Corrigé

© 2010, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision 6 ■ Ressources supplémentaires • Corrigé du manuel – Vol. 2 43
La géométrie
analytique et
les systèmes
d’équations
Exemple de production attendue
Soit le modèle ci-dessous, qui représente l’avalanche.
1) L’épaisseur de la neige au-dessus du point C
Déterminer l’épaisseur de la neige au-dessus du point C
revient à déterminer la longueur du segment CF dans
la modélisation ci-dessus. Il faut donc déterminer
l’ordonnée du point F. Ce point F a pour coordonnées
(125,
y ) et est un point de la droite passant par les points
E et D. Ainsi, avec l’équation de la droite ED, on peut
déterminer l’ordonnée du point F et, par le fait même,
la longueur du segment CF.
• Les coordonnées du point D sont (156,25, 0), car
le point D est situé à 31,25 m du point C.
• L’aire du triangle ECD est égale à celle du triangle ABC,
soit 1250 m2.
• La hauteur du triangle ECD relative à la droite CD est
donc de 80 m, soit 1250 ⫻2⫼31,25.
• L’ordonnée du point E est 80. Comme le point E fait
partie de la droite AC d’équation
y ⫽– x ⫹100,
ses coordonnées sont (25, 80).
• L’équation de la droite ED est donc :
y ⫽– x ⫹95,24.
• Les coordonnées du point F sont alors (125, 19,05).
L’épaisseur de la neige au-dessus du point C est donc
de 19,05 m.
80
131,25
4
5
A (0, 100)
C (125, 0)
0
B (25, 100)
D
E
FG
y
x
SAÉ 16 : Danger, avalanche!
6
2) La distance qui sépare le point D du point G
Le segment CG est perpendiculaire au segment DE, car
c’est à partir du point G que l’on pourrait creuser le tunnel
le plus court pour atteindre le point C. On cherche donc à
déterminer la mesure de la hauteur relative à l’hypoténuse
d’un triangle rectangle.
Comme, dans un triangle rectangle, le produit des mesures
de l’hypoténuse par la hauteur correspondante est égal au
produit des mesures des côtés de l’angle droit, on a :
h ⫽⬇16,27.
Avec la mesure de la hauteur, celle du segment CD
et la relation de Pythagore, on peut déterminer la distance
qui sépare le point D du point G, soit, au centimètre près,
26,68 m.
3) La pente de la droite qui supporte ce tunnel
La droite qui supporte ce tunnel est perpendiculaire
à la droite ED d’équation
y ⫽– x ⫹95,24.
Sa pente est donc de , soit environ 1,64.
Analyse de l’effet du déplacement du point D
Dans le cas où le point D se rapprocherait du point C
(le point D doit être situé, au minimum, à 25 m du point C afin
que les triangles ABC et CDE aient la même aire), le point E
remonterait sur la droite AC, et la pente de la droite ED serait
de plus en plus abrupte.
Ainsi :
1) l’épaisseur de la neige au-dessus du point C diminuerait;
2) la distance qui sépare le point D du point G diminuerait;
3) la pente de la droite qui supporte le tunnel serait de moins
en moins forte.
Dans le cas où le point D s’éloignerait du point C, le point E
descendrait sur la droite AC afin que les triangles ABC et CDE
aient la même aire. Plus le point D s’éloignerait du point C,
plus la pente de la droite ED serait douce.
Ainsi :
1) l’épaisseur de la neige au-dessus du point C augmenterait
dans un premier temps et atteindrait une épaisseur
maximale avant de diminuer lorsque le point D
s’éloignerait davantage ;
2) la distance qui sépare le point D du point G augmenterait
au fur et à mesure que le point D s’éloignerait;
3) la pente de la droite qui supporte ce tunnel serait de plus
en plus forte.
131,25
80
80
131,25
19,05 ⫻31,25
36,60
CD
F
G
h
31,25 m
19,05 m
36,60 m

Vision 6 ■ Ressources supplémentaires • Corrigé du manuel – Vol. 2 © 2010, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
44
Exemple de production attendue
On délimite le quadrilatère de recherches en supposant que
l’avion peut se trouver, au maximum, à 20 km à l’est
ou à l’ouest de la trajectoire prévue.
Représentation de la situation dans un plan cartésien
Les droites
d
1et
d
2sont les médiatrices des segments CF et SF.
Les droites
d
3et
d
4sont parallèles au segment CS.
Elles coupent l’axe des abscisses à 210 et 250 respectivement.
Les points A, B, D et E sont les points d’intersection
de ces droites.
Équations des droites
1) Pente du segment CF : ⫽–
La droite d
1a donc une pente de et elle passe par
le milieu du segment CF, dont les coordonnées sont
(90, 395). On peut écrire son équation sous la forme
18
x ⫺23 y ⫹C⫽0. En remplaçant x et y par 90 et 395,
on détermine C ⫽7465.
Équation de
d
1:18
x ⫺23 y ⫹7465 ⫽0
2) Pente du segment SF : ⫽–
La droite d
2a donc une pente de et elle passe par
le milieu du segment SF, dont les coordonnées sont
(205, 140). En procédant comme ci-dessus, on trouve
son équation.
Équation de
d
2:5
x ⫺28 y ⫹2895 ⫽0
3) Pente du segment CS : ⫽–
Les droites d
3et
d
4ont donc des pentes de –et passent
respectivement par les points de coordonnées (210, 0)
et (250, 0).
Équation de
d
3:51
x ⫹23 y ⫺10 710 ⫽0
Équation de
d
4:51
x ⫹23 y ⫺12 750 ⫽0
51
23
51
23
510 ⫺0
0⫺230
5
28
28
5
280 ⫺0
180 ⫺230
18
23
23
18
280 ⫺510
180 ⫺0
C (0, 510)
S (230, 0)
F (180, 280)
x
y
A
B
DE
d1
d2
d3
d4
0
SAÉ 17 : L’adac ne répond plus
Coordonnées des points d’intersection
1) Le point A est le point d’intersection des droites d
1et
d
4.
On doit résoudre le système d’équations :
18
x ⫺23 y ⫹7465 ⫽0
51
x ⫹23 y ⫺12 750 ⫽0
Coordonnées du point A, arrondies à l’unité : (77, 385)
2) Le point B est le point d’intersection des droites d
1et
d
3.
On doit résoudre le système d’équations :
18
x ⫺23 y ⫹7465 ⫽0
51
x ⫹23 y ⫺10 710 ⫽0
Coordonnées du point B, arrondies à l’unité : (47, 361)
3) Le point D est le point d’intersection des droites d
2et
d
3.
On doit résoudre le système d’équations :
5
x ⫺28 y ⫹2895 ⫽0
51
x ⫹23 y ⫺10 710 ⫽0
En multipliant les membres de la 1re équation par –10,2,
on obtient le système d’équations équivalent
suivant, que l’on peut résoudre :
–51
x ⫺285,6 y ⫺29 529 ⫽0
51
x ⫹23 y ⫺10 710 ⫽0
Coordonnées du point D, arrondies à l’unité : (151, 130)
4) Le point E est le point d’intersection des droites d
2et
d
4.
On doit résoudre le système d’équations :
5
x ⫺28 y ⫹2895 ⫽0
51
x ⫹23 y ⫺12 750 ⫽0
Ce système équivaut à :
–51
x ⫺285,6 y ⫺29 529 ⫽0
51
x ⫹23 y ⫺12 750 ⫽0
Coordonnées du point E, arrondies à l’unité : (188, 137)
Aire du quadrilatère ABDE
On peut inscrire le quadrilatère ABDE dans un rectangle GHIJ
dont les sommets ont les coordonnées suivantes :
G(188, 385), H(47, 385), I(47, 130) et J(188, 130).
On peut alors calculer l’aire du quadrilatère ABDE en
procédant par soustraction.
A
B
DE
GH
IJ
44

© 2010, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision 6 ■ Ressources supplémentaires • Corrigé du manuel – Vol. 2 45
Aire du rectangle GHIJ :
(188 ⫺47) ⫻(385 ⫺130) ⫽35 955
Aire du triangle GAE :
(188 ⫺77) ⫻(385 ⫺137) ⫼2⫽13 764
Aire du triangle HAB :
(77 ⫺47) ⫻(385 ⫺361) ⫼2⫽360
Aire du triangle IBD :
(151 ⫺47) ⫻(361 ⫺130) ⫼2⫽12 012
Aire du triangle JDE :
(188 ⫺151) ⫻(137 ⫺130) ⫼2⫽129,5
Aire du quadrilatère ABDE ⫽35 955 ⫺13 764 ⫺360 ⫺
12 012 ⫺129,5 ⬇9690
L’aire du quadrilatère de recherches est donc
approximativement de 9690 km2.
Exemple de production attendue
Le graphique suivant représente le volcan ainsi que la parabole
de sûreté où
x est l’axe (en m) où se trouve le centre
du volcan et
y est la hauteur (en m).
La partie ombrée correspond à la zone de danger où les
bombes éjectées se déplacent.
La hauteur maximale à laquelle pourront grimper les touristes
correspond, dans le graphique, aux ordonnées des points P
et Q. Cette hauteur est environ de 400 m, comme le montre
la démarche suivante.
Ordonnées des points P et Q
La situation étant symétrique par rapport à l’axe
des ordonnées, on utilise le 1er quadrant seulement.
Le point P se trouve à l’intersection de la droite AB et de
la parabole de sûreté.
Pente de la droite AB : ⫽–
Équation de la droite AB : y ⫽– x ⫹10 000
9
5
9
5
9
1000 ⫺0
200 ⫺2000
PQ
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
0
–400 –800 –1200 –1600 –2000 400 800 1200 1600 2000
y
x
B (2000, 0)
(200, 1000)
A
SAÉ 18 : Un volcan encore actif
Le système d’équations à résoudre est donc :
y ⫽– x ⫹
y ⫽– x
2⫹1400
En utilisant la méthode de comparaison, on obtient
x ⫽⬇1256,7.
En insérant cette valeur dans l’une des équations, on obtient
y ⬇412,9.
Afin d’assurer une certaine marge de sécurité, l’ascension
des touristes est limitée à une hauteur de 400 m.
Positions sécuritaires d’un hélicoptère.
Un hélicoptère est dans une position sécuritaire si cette
position, représentée par le couple (
x, y ) dans le plan cartésien
ci-dessus, vérifie l’inéquation suivante :
y ⬎– x
2⫹1400
Exemples :
1) Position : à 1000 m du centre du volcan et à une hauteur
de 800 m.
Cette position, représentée par le couple (1000, 800), est
sécuritaire, car –10002⫹1400 ⫽775 et 800 ⬎775.
2) Position : à 800 m du centre du volcan et à une hauteur
de 1000 m.
Cette position, représentée par le couple (800, 1000),
n’est pas sécuritaire, car –8002⫹1400 ⫽1000
et l’inégalité 1000 > 1000 est fausse.
Réactivation 1
a. 1) (50, 41) 2) (62, 50)
b.
Plusieurs réponses possibles. Exemple :
(20, 18,5), (30, 26), (40, 33,5)
c. y ⫽ x ⫹3,5
d. Oui.
e. C’est la médiatrice du segment GD.
Réactivation 2
a. Forfait 1: f
1(
x )⫽60 x ⫹225 (pour x ⱖ1 seulement).
Forfait 2:
f
2(
x )⫽45 x ⫹450
Forfait 3:
f
3(
x )⫽70 x
Page 81
3
4
Page 80
6
RÉ
1
1600
1
1600
1
1600
4000 ⫹400
兹
苶
334
9
1
1600
10 000
9
5
9

Vision 6 ■ Ressources supplémentaires • Corrigé du manuel – Vol. 2 © 2010, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée
46
b.
c. 1) Le forfait 3.
2) Le forfait 2.
3) Le forfait 2.
d.
En observant la table de valeurs, on constate qu’il est
préférable de choisir le forfait 2si l’on s’abonne pour
une période supérieure à 18 mois.
e. (15, 1125), (18, 1260), (22,5, 1575)
La première coordonnée de ces points correspond aux trois
moments ou 2 des 3 entreprises ont le même tarif, indiqué
par la deuxième coordonnée.
f. Il n’est jamais avantageux de choisir le forfait 1.
Mise à jour
1. a) ⬇561,10 km
b)
Plusieurs réponses possibles : Faire le trajet suivant :
Bora Bora, Raiatea, Maiao, Tahiti, Thémae, Huahine,
Bora Bora.
Ce trajet serait environ de 518,75 km.
2. a) 1)
y ⫽– x ⫹13
2) y ⫽– x ⫹13
b) Les trois points A, B et C sont alignés.
3
2
3
2
Page 84
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
Durée
du forfait
(mois)
Somme
payée
($)
02 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
Coût des différents forfaits
pour un appareil
Forfait 1
Forfait 2
Forfait 3
3. a)
b) (0,6, 1,4)
c) La longueur de chacune des cordes est de 0,2
兹 苶
13 m, soit
environ 72 cm.
Mise à jour (suite)
4. a) (4, 5) b) (–2, –1)
c) Aucune solution. d) 冢,冣
e) (–0,5, –2)
f) Il y a une infinité de solutions (
x peut prendre toutes
les valeurs réelles).
5. a)
y
1⫽3⫺3
x
b)
c) Jonathan et Léonie se trouvent à la même distance de
chez Samuel à 12 h 10, et il leur restera alors 2,5 km à
parcourir.
Ils se retrouveront une seconde fois à la même distance
de chez Samuel à 12 h 35. Il leur restera alors 1,25 km
à parcourir.
d) Léonie se trouve deux fois plus proche de chez Samuel
vers 12 h 37 min 47 s. Jonathan doit encore parcourir
environ 1111 m pour se rendre chez Samuel.
6. a) La température de l’eau et celle de l’alcool au début
de l’expérience.
b)
Plusieurs réponses possibles selon la précision
du graphique. Exemple :
Approximativement (70, 55). Les deux liquides étaient
à la même température, soit environ 55 °C, 70 s après
le début de l’expérience.
y1
y2
4
3,5
3
2,5
2
1,5
1
0,5
00,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2
Distance séparant Jonathan et Léonie
de chez Samuel
y
x
92
19
14
19
Page 85
y
x
A (0, 1,8)
B (1, 2)
C (0,6, y)
0
46
Durée (mois)
Somme payée pour
le forfait 2 ($)
Somme payée pour
le forfait 3 ($)
16 17 18 19
1170 1215 1260 1305
1120 1190 1260 1330

© 2010, Les Éditions CEC inc. • Reproduction autorisée Vision 6 ■ Ressources supplémentaires • Corrigé du manuel – Vol. 2 47
c) y ⫽0,5 x ⫹20
y ⫽0,85 x ⫺5
d) (71,4, 55,7)
L’étude des droites
Problème
La distance entre Claireville et Bienville sera d’environ 9,2 km.
Plusieurs démarches possibles. Exemple :
On peut représenter cette situation dans un plan cartésien,
dans lequel chaque ville est représentée par la première lettre
de son nom et le point P est le point d’intersection de
l’autoroute 70 et du prolongement de l’autoroute 55.
On constate qu’une voiture qui emprunte l’autoroute 60
de Grandeville (G) à Jolieville (J) se déplace de 2 km vers l’est
pour chaque déplacement de 1 km vers le nord.
La droite CP étant perpendiculaire à , on peut affirmer que
est l’image de par une rotation de 90°. Il s’ensuit que,
sur l’autoroute 55 partant de Claireville (C), une voiture
se déplace de 1 km vers l’est pour chaque déplacement
de 2 km vers le sud.
Pour atteindre le point P, la voiture doit se déplacer de 6 km
vers le sud. Elle parcourra donc 3 km vers l’est. Par
conséquent, les coordonnées du point P sont (8, 0).
Distance par la route entre Claireville et Bienville (en km) :
d ⫽
兹 苶
(8 ⫺5)2⫹
苶
(6 ⫺0)2⫹(10,5 ⫺8) ⬇9,2
G (0, 0) B (10,5, 0)
C (5, 6) J (12, 6)
P
1
2
1
2
y
x
GJCP
GJ
G (0, 0) B (10,5, 0)
C (5, 6) J (12, 6)
P
1
2
y
x
Page 86
6.1
section
Activité 1
a. Une pente de signifie que la rampe monte de 1 unité
pour 12 unités de déplacement horizontal.
b. Une pente inférieure à aurait pour conséquence d’avoir
une rampe d’accès moins inclinée et plus facile à gravir
pour les personnes âgées, tandis qu’une pente supérieure
à augmenterait l’inclinaison de la rampe et la rendrait
plus difficile à monter.
c. Oui, cette pente est de .
d. 1) 2) 3) –13
e. Les pentes des droites
d
1et
d
2seraient alors de et
la pente de la droite
d
3serait de –15.
f. 1) La pente est nulle.
2) La pente n’existe pas.
Activité 2
a. Rue Viau : y ⫽– x ⫹
Rue Pierre-de-Coubertin :
y ⫽ x ⫺400
Boul. Pie-IX :
y ⫽– x ⫺400
Rue Sherbrooke : Cette équation ne peut pas s’écrire sous
la forme
y ⫽m x ⫹b.
b. Non. Le produit des pentes de deux des droites ne donne
dans aucun cas –1.
c. Rue Viau : 11
x ⫹24 y ⫺16 400 ⫽0
Rue Pierre-de-Coubertin : –9
x ⫹4 y ⫹1600 ⫽0
Boul. Pie-IX : 3
x ⫹8 y ⫹3200 ⫽0
Rue Sherbrooke :
x ⫹200 ⫽0
d.
(400, 500)
(–200, 775)
(–200, –325)
(0, –400)
Rue
piétonnière
projetée
Pie-IX
Pierre-de-Coubertin
Sherbrooke
Viau
y
x
3
8
9
4
2050
3
11
24
Page 88
1
15
1
13
1
13
1
13
1
12
1
12
1
12
Page 87