Notion de variable aléatoire réelle discrète - LAMFA

S3 Maths et Info-MIAGE 2011-2012 Statistique et Probabilités Notion de variable aléatoire réelle discrète
Université de Picardie Jules Verne 2011-2012
UFR des Sciences
Licence mention Mathématiques et mention Informatique parcours MIAGE -Semestre 3
Statistique et Probabilités
Notion de variable aléatoire réelle discrète
Considérons une population sur laquelle on définit un caractère quantitatif X.
Xest une application de dans qui, à tout individu , associe un réel xXX X
ensemble des valeurs du caractère.
Cette application modélise le caractère de façon déterministe en ce sens que, si on connaît l’individu , on
connaît aussitôt la valeur x. Son étude relève de la statistique descriptive qui conduit, par exemple, au tableau
des couples xi,fioù xiest une valeur observée et fisa fréquence.
Supposons maintenant que l’on tire au hasard un individu dans cette population pour consigner la
valeur xdu caractère. Ne pouvant pas prévoir quel individu précis sera tiré, on ne peut pas prévoir non plus la
valeur précise de xqui sera consigner. On aimerait donc disposer d’un moyen d’attribuer une probabilité aux
éléments de X.
L’idée est de transporter sur Xla probabilité sur construite pour modéliser la situation aléatoire
correspondant au tirage aléatoire d’un individu.
De même qu’un caractère quantitatif peut être discret ou continu, on parlera de variable aléatoire discrète
ou continue (dans le deuxième cas, on parlera de variable aléatoire à densité).
1.Cas d’un nombre fini de valeurs
Exemple introductif.
Un joueur lance un dé équilibré à 6 faces numérotées de 1 à 6, et on observe le numéro obtenu. Si le
joueur obtient 1, 3 ou 5, il gagne 1 euro ; s’il obtient 2 ou 4, il gagne 5 euros ; s’il obtient 6, il perd 10 euros.
Prenons   1,2,3,4,5,6,APet Pl’équiprobabilité sur ,A
Soit Xl’application de dans qui à tout associe le gain correspondant.
On a X1X3X51, X2X45 et X610. Ainsi, X1,5,10.
On peut s’intéresser à la probabilité de gagner 1 euro, c’est-à-dire d’avoir X1, ce qui se réalise si et
seulement si 1,3,5. La probabilité cherchée est donc égale à P1,3,5 3/6 1/2. On écrira aussi
PX1 PX11/2. On pourra donc considérer l’événement :
X1/X1/X1X11 1,3,5.
On aura de même PX51/3 et PX101/6.
On a ainsi construit un nouvel ensemble X10,1,5, et muni cet ensemble de la probabilité PX
définie par les valeurs ci-dessus : PX10 1/6, PX1 1/2 et PX5 1/3.
Définitions.Notations.
On considère une expérience aléatoire et ,A,Pest un espace probabilisé fini adapté.
On appelle variable aléatoire réelle (v.a.r.) toute application Xde dans .
L’ensemble XXdes valeurs prises par Xest appelé univers-image. Xest alors fini.
On désigne par PXla probabilité-image définie par :
pour tout xX,PXx P/XxPXx.
Les événements /Xx,/Xxet /aXxsont notés
respectivement Xx,Xxet aXx.
Loi de probabilité.
Si Xest une v.a.r. dont l’univers-image fini est Xx1,...,xn, alors Xest appelée v.a.r. discrète finie
et on appelle loi de probabilité de Xla donnée des couples xi,pi, avec piPXxi.
On pourra toujours s’assurer que l’on a bien pi0 et
i1
npip1p2pn1.
Stéphane Ducay 1

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Exemple.
Reprenons l’exemple introductif. La loi de probabilité de Xest donnée par xi-10 1 5
pi1/6 1/2 1/3 1
Fonction de répartition.
Si Xest une v.a.r., alors on appelle fonction de répartition de Xla fonction FXde dans 0,1définie par,
pour tout réel x,FXxPXx.
Si Xest discrète finie, alors FXest une fonction en escalier dont les sauts se présentent aux points xide
X, chaque saut étant égal à piPXxi.
Exemple.
Reprenons l’exemple introductif. On a :
- pour tout x10, FXxPXxP0 ;
- pour tout 10 x1, FXxPXxPX101/6 ;
- pour tout 1 x5,
FXxPXxPX10X1 PX10PX11/6 1/2 2/3 ;
- pour tout x5, FXxPXxP1.
Remarque.
On a donc FxiPXxi
k1
ipkp1p2pi, probabilité que Xprenne une valeur inférieure
ou égale à xi.
En statistique descriptive des variables quantitatives discrètes, les fréquences cumulées étaient données
par : Fi
k1
ifkf1f2fi, et représentaient la fréquence des valeurs inférieures ou égales à xi.
Interprétant les probabilités pides xicomme les limites des fréquences fi, on observe que les formules et
leur interprétation sont analogues.
Espérance mathématique.Variance.Ecart-type.
Soit Xune v.a.r. discrète dont l’univers-image fini est Xx1,...,xn.
On appelle espérance mathématique de Xle réel EX
i1
npixip1x1p2x2pnxn. Ce nombre
représente la valeur moyenne de X.
On appelle variance de Xle réel VX
i1
npixiEX2.
On a VXEX2EX2
i1
npixi
2EX2.
On appelle écart-type de Xle réel XVX.
On appelle intervalle moyen de Xl’intervalle EXX,EXX.
Exemple.
Reprenons l’exemple introductif.
On a EX1
6101 211 353 61 2.
On a EX21
61021 2121 352153 651 2,
d’où VXEX2EX251
21 2
2101
4et XVX101 25,025.
Remarque.
En statistique descriptive des variables quantitativesdiscrètes, nous avions les formules suivantes.
Moyenne : x1
n
nixi
ni
nxi
fixi
Variance : sx
21
n
nixi
2x2
fixi
2x2.
Ecart-type : sxsx
2.
Interprétant les probabilités pides xicomme les limites des fréquences fi, on observe que les formules et
leur interprétation sont analogues.
Stéphane Ducay 2

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Lois classiques :Binomiale et Hypergéométrique.
Répétition d’expériences.
On répète nfois dans les mêmes conditions une même expérience aléatoire (les répétitions étant
indépendantes entre elles) au cours de laquelle un événement Aa une probabilité pd’être réalisé.
La variable aléatoire X, égale au nombre de fois où l’événement Aest réalisé, suit la loi Binomiale
Bn,p, ce qui signifie que :
Xest à valeurs dans X0,1,...,net, pour tout k0,1,...,n,PXkCn
kpk1pnk.
On a de plus : EXnp et VXnp1p.
Tirages dans une population à 2 catégories.
On considère une population de Nindividus à deux catégories, avec N1individus de catégorie 1 et N2
individus de catégorie 2 (on a N1N2N).
On effectue ntirages d’un individu dans la population et on désigne par Xla variable aléatoire égale au
nombre d’individus de catégorie 1 obtenus.
Si on effectue les tirages avec remise, alors Xsuit la loi Binomiale Bn,N1
N.
Si on effectue les tirages sans remise ou simultanés (dans ce cas, on doit avoir nN), alors Xsuit la loi
Hypergéométrique HN,n,N1
N, ce qui signifie que
Xest à valeurs dans Xmax0,nNN1,minN1,n
et pour tout k0,1,...,n,PXkCN
1
kCNN
1
nk
CN
n.
On a de plus : EXnp et VXnp1pNn
N1en posant pN1
N.
Exemples.
1) On lance 10 fois de suite une pièce de monnaie équilibrée. Quelle est la probabilité d’obtenir 3 fois
(exactement) Pile ?
On peut considérer que l’on répète n10 fois dans les mêmes conditions l’expérience aléatoire
"lancer la pièce" (les répétitions étant indépendantes entre elles) au cours de laquelle l’événement A"obtenir
Pile" a la probabilité p1
2d’être réalisé. La variable aléatoire X, égale au nombre de fois où l’événement A
est réalisé, i.e. au nombre de Pile obtenus, suit la loi Binomiale Bn,pB10, 1
2, ce qui signifie que :
-Xest à valeurs dans X0,1,...,n0,1,...,10;
- pour tout k0,1,...,10,PXkCn
kpk1pnkC10
k1
2
k1
2
10kC10
k1
2
10.
On en déduit que la probabilité d’obtenir 3 fois Pile est PX3C10
31
2
10 0,1172.
2) On tire successivement 4 boules d’une urne contenant 3 boules blanches et 7 boules noires. Quelle est
la probabilité d’obtenir (exactement) 2 boules blanches ?
On peut considérer que l’on effectue n4 tirages d’un individu dans la population des N10 boules,
avec N13 boules blanches et N27 boules noires (on a N1N2N). Si on désigne par Xla variable
aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues, alors :
- dans le cas de tirages avec remise, Xsuit la loi Binomiale Bn,N1
NB4, 3
10 ; ainsi, Xest à
valeurs dans X0,1,...,n0,1,...,4et pour tout k0,1,...,4,
PXkCn
kpk1pnkC4
k3
10
k7
10
4k; on a donc PX2C4
23
10
27
10
20,2646.
- dans le cas de tirages sans remise, Xsuit la loi Hypergéométrique HN,n,N1
NH10,4, 3
10 ;
ainsi, Xest à valeurs dans Xmax0,nNN1,minN1,n 0,1,2,3et pour tout
k0,1,2,3,PXkCN
1
kCNN
1
nk
CN
nC3
kC7 4k
C10
4; on a donc PX2C3
2C7 2
C10
40,3.
Remarque.
Lorsque Nest très grand devant n(en pratique N10n), on peut approcher la loi Hypergéométrique
HN,n,N1
Npar la loi Binomiale Bn,N1 N. Cela signifie que CN
1
kCNN
1
nk
CN
nCn
kN1
N
k1N1
N
nk.
Stéphane Ducay 3

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2.Cas d’un nombre infini de valeurs
Définitions.
On appelle variable aléatoire réelle discrète infinie toute v.a.r. dont l’univers-image X(ensemble des
valeurs prises par X) est infini dénombrable. Dans ce cours, on se limitera à Xk/kou
X.
On appelle loi de probabilité de Xla donnée des couples k,pk, avec pkPXk, pour kX.
On pourra toujours s’assurer que l’on a bien pk0 et
k
X
pk1.
Attention ! Cette dernière somme contient une infinité de termes ! Il s’agit de la somme d’une série
numérique, qui peut être infinie ou ne pas exister. Nous n’aborderons pas pour le moment les problèmes liés à
cette notion.
Espérance mathématique.Variance.Ecart-type.
Soit Xune v.a.r. discrète dont l’univers-image infini est X. Sous reserve d’existence des sommes
indiquées ci-dessous, on a :
- espérance mathématique de X:EX
k
X
kpk.
- variance de X:VX
k
X
kEX2pket VXEX2EX2
k
X
k2pkEX2.
- écart-type de X:XVX- intervalle moyen de X:EXX,EXX.
Lois classiques :Poisson et Géométrique.
Loi de Poisson.
Une variable aléatoire Xsuit la loi de Poisson Pde paramètre 0 si et seulement si :
Xest à valeurs dans Xet, pour tout k,PXkek
k!.
On a de plus : EXet VX.
Loi Géométrique.
On répète dans les mêmes conditions une même expérience aléatoire (les répétitions étant indépendantes
entre elles) au cours de laquelle un événement Aa une probabilité pd’être réalisé.
La variable aléatoire X, égale au nombre d’expériences nécessaires pour avoir la première réalisation de A
(i.e. au temps d’attente de l’événement A), suit la loi Géométrique Gp, ce qui signifie que :
Xest à valeurs dans Xet, pour tout k,PXkp1pk1.
On a de plus : EX1
pet VX1p
p2.
Remarque.
Lorsque nest grand et passez petit (en pratique n30, p0,1 et np 10), on peut approcher la loi
Binomiale Bn,ppar la loi de Poisson Pnp. Cela signifie que Cn
kpk1pnkenp npk
k!.
Ce résultat explique que la loi de Poisson est souvent utilisée lorsque la variable aléatoire Xdésigne le
nombre de réalisations d’un événement rare.
Plus précisément, cette loi apparaît dans les processus de Poisson comme la limite, lorsque ntend vers
l’infini, des lois Binomiales B n,
n, où est un réel strictement positif. En effet, un processus de Poisson
est caractérisé par une variable aléatoire Xqui dénombre les apparitions d’un certain événement aléatoire E
au cours du temps de façon que :
a) la probabilité que Eapparaisse au cours d’une courte période de l’unité de temps de durée test
proportionnelle à cette durée et indépendante de la période choisie : P E survient entre tet t tt;
b) la probabilité que Eapparaisse plus d’une fois au cours de cette période est considérée comme nulle.
En décomposant l’unité de temps en nintervalles de durées égales à t, on a t1
net
PEsurvient entre tet t t
n. D’après la condition b), Eapparait kfois au cours de l’unité de temps
(0 kn) s’il survient au cours de kintervalles élémentaires de durée 1
n. Il résulte que Xsuit la loi
Binomiale B n,
n. Lorsque ttend vers 0, c’est-à-dire ntend vers , on obtient une loi de Poisson.
Stéphane Ducay 4

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3.Exercices
Exercice 1.
1) Soit Xune variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par :
xi12345
pi0,25 p20,18 p40,37
a) Déterminer les valeurs de p2et p4, sachant que les événements X2 et X4 sont équiprobables.
b) Calculer l’espérance mathématique et l’écart-type de X.
c) Déterminer et représenter graphiquement la fonction de répartition de X.
2) Calculer l’espérance mathématique et l’écart-type dela variable aléatoire X.dont la loi de probabilité est
xi21 0 1 2
pi1/8 1/4 1/5 1/8 3/10
Exercice 2.
Deux joueurs Aet Blancent chacun une pièce de monnaie équilibrée. Si les deux pièces tombent sur Pile,
le joueur Agagne ; sinon, le joueur Bgagne et Alui verse 2 euros. Un jeu est équitable si l’espérance de gain
de chaque joueur est nulle.
Pour que le jeu soit équitable, combien le joueur Bdoit-il verser au joueur Alorsque ce dernier gagne ?
Exercice 3.
1) Un joueur a une chance sur trois de gagner une partie. Il joue cinq parties. Calculer la probabilité qu’il
gagne : a) trois parties. b) cinq parties. c) au plus une partie. d) au moins deux parties.
2) Un joueur a une chance sur deux de gagner une partie. Combien doit-il jouer de parties pour que la
probabilité qu’il gagne au moins une fois soit supérieure à 0,9 ?
Exercice 4.
Le cours de Statistiques de deuxième année de Licence mention Mathématiques est suivi par 57 étudiants,
dont 53 sont inscrits dans la mention Mathématiques, les autres étant inscrits dans une autre mention. Il est
convenu que l’enseignant de Mathématiques responsable du cours sera le référent de 5 étudiants choisis au
hasard parmi ces 57 étudiants.
On désigne par Xla variable aléatoire égale au nombre d’étudiants d’une autre mention dont l’enseignant
sera référent.
1) Donner la loi de probabilité de X. Justifier votre réponse.
2) Calculer la probabilité que l’enseignant soit référent d’au moins deux étudiants d’une autre mention.
3) Calculer l’espérance mathématique et la variance de X.
Exercice 5.
L’oral d’un examen comporte 40 sujets possibles. Un candidat tire 3 sujets au hasard et choisit parmi ces
3 sujets celui qu’il désire traiter. Pour un candidat qui n’a révisé que 20 sujets, on désigne par Xle nombre de
sujets qu’il a révisé parmi les 3 tirés.
1) Quelle est la loi de probabilité de X. Expliquer.
2) Calculer la probabilité que ce candidat tire au moins un sujet qu’il a révisé.
3) Calculer cette même probabilité à l’aide d’une loi approchée de X. Cette approximation vous parait-elle
raisonnable ?
Exercice 6.
Dans une production de pièces très nombreuse, il y a 3% de pièces défectueuses. Soit Xle nombre de
pièces défectueuses dans un échantillon de 10 pièces prélevées au hasard.
1) Quelle est la loi de probabilité de X. Expliquer.
2) En déduire le nombre moyen de pièces défectueuses obtenu dans un lot de 10 pièces.
3) Calculer la probabilité d’obtenir au moins deux pièces défectueuses.
Exercice 7.
Les centres de transfusion sanguine diffusent le tableau suivant donnant la répartition de la population
française des principaux groupes sanguins :
Stéphane Ducay 5