ANALYSE STATISTIQUE pour la gestion

Université de MONTPELLIER
IUT GEA 2éme année FI
2016-2017
ANALYSE STATISTIQUE
pour la gestion
Cours N° 1 : Rappel sur les lois usuelles
du bon usage de la statistique en gestion…
MAD41F
Pr. Alain FRANCOIS-HEUDE
ENT MOODLE
[email protected]
Cours : AFH GEA2FI Cours 2016-2017
2
Généralités
Objectif : Maîtriser quelques outils quantitatifs d’aide à la décision en gestion
Pédagogie : 6 heures de cours et 7 séances de 2h de TD par groupe
- Priorité à l’interprétation des outils et des méthodes
- Réalisation de cas avec discussion des résultats obtenus
- Utilisation du logiciel Excel comme support pédagogique
- Contrôles pour l’évaluation
a) – un contrôle (QCM) pendant un TD
b) – individuel avec document, en semaine bloquée
Espace pédagogique :
1 - accéder au site par https://ent.umontpellier.fr
ou par http://www.umontpellier.fr puis onglet « ENT » puis s’identifier
2 - sélectionner le site du cours :
‘AFH GEA2FI Cours 2016-2017’ Dossier ‘Statistiques Inférentielles’
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PLAN
La statistique inférentielle
===========================
- Introduction : Rappel sur les lois
- Estimation
* directe d’un paramètre
* par intervalle de confiance
- Test d’hypothèses
* indépendance et ajustement
* sur les paramètres
- Conclusion
4
Rappel sur quelques lois statistiques
•
La loi Normale
N(μ,σ)
• La loi Binomiale
B(n ,p)
• La loi de Poisson
P(λ)
• La loi de Student
Stv ( μ , σ )
Avant d’évoquer la loi du Khi Deux et celle de Fisher …
5
La loi NORMALE : densité de probabilité
Densité normale
50%
40%
30%
20%
100%
10%
0%
-∞
-6,0
-4,0
-2,0
0,0
µ
1 − 12 x2
N (0,1) → f ( x) =
e
2π
N ( µ , σ ) → f ( x) =
1
e
σ 2π
1  x−µ 
− 

2 σ 
1
2,0
4,0
6,0
+∞
µ+σ
Tables disponibles
2
sur le site (fichier Excel)
nom : table normale.xls
6
La loi NORMALE : la fonction de Répartition
LOI NORMALE en densité et répartition
100%
80%
50%
60%
40%
20%
0%
-6,0
-4,0
-2,0
0,0
x
N (0,1) → F ( x) =
∫
−∞
2,0
1
f ( x)dx =
2π
1
N ( µ , σ ) → F ( x) =
σ 2π
x
∫e
−∞
4,0
∫
x
−∞
1  x−µ 
− 

2 σ 
e
1
− x2
2
6,0
dx
2
dx
7
La loi NORMALE : quelques formules sous Excel
P (x < b ) = 1 – P (x > b )
b
EXCEL : densité en x
e
1  x−µ 
− 

2 σ 
P (a < x < b ) = P ( x < b ) – P ( x < a )
a
b
= EXP(-( x ^2)/2)/(RACINE(2*PI()))
2
σ 2π
répartition
= EXP(-(( x – μ)/σ)^2)/2)/ (σ*RACINE(2*PI()))
= LOI.NORMALE (x ; μ ; σ ; Faux )
= LOI.NORMALE.STANDARD ( x )
= LOI.NORMALE ( x ; μ ; σ ; Vrai )
8
La loi NORMALE N(0,1) : QUIZ
Trouver, sur la table N(0,1) en répartition ou en probabilité ,
la borne correspondant à : un test unilatéral droit à 95% ?
Réponse borne = 1,6449
Avec table en probabilité : chercher 95% dans la colonne 1
lire la valeur de la ligne colonne 2
Avec la table en répartition : chercher 0,9500 dans le tableau
ligne 1,6, colonne 0,045, éventuellement, interpoler
Trouver, sur la table N(0,1) la borne correspondant à :
Réponse = - 1,6449
un test unilatéral gauche à 5% ?
Trouver, sur la table N(0,1) le pourcentage de la
Réponse = 95%
distribution normale pour l’intervalle ± 1,9600 ?
9
La loi NORMALE : un morceau d’aire
SYMETRIE
50%
ASYMETRIE
50%
47,72%
50%
2,28%
La moitié de l’aire : de – l’infini à 0 ou de 0 à l’infini
ou bien de -0,0572 à +2,0
P (b < 2 ) = 97,72%
50%
P(a < -0,0572 ) = 47,72%
25%
25%
P(a < - 0,6744 ) = 25%
P(b > + 0,6744 ) = 25%
La moitié de l’aire centrée sur 0 soit entre ± 0,6744
= LOI.NORMALE.STANDARD.INVERSE( prob ) renvoie la valeur de z
= LOI.NORMALE.INVERSE( prob ; μ ; σ )
pour une N(μ ; σ )
10
La loi NORMALE : quelques points de repères
t1
x
t2
+∞
-∞
0
- 2/3……… 50%.......... +2/3
- 1………………… 68%.......................+1
- 2…………………………….. 95%..................................... +2
-3…………………………………………… 99,7%.......................................................+3
= LOI.NORMALE.INVERSE( 97,5% ; 0 ; 1 ) = 1,96
= LOI.NORMALE.INVERSE( 2,5% ; 0 ; 1 ) = -1,96
Pour une loi normale de type N( μ , σ )
Pr(-1,96 < z < 1,96 )=95%
z=(Z- μ)/ σ
N(0,1)
-∞
+∞
μ-3σ
-3
μ-2σ
-2
μ - 1σ
-1
μ
0
μ + 1σ
+1
μ+2σ
+2
μ+3σ
+3
11
La loi NORMALE : diverses formes
LOIS NORMALES : N(0,1), N(5,3), N(8, .5) et N(10,2)
100%
80%
60%
40%
20%
0%
-6,0
-20%
-4,0
Remarques :
quand σ
quand σ
-2,0
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
12,0
14,0
16,0
18,0
20,0
* l’espérance de la loi décale horizontalement l’axe de symétrie,
* la densité augmente quand l’écart type diminue
0 , la fonction devient une droite verticale (Dirac)
∞, la fonction s’aplatit sur l’axe des abscisses !
densité
densité
1
0
12
La loi NORMALE N( μ , σ ) : QUIZ
Trouver pour la loi N( 6 , 2 ) la borne correspondant à :
un test unilatéral droit à 95% ?
a) On sait que la borne sur une loi N(0,1) est de 1,645
b) Il suffit donc de passer de z à Z avec la relation Z = μ + z σ
c) Z = 6 + 1,645 x 2 = 9,290
Trouver, pour une loi N( -3 , 0,8 ) l’intervalle centré correspondant à 95% ?
a) On sait que la borne sur une loi N(0,1) est de ± 1,9600
b) Il suffit donc de passer de z à Z
Z = -3 + 1,9600 x 0,8 = - 1,432
Trouver, sur la table N(3,3) le pourcentage de la
distribution normale pour l’intervalle P( Z < 0 )+P( Z > 9 ) ?
Réponse = P(Z<0)+ (1 - P(Z<9)) = 15,9% + (100% - 97,7%) = 18,3%
13
La loi BINOMIALE : une loi discrète
1
p
Base :
épreuve élémentaire
dite de Bernouilli
( l’événement se réalise )
Espérance = p et variance = p (1-p)
1-p
0
( l’événement ne se produit pas )
E(.) = p . 1 + ( 1 – p ) . 0 = p
V(.) = p [ 1 – p ]² + ( 1 - p ) [ 0 – p ]² = p ( 1 - p ) [ 1 – p + p ] = p ( 1 – p )
Répétition de cette épreuve n fois
Notation :
B(n,p)
(épreuves indépendantes et de même type)
Espérance = n p & Variance = n p (1-p)
P ( X = k ) = C p (1 − p )
k
n
Avec k = 0, 1, … , n
k
n−k
n!
p k (1 − p ) n − k
=
k !(n − k )!
14
La loi BINOMIALE : influence de la probabilité d’événement p
LOI BINOMIALE n=30 et p = 0,1
0,5 et 0,9
1,00
0,80
0,60
0,40
0,20
0,00
0
5
10
15
20
25
30
taille de l'échantillon
Avec p = ½ la distribution est symétrique
E(.) = 15 et V(.) = 7,5
avec p =0,1 < ½ dissymétrie avec mode sur la gauche E(.) = 3 et V(.) = 2,7
et réciproquement quand p > ½
Rappel :
P(X ≤ k ) = 1 – P(X > k )
E(.) = 27 et V(.) = 2,7
15
La loi BINOMIALE : influence de la taille de l’échantillon n
LOI BINOMIALE
p = 0,5 et n = 10, 30 et 50
1,00
0,80
E=5,0
V=2,5
0,60
E=15
V=7,5
E=25
V=12,5
0,40
0,20
0,00
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
taille de l'échantillon
EXCEL :
P(X = k )
= LOI.BINOMIALE( k ; n ; p ; Faux )
k
∑ P( X = j ) = P( X ≤ k )
=LOI.BINOMIALE( k ; n ; p ; Vrai)
j =0
16
RAPPEL sur la LOI BINOMIALE en PROPORTION
Cela concerne les variables qualitatives
On cherche les fréquences d’apparition de l’événement favorable fn
plutôt que les fois ( X parmi n ) où ils apparaissent
Rappel : E (aX ) = aE ( X )
et
V (aX ) = a 2V ( X )
1
X 1
E ( f n ) = E   = E ( X ) avec E ( X ) = np ⇒ E ( f n ) = np = p
n
n n
1
p (1 − p)
X 1
V ( f n ) = V   = 2 V ( X ) avec V( X ) = np (1 − p ) ⇒ V ( f n ) = 2 np(1 − p) =
n
n
n n
L ( np, np (1 − p ) ) loi binomiale pour les variables quantitatives
 p (1 − p ) 
L  p,

n


loi binomiale en proportion pour les variables qualitatives

p(1-p) 
N  p,

Avec des restrictions sur n et p, on peut converger vers la loi normale 
n 
17
La loi de POISSON
Loi d’événements rares
P(λ)
P( X = k ) = e
L’espérance est égale à la variance E(.) = λ 
−λ
λk
k!
V(.) = λ
Le rapport de deux probabilités consécutives est égale à :
P( X = k )
λ
=
P( X = k − 1) k
EXCEL :
P(X = k )
= LOI.POISSON( k ; λ ; Faux )
P(X ≤ k )
= LOI.POISSON( k ; λ ; Vrai )
18
La loi de POISSON
LOI de POISSON avec le paramètre = 1, 5 et 10
1,00
0,80
0,60
0,40
0,20
0,00
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
A mesure que le paramètre λ augmente, la distribution devient symétrique
et la probabilité associée à l’espérance diminue
19
La loi de STUDENT
Loi proche de la loi normale que l’on utilise quand le paramètre σ est inconnu
et qu’il faut l’estimer.
St ν ( μ , σ )
La différence concerne le paramètre ν (lire nu ) qui se définit comme le
nombre de degrés de liberté dans le choix des valeurs ( éliminations des
informations redondantes )
Exemple : si on a : E(X)=5, n=3, X1=2 et X2 = 6 alors X3= 7 donc ν = 3 – 1 = 2
P(X > b ) = 2,5% correspond à une borne de 1,96 dans la loi normale
à 2,00 quand v = 60,
à 2,09 quand v = 20,
Dans une loi de Student
à 2,57 quand v = 5 et
à 12,71 pour v = 1.
EXCEL :
P(X > b )
= LOI.STUDENT( b ; ν ; 1 ) pour test unilatéral
1 - P(-b < X < +b )
borne b telle que P(X>b)=x%
= LOI.STUDENT( b ; ν ; 2 ) test bilatéral
= LOI.STUDENT.INVERSE(x% ; ν)
20
Convergence vers d’autres lois
Critères de convergence de la loi Binomiale
* vers la Normale quand n.p ≥ 10 ET n.p.(1-p) ≥ 10
* vers une Poisson quand
N (np, np (1 − p ))
n ≥ 100 ET p ≤ 0,1
Critères de convergence de la loi de POISSON
* vers la loi Normale quand λ ≥ 20
Critères de convergence de la loi de STUDENT
* vers la loi Normale quand ν > 30
21
Fin du rappel sur les lois statistiques
La maîtrise de la loi Normale est incontournable en statistique
EXCEL permet de calculer la valeurs des probabilités et des bornes
L’incertitude (par définition aléatoire) suit un processus ‘régulier’ :
le bruit est normalement distribué !
les chocs ne sont pas corrélés entre eux !
Notion
de
v. a. i.i.d.
Variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées
22