Analyse vectorielle 1 Notion de champ

Lycée Newton - PT
Analyse vectorielle
Analyse vectorielle
1
Notion de champ
Nous rencontrerons, notamment en électromagnétisme, des grandeurs physiques définies sur des régions
étendues de l’espace et dépendant des coordonnées d’espace et du temps, ces grandeurs pouvant être
scalaires (densité volumique de charge, potentiel électrostatique, ...) ou vectorielles (champ électrique,
champ magnétique, ...). De telles grandeurs correspondent à ce que l’on appelle des champs scalaires ou
des champs vectoriels.
(a) Champ de température
(b) Champ de pression
(c) Carte des courants (champ vectoriel)
Figure 1 – Exemples de champs
2016/2017
1/13
Lycée Newton - PT
2
Analyse vectorielle
Contours et surfaces
2.1
Définitions
On appelle contour toute courbe orientée Γ reliant deux points de l’espace. Lorsque la courbe est fermée,
le contour est dit lui-même fermé et définit alors une surface S associée. On appelle surface fermée une
surface délimitant un volume V .
Γ
Γ
S
•
V
S
•
(a) Contour orienté reliant
deux points
2.2
(b) Contour fermé Γ délimitant une surface associée S
(c) Surface fermée S délimitant un
volume associé V
Conventions
• Une surface fermée est conventionnellement orientée positivement vers l’extérieur du volume qu’elle
délimite.
• L’orientation d’une surface (ouverte) s’appuyant sur un contour fermé est conventionnellement associée à l’orientation du contour par la règle de la main droite :
2.3
2.3.1
Circulation et flux
Circulation d’un champ vectoriel
Considérons, dans une région où l’on a défini un champ de vecteur a, un contour Γ allant d’un point A
à un point B.
dl
•B
δC
A•
2016/2017
M•
a(M )
2/13
Lycée Newton - PT
Analyse vectorielle
Localement, en un point M de ce contour, le sens de parcours est donné par le vecteur déplacement
élémentaire dl, localement tangent au contour au point M et représentant le déplacement élémentaire le
long du contour Γ.
Circulation élémentaire d’un champ vectoriel :
On appelle circulation élémentaire δC d’un champ vectoriel a en un point M d’un contour la
projection locale du champ sur le contour :
δC = a(M ) · dl
(1)
Remarques :
• Si la composante du champ le long du contour est orientée dans le même sens que le contour, la
circulation élémentaire est positive ;
• Elle est négative dans le cas contraire.
• Si le champ est localement orthogonal au contour, la circulation élémentaire est nulle.
On peut également définir une circulation entre deux point A et B du contour Γ :
Circulation d’un champ vectoriel entre deux points A et B d’un contour Γ :
On appelle circulation C d’un champ vectoriel a entre deux points A et B d’un contour Γ la
somme des circulations élémentaires entre ces deux points :
Z B
Z B
δC =
C=
a(M ) · dl
(2)
A
A
Remarque : Si le contour est fermé, on note la circulation du champ :
I B
C=
a(M ) · dl
(3)
A
2.3.2
Le flux d’un champ vectoriel
Considérons, dans une région où l’on a défini un champ de vecteur a, une surface S orientée.
Localement, en un point M de cette surface, l’orientation de cette surface est donnée par le vecteur
surface élémentaire dS, localement normal à la surface et de norme égale à l’élement de surface élémentaire
autour du point M :
dS = dSn
(4)
n étant le vecteur unitaire localement normal à la surface en M .
Flux élémentaire d’un champ vectoriel :
On appelle flux élémentaire δφ d’un champ vectoriel a en un point M d’une surface orientée la
projection locale du champ sur le vecteur surface élémentaire :
δφ = a(M ) · dS
2016/2017
(5)
3/13
Lycée Newton - PT
Analyse vectorielle
Remarques :
• Si la composante du champ le long du vecteur surface élémentaire est orientée dans le même sens que
la surface, le flux élémentaire est positif ;
• Il est négatif dans le cas contraire.
• Si le champ est localement tangent à la surface, le flux élémentaire est nul.
On peut également définir un flux à travers une surface finie S :
Flux d’un champ vectoriel à travers une surface S :
On appelle flux φ d’un champ vectoriel a à travers une surface S orientée la somme des flux
élémentaires traversant l’ensemble de la surface :
x
x
φ=
δφ =
a(M ) · dS
(6)
S
S
Remarque : Si la surface orientée est une surface fermée, on note le flux du champ :
{
φ=
a(M ) · dS
(7)
S
3
Les opérateurs vectoriels
3.1
Le gradient d’un champ scalaire
3.1.1
Définition - Interprétation
Considérons un champ scalaire f (M, t), fonction des coordonnées cartésiennes x, y, z et du temps t.
L’évolution dans le temps du champ en un point donné fait intervenir la dérivée temporelle dont le calcul
est immédiat. Notons df la variation élémentaire de f associé à un déplacement élémentaire dl.
Définition intrinsèque du gradient :
Le gradient d’un champ scalaire f est défini par la relation :
df = gradf · dl
(8)
Remarque : L’opérateur gradient s’applique à un champ scalaire qu’il transforme en un champ vectoriel.
L’ensemble des points tels que f = cte définit une surface. Si, à partir d’un point de la surface, on se
déplace de dl sur cette surface, c’est-à-dire dans le plan tangent à la surface au point considéré, df = 0.
Cela implique que le vecteur gradf est orthogonal aux surfaces f = cte. Si on se déplace maintenant sur
la normale, df est positif si gradf et dl sont de même sens : gradf est donc dirigé vers les f croissants.
Signification du gradient :
Le vecteur gradf , orthogonal aux surfaces f = cte et dirigé vers les f croissants, indique dans
quelle direction, dans quel sens et avec quelle intensité la grandeur f varie dans l’espace.
2016/2017
4/13
Lycée Newton - PT
3.1.2
Analyse vectorielle
Expressions analytiques
La définition (8) possède un caractère intrinsèque car elle ne fait pas intervenir un système de coordonnées particulier. C’est à cette relation que nous ferons appel pour obtenir l’expression du gradient dans les
différents systèmes de coordonnées.
.
En coordonnées cartésiennes :
différentielle :
df =
∂f
∂f
∂f
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
déplacement élémentaire :
dl = dxex + dyey + dzez
On déduit de l’expression précédente l’opérateur en coordonnées cartésiennes. La même démarche permet
de déterminer l’expression de l’opérateur gradient en coordonnées cylindriques et sphériques.
Expression de l’opérateur gradient dans le différents systèmes de coordonnées :
- en coordonnées cartésiennes :
gradf =
∂f
∂f
∂f
ex +
ey +
ez
∂x
∂y
∂z
(9)
gradf =
1 ∂f
∂f
∂f
er +
eθ +
ez
∂r
r ∂θ
∂z
(10)
∂f
1 ∂f
1 ∂f
er +
eθ +
eφ
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
(11)
- en coordonnées cylindriques :
- en coordonnées sphériques :
gradf =
Remarque : On utilise souvent l’opérateur symbolique ∇, appelé opérateur nabla et s’exprimant en
cartésien de la façon suivante :
∂
∂
∂
∇=
ex +
ey +
ez
(12)
∂x
∂y
∂z
Cet opérateur agit sur le champ scalaire f , de sorte que son gradient peut s’exprimer à partir de l’opérateur
nabla :
gradf = ∇f
(13)
2016/2017
5/13
Lycée Newton - PT
3.1.3
Analyse vectorielle
Un champ à circulation conservative est le gradient d’un champ scalaire
Champ à circulation conservative :
Un champ vectoriel est dit à circulation conservative si, pour tout couple de points A et B de
l’espace, la circulation du champ le long d’un contour reliant les points A et B ne dépend pas du
contour choisi pour relier ces deux points : on dit que la circulation du champ est indépendante
du chemin suivi.
La circulation d’un tel champ de A à B peut donc s’exprimer comme la différence des valeurs
d’une fonction scalaire f , définie à une constante près, en A et en B :
Z B
a · dl = f (B) − f (A)
(14)
A
En conséquence, la circulation sur un contour fermé d’un tel champ est nulle :
I
a(M ) · dl = 0
(15)
L’équation (14) peut s’exprimer sous forme infinitésimale :
a · dl = df
(16)
Or, d’après la définition intrinsèque du gradient (éq. 8) :
df = ∇f · dl
(17)
On en déduit :
Un champ à circulation conservative est le gradient d’un champ scalaire :
a = ∇f
(18)
avec le champ scalaire f défini à une constante près.
3.2
3.2.1
La divergence d’un champ vectoriel
Définition - Interprétation
Considérons un champ vectoriel a et l’élément de volume dτ associé à un point M de l’espace. On peut
alors construire le flux élémentaire δφ du champ a à travers la surface fermée délimitant le volume dτ :
M
2016/2017
•
6/13
Lycée Newton - PT
Analyse vectorielle
Définition intrinsèque de l’opérateur divergence :
L’opérateur divergence en M du champ vectoriel a est défini par la relation :
div a =
δφ
dτ
(19)
Le champ résultant de l’opérateur divergence est un champ scalaire. La signification physique de l’opérateur divergence est intimement liée à la notion de flux : un champ de vecteurs « diverge » en un point M
si son flux à travers un volume élémentaire associé à ce point est non nul.
3.2.2
Expressions analytiques
En coordonnées cartésiennes, l’expression analytique s’obtient à partir de la définition intrinsèque (19) :
en explicitant sur l’élément dτ = dxdydz le calcul du flux δφ du champ a à travers les six faces du cube
élémentaire, il vient :
. suivant Ox :
δφx = (ax (x + dx, y, z) − ax (x, y, z)) dydz
δφx =
∂ax
dτ
∂x
δφy =
∂ay
dτ
∂y
δφz =
∂az
dτ
∂z
De même :
Le flux total est donc :
Å
δφ =
∂ax ∂ay
∂az
+
+
dτ
∂x
∂y
∂z
ã
On en déduit immédiatement l’expression de la divergence en coordonnées cartésiennes. Les expressions
de la divergence d’un champ a sont plus délicates à trouver en coordonnées cylindriques et sphériques et
seront systématiquement données.
Expression de l’opérateur divergence dans les différents systèmes de coordonnées :
- en coordonnées cartésiennes :
∂ax ∂ay
∂az
+
+
∂x
∂y
∂z
(20)
1 ∂(rar ) 1 ∂aθ
∂az
+
+
r ∂r
r ∂θ
∂z
(21)
1 ∂(r2 ar )
1 ∂(sin θaθ )
1 ∂aφ
+
+
2
r
∂r
r sin θ
∂θ
r sin θ ∂φ
(22)
div a =
- en coordonnées cylindriques :
div a =
- en coordonnées sphériques :
div a =
2016/2017
7/13
Lycée Newton - PT
Analyse vectorielle
Remarque : La notation utilisant l’opérateur nabla est :
div a = ∇ · a
(23)
.
3.2.3
Théorème de Green-Ostrogradski
La définition de l’opérateur divergence introduit l’égalité :
δφ = ∇ · adτ
(24)
En intégrant cette égalité sur un volume V quelconque, on obtient le théorème de Green-Ostrogradski :
Théorème de Green-Ostrogradski :
Le flux d’un champ vectoriel à travers une surface fermée est égal à l’intégrale de sa divergence
sur le volume délimité par cette surface :
{
y
a · dS =
∇ · adτ
(25)
3.2.4
Champs à flux conservatif
D’après le théorème précédent, tout champ à divergence nulle a un flux nul à travers toute surface
fermée : on dit qu’il est à flux conservatif.
Si l’on construit une surface fermée Σ à partir d’un tube de champ (ensemble des lignes de champ
s’appuyant sur un contour fermé) et de deux sections S1 et S2 de ce tube, un champ à flux conservatif à
un flux nul à travers Σ.
S1
S2
Or, il est nul à travers la surface latérale de Σ par construction. Le flux du champ de vecteurs est donc
le même à travers les surfaces identiquement orientées S1 et S2 .
Tout champ de vecteurs à divergence nulle est à flux conservatif : son flux à travers toute surface
fermée est nul, son flux est identique à travers toute section d’un tube de champ.
2016/2017
8/13
Lycée Newton - PT
Analyse vectorielle
On peut déduire de ce dernier résultat une propriété intéressante des champs vectoriels à flux conservatif,
observable directement sur les cartes de champ :
Dans des portions d’espace où les lignes de champ se resserrent, le champ doit avoir un module
plus élevé.
3.3
Le rotationnel d’un champ vectoriel
3.3.1
Définition - Interprétation
On considère un champ vectoriel a et une surface élémentaire dS associée à un point M de l’espace. On
définit l’opérateur rotationnel en M à partir de la circulation élémentaire δC du champ le long du contour
fermé Γ délimitant dS :
dS
Γ
Définition intrinsèque de l’opérateur rotationnel :
L’opérateur rotationnel en M d’un champ vectoriel a est défini par la relation :
rot a · dS = δC
(26)
La projection selon la normale à une surface élémentaire du rotationnel d’un champ vectoriel est égale
à la circulation, par unité de surface, de ce champ le long du contour associé. Il apparaît donc qu’un champ
vectoriel dont le rotationnel est non nul en un point « effectue une rotation » autour de ce point puisque
sa circulation le long de tout contour fermé associé à ce point est non nulle.
3.3.2
Expressions analytiques
La relation (26) définit en fait la composante de rot a sur la direction normale à l’élément dS. En prenant trois surfaces orthogonales dont les normales forment elles-mêmes un système orthogonal, on obtient
les trois composantes de ce rotationnel.
Considérons un cube élémentaire de volume dxdydz en un point M (x, y, z) quelconque, et calculons la
circulation de a le long des contours fermés constitués par les faces du cube.
Orientons arbitrairement le contour de la face 1. La convention d’orientation relative de la surface au
contour implique que la surface correspondante dS1 est orientée dans le sens des x croissants (règle de la
main droite). Le contour est constitué de deux paires de segments, de longueur dy aux abscisses z et z + dz,
et dz aux abscisses y et y + dy.
2016/2017
9/13
Lycée Newton - PT
Analyse vectorielle
z
z + dz
dx
dy
(1)
(2)
dz
• M (x, y, z)
x + dx
y + dy
(3)
y
x
Sur les segments dy, seule la composante ay du champ est utile dans le calcul de la circulation. De la même
manière, le calcul sur les segments dz ne fait intervenir que la composante az . La circulation élémentaire
δC1 sur ce contour est donc :
δC1 = ay (x, y, z)dy + az (x, y + dy, z)dz − ay (x, y, z + dz)dy − az (x, y, z)dz
Å
δC1 =
Å
δC1 =
∂az
∂ay
−
dydz
∂y
∂z
ã
∂ay
∂az
−
ex · dS1
∂y
∂z
ã
D’après la définition intrinsèque du rotationnel, on en déduit la composante de ∇ ∧ a suivant x :
rot a · ex =
Å
∂ay
∂az
−
∂y
∂z
ã
De la même manière, le calcul de la circulation sur les faces (2) et (3) permet de detérminer les composante
du rotationnel suivant y et z :
Å
ã
∂ax ∂az
rot a · ey =
−
∂z
∂x
Å
ã
∂ax
∂ay
rot a · ez =
−
∂x
∂y
On détermine ainsi l’expression analytique du rotationnel en coordonnées cartésiennes. Les expressions du
rotationnel d’un champ a sont plus délicates à trouver en coordonnées cylindriques et sphériques et seront
systématiquement données.
2016/2017
10/13
Lycée Newton - PT
Analyse vectorielle
Expression de l’opérateur rotationnel dans les différents systèmes de coordonnées :
- en coordonnées cartésiennes :
∂az
∂ay
∂ax ∂az
∂ay
∂ax
rot a =
−
ex +
−
ey +
−
ez
∂y
∂z
∂z
∂x
∂x
∂y
Å
ã
Å
ã
Å
ã
(27)
- en coordonnées cylindriques :
1 ∂az
∂aθ
∂ar
∂az
1
rot a =
−
er +
−
eθ +
r ∂θ
∂z
∂z
∂r
r
Å
ã
Å
ã
Ç
∂(raθ ) ∂ar
−
∂r
∂θ
å
ez
(28)
- en coordonnées sphériques :
1
rot a =
r sin θ
Ç
∂(sin θaφ ) ∂aθ
−
∂θ
∂φ
å
1
er +
r
Ç
∂(raφ )
1 ∂ar
−
sin θ ∂φ
∂r
å
1
eθ +
r
Ç
dr(raθ ) ∂ar
−
∂r
∂θ
å
eφ
(29)
Remarque : La notation utilisant l’opérateur nabla est :
rot a = ∇ ∧ a
(30)
.
3.3.3
Théorème de Stokes-Ampère
Le théorème résulte de la simple intégration sur un coutour fermé de la relation (26) entre rotationnel
et circulation élémentaire. Il s’énonce :
Théorème de Stokes-Ampère :
La circulation le long d’un contour fermé Γ d’un champ vectoriel est égale au flux de son rotationnel à travers toute surface S s’appuyant sur ce contour :
I
x
a · dl =
∇ ∧ a · dS
(31)
Γ
3.4
3.4.1
S
Opérateurs Laplaciens
Laplacien scalaire
On considère un champ sclaire f .
2016/2017
11/13
Lycée Newton - PT
Analyse vectorielle
Définition intrinsèque du laplacien scalaire :
Le laplacien scalaire, conventionnellement noté par le symbole ∆ est défini par la relation :
∆f = ∇ · (∇f )
(32)
L’expression analytique du laplacien scalaire en coordonnées cartésiennes se déduit immédiatement. Les
expression du laplacien scalaire en coordoonnées cylindriques et sphériques sont plus délicates à trouver et
seront systématiquement données.
Expression de l’opérateur Laplacien scalaire dans les différents systèmes de coordonnées :
- en coordonnées cartésiennes :
∂2f
∂2f
∂2f
+
+
∂x2
∂y 2
∂z 2
(33)
1 ∂f
1 ∂2f
∂2f
∂2f
+
+
+
∂r2
r ∂r
r2 ∂θ2
∂z 2
(34)
∆f =
- en coordonnées cylindriques :
∆f =
- en coordonnées sphériques :
∂2f
2 ∂f
1
∂
∂f
+
+ 2 2
sin θ
2
∂r
r ∂r
∂θ
r sin θ ∂θ
Å
∆f =
3.4.2
ã
+
∂2f
1
r2 sin2 θ ∂φ2
(35)
Laplacien vectoriel
Le laplacien vectoriel, noté conventionnellement ∆, transforme un vecteur en un vecteur. Son expression,
en coordonnées cartésiennes est :
Laplacien vectoriel en coordonnées cartésiennes :
∆a = ∆ax ex + ∆ay ey + ∆az ez
(36)
Dans ce système de coordonnées, il suffit donc d’appliquer le laplacien scalaire à chacune des composantes
du champ vectoriel initial.
Contrairement aux autres opérateurs, le laplacien, qui doit son nom au mathématicien Laplace, n’a
pas d’interprétation physique immédiate. On peut donner une identité qui le lie aux autres opérateurs
précédemment définis et en donner ainsi une définition intrinsèque :
2016/2017
12/13
Lycée Newton - PT
Analyse vectorielle
Définition intrinsèque du laplacien vectoriel :
∆ = grad(div) − rot(rot)
2016/2017
(37)
13/13