Les algèbres de Lie graduées
Définitions
+Une algèbre de Lie graduée, L ,sur un corps Kde caractéristique 0, est un
espace vectoriel gradué L={Li}i∈Zmuni d’une application linéaire de degré
0,
L⊗L−→ L
x⊗y7−→ [x,y]
telle que :
¬[x,y] = −(−1)|x||y|[y,x](Antisymétrie)
[x,[y,z]] = [[x,y],z] + (−1)|x||y|[y,[x,z]] (Id. de Jacobi)
Le produit [ , ] est appelé le crochet de Lie.
+Un morphisme d’algèbre de Lie graduées est une application linéaire de
degré zéro qui respecte le crochet.
Khalid BOUTAHIR Les algèbres de Lie graduées
Définition
+Si E et F sont deux sous-espaces gradués de L alors [E,F] désigne le
sous-espace gradué des combinaisons linéaires des éléments de la forme
[x,y], x∈E,y∈F. En particulier une sous-algèbre de Lie (resp. un idéal)
E⊂Lest un sous-espace gradué tel que [E,E]⊂E(resp., [L,E]⊂E).
Remarques
3Dans les deux cas la restriction du crochet fait de E une algèbre de Lie
graduée.
3Si E est un idéal alors il existe une structure d’algèbre de Lie graduée unique
dans L/E pour laquelle l’application L−→ L/Eest un morphisme d’algèbre de
Lie graduée.
3Le sous-espace [L,L] est un idéal, appelé la sous-algèbre de Lie dérivée, et
L est abelien si [L,L]=0 ; i.e., si [x,y]=0 pour tout x,y∈L
Khalid BOUTAHIR Les algèbres de Lie graduées
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