TRIANGLES SEMBLABLES. 1. Calculs de longueurs.

CLASSE DE SECONDE ACTIVITÉS MODULE
Triangles semblables
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TRIANGLES SEMBLABLES.
1. Calculs de longueurs.
Méthode utilisée :
On établit que les triangles sont semblables, puis on établit la proportionnalité de leurs côtés.
1.1 On considère la figure suivante :
On demande de calculer les longueurs OD et DC.
Méthodes possibles :
1.1.1 Le fait que
n
n
B
AD BCD=permet-il de conclure que les droites (AB) et (DC) sont parallèles, et ainsi
d’utiliser le théorème de Thalès ?
1.1.2 L’observation de la figure permet-elle de conclure que deux triangles sont semblables ?
Pourquoi, et lesquels ?
A
B
4,0 c
m
C
O
3,0 c
m
5,0 c
m
D
2,0 c
m

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Citer la propriété des longueurs des côtés de deux triangles semblables.
Quel tableau de proportionnalité peut-on alors construire, et quels rapports de proportionnalité permet-il
d’obtenir ?
En déduire les longueurs OD et DC.
1.2 On considère la figure suivante :
S
T
E
3,0 c
m
4,8 c
m
R
2,0 c
m
F
3,6 c
m
O

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On demande de calculer les longueurs RT et FE
1. Démontrer la similitude des triangles TRS et TEF. Énoncer la propriété utilisée.
2. En déduire le tableau de proportionnalité correspondant, et conclure.
2. Calculs d’angles.
Méthode utilisée :
On établit que les triangles sont semblables, puis on en déduit que leurs angles sont égaux.
2.1 On considère la figure suivante, telle que :
AB = 4, BC = 5, AC = AD = 6, AE = 9 et DE = 7,5
Il faut démontrer que la droite (AE) est la bissectrice de l’angle
n
BAD
Méthode :
L’observation de la figure suggère de démontrer que les angles
n
n
et BAC EAD sont égaux.
Ne connaissant aucun autre angle, mais connaissant toutes les
longueurs des deux triangles, nous pouvons examiner s’ils sont
semblables.
AE
C
D
B

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1. Quelle propriété des longueurs de deux triangles permet-elle de conclure que les deux triangles sont
semblables ?
2. Cette propriété est-elle vérifiée ici ? Conclure.
3. En déduire les égalités d’angles, et conclure sur la nature de la droite (AE).
2.2 On considère le rectangle suivant, décomposé en trois carrés isométriques de côté 1.
1. Calculer AG, AE et AF
A
BCD
E
F
G
H

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A
BCD
E
F
G
Hx
2. En déduire que les triangles CEA et GFA sont semblables.
3. En déduire les angles égaux
4. Démontrer que les angles
n n
et
D
AG EAF ont la même bissectrice.