construit une
expérience aléatoire, il est possible d’utiliser un tableau d’effectifs (ou de fréquences). Ci-dessous un exemple.
:Dans une classe de seconde de 34 élèves, 18 élèves ont choisi l’anglais comme LV1 et 12 élèves ont choisi l’option
Pfeg. 5 élèves suivent l’anglais et Pfeg. Combien d’élèves ne suivent ni anglais, ni Pfeg ?
Anglais non Anglais Total
Pfeg 5 12
non Pfeg
Total 18 34
On peut alors définir l’expérience : « on choisit au hasard un élève dans la classe »(c’est donc un cadre d’équiprobabilité).
Puis on peut demander le calcul une probabilité : « quelle est la probabilité de tirer le nom d’un élève ne suivant ni
anglais, ni Pfeg ? ».
La réponse est alors : nombre d’élèves ne suivant ni anglais ni pfeg
nombre d’élèves de la classe .
E”x´e›m¯p˜l´e 5 :
Reprendre l’expérience aléatoire de la méthode. Compléter le tableau et donner la valeur exacte de la probabilité citée.
Soient Aet Bdeux événements.
⋆l’union de Aet de Best l’ensemble des issues qui réalisent Aou B.
On le note A∪B(se lit "A∪nion B").
⋆l’intersection de Aet Best l’ensemble des issues qui réalisent Aet B.
On le note A∩B(se lit "Ai∩ter B").
⋆l’événement "non A", noté A(lire "A barre"), est l’événement contraire de A, constitué de tous les événements élémen-
taires qui ne sont pas contenus dans A.
⋆on dit que deux événements sont incompatibles s’ils n’ont aucun événement élémentaire en commun. On le note
A∩B=∅.
D`é¨fˇi‹n˚i˚tˇi`o“nffl
R`e›m`a˚r`qfi˚u`e : Le diagramme de Venn permet de représenter les différents événements.
Union de deux événements Intersection de deux événements
E”x´e›m¯p˜l´e 6 : Réaliser à l’aide d’un diagramme de Venn un schéma représentant l’événement contraire, et un schéma
représentant deux événements incompatibles

Chapitre 10 : probabilités 3
E”x´e›m¯p˜l´e 7 : Nous nous plaçons dans le cadre de l’expérience aléatoire : « lancer d’un dé ordinaire ».
Soit Al’événement " obtenir un multiple de 3" et Bl’événement " obtenir un chiffre pair".
1Définir l’univers Ω.
2Ecrire les événements A∪B,A∩B,Aet B.
3Citer un événement incompatible avec Aqui ne soit pas son contraire.
E”x´e›m¯p˜l´e 8 : On jette un dé dont les faces sont numérotées de 10 à 15.
1Définir l’univers Ω.
2Ecrire sous forme de parties de Ωles événements :
•A: " obtenir un nombre inférieur ou égal à 12"
•B: " obtenir un nombre impair"
•C: " obtenir un nombre strictement supérieur à 14"
3Ecrire les événements B∪C,B∩C,Aet A∪C.
4Citer deux événements incompatibles qui ne sont pas contraires l’un de l’autre.
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III. Calculs de probabilités
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Cas de l’équiprobabilité
Une loi de probabilité sur un univers associe à chaque issue qui le réalise un nombre compris entre 0 et 1 appelé probabilité.
La somme des probabilités des issues est 1.
D`é¨fˇi‹n˚i˚tˇi`o“nffl
E”x´e›m¯p˜l´e 9 : Dresser la loi de probabilité de l’expérience E1.
La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des issues (des événements élémentaires) qui le réalisent.
D`é¨fˇi‹n˚i˚tˇi`o“nffl
On dit qu’une expérience aléatoire conduit à une situation d’équiprobabilité lorsque chacun des événements élémentaires
a la même probabilité que les autres.
D`é¨fˇi‹n˚i˚tˇi`o“nffl
E”x´e›m¯p˜l´e 10 : Dans le lancer de dé, chaque nombre a la même probabilité d’apparaître, c’est donc une situation
d’équiprobabilité. Il en est de même pour la mise à la vue d’une boule dans l’urne.

Chapitre 10 : probabilités 4
E”x´e›m¯p˜l´e 11 : On lance un dé équilibré à 4 faces et on note le numéro de la face du dessus. Quelle est la probabilité
d’obtenir un nombre pair ?
Le dé est équilibré, c’est une situation d’équiprobabilité. L’univers est constitué de 4 issues : 1, 2, 3, 4.
La probabilité de chaque issue est donc 1
4.
L’événement « obtenir un nombre pair » est constitué de deux issues
« 2 » et « 4 » donc sa probabilité est 1
4×2soit 1 2.
Dans le cadre d’une situation d’équiprobabilité, si Ωest l’univers de l’expérience alors pour tout événement Ade Ω,
p(A) = nombre d’événements élémentaires de A
nombre d’événements élémentaires de Ω
P˚r`o¸p˚r˚i`éˇt´é
E”x´e›m¯p˜l´e 12 : On tire au hasard une carte d’un jeu de 32 cartes. Quelle est la probabilité que la carte soit un 7 ?
Que la carte soit une figure ?
Méthode 2 dénombrer avec un arbre
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Pour dénombrer les événements élémentaires d’une expérience aléatoire, dans un cadre d’équiprobabilité, et déterminer
les probabilités de chacun d’entre-eux, il est possible de faire un arbre et de compter sur cet arbre.
A
B
B
A
B
B
Ici, Ω = {(A, B),(A, B),(A, B),(A, B)}.
p(A∩B) = 1
4car A∩B={(A, B)}
et p(B) = 2
4=1 2car B={(A, B),(A, B)}.
E”x´e›m¯p˜l´e 13 : Une urne contient 3 boules bleues, 5 boules rouges et 2 boules jaunes. On tire au hasard une boule
dans cette urne. Calculer la probabilité de chacun des événements suivants :
⋆A :« la boule est jaune » ;
⋆B :« la boule est rouge ou bleue ».
⋆C :« la boule n’est pas jaune ».
⋆D :« la boule n’est ni rouge ni jaune ».

Chapitre 10 : probabilités 5
E”x´e›m¯p˜l´e 14 : Une urne contient deux boules rouges R1,R2et trois jaunes J1,J2et J3, indiscernables au toucher.
On tire successivement deux boules avec remise (de la première boule dans l’urne) et on note leur couleur.
1Déterminer les événements élémentaires de cette expérience.
2Calculer les probabilités suivantes :
⋆A : « on a tiré deux boules rouges » ;
⋆B : « on a tiré deux boules jaunes » ;
⋆C : « on a tiré deux boules de même couleur » ;
⋆D : « on a tiré au moins une boule rouge ».
3Le tirage s’effectue maintenant sans remise. Reprendre les questions précédentes.
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IV. Propriétés des probabilités
La somme des probabilités de tous les événements élémentaires est égale à 1 :
Σp(ωi) = p(Ω) = 1
P˚r`o¸p˚r˚i`éˇt´é
E”x´e›m¯p˜l´e 15 : On lance un dé truqué qui vérifie p(1) = 2p(2) = p(3) = 2p(4) = p(5) = 2p(6). Quel est la probabilité
de l’événement E: « obtenir un multiple de 3 » ? On a :
p(1) + p(2) + p(3) + p(4) + p(5) + p(6) = 1
p(1) + 1
2p(1) + p(1) + 1 2p(1) + p(1) + 1 2p(1) = 1 soit p(1) = 2 9. « Obtenir un multiple de 3 »est un événement composé des
deux issues « 3 » et « 6 ».
p(E) = p(3) + p(6) = 2
9+2 18 =6 9=1 3.