Le sujet du DR5 (fonction exponentielle)

TS - Maths - Devoir de recherche n°5
A rendre pour le 14 décembre 2015
L’approximation affine d’une fonction repose sur la constatation suivante :
Localement, la courbe d’une fonction se confond avec sa tangente
Le principe :
Soit fune fonction dérivable sur un intervalle Iet x0un réel tel que x0∈I.
•Soit h6= 0 proche de 0 tel que x0+h∈I.
•On pose x1=x0+h(le réel x1est donc «proche »de x0).
Nous ne savons pas calculer la valeur exacte de f(x1)=f(x0+h) mais il est possible d’en obtenir une
approximation.
En effet, la courbe représentative Cde la
fonction fse confond localement au voisi-
nage de A0avec sa tangente Tx0, alors le point
A1(x1;f(x1)) est «assez proche »du point
A′
1(x1;y1) de la tangente Tx0.
Et par conséquent, f(x1)≃y1
A0
x0
y0=f(x0)
A1
x1
f(x1)
A′
1
y1
C
Tx0
h
Mais, comment calculer y1?
Facile ! Les points A0(x0;f(x0)) et A′
1(x1;y1) appartiennent tous deux à la tangente Tx0dont le
coefficient directeur est f′(x0). Par conséquent, nous avons l’égalité :
f′(x0)=y1−f(x0)
x1−x0
⇔f′(x0)=y1−f(x0)
h⇔y1=h f ′(x0)+f(x0)
Conclusion : f(x0+h)≃h f ′(x0)+f(x0)
Une fonction égale à sa dérivée
Nous connaissons déjà au moins une fonction égale à sa dérivée : la fonction nulle. En effet, la dérivée
de la fonction nulle f(x)=0 est f′(x)=0. Mais cette fonction est sans intérêt et notre objectif est d’en
rechercher d’autres.
Notre problème : trouver une fonction qui serait égale à sa propre dérivée et telle que f(0) =1
Existe-t-il une (voire plusieurs) fonction fdéfinie et dérivable sur Rtelle que :
½Pour tout réel x, on a : f′(x)=f(x)
f(0) =1
Dans l’état actuel de nos connaissances, nous sommes incapables de définir précisément une telle fonc-
tion. D’ailleurs, rien ne nous permet de dire qu’il en existe une !
A défaut de prouver qu’il en existe une, nous allons nous contenter de construire une approximation de
la courbe d’une telle fonction en utilisant la méthode d’Euler.
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La méthode d’Euler ... permet de construire la courbe représentative approchée d’une fonction f dont
on ne connaît pas l’expression mais dont on connaît la dérivée f ′et un point de la courbe de f .
Soit fune fonction dérivable, telle que :
•on ne connait pas son expression f(x) ;
•on connait sa dérivée f′;
•x0est un réel tel que f(x0) est connu.
•Cest sa courbe représentative dans un repère.
Le principe :
•On pose y0=f(x0). On place le point A0(x0;y0).
•On pose x1=x0+h(le réel x1est donc «proche »de x0). Par approximation affine, on sait que :
f(x1)≃y1avec y1=h f ′(x0)+y0
On place alors le point A′
1(x1;y1).
•On pose x2=x1+h, par le même raisonnement, on a :
f(x2)≃y2avec y2=h f ′(x1)+y1
On place alors le point A′
2(x2;y2) .
•Plus généralement, on a pour tout n∈N,f(xn+1)≃yn+1avec yn+1=h f ′(xn)+yn.
On peut donc placer les points A′
3;A′ 4; ...
•On trace les segments [A0;A′
1], [A′
1;A′
2], [A′
2;A′
3], ... Cette ligne polygonale représente approximati-
vement la courbe représentative de la fonction f.
Retour au problème :fest une fonction définie et dérivable sur Rtelle que :
½Pour tout réel x, on a : f′(x)=f(x)
f(0) =1
1. Une première représentation graphique approchée
(a) On choisit comme pas h=0,5 et on découpe l’intervalle [0 ; 2] à l’aide des nombres x0=0,
x1=0,5, x2=1 ; ...
En utilisant la méthode d’Euler, compléter le tableau 1 en annexe (arrondir les valeurs appro-
chées à 10−1près). Vous détaillerez vos calculs sur votre copie.
(b) On choisit comme pas h= −0,5 et on découpe l’intervalle [−2 ; 0] à l’aide des nombres x0=0,
x1= −0,5 ; x2= −1, ...
En utilisant la méthode d’Euler, compléter le tableau 2 en annexe(arrondir les valeurs appro-
chées à 10−1près). Vous détaillerez vos calculs sur votre copie.
(c) A l’aide des deux tableaux précédents, tracer la représentation graphique approchée de fsur
[−2 ; 2] sur le graphique 1 de l’annexe.
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Une seconde représentation graphique approchée
La méthode d’Euler est un algorithme itératif. A partir d’un intervalle [0 ; b] ou [b; 0], et d’un pas h,
l’algorithme suivant construit une suite de couples (xi;yi) qui contient les approximations obtenues
par la méthode d’Euler.
Variables :h,b,x,ynombres réels
Entrée : Saisir b
Saisir h
Traitement :xprend la valeur 0
yprend la valeur 1
Tant que |x| < |b|
xprend la valeur x+h
yprend la valeur (1 +h)y
Afficher (x;y)
Fin Tant que
Fin Algorithme
A l’aide d’une calculatrice, mettre en oeuvre l’algorithme précédent et compléter les tableaux 3 et 4 de
l’annexe. (Recopier votre programme sur votre copie).
A l’aide des deux tableaux précédents, tracer la représentation graphique approchée de fsur [−2 ; 2] sur
le graphique 2 de l’annexe.
On a construit "pas à pas" une représentation graphique approchée de la fonction exponentielle sur [−2 ; 2].
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Annexe à rendre avec votre copie
Tableau 1
Valeur de i01234
Valeur de xi0
Valeur approchée yide f(xi) 1
Tableau 2
Valeur de i01234
Valeur de xi0
Valeur approchée yide f(xi) 1
Graphique 1
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1. Tracé sur [0 ; 2] : le pas hest fixé à 0,2.
Tableau 3
Valeur de i0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Valeur de xi
Valeur approchée yide f(xi)
2. Tracé sur [−2 ; 0] : le pas hest fixé à −0,2.
Tableau 4
Valeur de i0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Valeur de xi
Valeur approchée yide f(xi)
Graphique 2
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