1 Polynôme cyclotomique - Les

1
Polynôme cyclotomique
1.1
Définitions
Soit k est un corps algébriquement clos de caractéristique p et n un entier que l’on écrit n := ps n0
avec p et n0 premiers entre eux. Notons Un (k) := {z ∈ k, z n = 1} l’ensemble des racines dans k
du polynôme X n − 1.
Théorème 1.1 L’ensemble Un (k) est un sous groupe cyclique de k ? de cardinal n0 . En particulier,
si n et p sont premiers entre eux, alors Un (k) est cyclique de cardinal n.
Première démonstration
Démonstration La preuve s’articule en deux parties :
(1) Un sous-groupe fini de k ∗ est automatiquement cyclique 1 .
(2) Calcul du cardinal de Un (k).
Le point (1) utilise le résultat suivant :
Lemma 1.2 Soit G un groupe abélien fini de cardinal n. Si pour tout diviseur d de n, on a
#{ x ∈ G, xd = 1} ≤ d alors le groupe G est cyclique.
Démonstration Pour tout diviseur d de n le nombre d’éléments de G d’ordre exactement d, que
l’on note N (d), est inférieur à φ(d). En effet, d’une part un élément d’ordre d est dans l’ensemble
{x ∈ G, xd = 1}. Ensuite, si il n’existe pas d’élément d’ordre d alors N (d) = 0 et l’inégalité
est valide.. Et si il existe un élément g d’ordre d, alors le groupe engendré par g est exactement
{x ∈ G, xd = 1} car ce dernier est de cardinal ≤ d. Ainsi {x ∈ G, xd = 1} est cyclique d’ordre d
et contient exactement φ(d) éléments d’ordre d. Pour conclure, nous utilisons les deux égalités :
X
X
n=
N (d) et n =
φ(d)
d|n
d|n
Et on conclu que pour tout d divisant n, N (d) = φ(d) et en particulier N (n) 6= 0.
Pour utiliser le lemme, il suffit de remarquer que pour tout d divisant n l’ensemble { x ∈
Un (k), xd = 1} est de cardinal inférieur ou égal à d puisque { x ∈ Un (k), xd = 1} est inclus
dans l’ensemble des racines du polynôme X d − 1 de degré d.
Pour le point (2) : on remarque que : Un (k) = Un0 (k), ce qui permet de se rammener au cas
où n et p sont premiers entres eux. Dans ce cas le polynôme X n − 1 est séparable et posséde n
racines dans le corps k.
— Autre démonstration remarque de Noname ... j’ai juste copier coller
Démonstration Dans un groupe abélien, si a et b sont deux éléments d’ordre m et n, il existe un
element d’ordre ppcm(m, n) (facile, si m et n sont premier entre eux on prend le produit, sinon on
ecrit la decomposition en facteur premier et on choisit à sa guise).
Soit donc G un sous groupe fini de k ∗ , pour un corps commutatif k, et µ le ppcm des ordres des
elements de G, par le point 1/ il existe disons α d’ordre µ, donc les elements de G sont racines de
T µ − 1, mais c’est aussi le cas de 1, α, .., αµ−1 , et ca ca fait pas assez de place pour tout le monde
puisque k est intègre, du coup G = {1, α, .., αµ−1 } et est donc cyclique.
1 Ici
nous n’utilisons pas l’hypothèse que k est algébriquement clos.
1
Définition 1.3 On dit que ζ ∈ Un (k) est une racine primitive n-ième de l’unité lorsque Un (k)
est de cardinal n et ζ est un générateur de Un (k). D’après le théorème 1.1, les racines primitives
n -ème existent si et seulement si n et p sont premiers entre eux et dans ce cas, il y en a φ(n)
(indicatrice d’Euler) : ce sont les ζ k avec k premiers à n. Dans ce cas on peut considérer le
polynôme suivant :
Y
Φn,k =
(X − ζ)
ζ primitive d’ordre n
que l’on appelle le polynôme cyclotomique de niveau n du corps k.
1.2
Poynôme cyclotomique : corps de définition
D’après Gai requin ... Bon il faudrait faire le lien entre cette construction et le polynôme cyclotomique obtenu dans Z. Je pense qu’on peut dire que : le morphisme caractéristique Z → k induit
un morphisme κ : Z[X] → k[X], et :
κ Φn,Q = Φn,k
Démonstration Pour tout n ≥ 2 et tout corps commutatif k dont la caractéristique ne divise pas
n, on a :
Y
Φd,k (X).
Xn − 1 =
d|n
On raisonne par récurrence. Dans Z[X], on peut écrire X n − 1 = Φn Qn . D’où X n − 1 =
κ(Φn )κ(Qn ). D’après l’hypothèse de récurrence,
Y
Y
κ(Qn ) =
κ(Φd ) =
Φd,k .
d|n,d<n
d|n,d<n
D’où κ(Φn ) = Φn,k .
Bilan Soit k un corps algébriquement clos de caractéristique p et n un entier premier à p. Nous
avons construit le polynôme cyclotomique Φn,k de niveau n sur le corps k. Celui-ci est à coefficient
dans le corps premier de k. Dans le cas où p = 0, le polynôme cyclotomique Φn,k est à coefficient
dans Z et on le note Φn . De plus, lorsque k est de caractéristique p 6= 0, Φn,k est la réduction
modulo p de Φn . Pour tout corps k, nous noterons Φn,k := Φn,k .
1.3
Décomposition sur les corps finis — première approche
Dans cette section, on considère une puissance q := pr d’un nombre premier p et un entier n
premier à p. On note k := Fq un corps fini à q éléments. Et on considère le polynôme cyclotomique
Φn,k et on se propose d’étudier sa décomposition en facteurs irréductibles.
1.3.1
Les corps finis
Petit truc sur les corps finis a faire. Le point clef est le suivant :
Théorème 1.4 Soit ζ ∈ Fq , alors
n
o
r
Deg(ζ, Fq ) = min {r, ζ ∈ Fqr } = min r, ζ q = ζ
2
1.3.2
Le résultat
Théorème 1.5 Les facteurs irréductibles de Φn,k sont tous de méme dégré, de plus ce degré en
?
commun est l’ordre multiplicatif de q dans le groupe (Z/nZ) .
Démonstration Soit ζ ∈ Fq , une racine de Φn . Alors par définition ζ est d’ordre n dans le groupe
?
multiplicatif Fq .
n
o
r
min {r, ζ ∈ Fqr } = min r, ζ q −1 − 1 = 0 = min {r, n | q r − 1} = min {r, q r = 1
(mod n)}
Ainsi,
Deg(ζ, Fq ) = O(q, n)
1.3.3
Un exemple
Nous allons appliquer cette proposition dans le cas où k est le corps F` et n := 15. On considère
∗
le groupe cyclique (Z/15Z) . Le tableau suivant donne l’ordre multiplicatif d’un élément ` de
∗
(Z/15Z) .
`
1 2 4 7 8 11 13 14
O(`, 15) 1 4 2 4 4 2 4 2
Nous allons examiner le cas ` := 7, et regarder la décomposition de Φ15 dans F7r obtient le tableau
suivant :
r
O(7r , 15)
r = 1 (mod 4)
4
r = 2 (mod 4)
2
r = 3 (mod 4)
4
r = 3 (mod 4)
1
Ainsi Φ15 se décompose en un produit de deux facteurs irréductibles de degré 4 dans F7 ; et il est
complétement décomposé sur le corps F74 . Nous reviendrons plus en détails sur cette question de
la décomposition du polynôme cyclotomique. Et nous introduirons une donnée combinatoire qui
prend en charge le nombre de racine dans de Φn dans les différents corps finis : le p-facteur de la
fonction Zéta cyclotomique.
Remarquons en particulier, que Φ15 n’est jamais irréductible dans un corps de caractéristique
non nulle. Ce qui montre que le critère de réduction modulo p ne peut pas fonctionner pour
démontrer l’irréductibilité des polynômes cyclotomiques sur Z[X].
1.4
1.4.1
Irréductibilité de Φn sur Z[X]
Idée de démonstration
Nous proposons le plan
2
de démonstration suivant :
(1) Pour tout ` premier impair et pour tout α entier, le polynôme cyclotomique est Irréductible
dans Z[X].
(2) Etendre le résultat pour tout entier n en utilisant un peu de théorie des corps.
?
Démonstration Pour le point (1), nous montrons que le groupe (Z/pα Z) est cyclique et engendré
par la classe d’un nombre premier `. Puis nous utilisons le théorème 1.5 pour prouver que Φpα est
irréductible modulo ` et en conclure que Φpα est irréductible sur Z.
2 Je
ne sais pas si je vais m’en sortir, mais dans tout les cas la démonstration classique est là
3