Structure de K-espace vectoriel (ou d`espace vectoriel sur K)

α1e1+· · · +αnene1,· · · , en
E α1,· · · , αn∈E
E
8
2n
, ..., n
[X]n[X] [X]n[X]
EqLin (x1,· · · , xn) (x1,· · · , xn)
EqLin (x1,· · · , xn) (x1,· · · , xn)
M(p, n, )M(p, n, )p, n
DD
[X]DD[X]
FDD F
2,· · · ,n
[X]n[X]
EqLin (x1,· · · , xn) (x1,· · · , xn)
M(p, n, )p n
DD
[X]DD[X]
FDD F
0E
E

E
F E
F F
E
E0E
E{OE}E
E E
E
E E
n[X] [X]
2 3 3
3
E
E v 6= 0Ev v
E E v
Vect (P)E E
PE E P
PE
P Vect (P)
EP
p×n
(A|b)n⇐⇒ b /∈ Vect (Col1(A), ..., Coln(A)) M(p, 1,)
(A|b)n⇐⇒ b∈ Vect (Col1(A), ..., Coln(A)) M(p, 1,)
E
E E FE
E E
E1v=Vect ({v})
n
n
n
E
EVect ({v1, v2})v1, v2E
v1, v2Vect ({v1, v2})E
2E=2
E=
E=
2E=2
2E=2
4 2
1[X]E= [X]

E
E E
E E
E
F1,· · · , FnE
F1+· · · +Fn={(v1+· · · +vn)∈E|v1∈F1,· · · , vn∈Fn}E
F1,· · · , Fn
F=f∈ | ∀x∈, f(x) = Acos(x−ϕ), A, ϕ ∈A>0
E=
F=Vect ({cos,sin}) = cos + sin
Vect ({v1, v2}) = v1+v2
Vect ({v1,· · · , vn}) = v1+· · · +vn
P1,· · · ,PnE
Vect (P1∪ · · · ∪ Pn) = Vect (P1) + · · · +Vect (Pn)
F1+· · · +Fn=Vect (F1∪ · · · ∪ Fn)
F1+F2
F E F +F=F
F G E G ⊂F F +G=F
E
E
F=F1+· · · +FnE F1,· · · , FnE
v F v1+· · · +vnv1∈F1,· · · , vn∈Fn
F=F1⊕···⊕Fn
E= [X]4[X]
4[X] = 1[X]⊕ Vect (X2+X0, X3−X)⊕(X4+ 2X3+X2−X)
P=a0X0+a1X+a2X2+a3X3+a4X4
4[X]
P=P1+P2+P3P1∈1[X]P2∈ Vect (X2+X0, X3−X)P3∈(X4+ 2X3+X2−X)
b0, b1, α, β, γ
P= (b0X0+b1X) + α(X2+X0) + β(X3−X)+γ(X4+ 2X3+X2−X)
(b0, b1, α, β, γ)
b0+α=a0
b1−β−γ=a1
α+γ=a2
β+2γ=a3
γ=a4
5 5
P P =P1+P2+P3P1∈1[X]
P2∈ Vect (X2+X0, X3−X)P3∈(X4+ 2X3+X2−X)

E
F G E E =F⊕G
v E vF+vG(vF, vG)∈F×G
E=F⊕G⇐⇒ F+G=E
F∩G={OE}
F=f∈ | fG=f∈ | f
F E G E {F, G}E
E
{F, G}E
E v ∈E vF+vG(vF, vG)∈F×G
PrF,G F G PrF,G(v) = vF
PrG,F G F PrG,F (v) = vG
SF,G F G SF,G(v) = vF−vG
SG,F G F SG,F (v) = vG−vF
F G
2 3 n
P S
P ◦ P =P S ◦ S =IdE
S P P ◦ P ◦ · · · ◦ P =P
E
E
SG,F =−SF,G 2PF,G − SF,G =IdE.
P S {F, G}
E u, v ∈E λ ∈
P(u+v) = P(u) + P(v)P(λu) = λP(u)
S(u+v) = S(u) + S(v)S(λu) = λS(u)
P S
E

E6={OE}
n > 0F={e1,· · · , en} ⊂ EVect (F) = E
FE
F E F
ekF F
F \ {ek}
∀F ∀ek∈ F ek/∈ V (F \ {ek})
ek∈ V (F \ {ek})F \{ek}
F
F={v1,· · · , vp} ⇐⇒ ∀ (λ1,· · · , λp)6= (0,· · · ,0) λ1v1+· · · +λpvp6= 0E
λ1v1+· · ·+λpvp= 0Ev1,· · · , vp
0v1+· · · + 0 vp= 0E
λ1v1+· · · +λpvp= 0E(λ1,· · · , λp) = (0,· · · ,0)
Fv /∈ V (F)F ∪ {v}
F={v1,· · · , vp} ⇐⇒ V (F) = v1⊕ · · · ⊕ vp
F={v1,· · · , vr} ⊂ E, G={w1,· · · , ws} ⊂ V (F)s>r=⇒ G
r r
s6rG G
s6r
s r
E6={OE}
E6={OE}