L`essentiel avant... le calcul matriciel

L’essentiel avant... le calcul matriciel
EDB
(NB : Kdésigne ici Rou C.)
1 Les espaces vectoriels de matrices
1.1 Vocabulaire
Définition Une matrice Ade taille (n, p)à coefficients dans Kun tableau de nlignes L1, ..., Lnet de pcolonnes C1, ..., Cp.
(Lignes et colonnes sont les rangées de la matrice.)
Le coefficient (ou terme) d’indice (i, j), ou plus simplement d’indice ij, est le scalaire (=élément de K) à l’intersection de la
ième ligne et jème colonne.
On utilisera les notations :
A= [aij ] = 
a11 a12 . . . a1p
. . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
an1an2. . . anp
On utilisera également les notations aij =A(i, j)pour le terme d’indice (i, j)de A.
Les colonnes sont des matrices (n, 1) et les lignes des matrices (1, p). Elles s’identifient naturellement à des éléments de Kn
(resp., Kp).
Le rang de la matrice est le rang de ses colonnes dans Knet de ses lignes dans Kp.
Cas particuliers importants :
1. n=p: matrice carrée d’ordre n(ou de taille n).
2. n= 1, (1 ligne) : matrice-ligne.
3. p= 1, (1 colonne) : matrice-colonne.
4. n=p= 1 (1 seul coefficient), la matrice est identifiée à son coefficient.
5. diagonale de A: famille des coefficients aii.
6. Aest diagonale si i6=j⇒aij = 0.
7. Aest une matrice scalaire si c’est une matrice diagonale dont les termes sur la diagonale sont tous égaux.
8. Matrice unité d’ordre n:In= diag 1,··· ,1∈Mn(K).
9. Aest triangulaire supérieure si elle est carrée et si i > j ⇒aij = 0.
10. Aest triangulaire supérieure si elle est carrée et si i < j ⇒aij = 0.
11. Matrice nulle : notée 0n,p ou 0.
1.2 Structure algébrique des espaces de matrices
Définition Mn,p(K)est l’ensemble des matrices de taille (n, p)à coefficients dans K.
Cas particulier : on note Mn(K)est l’ensemble des matrices carrées d’ordre n(au lieu de Mn,n(K)).
Remarque Une matrice (n, p)s’identifie naturellement 1à une application de {1,··· , n} × {1,· · · , p}dans K, ce qui munit
Mn,p(K)d’une structure de K-espace vectoriel.
1.3 Transposition
Définition La matrice transposée tAde la matrice Aest la matrice dont le coefficient de la i-ème ligne et j-ème colonne est
aji.
1. En particulier, deux matrices Aet Bsont égales si et seulement si elles sont de même taille et si aij =bij pour tout (i, j).
1

Propriétés
1. Aet sa transposée ont le même rang.
2. Pour tout A∈Mn,p(K),t(tA) = A
3. A7→ tAest un isomorphisme de K-espaces vectoriels de Mn,p(K)sur Mp,n(K).
4. En particulier, sur Mn(K), la transposition est une involution (géométriquement, c’est donc une symétrie). Une matrice
A∈Mn(K)est symétrique si tA=A, antisymétrique si tA=−A. L’ensemble des matrices symétriques (noté Sn(K))
et celui des matrices antisymétriques (noté An(K)) constituent des sous-espaces supplémentaires de Mn(K)(ce sont,
respectivement, l’axe et la direction de la symétrie A7→ tA).
2 Multiplication des matrices
2.1 Produit d’une ligne par une colonne
Le produit d’une matrice-ligne de ntermes L=¡a1· · · an¢par une matrice-colonne de ntermes C=
b1
.
.
.
bn
est le
scalaire :
LC =a1b1+···+anbn=
n
X
k=1
akbk
2.2 Produit de deux matrices
Le produit de la matrice Ade taille (p, n)par la matrice A0de taille (n, q)est la matrice Mde taille (p, q)dont le coefficient
(i, j)est donné par :
mij =LiC0
j=ai1a0 1j+· · · +aina0 nj =
n
X
k=1
aika0
kj
Méthode pratique On range les matrices dans un petit tableau :
µ1−1 2
2−1 2¶
µ−1 0
1 1¶ µ−1 1 −2 3−2 4 ¶
Le terme ij dans la matrice AB apparaît exactement à droite de la ième ligne de Aet sous la jème colonne de B, ce qui facilite la
multiplication.
Exemple Une matrice de rang 1 s’écrit A=CL, où Cest une colonne et Lune ligne non nulles. Si elle est carrée, que dire
de LC ?
2.3 Propriétés algébriques du produit
La multiplication définit ainsi une application bilinéaire de Mp,n(K)×Mn,q (K)dans Mp,q (K). Elle n’est pas symétrique
(c.-à-d., le produit n’est pas commutatif), même si n=p=q.
Si n=p, on définit ainsi une lci (multiplication) sur Mn(K).(Mn(K),+,×)est un anneau (non commutatif si n≥2) et
(Mn(K),+, ., ×)est une K-algèbre. 2
2.3.1 Transposition
Attention, t(AB) = tB×tA. (En particulier A7→ tAn’est pas un morphisme d’anneaux sur Mn(K)).
2. C’est-à-dire qu’on a de plus, pour tout kscalaire, k.(AB)=(k.A)B=A.(kB)(on notera que l’ordre des matrices Aet Bne doit pas changer).
2

2.4 Matrice associée à une application linéaire
Si Eet E0sont des K-espaces vectoriels de dimension finie, de dimensions respectives pet n, et de bases respectives Bet
B0,fune application linéaire de Edans E0. Alors :
1. f7→ MB,B0(f)est un isomorphisme d’espaces vectoriels de L(E, E0)sur Mn,p(K);
2. Si E=E0,f7→ MB(f)est un isomorphisme d’algèbres de L(E)sur Mn(K).
En particulier, en considérant E=Kpet E0=Knmunis de leurs bases canoniques respectives, on associe canoniquement
une matrice de Mn,p(K)(resp., de Mn(K)) à une application linéaire de Kpdans Kn(resp., à un endomorphisme de Kn).
3 Matrices inversibles
3.1 Le groupe linéaire
Mn(K)est un anneau (non commutatif) mais ce n’est pas un corps (c.-à-d. qu’une matrice non nulle n’est pas toujours
inversible).
En particulier, on peut avoir AM =AN, avec Anon nulle, sans que Met Nsoient égales.
Définition Soient Aet Bsont des matrices carrées d’ordre n.Best la matrice inverse de Asi et seulement si BA =AB =In.
Remarque Avec le théorème du rang, on montre que les égalités AB =Inet BA =Insont équivalentes, donc l’une d’entre
elles suffit pour conclure que Best l’inverse de Adans Mn(K).
Définition GLn(K)est le groupe des matrices inversibles dans Mn(K)(« groupe linéaire d’ordre n sur K). Il est isomorphe à
GL(Kn)(groupe des automorphismes de Kn).
3.1.1 Inverse d’un produit
Attention : si Aet Bsont inversibles, alors AB est inversible et (AB)−1=B−1A−1.
3.1.2 Inverse d’une transposée
Si Aest inversible, alors sa transposée est inversible et : t(A−1) = (tA)−1.
3.2 Méthodes pratiques pour inverser une matrice
La méthode naïve qui consisterait à poser une matrice inconnue et résoudre AM =Innécessite de résoudre nsystèmes de
néquations à ninconnues. On présente ici des méthodes plus rapides...
3.2.1 Résolution d’un système
L’isomorphisme entre L(Kn)et Mn(K)permet d’affirmer qu’une matrice Aest inversible ssi son endomorphisme canoni-
quement associé fest bijectif, et dans ce cas l’inverse de Aest la matrice canoniquement associée à f−1.
Pour déterminer f−1, s’il existe, on cherche à résoudre le système AX =Y, pour tout second membre Y(matrice colonne).
Si la résolution aboutit à une solution et une seule, alors Aest inversible, et l’unique solution s’écrivant : X=A−1Y, il suffit de
lire les coefficients de A−1
Remarque Aest inversible ssi, pour tout second membre Y(matrice colonne), le système AX =Yest de Cramer.
En particulier, Aest inversible ⇔rg A=n⇔det(A)6= 0.
Remarque On peut chercher à inverser la transposée de Asi c’est plus pratique...
3

3.3 Opérations élémentaires sur les rangées
Opérations élémentaires sur les lignes de la matrice A(de taille quelconque) :
1. Li↔Lj(permutation de deux lignes)
2. Li←k.Li(produit par un scalaire non nul)
3. Li←Li+λLjavec j6=i(transvection)
Ces opérations fournissent une matrice différente mais de même rang. Elles s’interprêtent comme le produit à gauche de Apar
une matrice Tinversible (obenue en appliquant l’opération considérée à la matrice unité).
On a des propriétés semblables pour les colonnes, il s’agit dans ce cas de produits à droite...
3.4 Méthode de Gauss (pivot)
On considère une matrice carrée A.
Étape 1 : Si la première colonne est nulle, alors An’est pas inversible. Sinon, on permute les lignes (type1) pour se ramener
au cas : a11 6= 0. On multiplie la première ligne par 1
a11
(type 2) pour se ramener au cas a11 = 1, puis on effectue les opérations
de type 3 : Li←Li−ai1L1pour i6= 1.
La première colonne obtenue est alors la première colonne de In.
Étape 2 : Si ai2= 0 pour tout i≥2, alors les deux premières colonnes sont liées, donc An’est pas inversible. Sinon, on
permute les lignes d’indice i≥2pour que a22 6= 0, et on procède comme à la première étape. On réitère le processus.
Lorsque l’algorithme s’arrête dans deux cas :
1. An’est pas inversible.
2. Aest inversible, et la suite d’opérations élémentaires sur les lignes de Aa fourni la matrice In.3est d’approcher la matrice
par des On a donc Tm···T1.A =Indonc A−1=Tm· · · T1=Tm· · · T1.In.
La même suite d’opérations élémentaires appliquée à Indonne donc A−1.
Remarque On peut choisir de faire les opérations sur les colonnes, mais il ne faut pas mélanger les deux types d’opérations.
Remarque Si l’objectif n’est pas d’inverser la matrice mais de calculer son rang, il suffit d’appliquer des opérations élémen-
taires pour échelonner les lignes (ou les colonnes) de la matrice. On peut alors mélanger les opérations sur les lignes ou les
colonnes.
3. L’algorithme nécessite n(n+ 1) opérations élémentaires dans le pire des cas, ce qui est assez lent. Dans certains cas particuliers, le calcul est cependant
plus rapide : matrice triangulaire, par exemple - nopérations seulement. En calcul numérique, un des axes de travail est d’approcher la matrice par d’autres dont
l’inverse a un calcul rapide - matrices « creuses » avec beaucoup de zéros, par ex.
4