Etude de quelques propriétés topologiques des espaces de

R´epublique Alg´erienne D´emocratique et Populaire
Minist`ere de l’Enseignement Sup´erieur
et de la Recherche Scientifique
Universit´e Mentouri de Constantine
Facult´e des Sciences Exactes
D´epartement de Math´ematiques
N◦d’ordre :
N◦de s´erie :
Th`ese de Doctorat en Sciences pr´epar´ee en cotutelle
avec l’Universit´e de Bretagne Sud (France)
Sp´ecialit´e : Math´ematiques
pr´esent´ee par
Abderrahmane BOUCHAIR
Etude de quelques propri´et´es topologiques
des espaces de fonctions continues C(X)
Soutenue publiquement
le 14 /02/2009 `a l’Universit´e de Constantune
Jury : Prof. M.N. Benkafadar , Pr´esident (Universit´e de Constantine)
Dr. S. Kelaiaia, Rapporteur, (Universit´e de Annaba)
Prof. C. Blanchet , Rapporteur, (Universit´e de Paris 7)
Prof. A. Djoudi , Examinateur, (Universit´e de Annaba)
Prof. G. Meiginez , Examinateur, (UBS Vannes)
Dr. S. Boughaba, Examinateur, (Universit´e de Constantine)

Remerciements
Ce travail a ´et´e r´ealis´e, d’une part `a l’Universit´e Mentouri de Constantine,
et d’autre part au LMAM de l’Universit´e de Bretagne Sud (France).
Je tiens tout d’abord `a remercier mon directeur de th`ese, Sma¨ıl Kelaiaia,
pour son soutien et ses conseils tout au long de cette th`ese.
Ensuite, je tiens `a remercier christian Blanchet mon co-encadreur de th`ese
qui, un jour de printemps 2004 `a Marrakech (Maroc) lors de l’ecole CIMPA,
m’a propos´e un sujet de recherche aussi passionnant. J’ai pu profiter de son
savoir, son s´erieux et son gentillesse lors de mon s´ejour `a Vannes, parfois
mˆeme chez lui `a Nantes. Je le remercie, aussi, pour ses encouragements qu’il
r´ep`ete sans cesse.
Ce travail pr´esent´e dans cette th`ese ne pourrait avoir lieu sans l’aide de Chris-
tian Blanchet et Sma¨ıl Kelaiaia, qu’ils trouvent ici toute ma reconnaissance.
Je tiens `a remercier M.N. Benkafadar qui m’a fait l’honneur de pr´esider ce
jury.
J’adresse mes vifs remerciements `a Ga¨el Meigniez qui m’a fait l’honneur
d’avoir, sans h´esitation, accept´e d’ˆetre membre de mon jury et de faire le
d´eplacement pour assister `a ma soutenance.
Mes remerciements s’adressent ´egalement `a, Ahcen Djoudi, qui m’a fait
l’honneur de participer au jury. Je tiens `a remercier vivement, Soraya Boughaba,
d’avoir accept´e de faire partie de mon jury.
Je voudrais aussi remercier et exprimer ma reconnaissance `a tous les mem-
bres du LMAM de l’Universit´e de Bretagne Sud, secr´etaires et math´ematiciens,
qui savent cr´eer une atmosph`ere tr`es agr´eable et amicale. Je tiens `a remercier
tout particuli`erement, Bertrand Patureau, avec qui j’ai longuement discut´e.
Enfin, je remercie ma femme ,Farida, pour m’avoir support´e pendant la
pr´eparation de cette th`ese.

Table des mati`eres
Iα-favorabilit´e Faible de C(X)muni d’une topologie
set open 10
1 Topologies sur C(X)11
1.1 D´efinitions, notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.2 Comparaison entre C1
γ(X), C2 γ(X) et Cγ,µ(X).......... 15
1.3 Comparaison de C2
γ(X) et C2
ζ(X) ................ 17
1.4 Fonctions induites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2 Jeux topologiques 23
2.1 Jeu de Banach-Mazur ΓBM .................... 23
2.2 Jeu de Gruenhage ΓGr(X) .................... 29
2.3 Jeux pour les espaces de fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3α-favorabilit´e faible de C(X)muni d’une topologie set-open 39
3.1 Jeu Γ1
γ(X)............................. 39
3.2 Jeu Γ2
γ(X)............................. 41
3.3 α-favorabilit´e faible de Cγ(X) et sous-familles d´enombrables
de γ................................ 45
II Sur la cat´egorification des coefficients de la ma-
trice de la repr´esentation de Burau r´eduite 48
4 Groupes de tresses, et rappels d’alg`ebre 49
4.1 Tresses g´eom´etriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
4.2 Diagrammes de tresse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.3 Groupe de diff´eotopies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
4.4 G´en´erateurs et relations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.5 Rappels et pr´eliminaires d’alg`ebre . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.5.1 Cat´egories et foncteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.5.2 Modules gradu´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3

4.5.3 Complexes......................... 54
5 Repr´esentations homologiques, et intersection g´eom´etrique 56
5.1 Repr´esentations des groupes de tresses . . . . . . . . . . . . . 56
5.2 G´en´eralit´es sur les courbes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.3 D´efinition homologique de la repr´esentation de Burau . . . . . 59
5.4 Intersection g´eom´etrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6 Cat´egorification 66
6.1 Complexe de chaˆınes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
6.2 Invariance ............................. 76
6.3 Fid`elit´e .............................. 83
4

Introduction
Cette th`ese se compose de deux parties ind´ependantes. La premi`ere a
´et´e pr´epar´ee au sein de l’Universit´e Mentouri de Constantine. La deuxi`eme
partie quant `a elle, a ´et´e pr´epar´ee au sein du Laboratoire de Math´ematiques
et Applications des Math´ematiques (LMAM) de l’Universit´e de Bretagne
Sud.
La premi`ere partie est consacr´ee `a l’´etude de C(X) (l’ensemble des fonc-
tions r´eelles continues sur un espace topologique X) muni d’une topologie
set open. On s’int´eresse `a certaines propri´et´es topologiques telles que les
propri´et´es de compl´etude (espace de Baire, Pseudo-compl´etude,...) ou les
propri´et´es de d´enombrabilit´e (espace de Fr´echet, s´equentialit´e,...), plusieurs
techniques peuvent ˆetre mises `a contribution pour l’´etude de ce genre de
questions. Parmi ces techniques celle des jeux topologiques qui sont devenus
un outil de valeur et beaucoup de jeux sont maintenant bien ´etudi´es.
En 1935,le math´ematicien polonais S. Mazur propose l’un des premiers
exemples des jeux topologiques li´e au th´eor`eme de Baire. Originalement ce
jeu est d´efini sur un intervalle ferm´e de la droite r´eelle R.La mˆeme ann´ee,
S. Banach donne une r´eponse affirmative `a une question pos´ee par Mazur.
Depuis, le jeu est connu comme le jeu de Banach-Mazur qu’on note ΓBM . En
1969,G. Choquet [Ch69]1pr´esente une modification du jeu de Banach-Mazur
d´efini sur un espace topologique arbitraire o`u il a introduit en terme de ce
jeu la notion d’espace α-favorable qui est une notion de compl´etude. Plus
tard, H.E. White [Wh75], introduit une classe plus large que celle des es-
paces α-favorable qui est la classe des espaces faiblement-α-favorable. White
montre que tout espace pseudo-complet [Oxt61] ou α-favorable est un espace
faiblement-α-favorable, et tout espace faiblement-α-favorable est un espace
de Baire. Ainsi la notion d’espace faiblement-α-favorable s’int`egre comme
une propri´et´e de compl´etude interm´ediaire entre la pseudo-compl´etude et
la propri´et´e de Baire. Les notions de l’ α-favorabilit´e faible, α-favorabilit´e
1Dans [Ch69] Choquet ne cite aucune r´ef´erence sur les jeux topologiques d´eja exist´es
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