plus grand commun diviseur (p

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PLUS PETIT COMMUN MULTIPLE (P.P.C.M.)
§ 1 Multiples communs à deux entiers relatifs
Soit a et b deux nombres entiers relatifs non nuls. L’ensemble des multiples strictement
positifs communs à a et b n’est pas vide puisqu’il contient
a
b
.
Parmi ces multiples, il en est donc un plus petit que les autres.
Théorème :
Soit a et b deux nombres entiers relatifs non nuls. L’ensemble des multiples strictement
positifs communs à a et à b admet un plus petit élément.
Définition :
Soit a et b deux nombres entiers relatifs non nuls. Le plus petit élément de l’ensemble des
multiples strictement positifs communs à a et b est appelé plus petit commun multiple de a et
b et se note PPCM (a ; b)
Exemples :
1- Ensemble des multiples de 12 :
Ensemble des multiples de 16 :
Ensemble des multiples communs à 12 et 16 :
PPCM (12 ; 16) =
2- Addition de deux fractions :
12
5
9
11 
Pour obtenir un dénominateur commun, on peut choisir le PPCM des dénominateurs.
Ensemble des multiples de 9 :
Ensemble des multiples de 12 :
Ensemble des multiples communs à 9 et 12 :
PPCM (9 ; 12) =
12
5
9
11 
=

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§ 2 Propriétés du PPCM
Propriété :
Soit a et b deux nombres entiers relatifs non nuls. L’ensemble des multiples communs à a et b
est l’ensemble des multiples de PPCM (a ; b)
dém :
Réciproquement,
Propriété :
Soit a, b et k des nombres entiers relatifs non nuls. PPCM (ka ; kb) =
k
PPCM (a ; b)
dém :

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Remarques :
Soit a et b deux nombres entiers relatifs non nuls.
(1) PPCM (a ; b) = PPCM (b ; a)
(2) PPCM (a ; b) = PPCM (
a
;
b
)
(3) a divise b si et seulement si PPCM (a ; b) =
b
(4) PPCM (a ; a) =
a
(5) PPCM (a ; 1) =
a
Propriété :
Soit a et b deux nombres entiers relatifs non nuls.
PGCD (a ; b) PPCM (a ; b) =
a
b
dém :
Propriété :
Soit a et b deux nombres entiers naturels non nuls.
Si a et b sont premiers entre eux, alors PPCM(a ; b) = a  b

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§ 3 PGCD, PPCM et décomposition en produit de facteurs premiers
Propriété :
Soit deux nombres entiers naturels, non nuls, a et b
Soit {p1 ; p2 ; p3 ; … ; pn} l’ensemble des nombres premiers figurant dans l’une au moins des
décompositions en facteurs premiers de a et de b.
Si a = p1
1
p2
2
… pn
n
et b = p1
1
p2
2
… pn
n
Où, pour tout i appartenant à {1 ; 2 ; … ; n},
i
et
i
sont des entiers naturels éventuellement
nuls, alors :
(1) PGCD (a ; b) = p1
1
d
p2
2
d
… pn
n
d
où, pour tout i appartenant à {1 ; 2 ; … ; n},
di = min (
i
;
i
)
(2) PPCM (a ; b) = p1
1
m
p2
2
m
… pn
n
m
où, pour tout i appartenant à {1 ; 2 ; … ; n},
mi = max (
i
;
i
)
dém :
Soit a et b deux entiers naturels non nuls, et {p1 ; p2 ; p3 ; … ; pn} l’ensemble des nombres
premiers figurant dans l’une au moins des décompositions en facteurs premiers de a et de b.
(1) Soit d un diviseur positif commun à a et b.
D’après le théorème 2 du chapitre sur la décomposition en produit de facteurs
premiers, d =     …  où, pour tout i appartenant à {1 ; 2 ; … ; n},
γi est un entier naturel tel que 0 ≤ γi ≤ αi et 0 ≤ γi ≤ βi, c'est-à-dire tel que
0 ≤ γi ≤ min(αi ; βi).
PGCD(a ; b) est le plus grand de tous les diviseurs strictement positifs communs à a et
b, donc c’est le diviseur strictement positif commun à a et b pour lequel les exposants
des facteurs premiers pi sont les plus grands possibles.
Donc : PGCD(a ; b) = p1
1
d
p2
2
d
… pn
n
d
où, pour tout i appartenant à
{1 ; 2 ; … ; n}, di = min (
i
;
i
)
(2) D’après la relation PGCD-PPCM : PGCD (a ; b) PPCM (a ; b) = a b
p1
1
d
p2
2
d
… pn
n
d
 PPCM (a ; b) = (p1
1
p2
2
… pn
n
)  (p1
1
p2
2
… pn
n
) = p1
11 βα 
p2
22 βα 
… pn
nn βα 
Donc : PPCM(a ; b) = p1
111 dβα 
p2
222 dβα 
… pn
nnn dβα 
Or, pour tout i appartenant à {1 ; 2 ; … ; n}, di = min (
i
;
i
)
donc αi + βi = di + mi où mi = max (αi ; βi).
On en déduit que : PPCM (a ; b) = p1
1
m
p2
2
m
… pn
n
m
où, pour tout i
appartenant à {1 ; 2 ; … ; n}, mi = max (
i
;
i
).
Exemple :
Déterminer PGCD (168 ; 540) et PPCM (168 ; 540)