L`essentiel avant... le calcul matriciel

L’essentiel avant... le calcul matriciel
EDB
(NB : K désigne ici R ou C.)
1
Les espaces vectoriels de matrices
1.1
Vocabulaire
Définition Une matrice A de taille (n, p) à coefficients dans K un tableau de n lignes L1 , ..., Ln et de p colonnes C1 , ..., Cp .
(Lignes et colonnes sont les rangées de la matrice.)
Le coefficient (ou terme) d’indice (i, j), ou plus simplement d’indice ij, est le scalaire (=élément de K) à l’intersection de la
ième ligne et j ème colonne.
On utilisera les notations :


a11 a12 . . . a1p
... ... ... ...

A = [aij ] = 
... ... ... ...
an1 an2 . . . anp
On utilisera également les notations aij = A(i, j) pour le terme d’indice (i, j) de A.
Les colonnes sont des matrices (n, 1) et les lignes des matrices (1, p). Elles s’identifient naturellement à des éléments de Kn
(resp., Kp ).
Le rang de la matrice est le rang de ses colonnes dans Kn et de ses lignes dans Kp .
Cas particuliers importants :
1. n = p : matrice carrée d’ordre n (ou de taille n).
2. n = 1, (1 ligne) : matrice-ligne.
3. p = 1, (1 colonne) : matrice-colonne.
4. n = p = 1 (1 seul coefficient), la matrice est identifiée à son coefficient.
5. diagonale de A : famille des coefficients aii .
6. A est diagonale si i 6= j ⇒ aij = 0.
7. A est une matrice scalaire si c’est une matrice diagonale dont les termes sur la diagonale sont tous égaux.
8. Matrice unité d’ordre n : In = diag 1, · · · , 1 ∈ Mn (K).
9. A est triangulaire supérieure si elle est carrée et si i > j ⇒ aij = 0.
10. A est triangulaire supérieure si elle est carrée et si i < j ⇒ aij = 0.
11. Matrice nulle : notée 0n,p ou 0.
1.2
Structure algébrique des espaces de matrices
Définition Mn,p (K) est l’ensemble des matrices de taille (n, p) à coefficients dans K.
Cas particulier : on note Mn (K) est l’ensemble des matrices carrées d’ordre n (au lieu de Mn,n (K)).
Remarque Une matrice (n, p) s’identifie naturellement 1 à une application de {1, · · · , n} × {1, · · · , p} dans K, ce qui munit
Mn,p (K) d’une structure de K-espace vectoriel.
1.3
Transposition
Définition
aji .
La matrice transposée t A de la matrice A est la matrice dont le coefficient de la i-ème ligne et j-ème colonne est
1. En particulier, deux matrices A et B sont égales si et seulement si elles sont de même taille et si aij = bij pour tout (i, j).
1
Propriétés
1. A et sa transposée ont le même rang.
2. Pour tout A ∈ Mn,p (K), t (t A) = A
3. A 7→ t A est un isomorphisme de K-espaces vectoriels de Mn,p (K) sur Mp,n (K).
4. En particulier, sur Mn (K), la transposition est une involution (géométriquement, c’est donc une symétrie). Une matrice
A ∈ Mn (K) est symétrique si t A = A, antisymétrique si t A = −A. L’ensemble des matrices symétriques (noté Sn (K))
et celui des matrices antisymétriques (noté An (K)) constituent des sous-espaces supplémentaires de Mn (K) (ce sont,
respectivement, l’axe et la direction de la symétrie A 7→ t A).
2
Multiplication des matrices
2.1
Produit d’une ligne par une colonne
¡
Le produit d’une matrice-ligne de n termes L = a1
 
b1
¢
 .. 
an par une matrice-colonne de n termes C =  .  est le
···
bn
scalaire :
LC = a1 b1 + · · · + an bn =
n
X
ak bk
k=1
2.2
Produit de deux matrices
Le produit de la matrice A de taille (p, n) par la matrice A0 de taille (n, q) est la matrice M de taille (p, q) dont le coefficient
(i, j) est donné par :
n
X
0
0
0
mij = Li Cj = ai1 a1j + · · · + ain anj =
aik a0kj
k=1
Méthode pratique On range les matrices dans un petit tableau :
µ
¶
1 −1 2
µ
¶ µ2 −1 2
¶
−1 0
−1 1 −2
1 1
3 −2 4
Le terme ij dans la matrice AB apparaît exactement à droite de la ième ligne de A et sous la j ème colonne de B, ce qui facilite la
multiplication.
Exemple
de LC ?
2.3
Une matrice de rang 1 s’écrit A = CL, où C est une colonne et L une ligne non nulles. Si elle est carrée, que dire
Propriétés algébriques du produit
La multiplication définit ainsi une application bilinéaire de Mp,n (K) × Mn,q (K) dans Mp,q (K). Elle n’est pas symétrique
(c.-à-d., le produit n’est pas commutatif), même si n = p = q.
Si n = p, on définit ainsi une lci (multiplication) sur Mn (K). (Mn (K), +, ×) est un anneau (non commutatif si n ≥ 2) et
(Mn (K), +, ., ×) est une K-algèbre. 2
2.3.1
Transposition
Attention, t (AB) = t B × t A. (En particulier A 7→ t A n’est pas un morphisme d’anneaux sur Mn (K)).
2. C’est-à-dire qu’on a de plus, pour tout k scalaire, k.(AB) = (k.A)B = A.(kB) (on notera que l’ordre des matrices A et B ne doit pas changer).
2
2.4
Matrice associée à une application linéaire
Si E et E 0 sont des K-espaces vectoriels de dimension finie, de dimensions respectives p et n, et de bases respectives B et
B , f une application linéaire de E dans E 0 . Alors :
0
1. f 7→ MB,B 0 (f ) est un isomorphisme d’espaces vectoriels de L (E, E 0 ) sur Mn,p (K) ;
2. Si E = E 0 , f 7→ MB (f ) est un isomorphisme d’algèbres de L (E) sur Mn (K).
En particulier, en considérant E = Kp et E 0 = Kn munis de leurs bases canoniques respectives, on associe canoniquement
une matrice de Mn,p (K) (resp., de Mn (K)) à une application linéaire de Kp dans Kn (resp., à un endomorphisme de Kn ).
3
Matrices inversibles
3.1
Le groupe linéaire
Mn (K) est un anneau (non commutatif) mais ce n’est pas un corps (c.-à-d. qu’une matrice non nulle n’est pas toujours
inversible).
En particulier, on peut avoir AM = AN , avec A non nulle, sans que M et N soient égales.
Définition
Soient A et B sont des matrices carrées d’ordre n. B est la matrice inverse de A si et seulement si BA = AB = In .
Remarque Avec le théorème du rang, on montre que les égalités AB = In et BA = In sont équivalentes, donc l’une d’entre
elles suffit pour conclure que B est l’inverse de A dans Mn (K).
Définition GLn (K) est le groupe des matrices inversibles dans Mn (K) (« groupe linéaire d’ordre n sur K). Il est isomorphe à
GL(Kn ) (groupe des automorphismes de Kn ).
3.1.1
Inverse d’un produit
Attention : si A et B sont inversibles, alors AB est inversible et (AB)−1 = B −1 A−1 .
3.1.2
Inverse d’une transposée
Si A est inversible, alors sa transposée est inversible et : t (A−1 ) = (t A)−1 .
3.2
Méthodes pratiques pour inverser une matrice
La méthode naïve qui consisterait à poser une matrice inconnue et résoudre AM = In nécessite de résoudre n systèmes de
n équations à n inconnues. On présente ici des méthodes plus rapides...
3.2.1
Résolution d’un système
L’isomorphisme entre L (Kn ) et Mn (K) permet d’affirmer qu’une matrice A est inversible ssi son endomorphisme canoniquement associé f est bijectif, et dans ce cas l’inverse de A est la matrice canoniquement associée à f −1 .
Pour déterminer f −1 , s’il existe, on cherche à résoudre le système AX = Y , pour tout second membre Y (matrice colonne).
Si la résolution aboutit à une solution et une seule, alors A est inversible, et l’unique solution s’écrivant : X = A−1 Y , il suffit de
lire les coefficients de A−1
Remarque A est inversible ssi, pour tout second membre Y (matrice colonne), le système AX = Y est de Cramer.
En particulier, A est inversible ⇔ rg A = n ⇔ det(A) 6= 0.
Remarque
On peut chercher à inverser la transposée de A si c’est plus pratique...
3
3.3
Opérations élémentaires sur les rangées
Opérations élémentaires sur les lignes de la matrice A (de taille quelconque) :
1. Li ↔ Lj (permutation de deux lignes)
2. Li ← k.Li (produit par un scalaire non nul)
3. Li ← Li + λLj avec j 6= i (transvection)
Ces opérations fournissent une matrice différente mais de même rang. Elles s’interprêtent comme le produit à gauche de A par
une matrice T inversible (obenue en appliquant l’opération considérée à la matrice unité).
On a des propriétés semblables pour les colonnes, il s’agit dans ce cas de produits à droite...
3.4
Méthode de Gauss (pivot)
On considère une matrice carrée A.
Étape 1 : Si la première colonne est nulle, alors A n’est pas inversible. Sinon, on permute les lignes (type1) pour se ramener
1
(type 2) pour se ramener au cas a11 = 1, puis on effectue les opérations
au cas : a11 6= 0. On multiplie la première ligne par
a11
de type 3 : Li ← Li − ai1 L1 pour i 6= 1.
La première colonne obtenue est alors la première colonne de In .
Étape 2 : Si ai2 = 0 pour tout i ≥ 2, alors les deux premières colonnes sont liées, donc A n’est pas inversible. Sinon, on
permute les lignes d’indice i ≥ 2 pour que a22 6= 0, et on procède comme à la première étape. On réitère le processus.
Lorsque l’algorithme s’arrête dans deux cas :
1. A n’est pas inversible.
2. A est inversible, et la suite d’opérations élémentaires sur les lignes de A a fourni la matrice In . 3 est d’approcher la matrice
par des On a donc Tm · · · T1 .A = In donc A−1 = Tm · · · T1 = Tm · · · T1 .In .
La même suite d’opérations élémentaires appliquée à In donne donc A−1 .
Remarque
On peut choisir de faire les opérations sur les colonnes, mais il ne faut pas mélanger les deux types d’opérations.
Remarque Si l’objectif n’est pas d’inverser la matrice mais de calculer son rang, il suffit d’appliquer des opérations élémentaires pour échelonner les lignes (ou les colonnes) de la matrice. On peut alors mélanger les opérations sur les lignes ou les
colonnes.
3. L’algorithme nécessite n(n + 1) opérations élémentaires dans le pire des cas, ce qui est assez lent. Dans certains cas particuliers, le calcul est cependant
plus rapide : matrice triangulaire, par exemple - n opérations seulement. En calcul numérique, un des axes de travail est d’approcher la matrice par d’autres dont
l’inverse a un calcul rapide - matrices « creuses » avec beaucoup de zéros, par ex.
4