La méthode d`Euler - Lycée Pierre Gilles de Gennes

Première S1 à rendre le lundi 27 janvier 2013 - 2014
Devoir à la maison n°6
La méthode d’Euler
fétant une fonction dérivable sur un intervalle Idont la fonction dérivée f′est connue. Dans un repère, Cest la courbe
représentative de f. À partir d’un point M0(x0;y0)connu de C, la méthode d’Euler permet de tracer une ligne polygonale
qui représente «approximativement» la courbe C. Voici son algorithme 1de mise en œuvre.
Variables :f′: fonction ; x0,y0,x1,y1,h: nombres réels ; n,k: nombres entiers
Entrées :f′, x0, y0, h, n
Début1
Pour kde 1jusqu’à nfaire2
x1←x0+h3
y1←y0+h×f′(x0)4
Placer le point M0(x0;y0)5
Placer le point M1(x1;y1)6
Tracer le segment [M0M1]7
x0←x1 8
y0←y1 9
FinPour10
Fin
11
1. Montrer que le point M1appartient à la tangente à Cau point M0.
On admet qu’il existe une fonction fdérivable sur ]0; +∞[telle que :
f(1) = 0 et pour tout réel x∈]0; +∞[, f ′(x) = 1
x.
2. Quel est le point M0dans ce cas ?
3. On désire appliquer l’algorithme d’Euler à cette fonction en ce point M0.
a) Reproduire et compléter le tableau ci-dessous en indiquant à 10−3près les valeurs x0,y0,x1et y1obtenues aux lignes
3et 4lorsque l’on applique l’algorithme pour h= 0,1et n= 10.
k1 2 ...
x0...
y0...
x1...
y1...
b) Reproduire et compléter le tableau ci-dessous en indiquant à 10−3près les valeurs x0,y0,x1et y1obtenues aux lignes
3et 4lorsque l’on applique l’algorithme pour h=−0,1et n= 10.
k1 2 ...
x0...
y0...
x1...
y1...
c) Sur une feuille de papier millimétré :
•tracer un repère orthonormé (unité 5 cm) ;
•tracer la ligne polygonale obtenue lorsque l’on applique l’algorithme dans les deux cas vu précédemment (on
attend une précision au millimètre).
4. Pour information : La fonction étudiée ci-dessus n’est autre que la fonction logarithme népérien notée ln sur la calcula-
trice.
a) Donner l’erreur à 10−3près en ln(0,8) et la valeur approchée que vous avez calculée.
b) Recommencer pour ln(2).
c) Comment procéder si l’on veut réduire l’erreur commise ?
En utilisant l’algorithme d’Euler, écrire un programme dans le langage de votre calculatrice pour obtenir une valeur
approchée à 10−2près de ln(2). Vous donnerez la valeur approchée à 10−4ainsi obtenue, les valeurs de het de n
utilisées.
1. Si vous voulez programmer cet algorithme sur votre calculatrice vous utiliserez les fonctions Ligne(X0,Y0,X1,Y1) sur TI et F-Line
X0,Y0,X1,Y1 sur Casio.
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