Dérivabilité d`un groupe additif continu à un paramètre d

Dérivabilité d'un groupe additif continu à un paramètre
d'automorphismes en dimension nie. Exemples
J. Parizet, 14920 Mathieu
26 oct 2010
Selon une idée de G Glaeser, signalée par J Frenkel dans Mathématiques pour l'élève professeur, tout groupe
additif continu à un paramètre d'isomorphismes du plan euclidien est dérivable. On se propose de vérier cette
propriété du niveau Licence.
Pour mettre en évidence continuité et dérivabilité, munissons d'une norme l'espace vectoriel de
dimension nie ; elle induit une norme sur l'espace de ses endomorphismes.
Normes
Norme vectorielle
−
→
Une norme dans En est une fonction sur l'espace à valeurs positives ⃗x 7→ ||⃗x|| telle que
||⃗x|| = 0 ⇔ ⃗x = 0 , ∀λ réel ||λ⃗x|| = |λ| ||⃗x|| , ||x1 + ⃗x2 || ≤ ||⃗x1 || + ||⃗x2 ||
La norme dénit une topologie sur l'espace par les boules ouvertes. L'espace étant de dimension
nie, la sphère unité Σ est compacte pour cette topologie ; on en déduit que deux normes quelconques sont équivalentes au sens
∀|| ||, ∀|| ||1 , ∃a > 0, ∃b > 0 : ∀⃗x , a||⃗x|| ≤ ||⃗x||1 ≤ b||⃗x||
et les deux normes dénissent la même topologie.
Norme d'un endomorphisme
−
→
Avec la norme sur En on dénit la norme d'un endomorphisme de l'espace
||f || = Max{||f (⃗x)|| , ⃗x ∈ Σ}
qui vérie pour deux endomorphisme et λ réel
||f || = 0 ⇔ f = 0; , ||λ f || = |λ| ||⃗x|| , ||f + g|| ≤ ||f || + ||g||
et ||f ◦ g|| ≤ ||f || ||g|| . L'algèbre des endomorphismes est ainsi une algèbre normée.
En dimension deux
il est commode d'utiliser le calcul matriciel. en prenant la (norme
) euclidienne et une base orthonormée, représentons f par sa matrice dans cette base A= ac db . Ainsi
||f (cos θ ⃗i + sin θ ⃗j)||2 = L cos2 θ + 2M cos θ sin θ + N sin2 θ
où L= a2 + c2 , M= ab + cd , N= c2 + d2 . En considérant
2||f√
(cos θ ⃗i + sin θ ⃗j)||2 = (L − N) cos 2θ + 2M sin 2θ + (L + N)
2
2||f || = (L + N) +√ (L − N)2 + 4M2 et avec mf le minimum de ||f (⃗x)|| sur le cercle unité
2m2f = (L + N) − (L − N)2 + 4M2 : ||f ||2 m2f = det A2 , si f (non nul) est singulier : mf = 0 .
. A représentant f
Exemples
√
:
||f
||
=
a2 + b2
b a
On retrouve le module d'un nombre complexe car dans la similitude s : z 7→ (a + ib)z la norme
de s est le module de a + ib (pour u unitaire |s(z)| = |(a + ib)u| = |a + ib|).
(a 0)
0d
: ||f || = Max(|a|, |d|) ,
(a b)
b a
: ||f || = |a| + |b| ,
1
( a −b )
Un endomorphisme susamment proche de l'identité est régulier
e étant l'identité , soit l'endomorphisme f tel que ||f − e|| = k < 1. Posons
i i
n n
g = f − e et Sn (g) = e − g + g 2 − · · · +( (−1)
) g + · · · (−1) g :
n
n+1
f Sn = e + (−1) g
où la suite Sn est de Cauchy
q+1 q+1
p−q−1 g p−q−1 ) et
entiers naturels q < p : Sp − Sq = (−1) g (e − g + · · · (−1)
car
pour les
Sp − Sq < k q+1 /(1 − k). L'espace vectoriel réel des endomorphisme de notre espace vectoriel
réel étant de dimension nie, il est complet. Lorsque n tend vers l'inni, Sn tend vers h, g n tend
vers zéro et à la limite f h = e.
Groupe additif continu à un paramètre d'isomorphismes de −→E
n
−
→
Soit {f (s)} un groupe additif d'endomorphismes de E2 : ce sont des isomorphismes, dépendant
du paramètre réel s.
La continuité à l'origine (s = 0) entraîne la continuité en toute valeur de s.
[
]
car f (s) − f (s0 ) = f (s0 ) f (s − so ) − e en notant e l'identité d'où
||f (s) − f (s0 )|| ≤ ||f (s0 )|| ||f (s − so ) − e|| et on conclut.
∫ s1 Intégrabilité sur un segment des paramètres.
f (s)ds est l'endomorphisme de c÷cients matriciels les intégrales des c÷cients de f (s) :
∫ss01 i
s0 a j (s)ds, qui existent selon la continuité de f .
Par passage à la limite de sommes de Riemann
particulières
∫
∫ donnant les intégrales
s1
pour s0 < s1 s0 f (s)ds ≤ ss01 ||f (s)||ds.
Dérivabilité.
Partons de l'intégrale
∫ s+t
f (u)du que l'on peut écrire
∫t
∫t
0 f (s + u)du = f (s) 0 f (u)du ou f (s)h(t) avec h(t) = 0 f (u)du.
∫t
s
Vérions que pour t assez petit l'endomorphisme h(t) est régulier. f étant continu en t = 0,
il existe ε strictement
∫ ( positif) telque∫ ||f (t) − e|| < 1/2 pour tout t inférieur à ε. Soit t ∈]0, ε[ :
t
t
]0, t[⊂]0, ε[ et 0 f (u) − e du ≤ 0 ||f (s) − e)ds|| ≤ t/2.
1 ∫
1∫
∫
Ainsi 0t f (s)ds − e ≤ 1/2 : 0t f (s)ds est régulier et h(t) = 0t f (s)ds aussi car t ̸= 0. En
t
t
exprimant f à l'aide de l'inverse de h
∫ s+t
f (s) = h−1 (t) s f (u)du.
∫
En remarquant que ss+t f (u)du
de] dérivée en t f (t) − e
[ est dérivable,
(
)
f ′ (s) = h−1 (t) f (t) − e f (s) ou f ′ (s ) = b f (s).
L'endomorphisme b est la "transformation innitésimale" du groupe. Puisque f (0) = e, b = f ′ (0).
Exemples. Supposons que b soit singulier et explicitons, en représentant les endomorphismes
par leurs(expressions
dans la base choisie, (f (t) par eBt , b par B et h(t) par H(t))
)
eλt − 1 − λt
eλt − 1
B , H(t) = tI +
B
λ
λ2
t2
B2 = 0 , eBt = I + t B , H(t) = tI + B
2
On vérie facilement bh(t) = f (t) − e (quelque soit t), compte-tenu de b2 = λb ou de b2 = 0 :
eλt − 1 − λt
eλt − 1
dans le premier cas : BH(t) = tB +
B=
B = eBt − I
λ
λ
dans le deuxième : BH(t) = tB = eBt − I.
λ
µ
(
0
• B=
µ
• B=
0
:
0
)
0
:
0
B2 = λB , eBt = I +
2
Exemples de groupes anes continus à un paramètre
Prenons ces exemples dans la cadre de la droite ane et du plan ane (réels). Chacun est
plongé dans son espace vectoriel universel dont il est un hyperplan ane, de sorte qu'un repère
cartésien de l'espace est aussi une base de l'espace universel où il est commode de conduire les
calculs.
Dans la droite ane
rapportée au repère R(⃗i, O), soit le groupe additif de transformations
anes gt : x 7→ = kt x + ht . Le supposant continu, il est dérivable et dans le plan universel de
la droite il s'exprime selon
( ) (
)( )
(
)
x′
x′
1
kt ht
0 1
a α
0 0
2
′
• Si a ̸= 0 , B = aB et, avec les solutions fondamentales
de y − ay

= 0
at − 1
e
at
at
e −1
α
eBt = I +
B = e
a
a
0
1
(
)
at
e −1
α
α
α
soit x′ = eat x +
α ou x′ + = eat x +
, groupe des homothéties de centre x0 = −
a
a
a
a
et de rapport eat positif.
• Si a est nul, B2 = 0 et
(
)
1 αt
Bt
e = I + tB =
: x′ = x + α t
0 1
groupe des translations (si α est nul, B l'est aussi et g(t) = e).
=
x
1
et g ′ (0) : B =
Le groupe multiplicatif (abélien) des homothéties de centre donné n'est pas connexe :
on a ici obtenu sa composante connexe (contenant l'identité) des homothéties positives dont on
peut mettre le rapport sous forme exponentielle.
Remarque
Dans le plan ane
rapporté au repère R(⃗i, ⃗j, O), soit le groupe additif de transformations
anes gt : x 7→ = kt x + ht y + lt , y ′ = mt x + nt y + pt que l'on exprime matricielle dans la
base B(⃗i, ⃗j, O) de l'espace universel 
 
x′
(
) x′
x′
A
U
1
′
y  =
y ′ 
0 1
1
1
où A1 et U sont des matrices carrée et colonne d'ordre deux.
g ′ (0)
est représentée par B=
(
Σ V
0 0
)
( )
α
en notant les dérivées de A1 et U en 0 par Σ et V. On notera V=
.
β
Les polynômes minimaux de Σ et B sont respectivement au plus d'ordre deux et trois. En re-
marquant
B2
(
=
Σ2 Σ V
0
0
)
,
B3
(
=
Σ3 Σ2 V
0
0
)
,
Si le polynôme minimal de Σ est P de degré deux, celui de B est X P de degré trois, voire P.
Considérons, selon le degré de P, diérents exemples conduisant à des interprétations simples où
les orbites des éléments du groupe (trajectoire d'un point sous l'eet de cet élément) sont des
coniques ou des droites voire demi-droites.
Supposons P de degré deux et notons, pour obtenir les exponentielles de Σ et B, (φ0 , φ1 ) les
solutions fondamentale de l'équation diérentielle de polynôme caractéristique et (ψ0 = 1, ψ1 , ψ2 )
celles correspondant au polynôme X P.
• La base étant orthonormée
( directe,
) soit
1.
0 −1
: Σ2 + I = 0 , φ0 = cos t , φ1 = sin t
1 0
et B vérie B3 +B= 0 : ψ0 = 1, ψ1 = sin t, ψ2 = 1 − cos t, d'où
Σ=
3


{ ′
cos t − sin t α sin t − β(1 − cos t)
x + β = cos t(x + β) − sin t(y − α)
B
t
e =  sin t cos t α(1 − cos t) + β sin t et
y ′ − α = sin t(x + β) + cos t(y − α)
0
0
1
Il s'agit de la rotation de centre (−β, α) d'angle
( t ; les
) orbites sont les cercles centrés en ce point.
0 1
• Soit dans la base
Σ=
: Σ2 − I = 0 , φ0 = ch t , φ1 = sh t.
1 0
3 −B= 0 : ψ = 1, ψ = sh t, ψ = ch t − 1, d'où
B vérie B
0
1
2
{ ′
ch t sh t αsh t + β(ch t − 1)
x + β = ch t(x + β) + sh t(y + α)
B
t


e = sh t ch t α(ch t − 1) + β sh t
et
y ′ + α = sh t(x + β) + ch t(y + α)
0
0
1
Il s'agit de la rotation "hyperbolique" de centre (−β, −α) "d'angle" t ; les orbites sont les hyper-
boles centrées en ce point et d'axes parallèles à ceux du repère.
• Pour Σ2 − aΣ = 0, , a ̸= 0 qui s'exprime
(
)dans une base de vecteurs propres selon
a 0
:
φ0 = 1 , φ1 = t.
0 0
at
B vérie B3 − aB2 = 
0 : ψ0 = 1, ψ0 = 1, ψ
1 = t, ψ2 = ( e − 1)/a, d'où

ea t − 1 − at
at
 ′
1 0


at + e − 1α
x
=
xe
a
B
t
 et
e =
a
0 1

βt
 y′ =
y + βt
0 0
1
Σ=
C'est un produit d'une translation et d'une anité ; les orbites sont de style exponentiel si β ̸= 0,
des demi-droites sinon.
• Pour Σ2 = 0 , Σ ̸= 0, qui s'exprime(dans)une base de Jordan
0 1
:
φ 0 = 1 , φ1 = t .
0 0
= 1, ψ1 = 
t, ψ2 = t2 /2, d'où

t2
 ′
t2
αt+β 
x = x + ty + α t + β
2  et
2

βt
 y′ =
y+βt
1
Σ=
B vérie B3 = 0 : ψ0 =
 1, ψ0
1 t
eB t = 
0 1
0 0
C'est un produit d'une translation et d'une transvection ; les orbites sont des paraboles qui se
déduisent les unes des autres par translation, de paramètre 1/2β (si le repère est orthonormé.
2. Supposons le polynôme minimal de Σ de degré un au plus.
• Σ = a I , a ̸= 0 : B2 = a B d'où

ea t − 1

a
t
(
α) at
0 α
′+ α =
e


x
x
+
e
a

at − 1
a
a)
(
e
eB t = 
et

β
 y′ + β =
 0 ea t β

y+
ea,t
a
a
a
0
0
1
homothétie de centre (−α/a, −β/a), d'orbites des demi-droites.
• Et pour Ω = 0, B 2 = 0


{ ′
1 0 αt
x = x + αt
eB t = 0 1 β t et
y′ = y + β t
0 0 1
translation, d'orbites les droites dirigées par le vecteur translation.
−−
·
·−·
4
−·−·
··