Espaces vectoriels de dimension finie 1 Familles génératrices

Lycée du Parc PCSI 843
2012-2013
Espaces vectoriels de dimension finie
Dans ce chapitre, on notera Eet Fdeux espaces vectoriels sur le corps Ket nun élément de N.
1 Familles génératrices, familles libres, bases
1.1 Familles génératrice
1.1.1 Définition
Soient (x1, x2,· · · , xn)∈En, on dit que la famille (x1, x2,· · · , xn)∈Enest une famille génératrice
du K-espace vectoriel E, si
E=Vect{x1, x2,· · · , xn},
c’est à dire pour tout x∈E, il existe (λ1, λ2,· · · , λn)∈Kn,tel que x=
n
X
k=1
λkxk.
Remarque :
Il y a équivalence entre :
(i) (x1, x2,· · · , xn)est une famille génératrice
(ii) E=Kx1+Kx2+· · · +Kxn.
Exemples :
1. La famille {1, i}est génératrice de Cconsidéré comme un R-espace vectoriel.
2. Dans R2, deux vecteurs non colinéaires forment une famille génératrice de R2considéré comme un
R-espace vectoriel.
3. Dans R3, trois vecteurs non coplanaires forment une famille génératrice de R3considéré comme un
R-espace vectoriel.
4. La famille (1, X, · · · , Xn)forme une famille génératrice de l’espace vectoriel Kn[X].
1.1.2 Propriétés
Proposition 1. Soit Gune famille génératrice de Eet Fune sur-famille de G. (c’est-à-dire G ⊂ F.)
Alors Gest un famille génératrice.
Proposition 2. Soit Gune famille génératrice de Eet Xune famille. Il y a équivalence entre :
(i) Xest une famille génératrice de E
(ii) tout vecteur xde Gest un élément de VectX.
1.2 Familles libres
1.2.1 Définitions
Soit X= (x1, x2,· · · , xn)une famille de nvecteurs de E, on dit que la famille Xest libre, si pour
tout (λ1,· · · , λn)∈Kn, tel que
n
X
k=1
λkxk= 0E, alors λ1=λ2=· · · =λn= 0.
Une famille de vecteurs est liée, si elle n’est pas libre.
Exemples :
1

1. Dans R2, deux vecteurs non colinéaires forment une famille libre de R2muni de sa structure d’espace
vectoriel usuelle.
2. Dans R2, les vecteurs −→ u1= (1,1),−→ u2= (2,1) et −→ u3= (3,2) forment une famille liée de R2, car
−→
u1+−→ u2−−→ u3= (0,0).
3. Dans R3, trois vecteurs non coplanaires forment une famille libre de R3muni de sa structure d’espace
vectoriel usuelle.
4. La famille X={1, i}est libre sur Cconsidéré comme un R-espace vectoriel, car a+ib = 0 avec a, b
réels impose a=b= 0.
Par contre, la famille Xest liée sur Cconsidéré comme un C-espace vectoriel, on peut prendre alors
a= 1 et b=i.
5. La famille (1, X, · · · , Xn)est une famille libre de l’espace vectoriel de Kn[X].
6. La famille (1, X, X2,(X+ 1)2)est une famille liée de l’espace vectoriel K2[X], car
1+2·X+X2−(X+ 1)2= 0.
7. La famille (x7→ sin2(x), x 7→ cos2(x), x 7→ cos(2x)) est une famille liée de l’espace vectoriel F(R,R),
car
(x7→ sin2(x)) −(x7→ cos2(x)) + (x7→ cos(2x)) = (x7→ 0).
1.2.2 Propriétés
Proposition 3. On a :
1. une sous-famille d’une famille libre est libre.
2. une sur-famille d’une famille liée est liée.
Proposition 4. Soit X= (x1,· · · , xn)une famille libre de vecteurs de Eet x∈E, il y a équivalence
entre
(i) (x1,· · · , xn, x)est une famille liée.
(ii) x∈Vect(x1,· · · , xn)
(iii) ∃(λ1,· · · , λn)∈Kn, tel que x=
n
X
k=1
λkxk,
de plus le n-uplet (λ1,· · · , λn)du (iii)est unique.
1.3 Bases
1.3.1 Définition
Une famille de vecteurs B= (e1,· · · , en)est une base de E, si elle est libre et génératrice. C’est-à-
dire que pour tout vecteur xde E, il existe un unique n-uplet (λ1,· · · , λn)de Kntel que
x=
n
X
k=0
λkek,
le n-uplet (λ1,· · · , λn)est appelé coordonnées de xdans la base B.
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1.3.2 Propriétés
Exemples :
1. Dans R2, deux vecteurs non colinéaires forment une base.
2. Dans R3, trois vecteurs non coplanaires forment une base.
3. Dans Rn, la famille ((1,0,· · · ,0),(0,1,0,· · · ,0),(0,0,1,0,· · · ,0),· · · ,(0,· · · ,0,1)) est une base ap-
pelée base canonique.
4. La famille X= (1, i)est une base sur Cconsidéré comme un R-espace vectoriel.
5. La famille (1, X, · · · , Xn)est une base de K-espace vectoriel de Kn[X]appelée base canonique.
6. ∅est la base de l’espace vectoriel {0E}.
1.4 Liens avec les applications linéaires
Proposition 5. Soient X= (e1,· · · , en)une famille de vecteurs de Eet l’application de Kndans E
définie par
ϕ(λ1,· · · , λn) =
n
X
k=1
λiei,
alors on a :
•l’application ϕest linéaire.
•l’application ϕsurjective si et seulement si Xest une famille génératrice.
•l’application ϕinjective si et seulement si Xest une famille libre.
•l’application ϕbijective si et seulement si Xest une base.
Proposition 6. Soit (e1,· · · , en)une base de Eet (f1,· · · , fn)une famille de vecteurs de E, il existe
une unique application linéaire ϕde Edans Ftel que
∀i∈[1, n], ϕ(ei) = fi.
Remarque : Cela se résume à
« une application linéaire est caractérisée par l’image d’une base. »
Proposition 7. Soit (e1,· · · , en)une base de Eet fun élément de L(E, F ), alors on a :
•la famille (f(ei))i∈[1,n]est une famille génératrice de Im f.
•l’application fsurjective si et seulement si (f(ei))i∈[1,n]est une famille génératrice.
•l’application finjective si et seulement si (f(ei))i∈[1,n]est une famille libre.
•l’application fbijective si et seulement si (f(ei))i∈[1,n]est une base.
2 Dimension finie
2.1 Dimension
2.1.1 Définition
L’espace vectoriel Eest de dimension finie, si il existe une famille génératrice finie de E, il est de
dimension infinie sinon.
Exemples :
1. Les espaces vectoriels K2,K3,Knsont des espaces vectoriels de dimension finie.
2. L’espace vectoriel K[X]est de dimension infinie.
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2.1.2 Existence d’une base
Si Eest de dimension finie alors Eadmet une base.
2.1.3 Définition de la dimension
Proposition 8. Soient une famille X= (x1,· · · , xn)de nvecteurs de Eet Y= (y1,· · · , yn+1)une
famille de n+ 1 vecteurs combinaisons linéaires des (x1,· · · , xn), alors le famille Yest liée.
Corollaire 1. Soient Xune famille libre de vecteurs de Eet Yune famille génératrice de vecteurs de
E, alors cardX ≤ cardY.
Corollaire 2. Si Eest un espace vectoriel de dimension finie, alors toutes ses bases ont même cardi-
nales et on appelle dimension de Fce cardinal notée dim E(ou dim KE, si on a besoin de préciser le
corps des scalaires.)
Exemples :
1. {0E}est un K-espace vectoriel de dimension 0.
2. Kest un K-espace vectoriel de dimension 1.
3. Knest un K-espace vectoriel de dimension n.
4. Cest un R-espace vectoriel de dimension 2.
5. L’espace vectoriel Kn[X]est un K-espace vectoriel de dimension n+ 1.
6. Soit a, b, c 3 nombres complexes avec a6= 0, alors l’ensemble Edes solutions de l’équation différen-
tielle
ay00 +by0+cy = 0
est un C-espace vectoriel de dimension 2, avec pour base B= (x7→ eα1x, x 7→ eα2x)si α1et α2sont
2 racines distinctes de l’équation caractéristique aX2+bX +c= 0 ou B= (x7→ eαx, x 7→ xeαx)si
αest une racine double de l’équation caractéristique aX2+bX +c= 0 .
7. Suites récurrentes linéaires d’ordre 2 à coefficients constants
On considère l’ensemble Edes suites de récurrence linéaire définie pour u0, u1, a, b ∈Cavec
a6= 0 par
un+2 =aun+1 +bun.
L’ensemble Ea pour équation caractéristique x2=ax+bet est un espace vectoriel de dimension
2 admettant (αn
1, αn 2)(respectivement (αn, nαn)pour base) si α1et α2sont 2 racines distinctes
de l’équation caractéristique (si αest une racine double de l’équation caractéristique).
Proposition 9. Si dim E=net Aune famille libre de vecteurs de E, alors cardA≤net si cardA<n,
alors An’est pas génératrice.
Corollaire 3. Il y a équivalence entre
(i) Eest un espace vectoriel de dimension infinie.
(ii) pour tout entier n≥0, il existe une famille libre de nvecteurs de E.
2.2 Théorème de la base incomplète
Théorème 1. Soient un famille libre Xde vecteurs de Eet Yune sur-famille de Xgénératrice finie,
alors il existe une base Bde Evérifiant
X ⊂ B ⊂ Y.
Corollaire 4. Soit un famille libre Xde vecteurs de Eespace vectoriel de dimension finie, alors il
existe une base Bde Evérifiant
X ⊂ B.
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Corollaire 5. Si dim E=net un famille Xde vecteurs de Ede cardinal n, alors il y a équivalence
entre
(i) Xest une famille libre.
(ii) Xest une famille génératrice.
(iii) Xest une base.
2.3 Relations entre les dimensions et sous-espaces vectoriels
Proposition 10. Soient Eune espace vectoriel de dimension finie et Fun sous espace vectoriel de
E, alors la dimension de Fest finie et dim F≤dim Eet il y a équivalence entre
(i) dim F= dim E.
(ii) E=F.
Proposition 11. Soient Eune espace vectoriel de dimension finie et Fun sous espace vectoriel de
E, alors il existe un sous-espace vectoriel Gsupplémentaire de dimension finie de E.
Proposition 12. Soient Eet F2 espaces vectoriels de dimension finie, il y a équivalence :
(i) dim F= dim E.
(ii) Eet Fsont isomorphes.
Corollaire 6. Soit Eun espace vectoriel, il y a équivalence :
(i) dim E=n.
(ii) Eet Knsont isomorphes.
Proposition 13. Soient Eet F2 espaces vectoriels de dimension finie, alors E×Fest un espace
vectoriel de dimension finie et
dim E×F= dim E+ dim F.
Proposition 14. Soient Eun espace vectoriel de dimension finie et E1,E22 sous-espaces vectoriels
de Esupplémentaires admettant respectivement B1et B2comme bases, alors
dim E= dim E1+ dim E2
et
B=B1∪ B2est une base de E.
Corollaire 7. Soient Eun espace vectoriel de dimension finie et E1,E22 sous-espaces vectoriels de
E, alors
dim E1+E2= dim E1+ dim E2−dim E1∩E2.
2.4 Rang
2.4.1 Définitions
•Soit Xune famille finie de vecteurs de E, on appelle rang de cette famille la dimension du sous-espace
vectoriel VectX.
•Soit fune application linéaire de Edans F, on appelle rang fde cette famille la dimension du
sous-espace vectoriel Im f.
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