Analyse vectorielle 1 Notion de champ

Lycée Newton - PT Analyse vectorielle
Analyse vectorielle
1 Notion de champ
Nous rencontrerons, notamment en électromagnétisme, des grandeurs physiques définies sur des régions
étendues de l’espace et dépendant des coordonnées d’espace et du temps, ces grandeurs pouvant être
scalaires (densité volumique de charge, potentiel électrostatique, ...) ou vectorielles (champ électrique,
champ magnétique, ...). De telles grandeurs correspondent à ce que l’on appelle des champs scalaires ou
des champs vectoriels.
(a) Champ de température (b) Champ de pression
(c) Carte des courants (champ vectoriel)
Figure 1 – Exemples de champs
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2 Contours et surfaces
2.1 Définitions
On appelle contour toute courbe orientée Γreliant deux points de l’espace. Lorsque la courbe est fermée,
le contour est dit lui-même fermé et définit alors une surface Sassociée. On appelle surface fermée une
surface délimitant un volume V.
•
•
Γ
(a) Contour orienté reliant
deux points
Γ
S
(b) Contour fermé Γdélimitant une sur-
face associée S
S
V
(c) Surface fermée Sdélimitant un
volume associé V
2.2 Conventions
•Une surface fermée est conventionnellement orientée positivement vers l’extérieur du volume qu’elle
délimite.
•L’orientation d’une surface (ouverte) s’appuyant sur un contour fermé est conventionnellement asso-
ciée à l’orientation du contour par la règle de la main droite :
2.3 Circulation et flux
2.3.1 Circulation d’un champ vectoriel
Considérons, dans une région où l’on a défini un champ de vecteur a, un contour Γallant d’un point A
à un point B.
•
M
a(M)
•
A
•B
dl
δC
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Localement, en un point Mde ce contour, le sens de parcours est donné par le vecteur déplacement
élémentaire dl, localement tangent au contour au point Met représentant le déplacement élémentaire le
long du contour Γ.
On appelle circulation élémentaire δC d’un champ vectoriel aen un point Md’un contour la
projection locale du champ sur le contour :
δC =a(M)·dl(1)
Circulation élémentaire d’un champ vectoriel :
Remarques :
•Si la composante du champ le long du contour est orientée dans le même sens que le contour, la
circulation élémentaire est positive ;
•Elle est négative dans le cas contraire.
•Si le champ est localement orthogonal au contour, la circulation élémentaire est nulle.
On peut également définir une circulation entre deux point Aet Bdu contour Γ:
On appelle circulation Cd’un champ vectoriel aentre deux points Aet Bd’un contour Γla
somme des circulations élémentaires entre ces deux points :
C=ZB
A
δC =ZB
A
a(M)·dl(2)
Circulation d’un champ vectoriel entre deux points Aet Bd’un contour Γ:
Remarque : Si le contour est fermé, on note la circulation du champ :
C=IB
A
a(M)·dl(3)
2.3.2 Le flux d’un champ vectoriel
Considérons, dans une région où l’on a défini un champ de vecteur a, une surface Sorientée.
Localement, en un point Mde cette surface, l’orientation de cette surface est donnée par le vecteur
surface élémentaire dS, localement normal à la surface et de norme égale à l’élement de surface élémentaire
autour du point M:
dS = dSn(4)
nétant le vecteur unitaire localement normal à la surface en M.
On appelle flux élémentaire δφ d’un champ vectoriel aen un point Md’une surface orientée la
projection locale du champ sur le vecteur surface élémentaire :
δφ =a(M)·dS (5)
Flux élémentaire d’un champ vectoriel :
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Remarques :
•Si la composante du champ le long du vecteur surface élémentaire est orientée dans le même sens que
la surface, le flux élémentaire est positif ;
•Il est négatif dans le cas contraire.
•Si le champ est localement tangent à la surface, le flux élémentaire est nul.
On peut également définir un flux à travers une surface finie S:
On appelle flux φd’un champ vectoriel aà travers une surface Sorientée la somme des flux
élémentaires traversant l’ensemble de la surface :
φ=x
S
δφ =x
S
a(M)·dS (6)
Flux d’un champ vectoriel à travers une surface S:
Remarque : Si la surface orientée est une surface fermée, on note le flux du champ :
φ={
S
a(M)·dS (7)
3 Les opérateurs vectoriels
3.1 Le gradient d’un champ scalaire
3.1.1 Définition - Interprétation
Considérons un champ scalaire f(M, t), fonction des coordonnées cartésiennes x,y,zet du temps t.
L’évolution dans le temps du champ en un point donné fait intervenir la dérivée temporelle dont le calcul
est immédiat. Notons dfla variation élémentaire de fassocié à un déplacement élémentaire dl.
Le gradient d’un champ scalaire fest défini par la relation :
df=gradf·dl (8)
Définition intrinsèque du gradient :
Remarque : L’opérateur gradient s’applique à un champ scalaire qu’il transforme en un champ vectoriel.
L’ensemble des points tels que f= cte définit une surface. Si, à partir d’un point de la surface, on se
déplace de dl sur cette surface, c’est-à-dire dans le plan tangent à la surface au point considéré, df= 0.
Cela implique que le vecteur gradfest orthogonal aux surfaces f= cte. Si on se déplace maintenant sur
la normale, dfest positif si gradfet dl sont de même sens : gradfest donc dirigé vers les fcroissants.
Le vecteur gradf, orthogonal aux surfaces f= cte et dirigé vers les fcroissants, indique dans
quelle direction, dans quel sens et avec quelle intensité la grandeur fvarie dans l’espace.
Signification du gradient :
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3.1.2 Expressions analytiques
La définition (8) possède un caractère intrinsèque car elle ne fait pas intervenir un système de coordon-
nées particulier. C’est à cette relation que nous ferons appel pour obtenir l’expression du gradient dans les
différents systèmes de coordonnées.
En coordonnées cartésiennes :
.différentielle :
df=∂f
∂x dx+∂f ∂y dy+∂f ∂z dz
déplacement élémentaire :
dl = dxex+ dyey+ dzez
On déduit de l’expression précédente l’opérateur en coordonnées cartésiennes. La même démarche permet
de déterminer l’expression de l’opérateur gradient en coordonnées cylindriques et sphériques.
- en coordonnées cartésiennes :
gradf=∂f
∂x ex+∂f ∂y ey+∂f ∂z ez(9)
- en coordonnées cylindriques :
gradf=∂f
∂r er+1 r
∂f
∂θ eθ+∂f ∂z ez(10)
- en coordonnées sphériques :
gradf=∂f
∂r er+1 r
∂f
∂θ eθ+1 rsin θ
∂f
∂φeφ(11)
Expression de l’opérateur gradient dans le différents systèmes de coordonnées :
Remarque : On utilise souvent l’opérateur symbolique ∇, appelé opérateur nabla et s’exprimant en
cartésien de la façon suivante :
∇=∂
∂xex+∂ ∂y ey+∂ ∂z ez(12)
Cet opérateur agit sur le champ scalaire f, de sorte que son gradient peut s’exprimer à partir de l’opérateur
nabla :
gradf=∇f(13)
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