Ensemble des multiples d`un nombre Public : classe de 2ième

Ensemble des multiples d’un nombre
Public : classe de 2ième année de l’enseignement secondaire général
Discipline : algèbre
Sujet : Ensemble des multiples d’un nombre
Compétence :
« Déterminer le PGCD et le PPCM de deux nombres »
« Créer des familles de nombres à partir d’une propriété donnée (pair, impair,
multiple de, diviseur de…). »
Objectifs : à la fin de la séquence, l’élève sera capable de :
 Calculer le PPCM de deux nombres ou plus.
 Réduire des fractions au même dénominateur grâce au calcul du PPCM.
 Résoudre des problèmes faisant appel au calcul du PPCM.
Pré requis :
 Décomposition en facteurs premiers
Matériel : /
Ouvrages consultés :
 DANEL Jean-Marc, HUGO Claire-Agnès, DEMUYNCK Marie. Astro-Math
2. Plantyn, 2008. pp 15-22, 31-36 ISBN 978-2-8010-5514-4.
 CASTIAUX Martine, CLOSE Philippe, JANSSENS René. Maths 1/2. De
Boeck, 2008. pp 111, 112, 115, 116. Collection Adam. ISBN 978-2-8041-
5852-1.

Ensemble des multiples d’un nombre
 Exemple : 10 est multiple de 5 car il existe 2 ∈ ℕ tel que 10 = 2∙5
9 n’est pas multiple de 2 car il existe 4,5 ∉ ℕ tel que 9 = 4,5 ∙2
Remarque : 36 = 4∙9 ⇒ 36 est un multiple de 4 et de 9.
 Notation :
L’ensemble des multiples d’un nombre a est noté a N.
Exemples :
0 N = {0}
1 N = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, …}
2 N = {0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, …}
3 N = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, …}
5 N = {0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, …}
7 N = {0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, …}
 Ensemble des multiples communs à plusieurs nombres :
Rechercher l’ensemble des multiples communs à 12 et à 30 :
12 N = {0, 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96, 108, 120, …}
30 N = {0, 30, 60, 90, 120, 150, 180, …}
L’ensemble des multiples communs à 12 et à 30 est noté 12 N ∩ 30 N
12 N ∩ 30 N = {0, 60, 120, 180, …}
= 60 N
Le plus petit commun multiple non nul de 12 et 30 = 60.
PPCM (12, 30) = 60
Recherchons une autre méthode pour calculer le PPCM

On décompose chaque nombre en un produit de facteurs premiers.
Exemple : 12 2 30 2
6 2 15 3
3 3 5 5
1 1
12 = 22 . 31
30 = 21 . 31 . 51
60 = 22 . 31 . 51
PPCM (12, 30) = 22 . 31 . 51 = 60
Le PPCM de plusieurs nombres est donc égal au produit des facteurs
premiers communs ou non pris avec leur plus grand exposant.

Exercices
Remarque : Pour tous les exercices, indique tous tes calculs.
Calcule le PPCM des nombres suivants :
 32 et 36
 210 et 120
 12, 18 et 30
 12, 48 et 108
 25 et 33
 11 et 19
Propriétés :

a. Si deux nombres sont premiers entre eux, leur PPCM est égal au produit
de ces 2 nombres.
Exemple : 5 5 7 7
1 1
5 = 51
7 = 71
PPCM (5, 7, 35) = 51 . 71 = 35
b. Le produit de deux nombres naturels non nuls est égal au produit de leur
PGCD par leur PPCM.
𝑎, 𝑏𝜖 ℕ0
a . b = PGCD (a, b) . PPCM (a, b)
Exemple:
a = 36 et b = 54
36 2 54 2
18 2 27 3
9 3 9 3
3 3 3 3
1 1
36 = 22 . 32 54 = 21 . 33
PGCD (36, 54) = 21 . 32 = 18
PPCM (36, 54) = 22 . 33 = 108
36 ∙ 54 = 22 . 32 . 22 . 33
Par commutativité de la multiplication
= 2 . 32 . 22 . 33