19 01-2016

TP : autre salle que d’habitude ? ?
Dispos....
MAT1500
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Rappel.
Soit P et Q deux formules logiques qui dépendent de propositions
logiques p, q, r , . . ..
On dit que P et Q sont logiquement équivalentes si P et Q ont
toujours la même valeur de vérité, n’importe les valeurs de vérité
des composantes p, q, r , . . .. On écrit
P⇔Q
Avec les équivalences on a le droit de manipuler algébriquement
des formules logiques.
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Aussi :
Il faut adopter les notations du cours ! Exemples :
Il faut utiliser ¬p (et pas p).
Et Vraie (ou V) et Fausse (ou F) (et pas 1 et 0).
Et ⇔ (et pas ≡).
Et pas confondre ⇔ et ↔.
Et pas confondre ∨ et ∪, ou ∧ et ∩.
Et ⇒ n’est pas défini encore, donc éviter d’utiliser.
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A propos des ( et ).
Nous avons montré l’associativité :
p ∨ (q ∨ r ) ⇔ (p ∨ q) ∨ r .
Logiquement il n’y a pas de confusion possible : on a le droit
d’écrire p ∨ q ∨ r .
Aussi p ∧ q ∧ r est sans ambiguité.
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Mais p ∨ q ∧ r est ambigue !
Parce que
(p ∨ q) ∧ r
ou
p ∨ (q ∧ r )
sont deux choses logiquement différentes (non-équivalentes).
Nous ne posons pas de convention de priorité entre ∨ et ∧ !
Il faut continuer d’utiliser les (, ) dans ce cours !
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Seulement :
par convention ¬ aura plus haute priorité que les autres opérations
logiques.
Par exemple :
¬p → q veut dire (¬p) → q et non ¬(p → q).
Ce sont les seules convention de ce cours a propos de priorité
d’opérations logiques. Pour le reste il faut utliser les (, ).
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Une équivalence utilisée souvent :
(P ↔ Q) ⇔ ((P → Q) ∧ (Q → P)) .
En mots : P ↔ Q est vraie si et seulement si P → Q et sa
réciproque Q → P sont vraies.
Preuve par une vérification par tableau.
P
V
V
F
F
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Q
V
F
V
F
P↔Q
V
F
F
V
P→Q
V
F
V
V
Q→P
V
V
F
V
((P → Q) ∧ (Q → P))
V
F
F
V
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Deux autres exemples d’équivalence, très importante pour nous :
(P → Q) ⇔ (¬Q → ¬P)
(une implication est équivalente à sa contraposé)
et
(P → Q) ⇔ (¬P ∨ Q)
Preuve :
P
V
V
F
F
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Q
V
F
V
F
P→Q
V
F
V
V
¬Q
F
V
F
V
¬P
F
F
V
V
(¬Q) → (¬P)
V
F
V
V
(¬P ∨ Q)
V
F
V
V
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À la place d’utiliser un tableau pour vérifier une équivalence
logique, on peut aussi utiliser les petites (ou grandes) équivalences
déjà montrées, comme en algèbre.
Un exemple suffit pour comprendre, peut-être.
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Disons P := ((¬q) ∧ (p ∨ r )) → p et Q := (p ∨ (q ∨ (¬r ))) sont
équivalentes :
P ⇔ (¬((¬q) ∧ (p ∨ r ))) ∨ p (Car (p → q) ⇔ ((¬p) ∨ q))
⇔ (¬(¬q) ∨ ¬(p ∨ r ))) ∨ p (Selon De Morgan)
⇔ (q ∨ ¬(p ∨ r ))) ∨ p (Double négation)
⇔ (q ∨ ((¬p) ∧ (¬r ))) ∨ p (Selon De Morgan)
⇔ q ∨ (((¬p) ∧ (¬r )) ∨ p) (Assoc. pour ∨)
⇔ q ∨ (p ∨ ((¬p) ∧ (¬r ))) (comm. pour ∨)
⇔ q ∨ ((p ∨ (¬p)) ∧ (p ∨ (¬r ))) (Distrib.)
⇔ q ∨ (V ∧ (p ∨ (¬r ))) (Selon (p ∨ (¬p)) ⇔ V )
⇔ q ∨ (p ∨ (¬r )) (Selon (V ∨ p) ⇔ p)
⇔ (q ∨ p) ∨ (¬r )(Assoc. de ∨)
⇔ (p ∨ q) ∨ (¬r ) (Commut. de ∨)
⇔ Q (Assoc. de ∨)
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L’algèbre (de Boole) est utilisé en programmation...
Seulement les équivalences logiques simples sont utilisées dans les
preuves mathématiques.
Nous allons donner des exemple d’utilisation.
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Soient P et Q deux proposition logiques en mathématiques.
Supposons on veut montrer :
Théorème
P→Q
C.-à-d., on veut montrer que cette proposition logique P → Q est
vraie.
À cause d’une équivalence, il suffit de montrer que l’implication
(¬Q → ¬P) est vraie (preuve indirecte), ou que la proposition
(¬P ∨ Q) est vraie.
Donc il y plusieurs façons de montrer le théorème.
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Preuve directe typique :
Si P est fausse, l’implication P → Q est automatiquement vraie et
il y aura rien à faire (Cette phrase est souvent omise).
Supposons P est vraie. Puis (avec cette hypothèse et avec de l’aide
des théorèmes déjà montrés), on montre que Q serait en
conséquence aussi vraie.
Ainsi on aura montré que P → Q est vraie.
En math : si on écrit "On veut montrer P" ça veut dire "On veut
montrer que la proposition logique P est vraie."
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Preuve indirecte typique :
Il suffit de montrer la contraposé (¬Q) → (¬P).
Si ¬Q est faux (c.-à-d., Q est vraie), l’implication est
automatiquement vraie. (Cette phrase est souvent omise).
Supposons Q est fausse. Puis (avec cette hypothèse et avec de
l’aide des théorèmes déjà montrés), on montre que P sera aussi
fausse.
On aura montré que P → Q est vraie.
Différence : avec une preuve directe on peut travailler avec
l’hypothèse que P est vraie pour montrer qu’alors Q est aussi vraie.
Avec une preuve indirecte on peut travailler avec l’hypothèse que
Q est faux pour montrer qu’alors P est aussi faux.
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Fausse preuve typique :
Il suffit de montrer (¬P) → (¬Q) est vraie.
Si ¬P est faux (ou P est vraie), l’implication est automatiquement
vraie.
Supposons P est fausse. Puis (avec cette hypothèse et avec de
l’aide des théorèmes déjà montrés), on montre que Q sera aussi
fausse.
On aura montré que P → Q est vraie.
Une telle FAUSSE preuve est inacceptable (car P → Q n’est pas
équivalent à ¬P → ¬Q !).
Ca vaut 0 points dans un examen. On est averti !
(Ce qu’on montre en fait est la réciproque q → p).
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Revisitons l’exemple suivant.
Proposition
Soit A, B deux ensembles finis et F : A → B une fonction donnée
par la notation "deux-lignes" (sans répétitions dans la première
ligne).
Cette fonction est injective si et seulement si chaque élément de B
se trouve au maximum une fois sur la 2-ième ligne.
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Démonstration.
Montrons par une preuve directe que l’hypothèse que chaque
élément de B se trouve au maximum une fois sur la deuxième ligne
implique que la conclusion que F est injective.
Soient a et a0 des éléments de A tels que b = F (a) = F (a0 ). Ces
deux éléments a et a0 se trouvent sur la première ligne, c’est à dire
ils existent i et j tels que a = ai et a0 = aj et donc
F (a) = F (ai ) = fi , F (a0 ) = f (aj ) = fj . Nous avons que b = fi = fj .
Mais b se trouve au maximum une fois sur la 2-ième ligne. Ça veut
dire i = j et donc a = ai = aj = a0 . Alors nous avons montré que
F est injective (si chaque élément de B se trouve au maximum une
fois sur la deuxième ligne).
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Démonstration.
Nous allons montrer par une preuve indirecte que si on suppose
que F est injective alors chaque élément de B se trouve au
maximum une fois sur la deuxième ligne.
Supposons b ∈ B se trouve au moins deux fois sur la 2-ième ligne,
disons à positions i et j (i 6= j). Donc b = fi = fj . Mais fi = F (ai )
et fj = F (aj ), alors F (ai ) = F (aj ) et ai 6= aj . Donc F n’est pas
injective. On conclut la preuve indirecte que si F est injective alors
chaque élément de B se trouve au maximum une fois sur la
deuxième ligne.
Ça finit la preuve de la proposition.
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Analyse logique.
P :=" La fonction F est injective " et
Q :="Chaque élément de B se trouve au maximum une fois sur la
2-ième ligne".
Il faut montrer P ↔ Q est vraie.
Parce que (P ↔ Q) ⇔ ((P → Q) ∧ (Q → P)) il suffit de montrer
que P → Q et Q → P sont vraies.
On montre les deux implications. Q → P par une preuve directe et
P → Q par une preuve indirecte.
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Pour la preuve Q → P :
On suppose que Q est vraie. Sous sette hypothèse on montre que
P n’est pas fausse, donc vraie. Donc sous l’hypothèse que Q est
vraie, on a montré que P serait nécessairement vraie aussi. Ainsi
Q → P est montré.
Pour la preuve P → Q :
On suppose que Q est fausse. Sous cette hypothèse que Q est
fausse on montre que P est fausse aussi. Ainsi P → Q est montré.
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Il faut remarquer plus.
Dans la preuve Q → P on suppose Q vraie.
Puis on suppose P fausse. en utilisant ça on montre Q fausse.
Mais Q ne peut pas être simultanément vraie et fausse : absurde,
impossible ! Donc (sous l’hypothèse que Q vraie, ce n’est pas
possible que P est fausse. Donc P vraie.
Ceci est une preuve "par l’absurde" d’un sous-résultat (ou un
lemme si vous voulez).
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Si en supposant qu’une proposition P soit fausse, on peut
argumenter qu’une autre proposition est simultanément vraie et
fausse (une contradiction). Dans ce cas P est nécessairement
vraie ! !
C’est une preuve par l’absurde, ou une preuve par contradiction.
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Règles d’inférence
Si P et Q sont deux formules logiques telles que P → Q est une
tautologie, on dit que c’est une règle d’inférence et on écrit
P⇒Q
alors si P est vraie alors AUTOMATIQUEMENT aussi Q est vraie.
Mais si P est fausse, nous ne pouvons rien conclure a propos Q.
Par exemple, proposition logique :
(p ∧ (p → q)) ⇒ q
une règle d’inférence appelée classiquement modus ponens.
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Règles d’inférence déjà utilisés correctement par vous tous les
jours :
p ⇒ (p ∨ q)
(p ∧ q) ⇒ p
(p ∨ q) ∧ (¬p) ⇒ q.
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Un peu d’attention, mais bien "connues" aussi :
(p ∧ (p → q)) ⇒ q (modus ponens)
et
(¬q ∧ (p → q) ⇒ ¬p (modus tollens)
et
(p → q) ∧ (q → r ) ⇒ (p → r ) (syllogisme par hypothèse)
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Pour montrer modus tollens, commençons avec modus ponens
(p ∧ (p → q)) ⇒ q
Faisons les substitutions p par ¬q et q par ¬p (on a le droit !) :
(¬q ∧ (¬q → ¬p)) ⇒ ¬p.
Puis utilisons l’équivalence logique
(¬q → ¬p) ⇔ (p → q)
nous obtenons modus tollens :
(¬q ∧ (p → q) ⇒ ¬p.
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On peut combiner des règles d’inférence et les équivalences
logiques :
Si P ⇒ Q et Q ⇒ R alors aussi P ⇒ R.
Et
P ⇔ Q si et seulement si P ⇒ Q et Q ⇒ P.
Exemple :
[(p ∨ q) → r ] ⇔ (p → r ) ∧ (q → r )
implique la règle d’inférence
[(p → r ) ∧ (q → r )] ⇒ [(p ∨ q) → r ]
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Preuve algébrique de l’équivalence logique
[(p ∨ q) → r ] ⇔ (p → r ) ∧ (q → r ).
[(p ∨ q) → r ] ⇔ ¬(p ∨ q) ∨ r ( Car p → q ⇔ ¬p ∨ q)
⇔ (¬p ∧ ¬q) ∨ r ( Par De Morgan)
⇔ (¬p ∨ r ) ∧ (¬q ∨ r ) ( Par distr.)
⇔ (p → r ) ∧ (q → r ) ( Car p → q ⇔ ¬p ∨ q)
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Qu’est-ce que vous en pensez :
q → p est une sorte d’opposé de p → q (sa réciproque)
et
l’opposé de (q → p) est ¬(q → p)
et donc
p → q est la même chose que ¬(q → p).
Ou, dans la langue de la semaine passée, ça semble que
(p → q) ⇔ ¬(q → p).
Raisonable ? Logique ?
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Vous avez des doutes ?
Vérifions :
p
V
V
F
F
q
V
F
V
F
p→q
V
F
V
V
q→p
V
V
F
V
¬(q → p)
F
F
V
F
(q → p) ↔ (¬(q → p))
F
V
V
F
NON, c’est une contre-vérité !
Il faut aiguiser le sens critique.
En effet : q → p n’est pas l’opposé de p → q.
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Qu’est-ce que vous en pensez :
E : "...... on a déjà montré que p implique q.... alors q est vraie et
......"
P : "Non, on n’a pas le droit"
E : "Mais, en supposant que p est vraie j’ai montré que q est vraie,
n’est-ce pas ? Alors q est vraie, non ?"
P : "Non !"
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On a p → q est vraie si p est fausse. Donc ça montre :
(”0 = 1”) → "Dieu existe".
Il suit que "Dieu existe" ? !
Non.
Il suit que "Dieu n’existe pas" ? !
Non.
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Mais
" .....on a montré p et que ça implique q, donc q est vraie ...."
ou
"...... on a déjà montré que p implique q, et p est vraie.... alors q
est vrai et ......"
est une raisonnement logique, basée sur la tautologie :
(p ∧ (p → q)) → q
(c.-à-d, toujours vraie, n’importe p et q).
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(p ∧ (p → q)) → q est une proposition logique toujours vraie,
n’importe les propositions p et q.
Preuve par tableau :
p q p → q p ∧ (p → q)
V V
V
V
V F
F
F
F V
V
F
F F
V
F
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[p ∧ (p → q)] → q
V
V
V
V
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Soit p(u) une fonction propositionnelle avec domaine de discours
U.
Rappelons : "∀u p(u)" est fausse si et seulement s’il existe au
moins un u tel que p(u) est fausse.
Traduction :
¬(∀u p(u)) ⇔ ∃u (¬p(u))
Et "∃u p(u)" est fausse si et seulement si pour chaque u on a que
p(u) est fausse.
Traduction :
¬(∃u p(u)) ⇔ ∀u (¬p(u))
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