Les algèbres de Lie graduées Khalid BOUTAHIR ¨¨ E.N.S Rabat 01 Novembre 2012 Khalid BOUTAHIR Les algèbres de Lie graduées 1 Les algèbres de Lie graduées 2 Les algèbres enveloppantes universelles 3 Les algèbres de Hopf graduées 4 Les algèbres de Lie graduées libres 5 Les algèbres de Lie différentielles graduées Khalid BOUTAHIR Les algèbres de Lie graduées 1 Les algèbres de Lie graduées 2 Les algèbres enveloppantes universelles 3 Les algèbres de Hopf graduées 4 Les algèbres de Lie graduées libres 5 Les algèbres de Lie différentielles graduées Khalid BOUTAHIR Les algèbres de Lie graduées Définitions + Une algèbre de Lie graduée, L ,sur un corps K de caractéristique 0, est un espace vectoriel gradué L = {Li }i∈Z muni d’une application linéaire de degré 0, L⊗L x ⊗y −→ L 7−→ [x, y ] telle que : ¬ [x, y ] = −(−1)|x||y | [y , x] ­ [x, [y , z]] = [[x, y ], z] + (−1) (Antisymétrie) |x||y | [y , [x, z]] (Id. de Jacobi) Le produit [ , ] est appelé le crochet de Lie. + Un morphisme d’algèbre de Lie graduées est une application linéaire de degré zéro qui respecte le crochet. Khalid BOUTAHIR Les algèbres de Lie graduées Définition + Si E et F sont deux sous-espaces gradués de L alors [E,F] désigne le sous-espace gradué des combinaisons linéaires des éléments de la forme [x,y], x ∈ E , y ∈ F . En particulier une sous-algèbre de Lie (resp. un idéal) E ⊂ L est un sous-espace gradué tel que [E, E] ⊂ E (resp., [L, E] ⊂ E). Khalid BOUTAHIR Les algèbres de Lie graduées Définition + Si E et F sont deux sous-espaces gradués de L alors [E,F] désigne le sous-espace gradué des combinaisons linéaires des éléments de la forme [x,y], x ∈ E , y ∈ F . En particulier une sous-algèbre de Lie (resp. un idéal) E ⊂ L est un sous-espace gradué tel que [E, E] ⊂ E (resp., [L, E] ⊂ E). Remarques 3 Dans les deux cas la restriction du crochet fait de E une algèbre de Lie graduée. 3 Si E est un idéal alors il existe une structure d’algèbre de Lie graduée unique dans L/E pour laquelle l’application L −→ L/E est un morphisme d’algèbre de Lie graduée. 3 Le sous-espace [L,L] est un idéal, appelé la sous-algèbre de Lie dérivée, et L est abelien si [L,L]=0 ; i.e., si [x,y]=0 pour tout x, y ∈ L Khalid BOUTAHIR Les algèbres de Lie graduées Exemple 1 Rappelons que les algèbres graduées sont associatives par définition. Le crochet de Lie (appelé commutateur) est définit dans une algèbre graduée A par [x, y ] = xy − (−1)|x||y | yx et à l’aide de l’associativité on déduit l’identité de Jacobi. Cette algèbre de Lie est abélienne si et seulement si A est commutative. Khalid BOUTAHIR Les algèbres de Lie graduées Exemple 1 Rappelons que les algèbres graduées sont associatives par définition. Le crochet de Lie (appelé commutateur) est définit dans une algèbre graduée A par [x, y ] = xy − (−1)|x||y | yx et à l’aide de l’associativité on déduit l’identité de Jacobi. Cette algèbre de Lie est abélienne si et seulement si A est commutative. Exemple 2 : + sl(2) L’algèbre de Lie sl(2) matrices2x2 de est graduée par les trace nulle des 0 0 1 0 0 1 générateurs : X = ,Y = ,H = Ceux-ci vérifient 0 0 1 0 0 −1 les relations [X,Y] = H, [H,X] = 2X, [H,Y] = -2Y. d’où, avec g−1 = (X),g0 = (H), et g1 = (Y), la décomposition sl(2) = g−1 ⊕ g0 ⊕ g1 présente sl(2) en tant qu’algèbre graduée. Khalid BOUTAHIR Les algèbres de Lie graduées Soit L une algèbre de Lie graduée, un L-module (à gauche) est un espace vectoriel gradué V muni d’une application linéaire de degré zéro L⊗V x ⊗v −→ V 7−→ x.v et tel que [x, y ].v = x.(y .v ) − (−1)|x||y | y .(x.v ). (De la même façon on définit un L-module à droite) Un morphisme de L-modules α : V −→ W est une application linéaire de degré zéro telle que α(x.v ) = x.αv , x ∈ L, v ∈ V Khalid BOUTAHIR Les algèbres de Lie graduées Exemple 3 : + Le produit tensoriel A ⊗ L Soit L une algèbre de Lie graduée et A une algèbre graduée commutative. Alors A ⊗ L est une algèbre de Lie graduée avec le crochet de Lie [a ⊗ x, b ⊗ y ] = (−1)|b||x| ab ⊗ [x, y ] Khalid BOUTAHIR Les algèbres de Lie graduées 1 Les algèbres de Lie graduées 2 Les algèbres enveloppantes universelles 3 Les algèbres de Hopf graduées 4 Les algèbres de Lie graduées libres 5 Les algèbres de Lie différentielles graduées Khalid BOUTAHIR Les algèbres de Lie graduées Définition Soit L une algèbre de Lie graduée et TL l’algèbre tensorielle sur l’espace vectoriel L. Soit I l’idéal de l’algèbre graduée (associative) TL engendré par les éléments de la forme x ⊗ y − (−1)|x||y | y ⊗ x − [x, y ], x, y ∈ L L’algèbre graduée TL/I qu’on note par UL, est appelée l’algèbre enveloppante universelle de L. L’inclusion L −→ TL donne une application linéaire i : L −→ UL qui est un morphisme d’algèbre de Lie par rapport au commutateur dans UL. Khalid BOUTAHIR Les algèbres de Lie graduées Exemple : * Les algèbres de Lie abéliennes Si L est abélienne alors UL = TL (x ⊗ y − (−1)|x||y | y ⊗ x) i.e., UL est l’algèbre graduée commutative libre, ΛL Khalid BOUTAHIR Les algèbres de Lie graduées Un théorème fondamental affirme que UL et ΛL sont isomorphes en tant que espaces vectoriels gradués. Khalid BOUTAHIR Les algèbres de Lie graduées Un théorème fondamental affirme que UL et ΛL sont isomorphes en tant que espaces vectoriels gradués. Définitions Soit {xα }α∈J une base bien ordonnée de L. + Une suite admissible M de longueur k est une suite finie (ou vide) d’indices α1 , α2 , ..., αk telle que α1 ≤ α2 ≤ ... ≤ αk et tel que αi est de multiplicité 1 si xαi est de degré impair. + Le Λ-monôme admissible correspondant est l’élément xM = xα1 ∧ ... ∧ xαk ∈ ΛL (ou x∅ = 1). Donc les Λ-monômes admissibles forment une base de ΛL. + On définit les U-monômes admissibles par : u∅ = 1 uM = (ixα1 )...(ixαk ) ∈ UL. Khalid BOUTAHIR Les algèbres de Lie graduées Théorème : Poincaré-Birkoff-Witt Soit L une algèbre de Lie graduée. Alors, Ê Les U-monômes admissibles forment une base de UL. Ë En particulier, l’application linéaire i : L −→ UL est une inclusion et se ∼ = prolonge en un isomorphisme d’espaces vectoriels gradués ΛV −→ UL Preuve : * R.H.T, Y.Félix , S.halperin, J-C.Thomas ,p 286-287 Khalid BOUTAHIR Les algèbres de Lie graduées 1 Les algèbres de Lie graduées 2 Les algèbres enveloppantes universelles 3 Les algèbres de Hopf graduées 4 Les algèbres de Lie graduées libres 5 Les algèbres de Lie différentielles graduées Khalid BOUTAHIR Les algèbres de Lie graduées Définition : + Coalgèbre graduée Une coalgèbre graduée est un module gradué C muni de deux applications linéaires de degré zéro : Ê Une comultiplication (une K-application linéaire) ∆ : C −→ C ⊗ C Ë Une augmentation : C −→ K tel que (∆ ⊗ id)∆ = (id ⊗ ∆)∆ et Khalid BOUTAHIR ( ⊗ id)∆ = (id ⊗ )∆ = idC Les algèbres de Lie graduées Définition : + Coalgèbre graduée Une coalgèbre graduée est un module gradué C muni de deux applications linéaires de degré zéro : Ê Une comultiplication (une K-application linéaire) ∆ : C −→ C ⊗ C Ë Une augmentation : C −→ K tel que (∆ ⊗ id)∆ = (id ⊗ ∆)∆ et ( ⊗ id)∆ = (id ⊗ )∆ = idC Définition : + Algèbre de Hopf graduée Une algèbre de Hopf graduée est un espace vectoriel gradué G qui est à la fois une algèbre graduée et une coalgèbre graduée ( avec comultiplication ∆ : G −→ G ⊗ G et augmentation : G −→ K), tel que ∆ et sont des morphismes d’algèbres graduées. Khalid BOUTAHIR Les algèbres de Lie graduées Remarque L’ algèbre de Hopf graduée est commutative si τ ∆ = ∆ où τ (a ⊗ b) = (−1)|a||b| b ⊗ a. Khalid BOUTAHIR Les algèbres de Lie graduées Remarque L’ algèbre de Hopf graduée est commutative si τ ∆ = ∆ où τ (a ⊗ b) = (−1)|a||b| b ⊗ a. Définition Soit G une algèbre de Hopf. Un élément x ∈ G est dit primitif si ∆x = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x. Khalid BOUTAHIR Les algèbres de Lie graduées Remarque Si x et y sont primitifs alors [x,y] est primitif. En effet : ∆([x, y ]) = ∆(xy − (−1)|x||y | yx) = ∆x∆y − (−1)|x||y | ∆y ∆x = [x ⊗ 1 + 1 ⊗ x, y ⊗ 1 + 1 ⊗ y ] = [x, y ] ⊗ 1 + 1 ⊗ [x, y ] Ainsi P(G), l’espace des éléments primitifs, est une algèbre de Lie graduée par rapport au commutateur. Khalid BOUTAHIR Les algèbres de Lie graduées Remarque Si x et y sont primitifs alors [x,y] est primitif. En effet : ∆([x, y ]) = ∆(xy − (−1)|x||y | yx) = ∆x∆y − (−1)|x||y | ∆y ∆x = [x ⊗ 1 + 1 ⊗ x, y ⊗ 1 + 1 ⊗ y ] = [x, y ] ⊗ 1 + 1 ⊗ [x, y ] Ainsi P(G), l’espace des éléments primitifs, est une algèbre de Lie graduée par rapport au commutateur. Proposition L’inclusion L −→ UL est un isomorphisme de L dans P(G), l’algèbre de Lie graduée des éléments primitifs dans UL. Preuve : * R.H.T, p 289 Khalid BOUTAHIR Les algèbres de Lie graduées 1 Les algèbres de Lie graduées 2 Les algèbres enveloppantes universelles 3 Les algèbres de Hopf graduées 4 Les algèbres de Lie graduées libres 5 Les algèbres de Lie différentielles graduées Khalid BOUTAHIR Les algèbres de Lie graduées Définition : +Algèbre de Lie graduée libre Soit TV l’algèbre tensorielle sur un espace vectoriel gradué V (c’est une algèbre de Lie graduée avec le commutateur). La sous-algèbre de Lie engendrée par V est appelée l’algèbre graduée libre sur V et est noté LV Khalid BOUTAHIR Les algèbres de Lie graduées Définition : +Algèbre de Lie graduée libre Soit TV l’algèbre tensorielle sur un espace vectoriel gradué V (c’est une algèbre de Lie graduée avec le commutateur). La sous-algèbre de Lie engendrée par V est appelée l’algèbre graduée libre sur V et est noté LV Soit L une algèbre de Lie graduée et V ⊂ L un sous-espace gradué tel que L = V ⊕ [L, L] On prolonge l’inclusion de V à un morphisme d’algèbres de Lie graduées σ : LV −→ L Khalid BOUTAHIR Les algèbres de Lie graduées Définition : +Algèbre de Lie graduée libre Soit TV l’algèbre tensorielle sur un espace vectoriel gradué V (c’est une algèbre de Lie graduée avec le commutateur). La sous-algèbre de Lie engendrée par V est appelée l’algèbre graduée libre sur V et est noté LV Soit L une algèbre de Lie graduée et V ⊂ L un sous-espace gradué tel que L = V ⊕ [L, L] On prolonge l’inclusion de V à un morphisme d’algèbres de Lie graduées σ : LV −→ L Rappel proj dimUL (K), la dimension projective de K, est le plus petit entier k (ou +∞ ) tel que K admet une résolution projective de la forme K ←− P0,∗ ←− P1,∗ ←− ... ←− Pk ,∗ ←− 0 Khalid BOUTAHIR Les algèbres de Lie graduées Proposition Si L = {Li }i≥1 alors σ : LV −→ L est surjective. En plus, les conditions suivantes sont équivalentes : Ê σ est un isomorphisme Ë L est libre Ì proj dimUL (K) = 1 Khalid BOUTAHIR Les algèbres de Lie graduées Proposition Si L = {Li }i≥1 alors σ : LV −→ L est surjective. En plus, les conditions suivantes sont équivalentes : Ê σ est un isomorphisme Ë L est libre Ì proj dimUL (K) = 1 Preuve : * R.H.T, Y.Félix , S.halperin, J-C.Thomas, p 290 Khalid BOUTAHIR Les algèbres de Lie graduées 1 Les algèbres de Lie graduées 2 Les algèbres enveloppantes universelles 3 Les algèbres de Hopf graduées 4 Les algèbres de Lie graduées libres 5 Les algèbres de Lie différentielles graduées Khalid BOUTAHIR Les algèbres de Lie graduées Définitions + Une algèbre de Lie différentielle graduée (aldg) est une algèbre de Lie graduée muni d’une différentielle d tel que d[x, y ] = [dx, y ] + (−1)|x| [x, dy ]. + Les morphismes, les sous-algèbres et les idéaux ont les mêmes définitions que dans le cas des algèbres de Lie graduées. + Un module (à gauche) pour une algèbre de Lie différentielle graduée (L, d) est un complexe (V , d) muni d’une représentation (à gauche) de L dans V tel que d(x.v ) = dx.v + (−1)|x| x.dv Khalid BOUTAHIR Les algèbres de Lie graduées Remarques 4 Soit (L, d) une algèbre de Lie différentielle graduée. Prolongeant d à une dérivation de carré zéro dans l’algèbre tensorielle TV . On remarque que d préserve l’idéal engendré par les éléments x ⊗ y − (−1)|x||y | y ⊗ x − [x, y ] d’où, l’algèbre enveloppante universelle hérite une différentielle d, et avec elle la structure d’une algèbre différentielle graduée. 4 L’algèbre différentielle graduée (UL, d) qu’on note par U(L, d) est l’algèbre enveloppante universelle de l’algèbre de Lie différentielle graduée (L, d). 4 Notons que les (L,d)-modules sont précisément les modules sur l’adg U(L,d). 4 Notons également que si ϕ est un morphisme d’algèbres de Lie différentielle graduées alors Uϕ est un morphisme d’adg. Khalid BOUTAHIR Les algèbres de Lie graduées Remarques 4 L’homologie H(L) d’une aldg hérite la structure d’une algèbre de Lie graduée comme suit : si z et ω sont des cycles de L représentant des classes d’homologie α et β, alors [α, β] est la classe représentée par le cycle [z, ω]. 4 Si ϕ est un morphisme d’aldg et si (V, d) est un (L, d)-module alors H(ϕ) est un morphisme d’alg et [z].[v]=[z.v] fait de H(V) un H(L)-module. 4 Enfin, soit (L,d) une aldg et soit l’inclusion i : (L, d) −→ U(L, d) en tant que morphisme d’alg. Ainsi H(i) : H(L) −→ H(UL) est un morphisme de Lie par rapport au commutateur dans l’algèbre graduée H(UL). En particulier, il se prolonge en un morphisme d’algèbres graduées, UH(L) −→ H(UL) Khalid BOUTAHIR Les algèbres de Lie graduées Théorème Ê Le morphisme UH(L) −→ H(UL) est un isomorphisme. Ë Un morphisme d’aldg ϕ est un quasi-isomorphisme si et seulement si Uϕ est un quasi-isomorphisme. Khalid BOUTAHIR Les algèbres de Lie graduées Preuve : Ê ∼ = On sait que γ : ΛV −→ UL. Prolongeons d à une dérivation dans ΛV ; alors γ est un morphisme de complexes. ∼ = Soit L = Z ⊕ V ⊕ W où d(Z)=0 et d : V −→ W . Alors, H(Λ(V ⊕ W )) = K, ainsi ∼ = (ΛZ , 0) −→ (ΛL, d). On fait l’identification Z = H(L) ∼ = ΛZ −→ UH(L) −→ H(UL) γ coincide avec l’isomorphisme ∼ = ∼ = ΛZ −→ H(ΛL) −→ H(UL). H(γ) Khalid BOUTAHIR Les algèbres de Lie graduées Preuve : Ê Ë ∼ = On sait que γ : ΛV −→ UL. Prolongeons d à une dérivation dans ΛV ; alors γ est un morphisme de complexes. ∼ = Soit L = Z ⊕ V ⊕ W où d(Z)=0 et d : V −→ W . Alors, H(Λ(V ⊕ W )) = K, ainsi L’isomorphisme de Ê identifie H(Uϕ ) avec UH(ϕ) et γ identifie ΛH(ϕ) avec UH(ϕ). Ainsi H(ϕ) est un isomorphisme si et seulement si UH(ϕ) l’est. ∼ = (ΛZ , 0) −→ (ΛL, d). On fait l’identification Z = H(L) ∼ = ΛZ −→ UH(L) −→ H(UL) γ coincide avec l’isomorphisme ∼ = ∼ = ΛZ −→ H(ΛL) −→ H(UL). H(γ) Khalid BOUTAHIR Les algèbres de Lie graduées ¤ Merci de votre attention ¤ Khalid BOUTAHIR Les algèbres de Lie graduées