Note de cours

CHAPITRE 1
Initiation aux probabilités
Les probabilités se retrouvent un peu partout. On a qu’à penser au jeu
"Pile-Face" avec une pièce de monnaie. Depuis notre enfance, on sait que
"Pile" devrait sortir une fois sur deux. Par contre, ce n’est pas parce qu’on
lance deux fois une pièce que nous obtiendrons nécessairement un "Pile" et
un "Face". C’est un jeu de hasard. L’étude des probabilités veut quantifier
ce hasard. C’est ce que nous verrons.
1. Qu’est-ce qu’une probabilité ?
Il existe plusieurs définitions d’une probabilité et surtout plusieurs façons
de les calculer. C’est ce que nous verrons dans les autres sections. Pour
l’instant, concentrons-nous sur les différentes définitions et propriétés d’une
probabilité. La différence entre les deux définitions se trouve au niveau du
calcul des probabilités.
Définition 1 (Probabilité objective).La probabilité qu’un certain évé-
nement Esurvienne, noté P(E), est donnée par
P(E) = Nombre de cas favorable à E
Nombre de cas possibles .
Exemple 1.1.Quelle est la probabilité d’obtenir "Pile" au lancer d’une
pièce non-biaisée.
SOLUTION
Pour le calcul de probabilité, il faut distinguer deux aspects. Le premier étant
le "Nombre de cas favorable à E". Ici, l’événement Eest d’obtenir un "Pile".
En lançant une pièce, il n’y a qu’une seule façon d’y arriver.
Pour ce qui est du "Nombre de cas possibles", nous pouvons obtenir soit
"Pile", soit "Face". Ainsi,
P(obtenir "Pile") = 1
2.
Il faut cependant faire attention avec cette approche comme le montre
le prochain exemple.
Exemple 1.2.Quelle est la probabilité d’obtenir deux "Face" lorsque l’on
lance deux pièces non-biaisées ?
SOLUTION
1

2 1. Initiation aux probabilités
Il y a deux approches possibles
Première approche: Tout d’abord, regardons tous les cas possibles. On
peut obtenir deux "Pile", un "Pile" et un "Face" ou deux "Face".
Il y a donc trois cas possibles. Pour ce qui est des cas favorables à
notre événement, il y a une possibilité. Ainsi,
P(obtenir deux "Face") = 1
3.
Deuxième approche: Supposons que l’on identifie les pièces de monnaies
par exemple avec une couleur bleu et une rouge. Les cas possibles
sont alors "Pile-Pile", "Pile-Face", "Face-Pile" et "Face-Face", où
le premier résultat est celui de la pièce bleue et le deuxième celui de
la pièce rouge. Ainsi,
P(obtenir deux "Face") = 1
4.
Nous avons donc deux approches différentes qui nous donnent deux réponses
différentes. Laquelle est la bonne ?
Pour pouvoir répondre à la question précédente, il nous faut un prin-
cipe, le principe d’équiprobabilité. Dans la première approche, il y a plus de
chance d’obtenir un "Pile" et un "Face" que d’obtenir deux résultats iden-
tiques. Dans le deuxième cas, on sépare cet événement en donnant un ordre.
Ce principe sera très important.
La question d’équiprobabilité resta longtemps dans la tête des mathéma-
ticiens. C’est pourquoi ils se sont penchés vers une autre approche.
Définition 2 (Probabilité empirique).La probabilité qu’un événement
Ese produise est donnée par
P(E) = lim
n→∞
nombre de fois que Ese produit en nessais
n.
La signification de cette définition est simple malgré l’écriture complexe.
On dit que la probabilité qu’un événement se produise correspond au nombre
de fois que survient l’événement divisé par le nombre total d’expérience ef-
fectuée lorsque ce dernier est très très grand. Par exemple, pour calculer la
probabilité d’obtenir "Pile", on pourrait lancer 100 fois une pièce et noter
le nombre de fois que l’on obtient "Pile". Par contre, il se peut que nous
n’ayons pas 1/2, mais un nombre près. C’est pourquoi, il nous faut un grand
nombre d’essais.

1.2. Vocabulaire de base 3
2. Vocabulaire de base
Pour bien faire le calcul des probabilités, nous aurons besoin de certaines
notions que voici.
Définition 3 (Vocabulaire).allo le monde
Ensemble: Collection d’objets ayant ou non un lien. Ces objets sont ap-
pelés éléments. On note habituellement un ensemble par une lettre
majuscule.
Sous-ensemble: Ensemble dont les éléments sont compris dans un ensemble.
Expérience aléatoire: Action répétable dont les résultats sont connus, mais
non prévisibles.
Espace échantillonnal: Ensemble de tous les résultats possibles d’une ex-
périence aléatoire. On le note Sou Ω.
Événement: Sous-ensemble de S.
Cardinalité d’un ensemble: Nombre d’éléments dans l’ensemble, noté |A|.
Notation
On rencontre parfois car(A)et #Apour la cardinalité d’un ensemble.
Exemple 1.3.Soit l’expérience où l’on s’intéresse à la probabilité d’ob-
tenir au moins un "Face" en lançant une pièce de monnaie non-biaisée deux
fois de suite. Déterminez
a) L’espace échantillonnal S
b) |S|
c) L’événement E
d) |E|
SOLUTION
Afin de simplifier l’écriture, écrivons ppour "Pile" et fpour "Face".
a) S={(p, f),(p, p),(f, p),(f, f )}
b) |S|= 4
c) E={(p, f),(f, p),(f, f )}
d) |E|= 3
Avec ce vocabulaire, on peut réécrire la définition 1 comme suit :
P(E) = |E|
|S|.
Puisque le calcul de probabilités passe par la cardinalité de deux ensembles,
il nous faut étudier la théorie des ensembles.
Un peu comme pour les nombres, il existe des opérations sur les en-
sembles.

4 1. Initiation aux probabilités
Définition 4 (Opérations entre les ensembles).Considérons deux en-
sembles Aet B.
Union: L’union entre les ensembles Aet B, notée A∪B, correspond à
l’ensemble de tous les éléments qui sont soit dans AET/OU B.
(On ne répète pas les éléments dans l’union.)
Intersection: L’intersection entre les ensembles Aet B, noté A∩B, cor-
respond à l’ensemble de tous les éléments qui sont dans AET dans
B.
Différence: La différence entre l’ensemble Aet B, notée A\Bou A−B,
correspond à l’ensemble des éléments qui sont dans Aet qui ne sont
pas dans B.
Ces trois opérations peuvent être représentées à l’aide d’un diagramme
de Venn :
A∪B
A B
A∩B
A B
A\B
A B
Exemple 1.4.On lance deux dés distincts à six faces et on s’intéresse
à la somme des deux. Soit l’événement E: "obtenir une somme paire" et
l’événement F: "obtenir une somme divisible par 3".
a) Écrivez explicitement tous les éléments de S,Eet F.
b) Déterminez E∪Fet traduire en mots ce que signifie cet ensemble.
c) Déterminez E∩Fet traduire en mots ce que signifie cet ensemble.
SOLUTION
a) S={2,3,4,5, ..., 10,11,12},E={2,4,6,8,10,12},F={3,6,9,12}.
b) E∪F={2,3,4,6,8,9,10,12}, "obtenir une somme paire OU divisible
par 3".
c) E∩F={6,12}, "obtenir une somme paire ET divisible par 3".
Nous aurons besoin d’un ensemble important.
Définition 5 (Ensemble vide).Ensemble vide: L’ensemble vide est l’en-
semble ne contenant aucun élément, noté ∅. En terme de probabilités
et d’événement, l’ensemble vide correspond à l’événement où rien ne
se produit.
Définition 6 (Ensemble complémentaire).L’ensemble complément de
A, noté A0, est l’ensemble de tous les éléments de Squi ne sont pas dans A.
Exemple 1.5.On lance un dé à six faces. Soit l’événement A: "obtenir
un nombre pair". Déterminez A0.

1.3. Règles de calcul des probabilités 5
SOLUTION
Ici, S={1,2,3,4,5,6},A={2,4,6}. Alors, A0={1,3,5}.
Théorème 1.1 (Loi de De Morgan).Soit Aet B, deux sous-ensembles
de S. Alors,
(A∪B)0=A0∩B0
(A∩B)0=A0∪B0
Démonstration. La preuve se fait en comparant les diagrammes de
Venn. 
Regardons quelques événements importants.
Définition 7 (Événements importants).Soit deux événements Eet F
dans un espace échantillonnal S.
Événement certain: L’événement certain est un événement qui est cer-
tain de se produire. Cet événement est en réalité S. On aura alors
P(S) = 1.
Événement impossible: L’événement impossible est un événement qui est
impossible. On note cet événement ∅. On aura alors P(∅) = 0.
Événement contraire à E:L’événement contraire à Eest l’événement E0.
On a alors P(E0) = 1 −P(E).
Événements incompatibles: Eet Fsont dits incompatibles s’ils ne peuvent
se produire simultanément, c’est-à-dire E∩F=∅. On a alors
P(E∩F) = 0.
3. Règles de calcul des probabilités
Rappelons que la probabilité d’un événement Eest donnée par
P(E) = |E|
|S|
à la condition que tous les éléments de Ssoient équiprobables. Cette façon
d’écrire P(E), nous montre que
0≤P(E)≤1.
Voici quelques règles régissant le calcul des probabilités.
Proposition 1.2.Soient les événements Eet Fd’un espace échantillon-
nal S. Alors, on a
Règle 1: P(∅) = 0 et P(S) = 1
Règle 2: P(E∪F) = P(E) + P(F)−P(E∩F)
Règle 3: Si Eet Fsont incompatibles alors P(E∪F) = P(E) + P(F)
Règle 4: P(E0) = 1 −P(E)
Intuitivement...
On peut généraliser la
règle 2 pour l’union de
3 événements ou plus.
Dans le cas de 3
événements, nous
avons P(E∪F∪G) =
P(E) + P(F) + P(G)−
P(E∩F)−P(E∩G)−
P(F∩G)+P(E∩F∩G)