Chapitre 4 : Complexes et trigonométrie

Chapitre 4 : Complexes et trigonométrie
1. Construction de
Définition (4.1.1-1) :
Sur l'ensemble des couples de
, on définit une addition (notée
) et une multiplication (notée
) par :
Propriété (4.1.1-2) :
1) La loi
est commutative, c'est-à-dire :
2) La loi
est associative, c'est-à-dire :
3)
4)
. (On dit que
est neutre pour la loi )
. (On dit que tout élément de
admet un symétrique pour la loi
Preuve : Soit
1) Alors
)
.
.
2) De même,
calcul similaire,
et par un
.
3) Il est clair que
.
4) Enfin,
.
Propriété (4.1.1-3) :
1) La loi
est commutative, c'est-à-dire :
2) La loi
est associative, c'est-à-dire :
3)
(On dit que
est neutre pour la loi
)
Preuve : Soit
.
1) Alors
2) Par un calcul un peu plus compliqué :
.
et par un calcul similaire :
3) Enfin, il est clair que
Propriété (4.1.1-4) :
1) La loi
est distributive sur la loi
.
, c'est-à-dire :
,
2)
,
3)
.
Preuve : Soit
1) On peut calculer :
Chapitre 4 : Complexes et trigonométrie
. Alors :
Page 1
2)
.
3)
Notation (4.1.1-5) :
.
On pose
et pour tout réel on note simplement à la place du couple
. Ainsi tout couple
de
peut
être noté sous la forme complexe correspondante
, abrégée en
.
On note alors
l’ensemble de ces nouveaux nombres et on l’appelle ensemble des nombres
complexes et, avec cette notation, on constate de plus que
.
L’ensemble des propriétés précédentes montrent alors que les règles de calcul sur ces nouveaux « nombres » sont
les mêmes que dans avec la seule condition supplémentaire que
.
2. Nombres complexes
2.1 Parties réelle et imaginaire
Propriété (4.2.1-6) :
Pour tout
, il existe un unique couple
de réels tels que
.
Preuve : C’est immédiat avec la définition, puisque
Définition (4.2.1-7) :
Soit
et
tels que
.
Le réel est appelé la partie réelle de et noté
.
Le réel est appelé sa partie imaginaire et noté
.
On appelle alors conjugué de le complexe défini par
On dit que est imaginaire pur si
. On note
.
.
l’ensemble des imaginaires purs.
Propriété (4.2.1-8) :
1)
,
et
.
2)
et
.
3)
.
4)
.
5)
6)
.
et
Preuve : Soit
.
. Soit
tels que
et
. Soit
1) On calcule d’abord que
.
et par un calcul
similaire,
.
2)
, par unicité on conclut que
.
donc avec la propriété précédente, puisque
et
3) Tout d’abord,
donc puisque
, ce qui est aussi
, on en déduit que
.
égal à
4)
avec
donc
, ce qui est bien égal à
5)
6) D’après 1),
De même,
.
.
.
.
2.2 Module et inverse
Définition (4.2.2-9) :
Soit
. On appelle module de
le réel
Remarque : Ainsi
.
.
En particulier, pour tout
donc pour un réel, ce qui justifie une notation identique.
Chapitre 4 : Complexes et trigonométrie
. Le module et la valeur absolue coïncident
Page 2
Propriété (4.2.2-10) :
1)
2)
3)
4)
.
.
.
.
5)
. Si
et on l’appelle l’inverse de .
, on note
Preuve : Soit
et
tels que
et
.
1) Puisque
, on calcule que
,
ce qui se simplifie en
.
Comme
et
sont tous les deux des réels positifs, on en déduit que
.
2) Comme
et
, on a immédiatement
.
3)
. Or dans , la somme de deux nombres positifs ne peut être nulle que si
chacun des deux est nul. Donc
.
4)
.
alors d’après 3),
5) Si
, on peut donc poser
, et on calcule avec 4) que
.
Remarque : On a ainsi prouvé que
est ce que l’on appelle un corps, c'est-à-dire un ensemble muni de
deux lois associatives et commutatives possédant chacune un neutre, l’une étant distributive sur l’autre, tout
ère
ère
élément possédant un symétrique pour la 1 loi et tout élément sauf le neutre de la 1 loi possédant un
ème
symétrique pour la 2 loi. Il en est de même pour
ou
mais pas
par exemple.
L'étape suivante consisterait à démontrer que tout polynôme non constant à coefficients complexes admet au
moins une racine dans . On dit que le corps est algébriquement clos.
Mais ça, c'est une autre histoire…
Propriété (4.2.2-11) :
Soit
1)
2)
. Alors :
avec égalité si et seulement si
avec égalité si et seulement si
Preuve : Soit
1)
2)
.
.
.
, avec égalité si et seulement si
, avec égalité si et seulement si
, soit
, soit
.
.
2.3 Inégalité triangulaire
Propriété (4.2.3-12) : Inégalité triangulaire
Soit
. Alors
De plus,
et
.
si et seulement si
si et seulement si
.
Preuve : Soit
.
Alors
.
Or
donc
.
Donc
.
On en déduit que
puisque ces nombres sont positifs et de plus il y a égalité si et
seulement si les inégalités précédentes sont toutes des égalités, c’est-à-dire si
et
, autrement dit, d’après la propriété précédente, si et seulement si
.
De la même façon,
.
Donc
.
On en déduit que
puisque ces nombres sont positifs et de plus il y a égalité si et
seulement si les inégalités précédentes sont toutes des égalités, c’est-à-dire si
et
, autrement dit, d’après la propriété précédente, si et seulement si
.
Chapitre 4 : Complexes et trigonométrie
Page 3
3. Utilisation des complexes en géométrie plane
3.1 Plan d’Argand-Cauchy
Définition (4.3.1-13) :
On appelle plan d’Argand-Cauchy, le plan usuel muni d’un repère orthonormé direct
dans lequel on attribue à tout
point
de coordonnées
dans ce repère une affixe complexe
. Cette affixe sera donc également celle du
vecteur
, puisqu’il a les mêmes coordonnées que le point .
Dans ce plan, l’axe
est appelé l’axe réel et l’axe
l’axe imaginaire.
Propriété (4.3.1-14) :
Soit
et
deux vecteurs du plan d’affixes respectives
Soit
et
deux points d’affixes respectives
Preuve : Soit
On calcule que
affixe
et
et
et . Alors
. Alors
a pour affixe
a pour affixe
et
et
.
.
les parties réelles et imaginaires respectives de et .
donc le vecteur
. D’autre part,
.
En appliquant ce qui précède, on
Propriété (4.3.1-15) :
, qui a donc pour affixe
a pour
et pour norme
.
L’application du plan dans lui-même qui à tout point
d’affixe associe le point
d’affixe
est la translation de
vecteur d’affixe .
L’application du plan dans lui-même qui à tout point d’affixe associe le point
d’affixe est la symétrie d’axe
.
L’application du plan dans lui-même qui à tout point
de centre .
d’affixe
associe le point
d’affixe – est la symétrie centrale
Preuve : Tout est immédiat avec la définition des affixes et la propriété (4.3.1-14).
Exercice : Montrer que le cercle de centre d’affixe et de rayon
est l’ensemble des points
telle que
.
d’affixe
3.2 Orthogonalité et colinéarité
Propriété (4.3.2-16) :
Soit
et
et
et deux vecteurs du plan d’affixes respectives
sont orthogonaux si et seulement si
.
sont colinéaires si et seulement si
.
et
. Alors :
Preuve : Soit
et
les parties réelles et imaginaires respectives de et .
Alors on calcule que
.
Ainsi, on a bien
.
D’autre part,
et
sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées
proportionnelles, ce qui se traduit par l’égalité des produits en croix :
, soit
Ainsi et sont colinéaires si et seulement si
.
Remarque : La quantité
sera appelée déterminant des vecteurs
et
et
et notée
sont
.
. On vient
de voir qu’elle permet, entre autres, de caractériser la colinéarité de deux vecteurs, tout comme le produit
scalaire permet de caractériser l’orthogonalité.
4. Groupe unitaire et trigonométrie
4.1 Rudiments de trigonométrie
Définition (4.4.1-17) :
Sur le cercle de centre et de rayon , appelé cercle trigonométrique, on place le point d’affixe .
Si est un réel positif, l’enroulement sur le cercle dans le sens positif (c’est-à-dire antihoraire) d’un segment d’origine
et de longueur aboutit en un point
.
Si est un réel négatif, l’enroulement sur le cercle dans le sens négatif d’un segment d’origine et de longueur
aboutit en un point
.
est alors (par définition du radian) une mesure en radians de l'angle orienté
L’abscisse et l’ordonnée de ce point
Lorsque
sont respectivement appelées le cosinus et le sinus de , notés
, on définit également la tangente de par
Chapitre 4 : Complexes et trigonométrie
.
et
.
.
Page 4
Propriété (4.4.1-18) :
Pour tout
, on a
et si
,
.
Preuve : C’est le théorème de Pythagore, puis une division par
Propriété (4.4.1-19) :
Pour tout
-
.
, on a :
et
,
et si
et
,
et si
,
Preuve : On obtient facilement ces propriétés avec la géométrie. Soit
.
et
car la circonférence du cercle est égale à
. On a
donc effectué un tour complet supplémentaire pour se retrouver au même point.
et
par symétrie d’axe
, puis on divise par
.
et
par symétrie d’axe
.
- On utilise les 2 résultats précédents.
Propriété (4.4.1-20) :
Soit
un triangle rectangle en
une mesure de l’angle
orienté positivement. Alors :
est le quotient du côté de l’angle droit adjacent à par l’hypoténuse,
est le quotient du côté de l’angle droit opposé à par l’hypoténuse,
est le quotient du côté de l’angle droit opposé à par le côté adjacent.
Autrement dit :
,
et
.
Preuve : On considère un triangle
isométrique à
tel que
ait une affixe dont les parties réelles et imaginaires sont positives.
Le théorème de Thalès fournit alors :
ait une affixe réelle positive et
d’où
et
.
Propriété (4.4.1-21) : Formules d’addition
,
et
Preuve : La figure ci-dessous est éloquente pour les cas où
.
et
sont dans
et illustre un cas où
. Dans le cas où
, on remarque que
mais la
formule reste valable. On utilise ensuite les formules de symétries pour généraliser à tout couple de .
a
sin(b)*cos(a)
sin(a+b)
a
cos(b)*sin(a)
b
a
cos(a+b)
cos(a)*cos(b)
sin(a)*sin(b)
Chapitre 4 : Complexes et trigonométrie
Page 5
Exercice : En déduire la formule d’addition pour la fonction tangente :
.
Corollaire (4.4.1-22) : Formules de duplication et d’angle moitié
et
et
.
dans les formules d’addition, puis on fait
Preuve : On fait
montrées pour
Propriété (4.4.1-23) :
Pour tout
-
.
et on transforme les égalités
.
, on a :
Preuve : Les implications de droite à gauche ont été prouvées dans la propriété (4.4.1-19).
Les réciproques se prouvent géométriquement.
4.2 Groupe unitaire
Définition (4.4.2-24) :
l’ensemble des complexes de module égal à .
On appelle groupe unitaire et on note
Remarque : Le groupe unitaire est représenté dans le plan complexe par le cercle trigonométrique.
Propriété (4.4.2-25) :
Pour tout
Pour tout
et
.
.
Preuve : Si
,
. Si de plus
Notation (4.4.2-26) :
Pour tout
donc
. De plus,
donc
alors
donc
, on note
et
donc
.
.
Remarque : Cette notation sous forme exponentielle sera largement justifiée par les propriétés suivantes.
Propriété (4.4.2-27) :
Pour tout
, on a :
.
Preuve : C’est immédiat en combinant les résultats des propriétés (4.4.1-23) et (4.2.1-6).
Propriété (4.4.2-28) :
L’ensemble
est précisément l’ensemble
.
Preuve :
donc
.
Réciproquement, si
, notons
et
. Alors
. Mais alors, par construction de la fonction cosinus,
verticale d’abscisse coupe le ½ cercle trigonométrique supérieur.
Par conséquent,
Donc
donc
et donc
.
ou – suivant le cas.
en posant
On conclut donc que
, donc
car la droite
.
Corollaire (4.4.2-29) :
Le cercle trigonométrique est l’ensemble des points de coordonnées
lorsque parcourt l’intervalle
.
Preuve : Tout point de coordonnées
a pour affixe
qui est dans donc appartient bien
au cercle trigonométrique. Réciproquement, tout point
du cercle trigonométrique possède une affixe
dans
qui peut donc s’écrire
. On peut ensuite choisir
tel que
et on a bien
et donc a pour coordonnées
.
Propriété (4.4.2-30) :
1)
.
2)
. On notera donc
3)
.
et
Preuve : 1) Soit
(formules d’Euler)
. Alors on calcule que :
Chapitre 4 : Complexes et trigonométrie
Page 6
2) Soit
donc
. Puisque
3) Soit
.
. De plus, d’après 1),
,
.
et de la même manière, on calcule que
.
Propriété (4.4.2-31) : Formules de l’argument moitié
et
En particulier,
.
et
.
Preuve : Il suffit de développer les cosinus et sinus avec les formules d’Euler pour vérifier ces formules.
4.3 Formule de Moivre
Rappel (4.4.3-32) :
Pour tout
, on définit
puis
et
.
Propriété (4.4.3-33) : Formule de Moivre
, ce qui se note encore
Preuve : Pour tout
, posons
Pour
,
Soit
. Supposons que
est vrai et montrons
.
donc
est vrai.
.
D’après la propriété (4.4.2-30),
est vrai et par théorème de récurrence, on conclut que
Si
, on a alors
et en déduire que
.
donc
,
est vrai.
au réel –
. On peut alors appliquer
est aussi vrai pour
.
. Donc
4.4 Arguments d’un nombre complexe non nul
Définition (4.4.4-34) :
Pour tout complexe
, on appelle argument de tout réel tel que
ces arguments ;
est donc défini modulo
. L’écriture
exponentielle ou la forme trigonométrique du nombre complexe .
Remarque : Tout complexe
non nul possède un argument car
n’importe lequel de
s’appelle la forme
. On notera
et
avec
.
Propriété (4.4.4-35) :
1)
2)
Preuve : 1) Soit
et
des arguments de
Alors
2) Soit
dont
donc
.
est un argument de
et un argument de . Alors
Alors
et
. Soit
.
.
est un argument de
, autrement dit
4.5 Interprétation géométrique
On se place à nouveau dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé
Propriété (4.4.5-36) :
Soit
trois points du plan, d’affixes respectives
1) Tout argument de
2) Tout argument de
3) Tout argument de
est une mesure de l’angle
est une mesure de l’angle
est une mesure de l’angle
Preuve : 1) Si on appelle le point d’affixe ,
alors
et sont alignés sur l’axe réel et
qui est nul. Donc
Chapitre 4 : Complexes et trigonométrie
.
.
si
,
si
si
,
et
le point d’affixe
sont alignés car
.
et
celui d’affixe
par définition des fonctions
,
et
.
Page 7
2) On obtient immédiatement le résultat par translation de en .
3) On applique deux fois le point précédent et la relation de Chasles :
Définition (4.4.5-37) :
Soit
. L’application du plan dans lui-même qui à tout point
d’affixe associe le point
d’affixe
est la
rotation de centre et d’angle . C’est l’identité lorsque
.
Soit
. L’application du plan dans lui-même qui à tout point
d’affixe associe le point
d’affixe
est
l’homothétie de centre et de rapport . C’est l’identité lorsque
.
Soit
. L’application du plan dans lui-même qui à tout point
d’affixe associe le point
d’affixe
est la
composée de la rotation de centre et d’angle
et de l’homothétie de centre et de rapport
. On l’appelle la
similitude directe de centre , de rapport
et d’angle
.
Soit
et
. L’application du plan dans lui-même qui à tout point d’affixe associe le point
d’affixe
est la composée d’une des transformations précédentes et de la translation de vecteur d’affixe .
Propriété (4.4.5-38) :
Soit
et
. On note
.
Si
, il existe un unique point d’affixe invariant par la transformation .
Dans ce cas,
.
Par translation de
en , on en déduit que
est la composée de la rotation de centre
et d’angle
l’homothétie de centre et de rapport . On l’appelle la similitude directe de centre , de rapport
et d’angle
Preuve : Supposons que
Soit
et de
.
.
, ce qui prouve l’existence et l’unicité.
. Alors
De plus,
.
Exercice : Montrer qu’une similitude directe conserve les angles orientés et les rapports de distances.
4.6 Exponentielle complexe
Définition (4.4.6-39) :
Pour tout
, on définit l’exponentielle complexe de
par
.
Propriété (4.4.6-40) :
1)
2)
et en particulier
.
.
Preuve : C’est immédiat, avec la définition.
Exercice : Résoudre l’équation
Propriété (4.4.6-41) :
1)
2)
, d’inconnue
.
.
.
3)
4)
.
.
Preuve : 1) Soit
2) Soit
. Alors
. Alors
. Donc
.
3) Soit
. Alors
4) On procède comme pour la formule de Moivre avec les résultats précédents.
Propriété (4.4.6-42) :
L’application exponentielle
Chapitre 4 : Complexes et trigonométrie
.
est surjective mais pas injective.
Page 8
Preuve :
n’est pas injective car
et
.
En revanche, pour tout
, si est un argument de et
, alors
donc
est un antécédent de par
qui est donc surjective.
4.7 Encore de la trigonométrie
Propriété (4.4.7-43) : Transformation de produits en sommes et de sommes en produits
Preuve : Tout découle des formules d’addition de la propriété (4.4.1-21).
Méthode (4.4.7-44) : Linéarisation de
et
Pour linéariser
ou
, on utilise la formule d’Euler adéquate, puis on développe avec le binôme de Newton.
Enfin, on regroupe les termes par deux, à nouveau avec les formules d’Euler.
Exemples :
Méthode (4.4.7-45) : Développement de
et
que l’on
Pour développer
et
, on écrit que ce sont les parties réelle et imaginaire de
développe avec le binôme de Newton.
On peut éventuellement ensuite tout exprimer en fonction de
ou de
en utilisant
.
Exemples :
Propriété (4.4.7-46) : Introduction d’un déphasage
Soit
. Si
est une forme trigonométrique du complexe
alors pour tout
Preuve :
, on a :
.
Propriété (4.4.7-47) : Formules avec
Soit
.
Preuve : Puisque
puisque
, on peut poser
,
. Puisque
, on a de plus
et
, et
est lui aussi défini.
On calcule alors que
donc
.
De même,
.
Enfin, par quotient des 2 précédents, on obtient que
.
Remarque : 1) On se servira de ces dernières formules dans le chapitre sur les calculs de primitives, lors des
changements de variable avec les règles de Bioche.
2) On peut illustrer cette propriété par le schéma suivant qui parle de lui-même :
Chapitre 4 : Complexes et trigonométrie
Page 9
2t
x/2
x
1-t²
1+t²
5. Équations algébriques dans
5.1 Équations du 2nd degré
5.1.1 Racines carrées d’un nombre complexe
Propriété (4.5.1-48) :
Pour tout
, l’équation
, d’inconnue
solutions sont appelées les racines carrées de .
Preuve : Si
Sinon, soit
, alors
, possède exactement 2 solutions si
. Ces
.
est un argument de
et
, alors
.
Donc
.
Méthode pour obtenir une forme algébrique des racines carrées d’un complexe :
Pour résoudre l’équation
, on écrit et sous forme algébrique
On a alors
et 1 seule si
et
.
.
Pour résoudre plus facilement, on y ajoute l’égalité des modules
Ainsi,
, soit
.
.
Avec les 2 premières équations, on détermine
et , puis
dit si et ont même signe ou non.
Exercice : Déterminer les racines carrées de
.
nd
5.1.2 Résolution d’une équation du 2 degré
Propriété (4.5.1-49) :
. L’équation
est non nul et 1 seule sinon.
Soit
et
discriminant
Preuve : Soit
, alors
Si
, choisissons une racine carrée
au signe près. Avec la 3ème, le signe de
, d’inconnue
. Alors
Si
et
, possède exactement 2 solutions si son
.
.
de . Alors :
Cela fournit bien 2 solutions distinctes dans ce cas puisque
.
Méthode : Pour résoudre une équation du 2nd degré à coefficients complexes, on calcule son discriminant
on détermine une racine carrée de (n’importe laquelle des 2 fera l’affaire). Les solutions seront alors
Chapitre 4 : Complexes et trigonométrie
nous
puis
.
Page 10
5.2 Racines -èmes de l’unité
Définition (4.5.2-50) :
Soit un entier naturel non nul. On appelle racine -ème de l’unité tout nombre complexe
On note
l’ensemble des racines -èmes de l’unité.
Remarque :
Propriété (4.5.2-51) :
Soit
et
.
Preuve : Posons
et montrons par double inclusion que
,
donc
. Ainsi
d’où
Réciproquement, si
alors
donc
une bijection de
dans lui-même. Donc
Mais alors
déduit que
.
.
un entier naturel non nul. Alors
Pour tout
tel que
donc
. Mais comme
Ainsi
.
car l’application
est
.
d’où
, on a bien
autrement dit
.
et puisque
, on en
.
. Donc
On peut donc conclure que
.
.
Remarque : Souvent, on note
et
les deux racines cubiques de l’unité autres que .
Exercice : Montrer que
se représente dans le plan par un polygone régulier à côtés, de centre , et inscrit
dans le cercle trigonométrique.
Propriété (4.5.2-52) :
Soit
un entier naturel non nul et
Alors l’équation
, d’inconnue
, de module
, possède exactement
Preuve : Tout d’abord, on remarque que
Chapitre 4 : Complexes et trigonométrie
et d’argument .
solutions, à savoir
. Ainsi, si
.
alors on peut écrire que :
Page 11