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Opérades
1 Motivation
En mathématiques, on s’intéresse beaucoup aux algèbres :
— Algèbre associative A=k-ev + µ:A⊗A→Atq a·(b·c)=(a·b)·c.
— Algèbre commutative A = k -ev + µ : A⊗A→A tq a· ( b·c ) = ( a·b ) ·c et
b·a=a·b.
— Algèbre de Lie g = k -ev + λ : g⊗g→g tq [ a, [ b, c ]] = [[ a, b ] , c ]+[ b, [ a, c ]] et
[b, a] = −[a, b].
— Algèbres BV = k-ev A+µcommut + λLie + ∆presque dérivation.
Points communs :
— Des « générateurs », opérations d’une certaine arité (µ,λ,η...)
— Des « symétries » µ(y, x) = ...
— Des « relations ».
But : unifier ces différents « types d’algèbres » dans un cadre commun et trouver un
objet associé au type dont les représentations sont les algèbres.
Par exemple : « les algèbres commutatives sont les algèbres sur l’opérade Com. »
Pourquoi ? Par exemple, on peut regarder les ev munis d’une involution, ou les re-
présentations de Z/ 2 Z . On peut regarder les ev munis de S, T ∈End ( V )tq S4 = 1 et
( ST )
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= S2 , ou bien on peut regarder les représentations de SL2 ( Z )... Et qu’est-ce qu’on
fait quand on n’a pas de présentation simple, e.g. GLn(R)?
2 Définition
L’idée : regarder toutes les opérations qui découlent de la définition de notre type
d’algèbre, par exemple ( a, b, c ) 7→ a· ( b·c ),( a, b, c, d ) 7→ [ b, ∆ d ] · ( a· ( c· 1))... Et après
au lieu de dire « pour toute algèbre machin on a ces équations », on a directement les
équations dans l’opérade. Ça permet par exemple de faire des liens entre les opérades
(genre quotient).
L’exemple fondamental : EndX pour un objet X . Comme vous voyez à chaque fois on a
des choses qui « prennent en entrée » un certain nombre d’éléments de X et en ressortent
un. On va calquer la définition d’une opérade sur EndX.
GEndXP
G(1) = GEndX(n) = Map(Xn, X)P(n)
g∈G ρg:X→X f ∈EndX(n) f:Xn→XAlgèbres : P→EndX
eG∈GidX∈EndX(1) 1P∈P(1)
n/a (f·σ)(x1, . . . , xn) = f(xσ(1), . . . , xσ(n))SnyP(n)
G×G→GComposition : arbre P(r)×QP(ki)→P(Pki)
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3 Exemples
Un groupe (ou plus généralement un monoïde, ou une algèbre associative) G induit
une opérade PG en posant PG (1) = G et ∅ sinon. Les algèbres sur PG sont exactement
les représentations de G.
L’opérade des monoïdes commutatifs : Com ( r ) = {µr} pour r≥ 1, et le groupe
symétrique agit trivialement. En effet, étant donnés ( a1, . . . , ar ), il n’y a qu’une seule
manière de les multiplier, quel que soit l’ordre, vu que tout commute.
L’opérade des monoïdes : Ass ( r ) = Sr· {µr} , avec l’action évidente du groupe sy-
métrique. Quand on veut multiplier r éléments, seul leur ordre compte. Il existe un
morphisme Ass →Com ⇐⇒ tout monoïde commutatif est un monoïde.
On peut définir les opérades par générateurs et relations (plutôt dans un contexte
algébrique en général). Lie : opérade engendrée par λ en arité 2avec λ ( y, x ) = −λ ( x, y )
et λ ( x, λ ( y, z )) = λ ( λ ( x, y ) , z ) + λ ( y, λ ( x, z )). Quand on calcule Lie ( n )on retombe sur
des résultats combinatoires concernant les algèbres de Lie ( dim Lie ( n ) = ( n− 1)!).
∃Lie →Ass. Parler de Lie-admissible ?
Généralisations : opérades non symétriques, coopérades, PROPs, opérades colorées
= multicatégories, ∞-opérades, opérades cycliques...
Remarque. Le mot « opérade » est la contraction de « operation monad ». Pour ceux qui
sont allés à l’exposé d’Andrea la semaine dernière, une opérade P induit une monade (la
monade « algèbre libre sur P») dont les algèbres sont exactement les algèbres sur P.
4 Opérades En
4.1 Principe de reconnaissance
En topologie algébrique, on s’intéresse beaucoup aux espaces de lacets (faire un dessin) :
ΩX={γ: [0,1] →X|γ(0) = γ(1) = x0}
ΩnX={γ: [0,1]n→X|γ(∂[0,1]n) = x0}
La question est : quand est-ce qu’un espace Y « est » un espace de lacets (itérés) ? La
réponse est donnée par les opérades.
On définit l’opérade des petits cubes Cnde manière visuelle. Formellement,
Cn(r) = {(α1, . . . , αr)|αi: [0,1]n→[0,1]nest rectiligne et αi(]0,1[n)∩αj(]0,1[n) = ∅∀i6=j}
1 2 3 ∈C1(3)
2

1
2
3
◦2
1
2
=
1
2
3
4
Proposition. Cnest une opérade, et ΩnXest une algèbre sur Cn.
Expliquer pourquoi avec un dessin.
Théorème (Boardman–Vogt, May) . Si Y est une algèbre sur Cn connexe par arcs, alors
∃Xt.q. Y'ΩnX.
4.2 Algèbres A∞
La concaténation des lacets dans Ω X n’est pas strictement associative : on a juste
( αβ ) γ∼α ( βγ ). De même αα−1∼eΩX mais pas =. A priori c’est donc juste un H-groupe.
Mais on a en fait plus de structure, encodée par l’opérade C1 : un monoïde associatif à
homotopie cohérente près.
C’est plus facile de regarder la sous-opérade des associahèdres [Stasheff] A∞⊂C1 . On
a A∞ (1) = A∞ (2) = ∗ . En arité 3c’est un segment, en arité 4un pentagone, et après
je ne sais pas le dessiner. A∞ ( r )est contractible (convexe), donc il n’y a « qu’un seul
moyen » de passer d’un parenthésage à un autre.
Quel intérêt ? On peut parler d’algèbres A∞ dans toute catégorie raisonnable. Il arrive
souvent que l’on ait des structures associatives mais seulement à homotopie près, et il
n’est pas toujours bon de vouloir les strictifier. ( ∞, 1)-catégories, A∞ -catégories... Les
associateurs ne sont pas toujours triviaux et fournissent des informations intéressantes.
Un autre intérêt : en général si X'Y et que Y est un monoïde topologique, on ne peut
pas forcément trouver une structure de monoïde topologique sur X qui soit équivalente à
celle de Y . On peut cependant trouver une structure A∞ sur X qui est équivalente à la
structure A∞ sur Y (je triche un peu) induite par A∞→Ass ! C’est un exemple de ce
qu’on appelle le transfert homotopique.
4.3 Algèbres En,n≥2
Théorème (Eckmann–Hilton) . Soit X un ensemble muni de deux structures de monoïde
(avec la même unité pour simplifier) compatibles : ( a·b ) ∗ ( c·d )=( a∗c ) · ( b∗d ). Alors
·=∗est commutatif.
Démonstration. a·b = ( a∗ 1) · (1 ∗b ) = ( a· 1) ∗ (1 ·b ) = a∗b = (1 ·a ) ∗ ( b· 1) =
(1 ∗b)·(a∗1) = b·a
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Quel rapport ? On a deux structures de monoïde dans Ω
2X
: la composition horizontale
et la composition verticale, et les deux sont compatibles (cf. dessin). On peut adapter
l’argument pour montrer qu’elles sont égales à homotopie près et commutatives ! Voir la
preuve graphique. D’ailleurs, toutes ces preuves graphiques ont lieu dans C2 : on peut
étendre l’argument à toutes les C2-algèbres.
Mais tout n’est pas rose : si on applique deux fois l’homotopie de commutativité
αβ βα αβ , on a effectué une opération non-triviale. En effet, C2 (2) 'S1 , et il
peut y avoir des obstructions à ce que la multiplication soit commutative de manière
cohérente.
Chaque cran supplémentaire Cn Cn+1 rajoute « un niveau » de commutativité, et à la
limite il existe une opérade C∞ dont les algèbres sont les espaces munis d’une multiplication
associative et commutative à homotopie cohérente près, et l’unique morphisme C∞→Com
est une équivalence.
Le principe de reconnaissance s’étend à C∞ : si X est une algèbre (connexe par arcs)
sur C∞ , alors il existe une suite d’espaces Yk telle que Y0 = X et Yk' Ω Yk+1 . (Pour ceux
qui connaissent, c’est un Ω-spectre.) Il y a également une version pour E∞ du transfert
homotopique.
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