1 Polynôme cyclotomique - Les

1 Polynˆome cyclotomique
1.1 D´efinitions
Soit kest un corps alg´ebriquement clos de caract´eristique pet nun entier que l’on ´ecrit n:= psn0
avec pet n0premiers entre eux. Notons Un(k) := {z∈k, zn= 1}l’ensemble des racines dans k
du polynˆome Xn−1.
Th´eor`eme 1.1 L’ensemble Un(k)est un sous groupe cyclique de k?de cardinal n0. En particulier,
si net psont premiers entre eux, alors Un(k)est cyclique de cardinal n.
Premi`ere d´emonstration
D´emonstration La preuve s’articule en deux parties :
(1) Un sous-groupe fini de k∗est automatiquement cyclique 1.
(2) Calcul du cardinal de Un(k).
Le point (1) utilise le r´esultat suivant :
Lemma 1.2 Soit Gun groupe ab´elien fini de cardinal n. Si pour tout diviseur dde n, on a
#{x∈G, xd= 1} ≤ dalors le groupe Gest cyclique.
D´emonstration Pour tout diviseur dde nle nombre d’´el´ements de Gd’ordre exactement d, que
l’on note N(d), est inf´erieur `a φ(d). En effet, d’une part un ´el´ement d’ordre dest dans l’ensemble
{x∈G, xd= 1}. Ensuite, si il n’existe pas d’´el´ement d’ordre dalors N(d) = 0 et l’in´egalit´e
est valide.. Et si il existe un ´el´ement gd’ordre d, alors le groupe engendr´e par gest exactement
{x∈G, xd= 1}car ce dernier est de cardinal ≤d. Ainsi {x∈G, xd= 1}est cyclique d’ordre d
et contient exactement φ(d) ´el´ements d’ordre d. Pour conclure, nous utilisons les deux ´egalit´es :
n=X
d|n
N(d) et n=X
d|n
φ(d)
Et on conclu que pour tout ddivisant n,N(d) = φ(d) et en particulier N(n)6= 0.
Pour utiliser le lemme, il suffit de remarquer que pour tout ddivisant nl’ensemble {x∈
Un(k), xd= 1}est de cardinal inf´erieur ou ´egal `a dpuisque {x∈Un(k), xd= 1}est inclus
dans l’ensemble des racines du polynˆome Xd−1 de degr´e d.
Pour le point (2) : on remarque que : Un(k) = Un0(k), ce qui permet de se rammener au cas
o`u net psont premiers entres eux. Dans ce cas le polynˆome Xn−1 est s´eparable et poss´ede n
racines dans le corps k.
— Autre d´emonstration remarque de Noname ... j’ai juste copier coller
D´emonstration Dans un groupe ab´elien, si aet bsont deux ´el´ements d’ordre met n, il existe un
element d’ordre ppcm(m, n) (facile, si met nsont premier entre eux on prend le produit, sinon on
ecrit la decomposition en facteur premier et on choisit `a sa guise).
Soit donc Gun sous groupe fini de k∗, pour un corps commutatif k, et µle ppcm des ordres des
elements de G, par le point 1/ il existe disons αd’ordre µ, donc les elements de Gsont racines de
Tµ−1, mais c’est aussi le cas de 1, α, .., αµ−1, et ca ca fait pas assez de place pour tout le monde
puisque kest int`egre, du coup G={1, α, .., αµ−1}et est donc cyclique.
1Ici nous n’utilisons pas l’hypoth`ese que kest alg´ebriquement clos.
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D´efinition 1.3 On dit que ζ∈Un(k)est une racine primitive n-i`eme de l’unit´e lorsque Un(k)
est de cardinal net ζest un g´en´erateur de Un(k). D’apr`es le th´eor`eme 1.1, les racines primitives
n-`eme existent si et seulement si net psont premiers entre eux et dans ce cas, il y en a φ(n)
(indicatrice d’Euler) : ce sont les ζkavec kpremiers `a n. Dans ce cas on peut consid´erer le
polynˆome suivant :
Φn,k =Y
ζprimitive d’ordre n
(X−ζ)
que l’on appelle le polynˆome cyclotomique de niveau ndu corps k.
1.2 Poynˆome cyclotomique : corps de d´efinition
D’apr`es Gai requin ... Bon il faudrait faire le lien entre cette construction et le polynˆome cyclo-
tomique obtenu dans Z. Je pense qu’on peut dire que : le morphisme caract´eristique Z→kinduit
un morphisme κ:Z[X]→k[X], et :
κΦn,Q= Φn,k
D´emonstration Pour tout n≥2 et tout corps commutatif kdont la caract´eristique ne divise pas
n, on a :
Xn−1 = Y
d|n
Φd,k(X).
On raisonne par r´ecurrence. Dans Z[X], on peut ´ecrire Xn−1 = ΦnQn. D’o`u Xn−1 =
κ(Φn)κ(Qn). D’apr`es l’hypoth`ese de r´ecurrence,
κ(Qn) = Y
d|n,d<n
κ(Φd) = Y
d|n,d<n
Φd,k.
D’o`u κ(Φn) = Φn,k.
Bilan Soit kun corps alg´ebriquement clos de caract´eristique pet nun entier premier `a p. Nous
avons construit le polynˆome cyclotomique Φn,k de niveau nsur le corps k. Celui-ci est `a coefficient
dans le corps premier de k. Dans le cas o`u p= 0, le polynˆome cyclotomique Φn,k est `a coefficient
dans Zet on le note Φn. De plus, lorsque kest de caract´eristique p6= 0, Φn,k est la r´eduction
modulo pde Φn. Pour tout corps k, nous noterons Φn,k := Φn,k.
1.3 D´ecomposition sur les corps finis — premi`ere approche
Dans cette section, on consid`ere une puissance q:= prd’un nombre premier pet un entier n
premier `a p. On note k:= Fqun corps fini `a q´el´ements. Et on consid`ere le polynˆome cyclotomique
Φn,k et on se propose d’´etudier sa d´ecomposition en facteurs irr´eductibles.
1.3.1 Les corps finis
Petit truc sur les corps finis a faire. Le point clef est le suivant :
Th´eor`eme 1.4 Soit ζ∈Fq, alors
Deg(ζ, Fq) = min {r, ζ ∈Fqr}=min nr, ζqr=ζo
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1.3.2 Le r´esultat
Th´eor`eme 1.5 Les facteurs irr´eductibles de Φn,k sont tous de m´eme d´egr´e, de plus ce degr´e en
commun est l’ordre multiplicatif de qdans le groupe (Z/nZ)?.
D´emonstration Soit ζ∈Fq, une racine de Φn. Alors par d´efinition ζest d’ordre ndans le groupe
multiplicatif F?
q.
min {r, ζ ∈Fqr}= min nr, ζqr−1−1=0o= min {r, n |qr−1}= min {r, qr= 1 (mod n)}
Ainsi,
Deg(ζ, Fq) = O(q, n)
1.3.3 Un exemple
Nous allons appliquer cette proposition dans le cas o`u kest le corps F`et n:= 15. On consid`ere
le groupe cyclique (Z/15Z)∗. Le tableau suivant donne l’ordre multiplicatif d’un ´el´ement `de
(Z/15Z)∗.
`1 2 4 7 8 11 13 14
O(`, 15) 1 4 2 4 4 2 4 2
Nous allons examiner le cas `:= 7, et regarder la d´ecomposition de Φ15 dans F7robtient le tableau
suivant : rO(7r,15)
r= 1 (mod 4) 4
r= 2 (mod 4) 2
r= 3 (mod 4) 4
r= 3 (mod 4) 1
Ainsi Φ15 se d´ecompose en un produit de deux facteurs irr´eductibles de degr´e 4 dans F7; et il est
compl´etement d´ecompos´e sur le corps F74. Nous reviendrons plus en d´etails sur cette question de
la d´ecomposition du polynˆome cyclotomique. Et nous introduirons une donn´ee combinatoire qui
prend en charge le nombre de racine dans de Φndans les diff´erents corps finis : le p-facteur de la
fonction Z´eta cyclotomique.
Remarquons en particulier, que Φ15 n’est jamais irr´eductible dans un corps de caract´eristique
non nulle. Ce qui montre que le crit`ere de r´eduction modulo pne peut pas fonctionner pour
d´emontrer l’irr´eductibilit´e des polynˆomes cyclotomiques sur Z[X].
1.4 Irr´eductibilit´e de Φnsur Z[X]
1.4.1 Id´ee de d´emonstration
Nous proposons le plan 2de d´emonstration suivant :
(1) Pour tout `premier impair et pour tout αentier, le polynˆome cyclotomique est Irr´eductible
dans Z[X].
(2) Etendre le r´esultat pour tout entier nen utilisant un peu de th´eorie des corps.
D´emonstration Pour le point (1), nous montrons que le groupe (Z/pαZ)?est cyclique et engendr´e
par la classe d’un nombre premier `. Puis nous utilisons le th´eor`eme 1.5 pour prouver que Φpαest
irr´eductible modulo `et en conclure que Φpαest irr´eductible sur Z.
2Je ne sais pas si je vais m’en sortir, mais dans tout les cas la d´emonstration classique est l`a
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