ts 2 complexes f.exo 7

ts 2 complexes le 6 novembre 2008
exo 1 1.) résoudre dans Cl’équation (E) :z−2
z−1=zet (F) :z−2 z−1=i
2.) donner le module de chaque solution de (E)
exo 2 On considère le polynôme Pde la variable complexe zdéfini par :P(z) = z4+ 2√3z3+ 8z2+ 2√3z+ 7
1.) calculer P(i)et P(−i)
2.) montrer qu’il existe un polynôme Qtel que :pour tout zde C,P(z) = (z2+ 1).Q(z)
3.) résoudre dans Cl’équation : P(z)=0
exo 3 pour tout complexe zde Con considère f(z) = z4 −10z3+ 38z2 −90z+ 261
1.) soit bun nombre réel. Exprimer en fonction de bles parties réelles et imaginaires de f(ib). En déduire
que l’équation f(z) = 0 admet deux nombres imaginaires purs comme solutions.
2.) montrer qu’il existe deux réels αet β, que l’on déterminera, tels que pour tout zde C:
f(z)=(z2+ 9)(z2+αz +β)
3.) résoudre dans Cl’équation f(z) = 0
exo 4 on appelle fla fonction qui à tout complexe différent de −2iassocie : Z=f(z) = z−2 + i
z+ 2i.
Si z=x+iy , x et y étant deux réels, exprimer la partie réelle et la partie imaginaire de Zen fonction de
xet de y.
On vérifiera que Re(z) = x2+y2
−2x+ 3y+ 2
x2+ (y+ 2)2
la partie imaginaire est réelle et ne comporte pas de i
exo 5 résoudre dans C2le système
z1z2=1
2
z1+ 2z2=√3
exo 6 on considère les équations dans C:
(E) z2 −(1 + 3i)z−6+9i= 0
(F) z2 −(1 + 3i)z+ 4 + 4i= 0
1.) montrer que l’équation (E) admet une solution réelle z1
2.) montrer que l’équation (F) admet une solution imaginaire pure z2
3.) développer (z−3)(z+ 2 −3i)puis (z−4i)(z−1 + i)
4.) résoudre (E) et (F) .
exo 7 pour tout complexe Zon pose P(z) = Z4 −1
1.) factoriser P(z)
2.) résoudre dans Cl’équation P(z) = 0
3.) résoudre dans Cl’équation :
2z+ 1
z−14
= 1
http://pagesperso-orange.fr/calque f.exo 7

,=LES=COMPLEXES=AU=BAC=2008fe
2
3. Nouvelle-Calédonie – novembre 2007
Pour chaque question, une seule des trois propositions est exacte. Le candidat indiquera sur la copie le
numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n’est de-
mandée.
Une réponse exacte rapporte 0,5 point ; une réponse inexacte enlève 0,25 point ; l’absence de réponse
est comptée
0 point. Si le total est négatif, la note est ramenée à zéro.
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct d’origine O.
1.
Une solution de l’équation 29i zz+=+ est :
a. 3 b. i c. 3 + i
2.
Soit z un nombre complexe ; i z+ est égal à :
a. 1 z+ b. 1 z− c. i1 z+
3.
Soit z un nombre complexe non nul d’argument θ. Un argument de
1i3
z
−+ est :
a. 3
π
−+θ
b. 2
3
π+θ c. 2
3
π−θ
4. Soit n un entier naturel. Le complexe
()
3i
n
+ est un imaginaire pur si et seulement si :
a. n = 3 b. n = 6 k +3, avec k relatif c. n = 6 k avec k relatif
5.
Soient A et B deux points d’affixe respective i et −1. L’ensemble des points M d’affixe z vérifiant
i1 zz −= + est :
a. la droite (AB) b. le cercle de diamètre [AB] c. la droite perpendiculaire à
(AB) passant par O
6.
Soit Ω le point d’affixe 1 − i. L’ensemble des points M d’affixe z = x + i y vérifiant 1i 34i z −+ = −
a pour équation :
a. y = − x + 1 b.
()
22
15 xy −+= c. i 1i5e zθ =−+ avec θ réel
7. Soient A et B les points d’affixes respectives 4 et 3i. L’affixe du point C tel que le triangle ABC soit
isocèle avec
()
AB, AC 2
π
=
"""! """! est :
a. 1 − 4i b. −3i c. 7 + 4i
8. L’ensemble des solutions dans C de l’équation 2
1
z
z
z
−=
− est :
a. {1 − i} b. L’ensemble vide c. {1 − i ; 1 + i}