Université Pierre et Marie Curie Master de Mathématiques Examen de M024: Groupes et Algèbres de Lie 07 Mai 2015 - Durée: 3 heures Soit R[t] l'algèbre des polynômes en une variable à coecients réels. On rappelle qu'une dérivation de R[t] estun endomorphisme ∂(f vériant g) =∂(f )g + f ∂g pour tout Exercice 1. 0 1 ,Y = 0 0 vecteurs forment une base de l'algèbre de Lie sl2 (R). f, g ∈ R[t]. On notera H = 1 0 ,X = 0 −1 0 0 1 0 et on rappelle que ces i) Soient P1 , P2 ∈ R[t]. Montrer que ∂1 := P1 (t) dtd , ∂2 := P2 (t) dtd et [∂1 , ∂2 ] = ∂1 ◦ ∂2 − ∂2 ◦ ∂1 sont des dérivations. ii) Pour n = 0, 1, 2, on note Dn l'ensemble des dérivations de la forme P (t) dtd , où P est un polynôme nul ou de degré 6 n. (a) Démontrer que le crochet [., .], munit Dn d'une structure d'algèbre de Lie. (b) Montrer que l'algèbre de Lie D0 est abélienne, mais que D1 ne l'est pas. iii) On considère les élements ∂2 = t2 dtd , ∂1 = 2t dtd , ∂0 = − dtd de D2 . Calculer [∂i , ∂j ]. iv) En déduire que les algèbres de Lie D2 et sl2 (R) sont isomorphes. v) Démontrer que sl2 (R) est simple. Exercice 2 (Le groupe SO(2, 1) est un quotient de SL2 (R)). On pose G = SL2 (R) et on reprend les notations de l'exercice précédent sur son algèbre de Lie g := sl2 (R). i) Soient T = xX + yY + zH, (x, y, z) ∈ R3 , un élément de g, et ad : g → gl(g) la représentation adjointe de g. (a) Écrire en fonction de x, y, z la matrice représentative de l'endomorphisme ad(T ) de g dans la base {H, X, Y } . (b) On pose q(T ) = −T r (ad(T ))2 . Calculer q(T ) en fonction de x, y, z . ii) Soit Ad : G → GL(g) la représentation adjointe du groupe de Lie G. (a) Montrer que tout g ∈ G, X ∈ g, on a : q(Ad(g)(X)) = q(X). (b) En déduire qu'il existe un morphisme de groupes bijectif et continu de SL2 (R)/ ± I2 sur un un sous-groupe de SO(2, 1). iii) Calculer la dimension de SO(2, 1). iv) Démontrer que SO(2, 1) est isomorphe en tant que groupe de Lie à SL2 (R)/ ± I2 Exercice 3 (étude de SO4 (R) via les quaternions). Soit H = R.1 ⊕ R.i ⊕ R.j ⊕ R.k l'algèbre des quaternions : on rappelle qu'elle est la R-algèbre associative dont le produit est déni par les relations : i · j = k , j · k = i , k · i = j , i2 = j 2 = k 2 = −1, 1 et ∀x ∈ H, 1 · x = x · 1 = x Université Pierre et Marie Curie Master de Mathématiques Son centre est R.1 ' R. De plus, pour tout quaternion x = a + bi + cj + dk, on pose x := a − bi − cj − dk ∈ H et on a x · x = x · x = a2 + b2 + c2 + d2 On note enn N (x) = √ x · x la norme euclidienne sur H. i) Soient x, y ∈ H. Vérier que x · y = y · x, et que N (x · y) = N (x)N (y). ii) Pour tout x ∈ H, on note φ(x) : H → H la multiplication à gauche par x qui, à tout quaternion v , associe le quaternion φ(x)(v) := x · v . (a) Montrer que φ est un morphisme d'algèbres injectif de H vers l'algèbre L(H/R) ' M4 (R) des endomorphismes linéaires de H. (b) Soit f ∈ L(H/R) un endomorphisme de H. Montrer que f appartient à φ(H) si et seulement si ∀v, w ∈ H, on a : f (v · w) = f (v) · w . iii) On pose h = {z ∈ H, z + z = 0} = R.i ⊕ R.j ⊕ R.k. (a) Montrer que le crochet [z1 , z2 ] = z1 · z2 − z2 · z1 munit h d'une structure d'algèbre de Lie sur R. (b) Montrer que h = Dh puis que h est simple (Indication : on pourra utiliser et admettre le fait que toute algèbre de Lie de dimension 2 est résoluble). iv) On note S 3 = {x ∈ H / N (x) = 1} la sphère unité de H. (a) Rappeler pourquoi la multiplication de H induit une structure de groupe topologique compact sur S 3 . (b) Soit σ la restriction de φ à S 3 . Montrer que pour tout x ∈ S 3 , on a : σ(x) ∈ O(4), que σ : S 3 → O(4) est un morphisme de groupes topologiques injectif, et que σ(S 3 ) est contenue dans SO4 (R). (c) Montrer que σ établit un isomorphisme de groupes topologiques de S 3 sur son image σ(S3 ) et en déduire que c'est un groupe de Lie. v) (a) Montrer (à l'aide de ii.b)) que Lie(σ(S3 )) = φ(h). (b) En déduire que h est (isomorphe à) l'algèbre de Lie de S 3 . vi) On rappelle ou admet (cf. cours) que l'application ρ(x) : H → H qui, à tout quaternion v , associe le quaternion ρ(x)(v) := x · v · x−1 est à valeur dans SO3 (R) et induit un isomorphisme de groupes topologiques de S 3 /{±1} sur SO3 (R). On identie désormais SO3 (R) avec le sous-groupe de SO4 (R) formé par les endomorphismes f de H tels que f (1) = 1. Pour (x1 , x2 ) ∈ S 3 × S 3 , on note q(x1 , x2 ) : H → H l'application dénie par q(x1 , x2 )(v) := x1 · v · x−1 2 . (a) Montrer que q est un morphisme de groupes topologiques de S 3 × S 3 dans SO4 (R). Quel est son noyau ? (b) Démontrer que q est surjective. (c) En déduire que SO4 (R) est isomorphe à S 3 × S 3 /{±(1, 1)}. Démontrer enn qu'on a un isomorphisme de groupes topologiques, SO3 (R) × SO3 (R) ' SO4 (R)/{±Id}. 2