Notion de variable aléatoire réelle discrète - LAMFA

S3 Maths et Info-MIAGE 2011-2012
Statistique et Probabilités
Notion de variable aléatoire réelle discrète
Université de Picardie Jules Verne
UFR des Sciences
2011-2012
Licence mention Mathématiques et mention Informatique parcours MIAGE - Semestre 3
Statistique et Probabilités
Notion de variable aléatoire réelle discrète
Considérons une population sur laquelle on définit un caractère quantitatif X.
X est une application de dans qui, à tout individu , associe un réel x X
X
X
ensemble des valeurs du caractère.
Cette application modélise le caractère de façon déterministe en ce sens que, si on connaît l’individu , on
connaît aussitôt la valeur x. Son étude relève de la statistique descriptive qui conduit, par exemple, au tableau
des couples x i , f i où x i est une valeur observée et f i sa fréquence.
Supposons maintenant que l’on tire au hasard un individu dans cette population pour consigner la
valeur x du caractère. Ne pouvant pas prévoir quel individu précis sera tiré, on ne peut pas prévoir non plus la
valeur précise de x qui sera consigner. On aimerait donc disposer d’un moyen d’attribuer une probabilité aux
éléments de X .
L’idée est de transporter sur X la probabilité sur construite pour modéliser la situation aléatoire
correspondant au tirage aléatoire d’un individu.
De même qu’un caractère quantitatif peut être discret ou continu, on parlera de variable aléatoire discrète
ou continue (dans le deuxième cas, on parlera de variable aléatoire à densité).
1. Cas d’un nombre fini de valeurs
Exemple introductif.
Un joueur lance un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6, et on observe le numéro obtenu. Si le
joueur obtient 1, 3 ou 5, il gagne 1 euro ; s’il obtient 2 ou 4, il gagne 5 euros ; s’il obtient 6, il perd 10 euros.
Prenons
1, 2, 3, 4, 5, 6 , A P
et P l’équiprobabilité sur , A
Soit X l’application de dans qui à tout
associe le gain correspondant.
On a X 1
X3
X5
1, X 2
X4
5 et X 6
10. Ainsi, X
1, 5, 10 .
On peut s’intéresser à la probabilité de gagner 1 euro, c’est-à-dire d’avoir X
1, ce qui se réalise si et
seulement si
1, 3, 5 . La probabilité cherchée est donc égale à P 1, 3, 5
3/6 1/2. On écrira aussi
PX 1
PX 1
1/2. On pourra donc considérer l’événement :
X 1
/X
1
/X
1
X 1 1
1, 3, 5 .
On aura de même P X 5
1/3 et P X
10
1/6.
On a ainsi construit un nouvel ensemble X
10, 1, 5 , et muni cet ensemble de la probabilité P X
définie par les valeurs ci-dessus : P X 10
1/6, P X 1
1/2 et P X 5
1/3.
Définitions. Notations.
On considère une expérience aléatoire et , A, P est un espace probabilisé fini adapté.
On appelle variable aléatoire réelle (v.a.r.) toute application X de dans .
L’ensemble X X
des valeurs prises par X est appelé univers-image. X est alors fini.
On désigne par P X la probabilité-image définie par :
pour tout x
P
/X
x
PX x .
X, PX x
Les événements
/X
x ,
/X
x et
/a X
x sont notés
respectivement X x , X x et a X x .
Loi de probabilité.
Si X est une v.a.r. dont l’univers-image fini est X
x 1 , . . . , x n , alors X est appelée v.a.r. discrète finie
et on appelle loi de probabilité de X la donnée des couples x i , p i , avec p i P X x i .
n
On pourra toujours s’assurer que l’on a bien p i
0 et
pi
p1
p2
pn
1.
i 1
Stéphane Ducay
1
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Statistique et Probabilités
Notion de variable aléatoire réelle discrète
Exemple.
x i -10
Reprenons l’exemple introductif. La loi de probabilité de X est donnée par
1
5
p i 1/6 1/2 1/3 1
Fonction de répartition.
Si X est une v.a.r., alors on appelle fonction de répartition de X la fonction F X de dans 0, 1 définie par,
pour tout réel x, F X x
PX x .
Si X est discrète finie, alors F X est une fonction en escalier dont les sauts se présentent aux points x i de
P X xi .
X , chaque saut étant égal à p i
Exemple.
Reprenons l’exemple introductif. On a :
- pour tout x
10, F X x
PX x
P
0;
- pour tout 10 x 1, F X x
PX x
PX
10
1/6 ;
- pour tout 1 x 5,
FX x
PX x
P X
10
X 1
PX
10 P X
- pour tout x 5, F X x
PX x
P
1.
1
1/6
1/2
2/3 ;
Remarque.
i
On a donc F x i
PX
xi
pk
p1
p2
p i , probabilité que X prenne une valeur inférieure
k 1
ou égale à x i .
En statistique descriptive des variables quantitatives discrètes, les fréquences cumulées étaient données
i
par : F i
fk
f1
f2
f i , et représentaient la fréquence des valeurs inférieures ou égales à x i .
k 1
Interprétant les probabilités p i des x i comme les limites des fréquences f i , on observe que les formules et
leur interprétation sont analogues.
Espérance mathématique. Variance. Ecart-type.
Soit X une v.a.r. discrète dont l’univers-image fini est
X
n
On appelle espérance mathématique de X le réel E X
x1, . . . , xn .
pixi
p1x1
p2x2
p n x n . Ce nombre
i 1
représente la valeur moyenne de X.
n
On appelle variance de X le réel V X
On a V X
E X2
EX
2
n
pi xi
EX
2
.
i 1
p i x 2i
EX
2
.
i 1
On appelle écart-type de X le réel X
VX .
On appelle intervalle moyen de X l’intervalle E X
Exemple.
Reprenons l’exemple introductif.
1
1 1 1 5
3
On a E X
10
6
2
3
6
1
On a E X 2
10 2 1 1 2 1 5 2
6
2
3
2
51
1 2
2
d’où V X
EX
EX
2
2
X ,E X
1.
2
153
51 ,
6
2
101 et X
4
X .
VX
101
2
5, 025.
Remarque.
En statistique descriptive des variables quantitativesdiscrètes, nous avions les formules suivantes.
ni x
1
Moyenne : x
nixi
fixi
n
n i
1
Variance : s 2x
n i x 2i x 2
f i x 2i x 2 .
n
Ecart-type : s x
s 2x .
Interprétant les probabilités p i des x i comme les limites des fréquences f i , on observe que les formules et
leur interprétation sont analogues.
Stéphane Ducay
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Notion de variable aléatoire réelle discrète
Lois classiques : Binomiale et Hypergéométrique.
Répétition d’expériences.
On répète n fois dans les mêmes conditions une même expérience aléatoire (les répétitions étant
indépendantes entre elles) au cours de laquelle un événement A a une probabilité p d’être réalisé.
La variable aléatoire X, égale au nombre de fois où l’événement A est réalisé, suit la loi Binomiale
B n, p , ce qui signifie que :
X est à valeurs dans X
0, 1, . . . , n et, pour tout k
0, 1, . . . , n , P X k
C kn p k 1 p n k .
On a de plus : E X
np et V X
np 1 p .
Tirages dans une population à 2 catégories.
On considère une population de N individus à deux catégories, avec N 1 individus de catégorie 1 et N 2
individus de catégorie 2 (on a N 1 N 2 N).
On effectue n tirages d’un individu dans la population et on désigne par X la variable aléatoire égale au
nombre d’individus de catégorie 1 obtenus.
Si on effectue les tirages avec remise, alors X suit la loi Binomiale B n, N 1 .
N
Si on effectue les tirages sans remise ou simultanés (dans ce cas, on doit avoir n N), alors X suit la loi
Hypergéométrique H N, n, N 1 , ce qui signifie que
N
X est à valeurs dans X
max 0, n N N 1 , min N 1 , n
C kN 1 C nN kN 1
.
et pour tout k
0, 1, . . . , n , P X k
C nN
N1 .
On a de plus : E X
np et V X
np 1 p N n en posant p
N
N 1
Exemples.
1) On lance 10 fois de suite une pièce de monnaie équilibrée. Quelle est la probabilité d’obtenir 3 fois
(exactement) Pile ?
On peut considérer que l’on répète n 10 fois dans les mêmes conditions l’expérience aléatoire
"lancer la pièce" (les répétitions étant indépendantes entre elles) au cours de laquelle l’événement A "obtenir
1 d’être réalisé. La variable aléatoire X, égale au nombre de fois où l’événement A
Pile" a la probabilité p
2
est réalisé, i.e. au nombre de Pile obtenus, suit la loi Binomiale B n, p
B 10, 1 , ce qui signifie que :
2
0, 1, . . . , n
0, 1, . . . , 10 ;
- X est à valeurs dans X
k
1 10 k C k 1 10 .
- pour tout k
0, 1, . . . , 10 , P X k
C kn p k 1 p n k C k10 1
10
2
2 10
2
1
3
On en déduit que la probabilité d’obtenir 3 fois Pile est P X 3
C 10
0, 1172.
2
2) On tire successivement 4 boules d’une urne contenant 3 boules blanches et 7 boules noires. Quelle est
la probabilité d’obtenir (exactement) 2 boules blanches ?
On peut considérer que l’on effectue n 4 tirages d’un individu dans la population des N 10 boules,
avec N 1 3 boules blanches et N 2 7 boules noires (on a N 1 N 2 N). Si on désigne par X la variable
aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues, alors :
- dans le cas de tirages avec remise, X suit la loi Binomiale B n, N 1
B 4, 3 ; ainsi, X est à
N
10
valeurs dans X
0, 1, . . . , n
0, 1, . . . , 4 et pour tout k
0, 1, . . . , 4 ,
k
2
7 4 k ; on a donc P X 2
7 2 0, 2646.
PX k
C kn p k 1 p n k C k4 3
C 24 3
10
10
10
10
- dans le cas de tirages sans remise, X suit la loi Hypergéométrique H N, n, N 1
H 10, 4, 3 ;
N
10
ainsi, X est à valeurs dans X
max 0, n N N 1 , min N 1 , n
0, 1, 2, 3 et pour tout
C kN 1 C nN kN 1
C k3 C 47 k
C 23 C 27
k
0, 1, 2, 3 , P X k
;
on
a
donc
P
X
2
0, 3.
n
CN
C 410
C 410
Remarque.
Lorsque N est très grand devant n (en pratique N 10n), on peut approcher la loi Hypergéométrique
k
n k
Ck Cn k
C kn N 1
1 N1
.
H N, n, N 1 par la loi Binomiale B n, N 1 . Cela signifie que N 1 nN N 1
N
N
N
N
CN
Stéphane Ducay
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Notion de variable aléatoire réelle discrète
2. Cas d’un nombre infini de valeurs
Définitions.
On appelle variable aléatoire réelle discrète infinie toute v.a.r. dont l’univers-image X (ensemble des
valeurs prises par X) est infini dénombrable. Dans ce cours, on se limitera à X
k/k
ou
.
X
On appelle loi de probabilité de X la donnée des couples k, p k , avec p k P X k , pour k
X.
On pourra toujours s’assurer que l’on a bien p k 0 et
p k 1.
k
X
Attention ! Cette dernière somme contient une infinité de termes ! Il s’agit de la somme d’une série
numérique, qui peut être infinie ou ne pas exister. Nous n’aborderons pas pour le moment les problèmes liés à
cette notion.
Espérance mathématique. Variance. Ecart-type.
Soit X une v.a.r. discrète dont l’univers-image infini est
indiquées ci-dessous, on a :
- espérance mathématique de X : E X
kp k .
k
- variance de X : V X
k
k
- écart-type de X :
X
EX
2
X.
Sous reserve d’existence des sommes
X
p k et V X
E X2
EX
2
k
X
VX
k2pk
- intervalle moyen de X : E X
EX
2
.
X
X ,E X
X .
Lois classiques : Poisson et Géométrique.
Loi de Poisson.
Une variable aléatoire X suit la loi de Poisson P
X est à valeurs dans X
et, pour tout k
On a de plus : E X
et V X
.
de paramètre
,P X k
e
0 si et seulement si :
k
.
k!
Loi Géométrique.
On répète dans les mêmes conditions une même expérience aléatoire (les répétitions étant indépendantes
entre elles) au cours de laquelle un événement A a une probabilité p d’être réalisé.
La variable aléatoire X, égale au nombre d’expériences nécessaires pour avoir la première réalisation de A
(i.e. au temps d’attente de l’événement A), suit la loi Géométrique G p , ce qui signifie que :
X est à valeurs dans X
et, pour tout k
,P X k
p 1 p k 1.
1 p
1 et V X
On a de plus : E X
.
p
p2
Remarque.
Lorsque n est grand et p assez petit (en pratique n 30, p 0, 1 et np 10), on peut approcher la loi
np k
Binomiale B n, p par la loi de Poisson P np . Cela signifie que C kn p k 1 p n k e np
.
k!
Ce résultat explique que la loi de Poisson est souvent utilisée lorsque la variable aléatoire X désigne le
nombre de réalisations d’un événement rare.
Plus précisément, cette loi apparaît dans les processus de Poisson comme la limite, lorsque n tend vers
l’infini, des lois Binomiales B n, n , où est un réel strictement positif. En effet, un processus de Poisson
est caractérisé par une variable aléatoire X qui dénombre les apparitions d’un certain événement aléatoire E
au cours du temps de façon que :
a) la probabilité que E apparaisse au cours d’une courte période de l’unité de temps de durée t est
proportionnelle à cette durée et indépendante de la période choisie : P E survient entre t et t
t
t;
b) la probabilité que E apparaisse plus d’une fois au cours de cette période est considérée comme nulle.
1 et
En décomposant l’unité de temps en n intervalles de durées égales à t, on a t
n
t
.
D’après
la
condition
b),
E
apparait
k
fois
au
cours
de l’unité de temps
P E survient entre t et t
n
1
(0 k n) s’il survient au cours de k intervalles élémentaires de durée n . Il résulte que X suit la loi
Binomiale B n, n . Lorsque t tend vers 0, c’est-à-dire n tend vers
, on obtient une loi de Poisson.
Stéphane Ducay
4
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Notion de variable aléatoire réelle discrète
3. Exercices
Exercice 1.
1) Soit X une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par :
xi
1
2
3
4
5
p i 0, 25 p 2 0, 18 p 4 0, 37
a) Déterminer les valeurs de p 2 et p 4 , sachant que les événements X 2 et X 4 sont équiprobables.
b) Calculer l’espérance mathématique et l’écart-type de X.
c) Déterminer et représenter graphiquement la fonction de répartition de X.
2) Calculer l’espérance mathématique et l’écart-type dela variable aléatoire X.dont la loi de probabilité est
xi
2
1 0
1
2
p i 1/8 1/4 1/5 1/8 3/10
Exercice 2.
Deux joueurs A et B lancent chacun une pièce de monnaie équilibrée. Si les deux pièces tombent sur Pile,
le joueur A gagne ; sinon, le joueur B gagne et A lui verse 2 euros. Un jeu est équitable si l’espérance de gain
de chaque joueur est nulle.
Pour que le jeu soit équitable, combien le joueur B doit-il verser au joueur A lorsque ce dernier gagne ?
Exercice 3.
1) Un joueur a une chance sur trois de gagner une partie. Il joue cinq parties. Calculer la probabilité qu’il
gagne : a) trois parties.
b) cinq parties.
c) au plus une partie.
d) au moins deux parties.
2) Un joueur a une chance sur deux de gagner une partie. Combien doit-il jouer de parties pour que la
probabilité qu’il gagne au moins une fois soit supérieure à 0,9 ?
Exercice 4.
Le cours de Statistiques de deuxième année de Licence mention Mathématiques est suivi par 57 étudiants,
dont 53 sont inscrits dans la mention Mathématiques, les autres étant inscrits dans une autre mention. Il est
convenu que l’enseignant de Mathématiques responsable du cours sera le référent de 5 étudiants choisis au
hasard parmi ces 57 étudiants.
On désigne par X la variable aléatoire égale au nombre d’étudiants d’une autre mention dont l’enseignant
sera référent.
1) Donner la loi de probabilité de X. Justifier votre réponse.
2) Calculer la probabilité que l’enseignant soit référent d’au moins deux étudiants d’une autre mention.
3) Calculer l’espérance mathématique et la variance de X.
Exercice 5.
L’oral d’un examen comporte 40 sujets possibles. Un candidat tire 3 sujets au hasard et choisit parmi ces
3 sujets celui qu’il désire traiter. Pour un candidat qui n’a révisé que 20 sujets, on désigne par X le nombre de
sujets qu’il a révisé parmi les 3 tirés.
1) Quelle est la loi de probabilité de X. Expliquer.
2) Calculer la probabilité que ce candidat tire au moins un sujet qu’il a révisé.
3) Calculer cette même probabilité à l’aide d’une loi approchée de X. Cette approximation vous parait-elle
raisonnable ?
Exercice 6.
Dans une production de pièces très nombreuse, il y a 3% de pièces défectueuses. Soit X le nombre de
pièces défectueuses dans un échantillon de 10 pièces prélevées au hasard.
1) Quelle est la loi de probabilité de X. Expliquer.
2) En déduire le nombre moyen de pièces défectueuses obtenu dans un lot de 10 pièces.
3) Calculer la probabilité d’obtenir au moins deux pièces défectueuses.
Exercice 7.
Les centres de transfusion sanguine diffusent le tableau suivant donnant la répartition de la population
française des principaux groupes sanguins :
Stéphane Ducay
5
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Statistique et Probabilités
O
A
Notion de variable aléatoire réelle discrète
B
AB
rhésus
37,0% 38,1% 6,2% 2,8%
rhésus -
7,0%
7,2%
1,2% 0,5%
1) Quelle est la probabilité qu’une personne prise au hasard dans la population soit de groupe A ? de
facteur rhésus ? de groupe O et de facteur rhésus ? Justifier les réponses.
2) Dix personnes sont prises au hasard dans la population française. Soit X la variable aléatoire égale au
nombre de personnes de groupe A obtenu.
a) Quelle est la loi de probabilité de X ? Justifier.
b) Quelle est la probabilité d’obtenir exactement 4 personnes de groupe A ?
c) Quelle est la probabilité qu’au moins la moitié des personnes soit de groupe A ?
3) Pour une intervention chirurgicale, on doit avoir au moins 3 donneurs de groupe O et de facteur rhésus
. Dix personnes, ignorant leur groupe sanguin, sont disposées à ce don. Calculer la probabilité d’avoir au
moins les donneurs nécessaires.
Exercice 8.
Le nombre de micro-ordinateurs vendus chaque jour dans le magasin HIGHTECH suit une loi de Poisson
de paramètre 4. Calculer la probabilité que dans une journée :
1) on ne vende aucun micro-ordinateur
2) on vende 4 micro-ordinateurs
3) on vende au moins un micro-ordinateur.
4) le nombre de micro-ordinateurs vendus soit compris (au sens large) entre 2 et 6.
Exercice 9.
On suppose que chaque pièce mécanique produite par une machine a la probabilité p d’être défectueuse,
et ceci de façon indépendante d’une pièce à l’autre.
1) Pour contrôler la qualité de la fabrication, on prélève au hasard 100 pièces dans la production, et on
note X le nombre de pièces présentant des défauts.
a) Quelle est la loi de probabilité de X ?
1 et interpréter ce résultat.
b) Donner l’espérance mathématique de Y pour p
50
2) On préleve au hasard des pièces une par une dans la production et on considère le nombre Y de pièces
tirées lorsqu’on a obtenu la première pièce défectueuse.
a) Quelle est la loi de probabilité de Y ?
1 et interpréter ce résultat.
b) Donner l’espérance mathématique de Y pour p
50
Exercice 10. (D’après partiel de mars 2008)
On suppose qu’un indice économique, calculé quotidiennement, n’évolue d’un jour à l’autre que de trois
façons possibles : soit il diminue de 10%, soit il est stable, soit il augmente de 10%. On note i 0 100 l’indice
de départ et i n l’indice au bout de n jours.
Une étude a montré que, chaque jour, l’indice augmente de 10 % avec une probabilité égale à 0,3,
diminue de 10% avec une probabilité égale à 0,2 et reste stable avec une probabilité égale à 0,5. L’évolution
d’un jour à l’autre est indépendante de l’évolution des jours précédents.
On suppose construit un espace probabilisé , A, P permettant de décrire les situations suivantes.
1) On considère une période de 10 jours et on désigne par X le nombre de jours où l’indice augmente.
a) Donner, en justifiant, la loi de probabilité de X.
b) Quelle est la probabilité que, sur 10 jours, il y ait exactement 3 jours où l’indice augmente" ?
c) Quel est, sur 10 jours, le nombre moyen de jours où l’indice augmente ?
2) Pour tout entier i 1, on considère les événements suivants : A i : "l’indice augmente le i-ème jour",
B i : "l’indice baisse le i-ème jour" et C i : "l’indice est stable le i-ème jour".
On s’intéresse à l’évolution de
cet indice sur deux jours. On désigne par Y la valeur de l’indice i 2 au bout de deux jours.
a) Donner les valeurs de P A 1 , P A 2 , P B 1 , P B 2 , P C 1 et P C 2 .
b) Calculer (en justifiant) P A 1 A 2 . Quelle est la valeur de Y si l’événement A 1 A 2 se réalise.
c) Calculer de même P A 1 B 2 et P B 1 A 2 , et préciser les valeurs de Y correspondantes.
d) A l’aide de calculs analogues supplémentaires, déterminer la loi de probabilité de Y.
Stéphane Ducay
6