plus grand commun diviseur (p

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PLUS PETIT COMMUN MULTIPLE (P.P.C.M.)
§ 1 Multiples communs à deux entiers relatifs
Soit a et b deux nombres entiers relatifs non nuls. L’ensemble des multiples strictement
positifs communs à a et b n’est pas vide puisqu’il contient a  b .
Parmi ces multiples, il en est donc un plus petit que les autres.
Théorème :
Soit a et b deux nombres entiers relatifs non nuls. L’ensemble des multiples strictement
positifs communs à a et à b admet un plus petit élément.
Définition :
Soit a et b deux nombres entiers relatifs non nuls. Le plus petit élément de l’ensemble des
multiples strictement positifs communs à a et b est appelé plus petit commun multiple de a et
b et se note PPCM (a ; b)
Exemples :
1- Ensemble des multiples de 12 :
Ensemble des multiples de 16 :
Ensemble des multiples communs à 12 et 16 :
PPCM (12 ; 16) =
2- Addition de deux fractions :
11 5

9 12
Pour obtenir un dénominateur commun, on peut choisir le PPCM des dénominateurs.
Ensemble des multiples de 9 :
Ensemble des multiples de 12 :
Ensemble des multiples communs à 9 et 12 :
PPCM (9 ; 12) =
11 5

=
9 12
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§ 2 Propriétés du PPCM
Propriété :
Soit a et b deux nombres entiers relatifs non nuls. L’ensemble des multiples communs à a et b
est l’ensemble des multiples de PPCM (a ; b)
dém :
Réciproquement,
Propriété :
Soit a, b et k des nombres entiers relatifs non nuls. PPCM (ka ; kb) = k  PPCM (a ; b)
dém :
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Remarques :
Soit a et b deux nombres entiers relatifs non nuls.
(1) PPCM (a ; b) = PPCM (b ; a)
(2) PPCM (a ; b) = PPCM ( a ; b )
(3) a divise b si et seulement si PPCM (a ; b) = b
(4) PPCM (a ; a) = a
(5) PPCM (a ; 1) = a
Propriété :
Soit a et b deux nombres entiers relatifs non nuls.
PGCD (a ; b)  PPCM (a ; b) = a  b
dém :
Propriété :
Soit a et b deux nombres entiers naturels non nuls.
Si a et b sont premiers entre eux, alors PPCM(a ; b) = a × b
3/4
§ 3 PGCD, PPCM et décomposition en produit de facteurs premiers
Propriété :
Soit deux nombres entiers naturels, non nuls, a et b
Soit {p1 ; p2 ; p3 ; … ; pn} l’ensemble des nombres premiers figurant dans l’une au moins des
décompositions en facteurs premiers de a et de b.
Si a = p1 1  p2  2  …  pn  n et b = p1 1  p2  2  …  pn  n
Où, pour tout i appartenant à {1 ; 2 ; … ; n},  i et  i sont des entiers naturels éventuellement
nuls, alors :
(1) PGCD (a ; b) = p1 d1  p2 d 2  …  pn d n où, pour tout i appartenant à {1 ; 2 ; … ; n},
di = min (  i ;  i )
(2) PPCM (a ; b) = p1 m1  p2 m2  …  pn mn où, pour tout i appartenant à {1 ; 2 ; … ; n},
mi = max (  i ;  i )
dém :
Soit a et b deux entiers naturels non nuls, et {p1 ; p2 ; p3 ; … ; pn} l’ensemble des nombres
premiers figurant dans l’une au moins des décompositions en facteurs premiers de a et de b.
(1) Soit d un diviseur positif commun à a et b.
D’après le théorème 2 du chapitre sur la décomposition en produit de facteurs
premiers, d = p1 γ1 × p2 γ2 × … × pn γn où, pour tout i appartenant à {1 ; 2 ; … ; n},
γi est un entier naturel tel que 0 ≤ γi ≤ αi et 0 ≤ γi ≤ βi, c'est-à-dire tel que
0 ≤ γi ≤ min(αi ; βi).
PGCD(a ; b) est le plus grand de tous les diviseurs strictement positifs communs à a et
b, donc c’est le diviseur strictement positif commun à a et b pour lequel les exposants
des facteurs premiers pi sont les plus grands possibles.
Donc : PGCD(a ; b) = p1 d1  p2 d 2  …  pn d n où, pour tout i appartenant à
{1 ; 2 ; … ; n}, di = min (  i ;  i )
(2) D’après la relation PGCD-PPCM : PGCD (a ; b)  PPCM (a ; b) = a  b
p1 d1  p2 d 2  …  pn d n × PPCM (a ; b) = (p1 1  p2  2  …  pn  n ) × (p1 1  p2  2 
…  pn  n ) = p1 α1  β1  p2 α 2  β 2  …  pn αn  βn
Donc : PPCM(a ; b) = p1 α1  β1  d1  p2 α2  β2  d2  …  pn αn  βn  d n
Or, pour tout i appartenant à {1 ; 2 ; … ; n}, di = min (  i ;  i )
donc αi + βi = di + mi où mi = max (αi ; βi).
On en déduit que : PPCM (a ; b) = p1 m1  p2 m2  …  pn mn où, pour tout i
appartenant à {1 ; 2 ; … ; n}, mi = max (  i ;  i ).
Exemple :
Déterminer PGCD (168 ; 540) et PPCM (168 ; 540)
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