Chapitre 4 : Complexes et trigonométrie

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Chapitre 4 : Complexes et trigonométrie
1. Construction de 
Définition (4.1.1-1) :
Sur l'ensemble des couples de , on définit une addition (notée ) et une multiplication (notée ) par :
Propriété (4.1.1-2) :
1) La loi  est commutative, c'est-à-dire : 
2) La loi  est associative, c'est-à-dire :
3) . (On dit que  est neutre pour la loi )
4) . (On dit que tout élément de  admet un symétrique pour la loi )
Preuve : Soit .
1) Alors .
2) De même,  et par un
calcul similaire, .
3) Il est clair que .
4) Enfin, .
Propriété (4.1.1-3) :
1) La loi  est commutative, c'est-à-dire : 
2) La loi  est associative, c'est-à-dire :
3)  (On dit que  est neutre pour la loi )
Preuve : Soit .
1) Alors .
2) Par un calcul un peu plus compliqué :
et par un calcul similaire :
3) Enfin, il est clair que .
Propriété (4.1.1-4) :
1) La loi  est distributive sur la loi , c'est-à-dire :
,
2) ,
3) .
Preuve : Soit . Alors :
1) On peut calculer :

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2) 
.
3) .
Notation (4.1.1-5) :
On pose  et pour tout réel  on note simplement  à la place du couple . Ainsi tout couple  de  peut
être noté sous la forme complexe correspondante , abrégée en .
On note alors  l’ensemble de ces nouveaux nombres et on l’appelle ensemble des nombres
complexes et, avec cette notation, on constate de plus que .
L’ensemble des propriétés précédentes montrent alors que les règles de calcul sur ces nouveaux « nombres » sont
les mêmes que dans  avec la seule condition supplémentaire que .
2. Nombres complexes
2.1 Parties réelle et imaginaire
Propriété (4.2.1-6) :
Pour tout , il existe un unique couple  de réels tels que .
Preuve : C’est immédiat avec la définition, puisque .
Définition (4.2.1-7) :
Soit  et  tels que .
Le réel  est appelé la partie réelle de  et noté .
Le réel  est appelé sa partie imaginaire et noté .
On appelle alors conjugué de  le complexe  défini par .
On dit que  est imaginaire pur si . On note  l’ensemble des imaginaires purs.
Propriété (4.2.1-8) :
1) , 
 et  .
2)  et .
3)  
.
4) 
.
5)  .
6) et.
Preuve : Soit . Soit  tels que  et . Soit .
1) On calcule d’abord que 
 et par un calcul
similaire, 
.
2)  donc avec la propriété précédente, puisque
, par unicité on conclut que  et
.
3) Tout d’abord,  donc puisque
, on en déduit que 
, ce qui est aussi
égal à 
.
4)  avec  donc
, ce qui est bien égal à 
.
5)  .
6) D’après 1), .
De même, .
2.2 Module et inverse
Définition (4.2.2-9) :
Soit . On appelle module de  le réel .
Remarque : Ainsi .
En particulier, pour tout . Le module et la valeur absolue coïncident
donc pour un réel, ce qui justifie une notation identique.

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Propriété (4.2.2-10) :
1) .
2) .
3)  .
4)  .
5) . Si , on note  
 et on l’appelle l’inverse de .
Preuve : Soit  et  tels que  et .
1) Puisque , on calcule que ,
ce qui se simplifie en .
Comme  et  sont tous les deux des réels positifs, on en déduit que .
2) Comme  et , on a immédiatement .
3) . Or dans , la somme de deux nombres positifs ne peut être nulle que si
chacun des deux est nul. Donc .
4) .
5) Si  alors d’après 3), , on peut donc poser 
, et on calcule avec 4) que .
Remarque : On a ainsi prouvé que  est ce que l’on appelle un corps, c'est-à-dire un ensemble muni de
deux lois associatives et commutatives possédant chacune un neutre, l’une étant distributive sur l’autre, tout
élément possédant un symétrique pour la 1ère loi et tout élément sauf le neutre de la 1ère loi possédant un
symétrique pour la 2ème loi. Il en est de même pour  ou  mais pas  par exemple.
L'étape suivante consisterait à démontrer que tout polynôme non constant à coefficients complexes admet au
moins une racine dans . On dit que le corps  est algébriquement clos.
Mais ça, c'est une autre histoire…
Propriété (4.2.2-11) :
Soit . Alors :
1)  avec égalité si et seulement si .
2)  avec égalité si et seulement si .
Preuve : Soit .
1) , avec égalité si et seulement si , soit .
2) , avec égalité si et seulement si , soit .
2.3 Inégalité triangulaire
Propriété (4.2.3-12) : Inégalité triangulaire 
Soit . Alors .
De plus,  si et seulement si 
et  si et seulement si .
Preuve : Soit .
Alors 
.
Or  donc 
.
Donc .
On en déduit que  puisque ces nombres sont positifs et de plus il y a égalité si et
seulement si les inégalités précédentes sont toutes des égalités, c’est-à-dire si  et
, autrement dit, d’après la propriété précédente, si et seulement si .
De la même façon, .
Donc .
On en déduit que  puisque ces nombres sont positifs et de plus il y a égalité si et
seulement si les inégalités précédentes sont toutes des égalités, c’est-à-dire si  et
, autrement dit, d’après la propriété précédente, si et seulement si .

Chapitre 4 : Complexes et trigonométrie Page 4
3. Utilisation des complexes en géométrie plane
3.1 Plan d’Argand-Cauchy
Définition (4.3.1-13) :
On appelle plan d’Argand-Cauchy, le plan usuel muni d’un repère orthonormé direct  dans lequel on attribue à tout
point  de coordonnées  dans ce repère une affixe complexe . Cette affixe sera donc également celle du
vecteur  , puisqu’il a les mêmes coordonnées que le point .
Dans ce plan, l’axe  est appelé l’axe réel et l’axe  l’axe imaginaire.
Propriété (4.3.1-14) :
Soit  et  deux vecteurs du plan d’affixes respectives  et . Alors   a pour affixe  et 
.
Soit  et  deux points d’affixes respectives  et . Alors  a pour affixe  et .
Preuve : Soit  et  les parties réelles et imaginaires respectives de  et .
On calcule que   donc le vecteur   a pour
affixe . D’autre part, 
.
En appliquant ce qui précède, on  , qui a donc pour affixe  et pour norme .
Propriété (4.3.1-15) :
L’application du plan dans lui-même qui à tout point  d’affixe  associe le point  d’affixe  est la translation de
vecteur  d’affixe .
L’application du plan dans lui-même qui à tout point  d’affixe  associe le point  d’affixe  est la symétrie d’axe .
L’application du plan dans lui-même qui à tout point  d’affixe  associe le point  d’affixe  est la symétrie centrale
de centre .
Preuve : Tout est immédiat avec la définition des affixes et la propriété (4.3.1-14).
Exercice : Montrer que le cercle de centre  d’affixe  et de rayon  est l’ensemble des points  d’affixe
 telle que .
3.2 Orthogonalité et colinéarité
Propriété (4.3.2-16) :
Soit  et  deux vecteurs du plan d’affixes respectives  et . Alors :
et  sont orthogonaux si et seulement si .
et  sont colinéaires si et seulement si .
Preuve : Soit  et  les parties réelles et imaginaires respectives de  et .
Alors on calcule que .
Ainsi, on a bien  .
D’autre part,  et  sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées  et  sont
proportionnelles, ce qui se traduit par l’égalité des produits en croix : , soit .
Ainsi  et  sont colinéaires si et seulement si .
Remarque : La quantité  sera appelée déterminant des vecteurs  et  et notée  
  . On vient
de voir qu’elle permet, entre autres, de caractériser la colinéarité de deux vecteurs, tout comme le produit
scalaire permet de caractériser l’orthogonalité.
4. Groupe unitaire et trigonométrie
4.1 Rudiments de trigonométrie
Définition (4.4.1-17) :
Sur le cercle  de centre  et de rayon , appelé cercle trigonométrique, on place le point  d’affixe .
Si  est un réel positif, l’enroulement sur le cercle  dans le sens positif (c’est-à-dire antihoraire) d’un segment d’origine 
et de longueur  aboutit en un point .
Si  est un réel négatif, l’enroulement sur le cercle  dans le sens négatif d’un segment d’origine  et de longueur 
aboutit en un point .
 est alors (par définition du radian) une mesure en radians de l'angle orienté  .
L’abscisse et l’ordonnée de ce point  sont respectivement appelées le cosinus et le sinus de , notés  et .
Lorsque , on définit également la tangente de  par 
. 

Chapitre 4 : Complexes et trigonométrie Page 5
Propriété (4.4.1-18) : 
Pour tout , on a  et si , 
.
Preuve : C’est le théorème de Pythagore, puis une division par .
Propriété (4.4.1-19) : 
Pour tout , on a :
-  et 
- ,  et si  
-  et 
- ,  et si , 
Preuve : On obtient facilement ces propriétés avec la géométrie. Soit .
-  et  car la circonférence du cercle est égale à . On a
donc effectué un tour complet supplémentaire pour se retrouver au même point.
-  et  par symétrie d’axe , puis on divise par .
-  et  par symétrie d’axe .
- On utilise les 2 résultats précédents.
Propriété (4.4.1-20) :
Soit  un triangle rectangle en   une mesure de l’angle 
 orienté positivement. Alors :
 est le quotient du côté de l’angle droit adjacent à  par l’hypoténuse,
 est le quotient du côté de l’angle droit opposé à  par l’hypoténuse,
 est le quotient du côté de l’angle droit opposé à  par le côté adjacent.
Autrement dit : 
,   et  .
Preuve : On considère un triangle  isométrique à  tel que  ait une affixe réelle positive et 
ait une affixe dont les parties réelles et imaginaires sont positives.
Le théorème de Thalès fournit alors : 
 et   d’où  .
Propriété (4.4.1-21) : Formules d’addition 
,  et .
Preuve : La figure ci-dessous est éloquente pour les cas où  et  sont dans 
 et illustre un cas où
. Dans le cas où  , on remarque que  mais la
formule reste valable. On utilise ensuite les formules de symétries pour généraliser à tout couple de .
sin(a)*sin(b)
cos(a)*cos(b)
cos(a+b)
b
a
a
a
cos(b)*sin(a)
sin(b)*cos(a)
sin(a+b)