Le sujet du DR5 (fonction exponentielle)

TS - Maths - Devoir de recherche n°5
A rendre pour le 14 décembre 2015
L’approximation affine d’une fonction repose sur la constatation suivante :
Localement, la courbe d’une fonction se confond avec sa tangente
Le principe :
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et x 0 un réel tel que x 0 ∈ I .
• Soit h 6= 0 proche de 0 tel que x 0 + h ∈ I .
• On pose x 1 = x 0 + h (le réel x 1 est donc « proche » de x 0 ).
Nous ne savons pas calculer la valeur exacte de f (x 1 ) = f (x 0 + h) mais il est possible d’en obtenir une
approximation.
A1
En effet, la courbe représentative C de la
fonction f se confond localement au voisinage de A 0 avec sa tangente T x0 , alors le point
A 1 (x 1 ; f (x 1 )) est « assez proche » du point
A ′1 (x 1 ; y 1 ) de la tangente T x0 .
f (x 1 )
y1
y 0 = f (x 0 )
Et par conséquent, f (x 1 ) ≃ y 1
C
b
b
A0
A ′1
T x0
b
x0
x1
h
Mais, comment calculer y 1 ?
Facile ! Les points A 0 (x 0 ; f (x 0 )) et A ′1 (x 1 ; y 1 ) appartiennent tous deux à la tangente T x0 dont le
coefficient directeur est f ′ (x 0 ). Par conséquent, nous avons l’égalité :
f ′ (x 0 ) =
y 1 − f (x 0 )
y 1 − f (x 0 )
⇔ y 1 = h f ′ (x 0 ) + f (x 0 )
⇔ f ′ (x 0 ) =
x1 − x0
h
Conclusion : f (x 0 + h) ≃ h f ′ (x 0 ) + f (x 0 )
Une fonction égale à sa dérivée
Nous connaissons déjà au moins une fonction égale à sa dérivée : la fonction nulle. En effet, la dérivée
de la fonction nulle f (x) = 0 est f ′ (x) = 0. Mais cette fonction est sans intérêt et notre objectif est d’en
rechercher d’autres.
Notre problème : trouver une fonction qui serait égale à sa propre dérivée et telle que f (0) = 1
Existe-t-il une (voire plusieurs) fonction f définie et dérivable sur R telle que :
½
Pour tout réel x, on a : f ′ (x) = f (x)
f (0) = 1
Dans l’état actuel de nos connaissances, nous sommes incapables de définir précisément une telle fonction. D’ailleurs, rien ne nous permet de dire qu’il en existe une !
A défaut de prouver qu’il en existe une, nous allons nous contenter de construire une approximation de
la courbe d’une telle fonction en utilisant la méthode d’Euler.
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La méthode d’Euler ... permet de construire la courbe représentative approchée d’une fonction f dont
on ne connaît pas l’expression mais dont on connaît la dérivée f ′ et un point de la courbe de f .
Soit f une fonction dérivable, telle que :
• on ne connait pas son expression f (x) ;
• on connait sa dérivée f ′ ;
• x 0 est un réel tel que f (x 0 ) est connu.
• C est sa courbe représentative dans un repère.
Le principe :
• On pose y 0 = f (x 0 ). On place le point A 0 (x 0 ; y 0 ).
• On pose x 1 = x 0 + h (le réel x 1 est donc « proche » de x 0 ). Par approximation affine, on sait que :
f (x 1 ) ≃ y 1 avec y 1 = h f ′ (x 0 ) + y 0
On place alors le point A ′1 (x 1 ; y 1 ).
• On pose x 2 = x 1 + h, par le même raisonnement, on a :
f (x 2 ) ≃ y 2 avec y 2 = h f ′ (x 1 ) + y 1
On place alors le point A ′2 (x 2 ; y 2 ) .
• Plus généralement, on a pour tout n ∈ N, f (x n+1 ) ≃ y n+1 avec y n+1 = h f ′ (x n ) + y n .
On peut donc placer les points A ′3 ; A ′4 ; . . .
• On trace les segments [A 0 ; A ′1 ], [A ′1 ; A ′2 ], [A ′2 ; A ′3 ], ... Cette ligne polygonale représente approximativement la courbe représentative de la fonction f .
Retour au problème : f est une fonction définie et dérivable sur R telle que :
½
Pour tout réel x, on a : f ′ (x) = f (x)
f (0) = 1
1. Une première représentation graphique approchée
(a) On choisit comme pas h = 0, 5 et on découpe l’intervalle [0 ; 2] à l’aide des nombres x 0 = 0,
x 1 = 0, 5, x 2 = 1 ; . . .
En utilisant la méthode d’Euler, compléter le tableau 1 en annexe (arrondir les valeurs approchées à 10−1 près). Vous détaillerez vos calculs sur votre copie.
(b) On choisit comme pas h = −0, 5 et on découpe l’intervalle [−2 ; 0] à l’aide des nombres x 0 = 0,
x 1 = −0, 5 ; x 2 = −1, . . .
En utilisant la méthode d’Euler, compléter le tableau 2 en annexe(arrondir les valeurs approchées à 10−1 près). Vous détaillerez vos calculs sur votre copie.
(c) A l’aide des deux tableaux précédents, tracer la représentation graphique approchée de f sur
[−2 ; 2] sur le graphique 1 de l’annexe.
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Une seconde représentation graphique approchée
La méthode d’Euler est un algorithme itératif. A partir d’un intervalle [0 ; b] ou [b ; 0], et d’un pas h,
l’algorithme suivant construit une suite de couples (x i ; y i ) qui contient les approximations obtenues
par la méthode d’Euler.
Variables
Entrée
:
:
Traitement
:
h, b, x, y nombres réels
Saisir b
Saisir h
x prend la valeur 0
y prend la valeur 1
Tant que |x| < |b|
x prend la valeur x + h
y prend la valeur (1 + h)y
Afficher (x ; y)
Fin Tant que
Fin Algorithme
A l’aide d’une calculatrice, mettre en oeuvre l’algorithme précédent et compléter les tableaux 3 et 4 de
l’annexe. (Recopier votre programme sur votre copie).
A l’aide des deux tableaux précédents, tracer la représentation graphique approchée de f sur [−2 ; 2] sur
le graphique 2 de l’annexe.
On a construit "pas à pas" une représentation graphique approchée de la fonction exponentielle sur [−2 ; 2].
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Annexe à rendre avec votre copie
Tableau 1
Valeur de i
0
Valeur de x i
0
Valeur approchée y i de f (x i )
1
1
2
3
4
1
2
3
4
Tableau 2
Valeur de i
0
Valeur de x i
0
Valeur approchée y i de f (x i )
1
Graphique 1
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1. Tracé sur [0 ; 2] : le pas h est fixé à 0, 2.
Tableau 3
Valeur de i
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Valeur de x i
Valeur approchée y i de f (x i )
2. Tracé sur [−2 ; 0] : le pas h est fixé à −0, 2.
Tableau 4
Valeur de i
Valeur de x i
Valeur approchée y i de f (x i )
Graphique 2
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