TRIANGLES SEMBLABLES. 1. Calculs de longueurs.

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TRIANGLES SEMBLABLES.
1. Calculs de longueurs.
Méthode utilisée :
On établit que les triangles sont semblables, puis on établit la proportionnalité de leurs côtés.
1.1
On considère la figure suivante :
D
B
3,0 cm
O
4,0 cm
2,0 cm
5,0 cm
A
C
On demande de calculer les longueurs OD et DC.
Méthodes possibles :
n = BCD
n permet-il de conclure que les droites (AB) et (DC) sont parallèles, et ainsi
1.1.1
Le fait que BAD
d’utiliser le théorème de Thalès ?
1.1.2
L’observation de la figure permet-elle de conclure que deux triangles sont semblables ?
Pourquoi, et lesquels ?
Triangles semblables
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Citer la propriété des longueurs des côtés de deux triangles semblables.
Quel tableau de proportionnalité peut-on alors construire, et quels rapports de proportionnalité permet-il
d’obtenir ?
En déduire les longueurs OD et DC.
1.2
On considère la figure suivante :
O
E
R
4,8 cm
2,0 cm
T
3,0 cm
3,6 cm
F
S
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On demande de calculer les longueurs RT et FE
1. Démontrer la similitude des triangles TRS et TEF. Énoncer la propriété utilisée.
2. En déduire le tableau de proportionnalité correspondant, et conclure.
2. Calculs d’angles.
Méthode utilisée :
On établit que les triangles sont semblables, puis on en déduit que leurs angles sont égaux.
2.1
On considère la figure suivante, telle que :
AB = 4, BC = 5, AC = AD = 6, AE = 9 et DE = 7,5
B
Il faut démontrer que la droite (AE) est la bissectrice de l’angle
n
BAD
Méthode :
C
A
E
L’observation de la figure suggère de démontrer que les angles
n et EAD
n sont égaux.
BAC
Ne connaissant aucun autre angle, mais connaissant toutes les
longueurs des deux triangles, nous pouvons examiner s’ils sont
semblables.
D
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1. Quelle propriété des longueurs de deux triangles permet-elle de conclure que les deux triangles sont
semblables ?
2. Cette propriété est-elle vérifiée ici ? Conclure.
3. En déduire les égalités d’angles, et conclure sur la nature de la droite (AE).
2.2
On considère le rectangle suivant, décomposé en trois carrés isométriques de côté 1.
A
B
C
D
H
G
F
E
1. Calculer AG, AE et AF
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2. En déduire que les triangles CEA et GFA sont semblables.
3. En déduire les angles égaux
n et EAF
n ont la même bissectrice.
4. Démontrer que les angles DAG
A
B
C
H
G
F
D
x
E
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3. Rapport d’aires.
Objectif :
Il s’agit de comparer des aires en utilisant les triangles semblables.
Propriété utilisée :
On a vu en classe de 3ème que si les longueurs de deux triangles sont dans le rapport k, alors leurs aires sont dans
le rapport k 2
3.1
On considère un carré ABCD.
Les points I et H sont les milieux de deux côtés.
On demande de calculer le rapport entre l’aire du triangle gris et celle du carré.
Méthode :
B
A
On va commencer par établir la similitude des triangles AIK et
BIA, ce qui donnera le rapport k de leurs longueurs.
Il sera facile d’obtenir le rapport des aires du triangle BIA et du
carré ABCD.
On en déduira ensuite le rapport :
K
I
aire (AIK)
aire (ABCD)
D
Au travail !
H
C
1. Démontrons que les triangles AIK et BIA sont semblables.
n
On observe que ces deux triangles ont un angle commun n
AIK = BIA
Il suffit donc de trouver un autre angle égal.
Expliquer pourquoi les deux triangles BIA et ADH sont isométriques, et conclure en citant la propriété utilisée.
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2. En déduire l’écriture du rapport de similitude des triangles AIK et BIA.
3. On vient d’établir que k =
AI
BI
Si on donne au côté du carré la valeur a, alors : AB = …… et AI = ……..
Calculer BI, en utilisant la relation de Pythagore dans le triangle AIB rectangle en A.
En déduire la valeur de k =
AI
.
BI
Si le rapport des longueurs est k, alors le rapport des aires est k 2 .
On calcule : k =
aire (AIK)
=
aire (BIA)
4. On doit établir le rapport
aire (AIK)
aire (ABCD)
L’idée est d’établir d’abord le rapport
aire (BIA)
aire (ABCD)
On calcule : aire (BIA) =
Puis :
aire (BIA)
=
aire (ABCD)
D’où : aire (BIA) =
On aura donc :
1
aire (ABCD)
4
aire (AIK)
= …….
aire (BIA)
Et conclure.
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