Exercice - Alain Camanes

Stanislas
Exercices
Espaces Vectoriels
Chapitre XV
MPSI 1
2015/2016
Sauf mention contraire, E désigne un K-espace vectoriel, où K = R ou C.
I - Espaces vectoriels
Exercice 1. (-)
1. Soit E = R?+ × R. On dénit l'addition sur E par (a, b) ⊕ (a0 , b0 ) = (aa0 , b + b0 ) et la loi externe
sur R × E par λ (a, b) = (aλ , λb). Montrer que (E, ⊕, ) est un R-espace vectoriel.
2. Soit A ⊂ R et E = {f ∈ F (R, R) ; ∀ x ∈ A, f (x) = 0}. Montrer que E est un R-espace
vectoriel.
Exercice 2. (-) Les ensembles suivants sont-ils des espaces vectoriels ?
1. E1 = {(xi )∈J1,nK ∈ Rn ; x1 = 0 et x2 = 0}. 6. E6 = {u ∈ S (R) ; lim (un+1 − un ) = 0}.
n→+∞
2. E2 = {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn ; x1 + x2 = 0}.
7. E7 = {u ∈ S (R) ; lim (un+1 − un ) = 1}.
n→+∞
3. E3 = {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn ; x1 6= 0}.
8. E8 = {f ∈ C (R, R) ; f (0) = 0}.
4. E4 = {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn ; x1 = x2 }.
9. E9 = {f ∈ C (R, R) ; |f (0)| = 2}.
5. E5 = {(x1 , . . . , xn ) ∈ Rn ; x1 x2 = 0}.
Exercice 3. ( !) Soient A, B deux sous-espaces vectoriels de E . Montrer que les propriétés sui-
vantes sont équivalentes
(i). A ∪ B est un sous-espace vectoriel de E .
(ii). A ∪ B = A + B
(iii). A ⊂ B ou B ⊂ A.
Exercice 4. (-) Soient L, M, N trois sous-espaces vectoriels de E .
1. A-t-on L ∩ (M + N ) = (L ∩ M ) + (L ∩ N ) ?
2. A-t-on L ∩ (M + (L ∩ N )) = (L ∩ M ) + (L ∩ N ) ?
Exercice 5. (♥) Soient F, G, H des sous-espaces vectoriels de E .
1. On suppose que F ∩ G = F ∩ H , F + G = F + H et G ⊂ H . Montrer que G = H .
2. En déduire que si G et H sont deux supplémentaires d'un même sous-espace vectoriel F tels
que G ⊂ H , alors G = H .
3. Montrer par des exemples que le résultat peut être faux si on supprime l'une des trois hypo-
thèses.
Exercice 6. (-) Soit u = (0, 1, 2, 3), v = (3, 2, 1, 0) et w = (1, 1, 1, 1) trois vecteurs de R4 . Trouver
une condition nécessaire et susante pour qu'un vecteur (x, y, z, t) soit dans Vect{u, v, w}.
Exercice 7. (-) Dans l'espace vectoriel R3 , on considère les espaces vectoriels E1 =
{(0, y, z), y, z ∈ R} et E2 = Vect{u, v} avec u = (1, 2, 3) et v = (1, 3, 4). Déterminer E1 ∩ E2 et
E1 + E2 .
Exercice 8. Soient n > 2 et E1 , . . . , En des s.e.v. de E . Montrer
! que la somme E1 + · · · + En est
P
directe si et seulement si pour tout i ∈ J1, nK, Ei ∩
Ej = {0E }.
j6=i
Exercice 9. ( !) Soit E l'espace vectoriel des fonctions réelles à valeurs réelles de classe C ∞ et
2π -périodiques. On considère l'endomorphisme D qui à une fonction de E associe sa dérivée
seconde. Montrer que E = Ker(D) ⊕ Im(D).
Stanislas
A. Camanes
Exercices. Espaces Vectoriels
MPSI 1
II - Familles de vecteurs
Exercice 10. (-) Soit p ∈ N? . Montrer que les familles suivantes sont libres.
1. (fk )k∈[|1,p|] , où pour tout x ∈ R, fk (x) = δxk où δ désigne le symbole de Kronecker.
2. (f1 , f2 , f3 , f4 ), où pour tout x ∈ R, f1 (x) = cos x, f2 (x) = sin(x), f3 (x) = x cos x, f4 (x) =
x sin x.
3. (fk )k∈[|1,p|] , où pour tout x ∈ R, fk (x) = ekx .
4. (fk )k∈[|1,p|] , où pour tout x ∈ R, fk (x) = |x − k|.
Exercice 11. (-) Déterminer une famille génératrice des sous-espaces vectoriels suivants.
et 2x + y + 3z = 0}.
2. E2 = {(x, y, z, t) ∈ R4 ; x + y = 0 et 2x − z + t = 0}.
1. E1 = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + 2y + z = 0
Exercice 12. (-) Déterminer si les familles suivantes sont des bases.
1. B1 = (1, 0, 0), (1, 1, 0), (1, 1, 1) dans R3 .
2. B2 = (1, 3, 5), (2, 5, −2) dans R3 .
3. B3 = (X − 1)2 , (X − 1)(X + 1), (X + 1)2 dans R2 [X].
4. B4 = (X − 1)(X + 1), X 2 , 1 dans R2 [X].
Exercice 13. Soit (Pi )i∈N une famille de polynômes non nuls échelonnés en degré, i.e. pour tout
i < j , 0 6 deg Pi < deg Pj . Montrer que (Pi )i∈N est une famille libre.
Exercice 14. Soient n > 2 et E1 , . . . , En des sous-espaces vectoriels de E diérents de {0E }.
Montrer que la somme E1 + · · · + En est directe si et seulement si, toute famille de vecteurs non
nuls de E1 × · · · × En est libre.
Exercice 15. ( !) Soit P l'ensemble des nombres premiers positifs. Montrer que (ln(p))p∈P est
une famille libre du Q-espace vectoriel R.
III - Applications linéaires
Exercice 16. Montrer que l'ensemble suivant est un espace vectoriel.
f ∈ F (R, R) ; ∃ (A, θ) ∈ R2 ; ∀ t ∈ R, f (t) = A cos(t + θ) .
Exercice 17. (-) Déterminer si les applications suivantes sont des applications linéaires. Le cas
échéant, déterminer le noyau et l'image.
1. f1 : R3 → R2 , (x, y, z) 7→ (−x + 2y, 2x − 3y + z).
2. f2 : R3 → R3 , (x, y, z) 7→ (2x + y − z, x − y + 3z, 4x + y − z).
3. f3 : R3 → R3 , (x, y, z) 7→ (y + z, x + y + z, x).
4. f4 : R3 → R2 , (x, y, z) 7→ 2(x + y, x − y).
5. f5 : R3 → R2 , (x, y, z) 7→ z(x + y, x − y).
6. f6 : R3 → R2 , (x, y, z) 7→ 2(x + y + z, x − y).
Exercice 18. ( !) Soit a ∈ C et fa : C → C, z 7→ z + az . Montrer que fa est R-linéaire.
Déterminer, en fonction des valeurs de a, le noyau et l'image de fa .
Stanislas
A. Camanes
Exercices. Espaces Vectoriels
MPSI 1
Exercice 19. (Polynômes d’endomorphismes, ♥) Soit E un K-espace vectoriel et u ∈ L (E). On
n
P
ak uk ∈ L (E).
notera P (u) = a0 IdE +
k=1
1. Montrer que pour tous P, Q ∈ K[X], (P + Q)(u) = P (u) + Q(u) et (P Q)(u) = P (u) ◦ Q(u).
2. Montrer que Ker P (u) et Im P (u) sont stables par u.
Exercice 20. (-) On note T l'endomorphisme de R[X] qui à tout polynôme P associe le polynôme
T (P ) tel que
T (P ) = (8 + 3X)P − (5X − X 2 )P 0 + (X 2 − X 3 )P 00 .
L'endomorphisme T est-il injectif ?
Exercice 21. (-) Soit f une forme linéaire non nulle sur E . Montrer que f est surjective.
Exercice 22. (♥) Soient u ∈ L (E, F ) et v ∈ L (F, G). Montrer que v ◦ u = 0 si et seulement si
Im(u) ⊂ Ker(v).
Exercice 23. (♥) Soit u ∈ L (E) telle que u3 = u. Montrer que Im(u2 ) et Ker(u) sont des sousespaces vectoriels supplémentaires dans E .
Exercice 24. (♥) Soient f, g ∈ L (E) telles que f ◦ g = g ◦ f . Montrer que Ker(f ) et Im(f ) sont
stables par g .
Exercice 25. ( !) On considère l'espace vectoriel E = C ∞ (R, R) muni des lois usuelles +, · ainsi
que l'application ϕ : E → E, y 7→ y 0 − xy . On considère l'ensemble E1 = {y ∈ E ; y(0) = 0}.
1. Montrer que (E1 , +, ·) est un espace vectoriel.
2. Montrer que ϕ est un isomorphisme de E1 sur E .
Exercice 26. (♥, !) Soit f ∈ L (E) telle que pour tout x ∈ E , (x, f (x)) soit liée. Montrer que f
est une homothétie.
IV - Endomorphismes remarquables
Exercice 27. On considère E = C 1 ([0, 1], R) et on pose
F = {f ∈ E ; f (0) = f 0 (0) = 0}, G = {g : [0, 1] → R, x 7→ ax + b, (a, b) ∈ R2 }.
1. Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels supplémentaires de E .
2. Déterminer les projections sur F (parallèlement à G) et sur G (parallèlement à F ).
Exercice 28. (-) Soit u ∈ L (R3 ) telle que pour tout (x, y, z) ∈ R3 , u(x, y, z) = 31 (x+2y +2z, 2x+
y − 2z, 2x − 2y + z). L'application linéaire u est-elle un projecteur ? une symétrie ? Le cas échéant,
préciser ses éléments caractéristiques.
Exercice 29. (♥) Soient p et q deux projecteurs de E . Montrer que
1. p ◦ q = p ⇔ Ker(q) ⊂ Ker(p).
2. p + q est un projecteur si et seulement si p ◦ q = q ◦ p = 0.
3. p ◦ q est un projecteur si p ◦ q = q ◦ p.
Exercice 30. (-) Soit p un projecteur de E . Montrer que IdE +p est un automorphisme linéaire
de E . Préciser, à l'aide de p, son application inverse.
Stanislas
A. Camanes
Exercices. Espaces Vectoriels
MPSI 1
Exercice 31. (-) Soient p1 , p2 deux projecteurs tels que p1 ◦ p2 = 0. Soit q = p1 + p2 − p2 ◦ p1 .
Montrer que q est le projecteur sur Im(p1 ) + Im(p2 ) parallèlement à Ker(p1 ) ∩ Ker(p2 ).
Exercice 32. ( !) Soient n, N ∈ N? et u ∈ L (CN ) tels que un = Id. Soit E un sous-espace
vectoriel de CN stable par u et p une projection sur E . On dénit l'endomorphisme
n
q=
1 X k
u ◦ p ◦ un−k .
n+1
k=0
1. Montrer que q est un projecteur.
2. En déduire que CN = E ⊕ Ker q .
Exercice 33. Soient E =
p
L
k=1
(i, j) ∈ J1, pK2 . Montrer que
Ek . Pour tout i ∈ J1, pK, on dénit pi : E → E,
p
P
xk 7→ xi . Soit
k=1
1. pi est un projecteur.
2. i 6= j ⇒ pi pj = 0L (E) .
3. IdE =
p
P
i=1
Stanislas
pi .
A. Camanes