1 - ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE Á

DMartin-LAH
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ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU PREMIER ORDRE
Á COEFFICIENTS CONSTANTS
A. INTRODUCTION : RÉSOLUTION DE : y’ + ay = 0
Soit y(t) une fonction de la variable t définie sur IR. Soit a
∈
IR.
L’équation y’(t) + a y(t) = 0 est une équation différentielle car l’inconnue est une fonction.
On notera souvent cette équation sous la forme : y’ + ay = 0. (en omettant la variable t)
Avec la notation de sciences physiques : dy
dt(t) + ay(t) = 0 ou dy dt + ay = 0
Théorème 1
:
L’ensemble des solutions de l’équation différentielle : y’ + ay = 0 est l’ensemble des fonctions
définies sur IR par : y(t) = Ce
–at
où C est une constante réelle quelconque.
Théorème 2
:
L’équation y’ + ay = 0 admet une solution unique f vérifiant la condition initiale f(t
0
) = y
0
où les
nombres réels t
0
et y
0
sont donnés.
Exemple :
Résoudre l’équation différentielle : y’ – 3y = 0. Quelle solution vérifie la condition : y(1
3) = 1 ?
D’après le théorème 1, l’ensemble des solutions de (E) est l’ensemble de fonctions de la forme : y(t) = Ce
3t
A l’aide de la condition y(1
3) = 1 nous pouvons déterminer C :
1
3
1
3
=
×
Ce
⇔
Ce = 1
⇔
C = 1
e
⇔
C = e–1
La solution particulière (unique) de (E) recherchée est donc : f(t) = e–1e3t
⇔
f(t) = e3t – 1.
Exercice :
1. Résoudre l’équation différentielle : 2y’ – 10 y = 0.
2. Déterminer la solution f dont la courbe représentative passe par le point M de coordonnées ( 1
10 ; 2).
B. CAS GÉNÉRAL : ay’ + by = c(t)
1. GÉNÉRALITÉS
Soit y(t) une fonction définie et dérivable sur un intervalle I de IR.
On considère l’équation différentielle (E) : ay’ + by = c(t) où a et b sont des nombres réels et c(t) une fonction
définie et dérivable sur I, avec a ≠ 0 .
Définition : On appelle équation sans second membre associée à (E) l’équation différentielle (E
0): ay’ + by = 0
Théorème 1
:
La solution générale de l’équation (E) est obtenue en ajoutant une solution particulière de (E) à la
solution générale de l’équation sans second membre associée (E
0
).

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Théorème 2
:
L’équation (E) a une solution unique f vérifiant la condition initiale f(t
0
) = y
0
où les nombres
réels t
0
et y
0
sont donnés.
Exemple : Résoudre sur IR l’équation différentielle (E) : y’ + 2y = 4t + 2.
Déterminer la solution de (E) vérifiant la condition : y(1
2) = 2e + 1.
1. L’équation sans second membre associée est (E
0
) : y’ + 2y = 0
L’ensemble des solutions de (E
0
) est : y
0
(t) = Ce
–2t
2. Cherchons une solution particulière de (E) de la forme : f(t) = at +b (identique au second membre voir
plus loin paragraphe 3)
La fonction f est solution si et ssi : f’ + 2 f = 4t +2
⇔
a + 2at + 2b = 4t + 2
⇔
2at + (a + 2b) = 4t + 2
En identifiant les coefficients :
=+=22
42
ba
a
⇔
=
=0 2
b
a
Une solution particulière de (E) est donc : f(t) = 2t.
3. Ensemble des solutions de (E) :
Ce sont les fonctions de la forme : y(t) = f(t) + y
0
(t) soit : y(t) = 2t + Ce
–2t
4. Solution particulière vérifiant la condition initiale :
On cherche la constante C telle que y(1
2) = 2e + 1
121
1
+=+⇔
−
eCe
2
2eC =⇔
La solution (unique) de (E) vérifiant la condition initiale est donc la fonction : h(t) = 2t + 2e–2t+2.
2. RÉSOLUTION DE L’ÉQUATION SANS SECOND MEMBRE : ay’ + by = 0
Théorème
:
L’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E0) : ay’ + by = 0 est l’ensemble des fonctions
définies sur IR par : y
0
(t) = C
݁
ି
್
ೌ
௧
où C est une constante réelle quelconque.
C’est une application directe du paragraphe d’introduction A, il suffit d’isoler y’.
Exercice : Résoudre l’équation différentielle : 3y’ – 2 y = 0.
3. RECHERCHE D’UNE SOLUTION PARTICULIÈRE DE (E) : ay’ + by = c(t)
Pour trouver l’ensemble des solutions de (E) il faut pouvoir en trouver une solution particulière qu’on ajoutera alors
à l’ensemble des solutions de (E0).
On oriente la recherche selon c(t) :
i) Si c(t) est une constante, on cherche y(t) sous la forme d’une constante.
ii) Si c(t) est un polynôme, on cherche y(t) sous la forme d’un polynôme de même degré.
iii) Si c(t) est de la forme A cos( ω t) [ ou A sin( ω t) ]
alors on cherche y(t) sous la forme : A cos( ω t) + B sin( ω t)
iv) Si c(t) est de la forme P(t)eαt où P est un polynôme et α un nombre réel
alors on cherche y(t) sous la forme : Q(t)eαt avec deg Q ≥ deg P
v) Si c(t) est de la forme [A cos( ω t) + B sin( ω t)]eαt
alors on cherche y(t) sous la forme : [D cos(
ω t) + C sin( ω t)]eαt

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4. RESUMÉ ET EXERCICE DE BTS
La résolution d’une équation différentielle du premier ordre : ay’ + by = c(t) se fait en quatre étapes :
1. Résoudre l’équation sans second membre (E
0
) : ay’ + by = 0.
Û La solution est : y
0
(t) = C݁
ି
್
ೌ
௧
où C est une constante réelle
2. Déterminer une solution particulière de (E) : h(t)
Û Des indications peuvent être données dans l’énoncé, sinon voir le paragraphe 3.
3. Additionner les deux solutions obtenues : y
0
(t) + h(t)
Û C’est l’ensemble de toutes les solutions de (E). (il y en a une infinité)
4. Trouver la solution unique vérifiant une condition initiale donnée.
Û Il s’agit ici de trouver la constante C de y
0
(t) telle que la condition initiale soit vérifiée.
Exercice (BTS Productique 2003) :
On considère l’équation différentielle (E) : y’ + y = 2e
–x
où y est une fonction de la variable réelle x, définie et dérivable sur r et y’ sa dérivée.
1. Déterminer les solutions sur r de l’équation différentielle (E
0
) : y’ + y = 0.
2. Soit h la fonction définie sur r par : h(x) = 2 x e
–x
.
Démontrer que la fonction h est une solution particulière de (E).
3. En déduire l’ensemble des solutions de l’équation différentielle (E).
4. Déterminer la solution f de (E) dont la courbe représentative dans une repère orthonormal passe par le
point de coordonnées (0 ; 3).