géométrie euclidienne - MPSI-1

GÉOMÉTRIE EUCLIDIENNE
MPSI 1–Lycée Thiers
Année 2008-2009
Table des matières
A Produit scalaire
A.1 Définitions et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.1 Produit scalaire : définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.1.2 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.2 Inégalité de Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3 Norme euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3.2 Distance euclidienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3.3 Vecteurs unitaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.3.4 Relations entre produit scalaire et norme . . . . . . . . . . . .
A.4 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
A.4.1 Vecteurs orthogonaux, familles orthogonales, orthonormales .
A.4.2 Sous-espaces vectoriels et orthogonalité . . . . . . . . . . . . .
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5
5
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B Espaces vectoriels euclidiens
B.1 Définition et exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2 Bases orthonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B.2.1 De l’intéret de travailler dans une base orthonormale
B.2.2 Procédé d’orthogonalisation de Schmidt . . . . . . .
B.3 Sous-espaces d’un espace euclidien . . . . . . . . . . . . . . .
B.3.1 Supplémentaire orthogonal . . . . . . . . . . . . . . .
B.3.2 Hyperplan, normale à un hyperplan . . . . . . . . . .
B.4 Formes linéaires sur un espace euclidien . . . . . . . . . . . .
B.5 Projecteurs orthogonaux, distance à un sev . . . . . . . . . .
B.5.1 Projecteurs orthogonaux, définition et caractérisation
B.5.2 Distance d’un point à un sous-espace . . . . . . . . .
B.5.3 Cas particulier : distance d’un point à un hyperplan .
B.6 Symétries orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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C Automorphismes orthogonaux, matrices orthogonales
C.1 Automorphismes orthogonaux, groupe orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.1.1 Définition et premières propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.1.2 Caractérisation : lien avec les bases orthonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.1.3 Le groupe orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.1.4 Matrice d’un automorphisme orthogonal dans une base orthonormale, déterminant d’un
automorphisme orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.1.5 Groupe spécial orthogonal, rotations vectorielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.1.6 Où l’on reparle des symétries orthogonales et des réflexions . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.2 Matrices orthogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.2.1 Définition, caractérisations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.2.2 Matrices orthogonales et automorphismes orthogonaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.2.3 Matrice orthogonale et changement de bases orthonormales . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.3 Produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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D Angle orienté de deux vecteurs non nuls en dimension 2
20
Mathématiques
page 2
chapitre : géométrie euclidienne
E Produit mixte en dimension 2
E.1 Expression analytique dans une bond . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.2 Expression à l’aide de l’angle orienté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.3 Interprétation géométrique du produit mixte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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F
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Petites choses particulières à l’espace euclidien orienté de dimension 3
F.1 Produit vectoriel en dimension 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F.1.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F.2 Angle non orienté entre deux vecteurs non nuls de l’espace . . . . . .
F.3 Interprétation géométrique du produit mixte en dimension 3 . . . . .
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G Les automorphismes orthogonaux du plan vectoriel euclidien
G.1 Description des matrices orthogonales 2 × 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G.1.1 Description du groupe spécial orthogonal SO (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G.1.2 Description de O (2) \SO (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G.2 Plan large sur les automorphismes orthogonaux du plan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G.2.1 Description générale des automorphismes orthogonaux du plan . . . . . . . . . . . . . . .
G.3 Les rotations (vectorielles) du plan vues de plus près lorsque le plan est orienté : angle d’une rotation
G.3.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G.3.2 Propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
G.3.3 Décomposition en produit (composée) de réflexions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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H Les automorphismes orthogonaux en dimension 3
H.1 Les réflexions de l’espace (un mot) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
H.2 Les rotations vectorielles de l’espace (SO (E3 )) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
H.2.1 Petit travail préliminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
H.2.2 Axe et angle d’une rotation de l’espace orienté . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
H.2.3 Décomposition d’une rotation en produit (composée) de deux réflexions . . . . . . . . . . .
H.3 Plan large sur les automorphismes orthogonaux de l’espace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
H.3.1 Description générale des automorphismes orthogonaux de l’espace . . . . . . . . . . . . . .
H.3.2 Décomposition en produit (composée) de réflexions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
H.3.3 Annexe : comment reconnaître une isométrie vectorielle donné par sa matrice dans une
b.o.n.? un plan d’attaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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32
I
35
Exos en vrac
32
Dans tout le chapitre, E désigne un espace vectoriel sur R. Au paragraphe I, il est de dimension quelconque,
mais pour ce qui concerne les espaces euclidiens, aux paragraphes II, III et IV, il est de dimension finie.
Nous nous intéressons donc ici à des R-espaces vectoriels (attention, ces notions ne peuvent avoir de sens que sur
un R-ev -vous verrez l’an prochain une notion analogue pour les C-ev-) qui possèdent en plus ce qu’on nomme
un produit scalaire (une structure de plus mais attention ce n’est pas une loi de composition interne : à deux
vecteurs on va associer un réel, son produit scalaire, qui a de bonnes propriétés ; notion développée au I) : c’est
le cas de R, de R2 et de R3 que nous connaissons bien. Nous savons l’utilité du produit de scalaire en géométrie,
l’intérêt de la norme, des distances, de l’orthogonalité, des isométries, ... ; ces notions vont maintenant apparaître
dans un cadre plus général et nous allons alors parler d’espaces vectoriels euclidiens et des automorphismes
orthogonaux, nom général de ce que l’on connait sous le nom d’isométrie vectorielle . Nous nous attacherons en
fin de chapitre plus particulièrement à la compréhension des dimensions 2 et 3 ; nous y reviendrons d’ailleurs
dans un autre chapitre après l’étude des espaces affines pour faire de la géométrie affine euclidienne.
A Produit scalaire
A.1
Définitions et exemples
A.1.1
Produit scalaire : définition
Mathématiques
chapitre : géométrie euclidienne
page 3
Définition 1 Applications bilinéaires symétriques positives, définies positives, produit scalaire.
1. Une forme bilinéaire symétrique ϕ : E 2 → R est dite
(a) positive lorsque : ∀x ∈ E,ϕ (x,x) ≥ 0,
(b) définie positive lorsque, en plus d’être positive, elle vérifie : ∀x ∈
E, (ϕ (x,x) = 0 ⇒ x = 0E ).
2. Par définition, un produit scalaire sur E est une forme bilinéaire symétrique définie positive sur E.
Remarque 1
0) On rappelle que ϕ : E 2 → R est une forme bilinéaire symétrique lorsque (def) :
– Bilinéarité :
– pour tout x ∈ E, l’application partielle ϕ (x,.) : E → R
est linéaire,
y 7→ ϕ (x,y)
– pour tout y ∈ E, l’application partielle ϕ (.,y) : E → R
est linéaire.
x 7→ ϕ (x,y)
– Symétrie : ∀ (x,y) ∈ E 2 ,ϕ (y,x) = ϕ (x,y).
1) Le produit scalaire sur les vecteurs plan vérifie bien les quatre points : forme 1) bilinéaire, 2) symétrique,
3)positive, 4) définie positive.
2) (Petites propriétés). Si ϕ est un produit scalaire sur E alors :
– Pour tout x ∈ E, ϕ (x,0E ) = ϕ (0E ,x) = 0. En particulier ϕ (0E ,0E ) = 0.
– Donc : ∀x ∈ E, (ϕ (x,x) = 0 ⇒ x = 0) s’écrit aussi : ∀x ∈ E, (ϕ (x,x) = 0 ⇔ x = 0 E ) mais dans la pratique
on ne vérifie qu’un sens.
– On a, à l’aide de 1)a)etb) en : ∀x ∈ E, (x 6= 0 ⇒ ϕ (x,x) > 0).
– (En particulier si E 6= {0} alors ϕ 6= 0.
– On a, pour x ∈ E : (∀y ∈ E,ϕ (x,y) = 0) ⇒ x = 0E
– Pour tout (x,y) ∈ E 2 ,
1.
2.
3.
4.
ϕ (x + y,x + y) = ϕ (x,x) + 2ϕ (x,y) + ϕ (y,y)
ϕ (x − y,x − y) = ϕ (x,x) − 2ϕ (x,y) + ϕ (y,y)
ϕ (λx + µy,λx + µy) = λ2 ϕ (x,x) + 2λµϕ (x,y) + µ2 ϕ (y,y)
ϕ (x + y,x − y) = ϕ (x,x) − ϕ (y,y)
3) ϕ est une forme bilinéaire positive ne signifie pas qu’elle est à valeurs positives, c’est sa restriction à la diagonale qui l’est : d’ailleurs si elle est non nulle, elle prend nécessairement des valeurs strictement positives et
strictement négatives. En effet, s’il existe x0 ,y0 ∈ E tel que ϕ (x0 ,y0 ) 6= 0 alors ϕ (x0 ,y0 ) ϕ (−x0 ,y0 ) < 0.
4) Un produit scalaire sur E peut se noter de moult façons. Voici les plus courantes :
–
–
–
–
(x,y) 7→ (x | y)
(x,y) 7→ hx | yi
(x,y) 7→ hx; yi
−
−
−
−
(→
x ,→
y ) 7→ →
x .→
y (notation géométrique)
5) Un R-ev muni d’un produit scalaire est appelé espace préhilbertien réel, mais on dira souvent ici espace muni
d’un produit scalaire.
Mathématiques
A.1.2
page 4
chapitre : géométrie euclidienne
Exemples
Les exemples démontrés ici sont à retenir et peuvent directement être utilisés dans la pratique (sauf si on vous
demande de le redémontrer).
1.
2.
3.
4.
Le produit scalaire canonique de R2 .
Qui se transfère en un produit scalaire de C.
Le produit scalaire canonique de R3 .
Le produit scalaire canonique de Rn .
Rb
5. Un produit scalaire sur C 0 ([a; b]) où a < b : (f,g) 7→ a f (x) g (x) dx.
6. Un produit scalaire sur C2π (R) espace des fonctions continues 2π-périodiques sur R :
R 2π
1
f (x) g (x) dx.
(f,g) 7→ 2π
0
7. Un produit scalaire (c’est en fait le produit scalaire canonique) sur M n,p (R) : (A,B) 7→ tr (t AB).
Dans toute la suite on se donne E muni d’un produit scalaire, noté (. | .).
A.2
Inégalité de Cauchy-Schwarz
√ √
– Dans le plan ou dans l’espace : |u.v| = |kuk kvk cos u,v| ≤ kuk kvk, c’est-à-dire |u.v| ≤ u.u v.v ou encore
u.v 2 ≤ u.uv.v. Cette inégalité est très importante, elle relie ps et norme. On aimerait bien la généraliser et
savoir si elle dépend de l’expresion particulière ici avec le cosinus ou si elle est intrinsèque au ps. En fait,
cette inégalité est générale :
Proposition 1 Inégalité de Cauchy-Schwarz et cas d’égalité.
1. On a l’inégalité (de Cauchy-Schwarz), valable pour tout (x,y) ∈ E 2 :
(x | y)
2
≤
(x | x) (y | y)
³
´
p
p
⇔ |(x | y)| ≤ (x | x) (y | y)
2
2. De plus, l’égalité a lieu ((x | y) = (x | x) (y | y)) si et seulement si x et y
sont liés.
Exemples 1
1.
– CS pour le produit scalaire canonique sur R n . Pour tout (x1 ,...,xn ), (y1 ,...,yn ) ∈ Rn
!2
à n
n
n
X
X
X
¡
¢¡
¢
2
yi2 i.e. (x1 y1 + ... + xn yn ) ≤ x21 + ... + x2n y12 + ... + yn2
x2i .
≤
x i yi
i=1
i=1
i=1
– Cela s’écrit pour n = 2 :
¢
¢¡
¡
2
(x1 y1 + x2 y2 ) ≤ x21 + x22 y12 + y22
– Cela s’écrit pour n = 1 :
2
(x1 y1 ) ≤ x21 y12 ( =!! pas très nouveau)
2. Exemple fondamental à retenir aussi pour l’analyse. CS pour le ps sur C ([a,b] ,R) vu plus haut.
2
– Pour tout (f,g) ∈ (C ([a,b] ,R)) :
³R
b
a
f (x) g (x) dx
´2
≤
Rb
a
2
f (x) dx
Rb
a
2
g (x) dx
qR
¯R
¯ qR
b
b
¯ b
¯
2
2
⇔ ¯ a f (x) g (x) dx¯ ≤
f
(x)
dx
g (x) dx
a
a
³R
´2 R
Rb
b
b
2
2
2
– De plus (cas d’égalité), pour tout (f,g) ∈ (C ([a,b] ,R)) , a f (x) g (x) dx = a f (x) dx a g (x) dx
qR
¯R
¯ qR
b
b
¯ b
¯
2
2
f (x) dx a g (x) dx) ssi il existe (α,β) ∈ R2 \ {(0,0)} tel que αf + βg = 0
(¯ a f (x) g (x) dx¯ =
a

g=0

ou
i.e. ssi
.

∃λ ∈ R,f = λg
Mathématiques
chapitre : géométrie euclidienne
3. Soit f : [0; 1] → R continue telle que
³R
f
[0;1]
´2
=
R
A.3
Norme euclidienne
A.3.1
Définition
f 2 . Montrer que f est constante.
[0;1]
Pn
i=1
4. Soit n un entier non nul, x1 , . . . ,xn ∈ ∗+ tels que
n
X
1
Montrer que
≥ n2 , et étudier le cas d’égalité.
x
i
i=1
page 5
xi = 1.
p
– Nous nous intéressons maintenant à l’application x 7→ (x | x) qui est bien définie sur E car pour tout
x ∈ E, (x | x) ≥ 0 (produit scalaire fbs positive). Cette application est à valeurs positives et on a :
³p
´
1. ∀x ∈ E,
(x | x) = 0 ⇒ x = 0 (produit scalaire fbs définie)
p
p
2. ∀x ∈ E, (λx | λx) = |λ| (x | x) (bilinéarité du produit scalaire)
p
p
p
3. ∀ (x,y) ∈ E 2 , (x + y | x + y) ≤ (x | x) + (y | y) (conséquence de C.S.)
– Ces propriétés sont caractéristiques de ce qu’on appelle une norme sur un R-espace vectoriel (c’est par
exemple le cas de la valeur absolue sur R, de la norme euclidienne sur R 2 ou du module sur C, sur R3 ).
Définition 2 Norme euclidienne.
L’application E → p
R
est appelée norme associée au produit scalaire
x 7→ (x | x)
p
ou norme euclidienne. On note kxk = (x | x).
Exemples 2
1. Dans R:
2. Dans C = R2 :
3. Dans R3 :
4. Dans Rn :
Proposition 2 La norme euclidienne est une norme sur E au sens où c’est une
application de E dans R qui vérifie les quatre propriétés suivants :
1.
2.
3.
4.
∀x ∈ E, kxk ≥ 0.
∀x ∈ E, (kxk = 0 ⇔ x = 0).
∀x ∈ E, kλxk = |λ| kxk.
Inégalité triangulaire : ∀ (x,y) ∈ E 2 , kx + yk ≤ kxk + kyk.
Preuve. Faite plus haut.
Remarque 2
1) Inégalité triangulaire généralisée :∀ (x,y) ∈ E 2 , |kxk − kyk| ≤ kx + yk ≤ kxk + kyk. Preuve tranquileuue .
2) Réécriture de C.S. avec la norme : |(x | y)| ≤ kxk kyk .
3) Étude des cas d’égalité dans l’inégalité triangulaire : kx + yk = kxk + kyk ssi... ssi x = 0 ou il existe α ≥ 0 tq
y = αx (x et y sont colinéaires et ”de même sens”)... rien d’étonnant.
Mathématiques
A.3.2
chapitre : géométrie euclidienne
page 6
Distance euclidienne
Observons maintenant les propriétés de l’application d :
propriétés de la norme euclidienne,
E×E →R
. On a, en conséquence directe des
(x,y) 7→ kx − yk
E×E →R
est une application qui vérifie les quatre
(x,y) 7→ kx − yk
propriétés suivantes :
Propriété 1
1.
2.
3.
4.
d:
∀ (x,y) ∈ E 2 ,d (x,y) ≥ 0.
∀ (x,y) ∈ E 2 , (d (x,y) = d (y,x)).
∀ (x,y) ∈ E 2 , (d (x,y) = 0 ⇔ x = y).
Inégalité triangulaire : ∀ (x,y,z) ∈ E 3 ,d (x,z) ≤ d (x,y) + d (y,z).
Preuve. Immédiat avec les propriétés de la norme.
Remarque 3 On a ici aussi : ∀ (x,y,z) ∈ E 3 , |d (x,y) − d (y,z)| ≤ d (x,z) ≤ d (x,y) + d (y,z)
Définition 3 L’application d est appelée distance associée à la norme euclidienne ou distance euclidienne.
Exemples 3 Dans R, C = R2 , R3 .
A.3.3
Vecteurs unitaires
Définition 4 Un vecteur est dit unitaire (ou normalisé) lorsqu’il est de norme 1.
Remarque 4 Pour tout vecteur x non nul, il existe un unique vecteur colinéaire à x et de même sens qui soit de
1
x. On parle alors de normalisation de x (de vecteur normalisé de x).
norme 1 : c’est
kxk
A.3.4
Relations entre produit scalaire et norme
Proposition 3 Pour tout (x,y) ∈ E 2 , on a les identités :
2
2
2
1. kx + yk = kxk + kyk + 2 (x | y) .
2
2
2
2. kx − yk = kxk + kyk − 2 (x | y) .
³
´
2
2
2
2
3. kx + yk + kx − yk = 2 kxk + kyk .
2
2
4. Identité de polarisation : 4 (x | y) = kx + yk − kx − yk .
Preuve. 1) et 2) sont démontrées dans la remarque 1 , 3) et 4) s’en déduisent immédiatement.
Remarque 5
1) Interprétation géométrique de l’identité 3, appelée identité du parallélogramme ou identité de la médiane :
2) L’identité de polarisation exprime le produit scalaire en fonction de la norme. Elle permet de retrouver le ps à
partir de la norme. Elle nous dit aussi au passge que 2 ps différents ne peuvent donner la même norme, i.e si la
norme provient d’un produit scalaire ce dernier est unique.
p
Exemples 4
1. Prouver que l’application N définie sur 2 par: ∀ (x,y) ∈ 2 : N (x; y) = x2 + 2xy + 3y 2
est une norme euclidienne .
2. Prouver que l’application N définie sur 2 par: ∀ (x,y) ∈ 2 : N (x; y) = max(|x|; |y|) est une norme non
euclidienne.
Mathématiques
chapitre : géométrie euclidienne
A.4
Orthogonalité
A.4.1
Vecteurs orthogonaux, familles orthogonales, orthonormales
page 7
Définition 5 Vecteurs orthogonaux, familles orthogonales, orthonormales
1. Des vecteurs x et y sont dits orthogonaux lorsque (x | y) = 0 ; on note
alors x ⊥ y.
2. Une famille (xi )i∈I (où I 6= ∅) de vecteurs est dite orthogonale lorsque
pour tout (i,j) ∈ I 2 , si i 6= j alors xi ⊥ xj .
3. Une famille (xi )i∈I (où I 6= ∅) de vecteurs est dite orthonormale lorsqu’elle est orthogonale et constituée de vecteurs unitaires (i.e. de norme
1).
Remarque 6 La relation d’orthogonalité x ⊥ y est une relation binaire dans E. Elle est symétrique, et lorsque
E 6= {0}, elle n’est pas réflexive (seul 0 est orthogonal à lui même), elle n’est pas antisymétrique, et n’est pas
transitive.
Exemples 5
1. Orthogonalité dans R2 canonique. On connait, par exemple (a,b) et (−b,a) sont orthogonaux.
2. ∀x ∈ E,0E ⊥ x.
R1
3. Pour le produit scalaire sur C 0 ([−1; 1]) : (f,g) 7→ −1 f (x) g (x) dx. Les fonctions f : [−1; 1] → R et
x 7→ x
g : [−1; 1] → R sont orthogonales car ......
x 7→ x2
Proposition 4 Soit p ∈ N∗ , (x1 ,...,xp ) ∈ E p .
1. Si (x1 ,...,xp ) est une famille orthogonale et pour tout k ∈ {1,...,p} xk 6= 0,
alors (x1 ,...,xp ) est libre.
2. Si (x1 ,...,xp ) est une famille orthonormale, alors (x1 ,...,xp ) est libre.
Remarque 7 Si E est de dimension finie non nulle n, une famille orthogonale de n vecteurs non nuls (resp.
orthonormale de n vecteurs) est une base de E (car libre et de cardinal n ). On parle alors de base orthogonale
(resp. de base orthonormale).
Exemples 6
On note Φ le produit scalaire sur C 0 ([0; 2π];
) défini par:
Z 2π
Φ(f ; g) =
f (t)g(t)dt.
0
On note enfin fn les éléments de C ([0; 2π];
0
) définis par:
fn (t) = cos(nt)
Prouver que pour tout n ∈
, (fk ,k ≤ n) est libre .
Proposition 5 Notre brave Pythagore.
1. Soient x et y deux vecteurs de E. On a :
2
2
2
x ⊥ y ⇔ kx + yk = kxk + kyk .
2. Si (x1 ,...,xn ) est une famille orthogonale (finie), alors :
° n
°
n
°X °2 X
°
°
2
xi ° =
kxi k .
°
°
°
i=1
Remarque 8 Réciproque fausse , contrex?
i=1
Mathématiques
A.4.2
chapitre : géométrie euclidienne
page 8
Sous-espaces vectoriels et orthogonalité
Définition 6 Sev orthogonaux, orthogonal d’un sev
1. Soient F et G des sous-espaces vectoriels de E. On dit que F et G sont
orthogonaux (ou que F est orthogonal à G ou que G est orthogonal à F )
et on note F ⊥ G, lorsque tout vecteur de F et tout vecteur de G sont
orthogonaux :
∀x ∈ F,∀y ∈ G,x ⊥ y
2. Soit F un sev de E. On appelle orthogonal de F et on le note F ⊥
l’ensemble des vecteurs orthogonaux à tout vecteur de F : F ⊥ =
{x ∈ E,∀y ∈ F,x ⊥ y} .
Exemples 7
1) Dans le plan deux droites orthogonales, orthogonal d’une droite
2) Dans l’espace deux droites orthogonales, deux plans orthogonaux, une droite et un plan orthogonaux, orthogonal d’une droite, orthogonal d’un plan.
⊥
3) Dans E : {0} est orthogonal à tout sev, le seul sev orthogonal à E est {0}, {0} = E et E ⊥ = {0}.
Propriété 2 F ⊥ est un sev de E, et F ⊥ ⊥ F .
Propriété 3
1. Si F ⊂ G (F est un sev de G), alors G⊥ ⊂ F ⊥ (G⊥ est un sev
⊥
de F ).
2. Si F ⊥ G, alors F ∩ G = {0} (F et G sont en somme directe).
Remarque 9
1) Soient F et G sev de E. F ⊥ G ssi G ⊂ F ⊥ ssi F ⊂ G⊥ .
2) Soit F sev de E. F ⊥ est le plus grand sev de E orthogonal à F .
3) On peut parler d’orthogonal d’une partie quelconque si A est une partie de E, on appelle orthogonal de E
et on le note A⊥ : A⊥ = {x ∈ E/∀y ∈ A,x ⊥ y} (A⊥ est l’ensemble des vecteurs de E orthogonaux à tous les
⊥
vecteurs de A). On montre alors tranquillement que A⊥ = (vectA) et que A⊥ est un sev de E.
⊥
Ainsi si F = vect (xi )i∈I , F = {x ∈ E/∀i ∈ I,x ⊥ xi } .
4) Soient F et G sev, F étant engendré par (xi )i∈I : G ⊥ F ssi ∀i ∈ I,∀x ∈ G,x ⊥ xi .
Exemples 8
1. Soit E l’espace vectoriel des fonctions réelles continues sur [−1,1], muni du produit scalaire
Z 1
(f |g) =
f (t)g(t)dt
−1
Trouver l’orthogonal du sous-espace vectoriel de E constitué des fonctions paires.
2. Dans Mn ( ) muni du PS canonique, déterminer l’orthogonal de l’ensemble des matrices symétriques.
B Espaces vectoriels euclidiens
B.1
Définition et exemples
Définition 7 Espaces vectoriels euclidiens
Un espace vectoriel euclidien est un R-ev de dimension finie muni d’un produit scalaire.
Exemples 9
1. Rn muni du produit scalaire canonique ; on parle alors de structure euclidienne canonique sur
n
n
R , de R euclidien canonique.
2. Mn,p (R) , (M,N ) 7→ tr (t MN).
3. C, (z1 ,z2 ) 7→ Re (z1 z2 ).
R1
4. C 0 ([0; 1] ,R) , (f,g) 7→ 0 f g n’en est pas un (espace préhilibertien réel mais pas de dimension finie).
Dans toute la suite, E est un espace vectoriel euclidien de dimension n ∈ N ∗ , son
produit scalaire associé étant noté (. | .).
Mathématiques
page 9
chapitre : géométrie euclidienne
B.2
Bases orthonormales
B.2.1
De l’intéret de travailler dans une base orthonormale
Il convient de connaitre par coeur les résultats encadrés qui suivent.
Propriété 4 Soit B = (e1 ,...,en ) une base orthonormale (abrégé b.o.n.) de E.
Soient x = α1 e1 + ... + αn en et y = β1 e1 + ... + βn en des vecteurs de E décomposés dans la b.o.n.
(e1 ,...,en ).
On a :
2
1. Pour tout (i,j) ∈ {1,...,n} , (ei | ej ) = δi,j .
2. (x | y) = α1 β1 + ... + αn βn
Ainsi, si X,Y ∈ Mn,1 (R) sont les écritures unicolonne de x et y dans B, on a
(x | y) =t XY (=t Y X). On convient dans cette notation d’identifier l’unique élément de la matrice t XY ∈ M1 ( ) avec la matrice t XY elle même.
p
3. On a donc kxk = α12 + ... + αn2 .
√
Ainsi, si X ∈ Mn,1 (R) est l’écriture unicolonne de x dans B, on a kxk = t XX
q
2
2
4. d (x,y) = (β1 − α1 ) + ... + (βn − αn )
5. Les coordonnées de x dans (e1 ,...,en ) sont ((x | e1 ) ,..., (x | en )) : x = (x | e1 ) e1 + ... + (x | en ) en .
En particulier on a (x | y) = (x | e1 ) (y | e1 ) + . . . + (x | en ) (y | en )
6. Si f ∈ L (E), alors MB (f ) = ((f (ej ) | ei ))i=1,...,n :
j=1,...,n





(f (e1 ) | e1 )
(f (e1 ) | e2 )
..
.
(f (e2 ) | e1 )
(f (e2 ) | e2 )
..
.
···
(f (en ) | e1 )
(f (en ) | e2 )
..
.
(f (e1 ) | en )
(f (e2 ) | en )
···
(f (en ) | en )





Remarque 10 Les calculs en base orthonormale sont, comme on vient de le voir, fortement simplifiés. Attention
lorsque la base n’est pas orthonormale, ça ne marche plus.
Exemples 10
1) Dans Rn euclidien canonique, la base canonique est orthonormale. On retombe sur nos pieds cf l’écriture du
produit scalaire.
Une question se pose à présent : existe-t-il toujours des bases orthonormales. Nous allons y répondre par l’affirmative ; mieux, nous allons donner un procédé de construction de bases orthonormales à partir d’une base
quelconque....
B.2.2
Procédé d’orthogonalisation de Schmidt
Note historique 1
– Le procédé d’orthogonalisation de Schmidt consiste à construire une famille (e 1 ,...,ep ) à partir d’une fa1. Erhard SCHMIDT (1876-1959). Il fit ses études universitaires à Dorpat, sa ville natale, à Berlin et à Göttingen, où il soutint sa thèse,
en 1905. Après de courtes périodes à Bonn, Zürich, et Breslau, il fut nommé, en 1917, à l’université de Berlin. Il était un des fondateurs
des Mathemetische Nachrichten (1948). Le dit procédé d’orthonormalisation est aussi associé à Jorgen Pedersen Gram (1850-1916) et on parle
aussi de procédé d’orthonormalisation de Gram-Schmidt. Né à Nastrup (Danemark), fils d’un paysan, Gram étudia les mathématiques
à l’Université de Copenhague, puis donna des leçons particulières de mathématiques. Á partir de 1875, il fit carrière dans les compagnies
d’assurances danoises. D’après : Abrégé d’histoire des mathématiques de Jean Dieudonné.
Mathématiques
page 10
chapitre : géométrie euclidienne
mille libre (v1 ,...,vp ) de E de la façon suivante :
–
–
–
–
–
–
e1 = v1 ,
e2 de la forme e2 = α11 e1 + v2 , et (e1 ,e2 ) est orthogonale
e3 de la forme e3 = α21 e1 + α22 e2 + v3 et (e1 ,e2 ,e3 ) est orthogonale
...
ep de la forme ep = αp1 e1 + ... + αpp−1 ep−1 + vp et (e1 ,...,ep ) est orthogonale
Mise en place de l’algorithme sur le cahier:
Remarque 11 au final, la famille obtenue (e1 ,...,ep ) est une famille orthogonale de vecteurs non nuls (donc
famille libre) telle que pour tout i = 1,...,p, vect (e1 ,...,ei ) = vect (v1 ,...,vi ), (notons qu’en en particulier
vect (e1 ,...,ep ) = vect (v1 ,...,vp )).
Définition 8
1. Le procédé d’orthogonalisation de Schmidt (ou de GramSchmidt) est le procédé expliqué plus haut consistant à construire à partir d’une famille libre (v1 ,...,vp ) la famille plus haut (e1 ,...,ep ) de vecteurs
orthogonaux non nuls.
2. Le procédé d’orthonormalisation de Schmidt (ou de Gram-Schmidt)
consiste à construire à partir d’une famille libre (v1 ,...,vp ) une orthonormale (ε1 ,...,εp ) en normalisant
la famille plus haut (e1 ,...,ep ) : (ε1 ,...,εp ) =
¶
µ
1
1
e1 ,...,
ep .
ke1 k
kep k
On retiendra en particulier:
Proposition 6 Soit p ∈ ∗ . Si (v1 ; . . . ; vp ) est une famille libre d’un espace
vectoriel E, il existe une famille orthonormée (ε1 , . . . ,εp ) telle pour i ∈ [[1; p]]:
vect(v1 ; . . . ; vi ) = vect(ε1 , . . . ,εi ).
Remarque 12
1) Il faut retenir les procédés de construction (et pas les formules).
2) Marche pour espace préhilbertien réel (dim finie pas utilisée).
3) On a vu que
e1
=
v1
∀k
∈
{2,...,p} ,ek = −
(e1 | vk )
ke1 k
2
e1 − ... −
(ek−1 | vk )
kek−1 k
2
ek−1 + vk
4) Le procédé d’orthogonalisation de Schmidt donne une unique famille. Idem orthonormalisation.
5) Si (v1 ,...,vp ) est orthogonale non nuls, alors (e1 ,...,ep ) = (v1 ,...,vp ). Justement par unicité.
Exemples 11
1. Dans
3
muni du ps can avec v1 = (1; 1; 0), v2 = (1; 0; 1) et v3 = (0; 1; 1).
Conséquence immédiate, puisque tout ev de dimension finie possède une base, le procédé d’orthonormalisation
de Schmidt nous fournit l’existence d’une base orthonormale :
Proposition 7 Tout espace euclidien possède une base orthonormale.
B.3
Sous-espaces d’un espace euclidien
B.3.1
Supplémentaire orthogonal
Proposition 8 Soit F un sev de E. F ⊥ est un supplémentaire de
F dans E (E = F ⊥ ⊕ F ).
Remarque 13
Mathématiques
chapitre : géométrie euclidienne
page 11
a) Ce que l’on a encore en dimension quelconque: F ∩ F ⊥ = {0} (F et F ⊥ sont en somme directe). Attention
E = F + F ⊥ n’est pas nécessairement vrai (cf exo).
b)
1. Retour à la dim finie: on suppose donc E de dimension finie:
On a en particulier dim F ⊥ = dim E − dim F .
⊥
2. Cas particulier : pour u ∈ E, on note u⊥ = {x ∈ E/x ⊥ u} = (vectu) . Si u = 0E , on a u⊥ = E. Si u 6= 0E ,
⊥
⊥
u est un hyperplan de E (car u est un supplémentaire de la droite vectorielle vectu).
Exemples 12
1. Soit E = 2 [X].
a. Pour P,Q ∈ E, on pose (P |Q) = P (0)Q(0) + P (1)Q(1) + P (2)Q(2). Montrer que l’on définit ainsi un
produit scalaire sur E. Soit F le sous-espace vectoriel des polynômes nuls en 0. Trouver l’orthogonal de F .
b. Donner l’orthonormalisée de Schmidt de la base canonique de 2 [X].
¡ ¢⊥
Proposition 9 (conséquence)
1. Soit F un sev de E. On a F ⊥ = F .
2. Toute famille orthonormale de E se complète en une base orthonormale
de E.
¡ ¢⊥
¡ ¢⊥
Remarque 14 Ce que l’on a encore en dimension quelconque: F ⊂ F ⊥ . Attention F ⊥
⊂ F n’est pas
nécessairement vrai (cf exo).
Soit maintenant F un sev d’un ev E de dimension finie n :
– F ⊥ est un supplémentaire de F tel que F ⊥ ⊥ F .
– Si G est un supplémentaire de F tel que G ⊥ F , alors G ⊂ F ⊥ et comme de plus dim G = n − dim F =
dim F ⊥ , il vient que G = F ⊥ .
Moralité : il y a un seul sev G de E tel que G soit un supplémentaire de F et G ⊥ F , c’est F ⊥ . D’où la
définition :
Définition 9 Soit F un sev de E. F ⊥ est appelé le supplémentaire orthogonal de F .
Exemples 13 Où l’on reparle des matrices symétriques et anyisymétriques.
B.3.2
Hyperplan, normale à un hyperplan
Si H est un hyperplan de E, alors H ⊥ est une droite vectorielle (c’est un supplémentaire de H).
Définition 10 La normale à un hyperplan H de E est par définition la droite vectorielle H ⊥ .
Remarque 15 Si u ∈ E, u 6= 0E , u⊥ est un hyperplan de normale vectu; si H est un hyperplan, sa normale est
H ⊥.
On s’intéresse maintenant au lien entre un vecteur normal et une équation de H. On a la chose remarquable
suivante : si (e1 ,...,en ) est une b.o.n. de E, alors on peut écrire, pour tout x1 ,...,xn ,a1 ,...,an ∈ R :
a1 x1 + ... + an xn = (a1 e1 + ... + an en | x1 e1 + ... + xn en )
Il vient immédiatement que :
Proposition 10 Soient H un hyperplan de E , B = (e1 ,...,en ) une bon de E et
(a1 , . . . ,an ) ∈ n \{0}.
a1 x1 + ... + an xn
=
0 est une équation de H dans B
ssi
a1 e1 + ... + an en est un vecteur orthogonal non nul à H
(c’est un vecteur non nul de la normale à H)
Commentaire Cela permet en particulier de jongler aisément d’une équation cartésienne en bon à un vecteur
normal non nul (l’un donne l’autre, l’autre donne l’un) et donc à la connaissance de la normale.
Exemples 14 2x + 3y = 0 dans R2 euclidien canonique, x + 3y − z = 0 dans R3 euclidien canonique... Dessins
en dim 2 et 3.
Mathématiques
B.4
page 12
chapitre : géométrie euclidienne
Formes linéaires sur un espace euclidien
Proposition 11 Quel que soit ϕ ∈ E ∗ (forme linéaire sur E), il existe un
unique vecteur u ∈ E tel que ϕ = (u | .).
Remarque 16
1) Si ϕ = (u | .) avec u ∈ E, alors ker ϕ = {x ∈ E/ (u | x) = 0} = u⊥ .
2) On retombe sur nos pieds à propos des équations d’un hyperplan : si on écrit H = ker ϕ ( avec ϕ forme linéaire
non nulle )= ker (u | .) (avec u = (a1 , . . . ,an ) 6= 0 ) alors x ∈ H ssi x ∈ ker (u | .) ssi x ∈ u⊥ ssi a1 x1 +...+an xn = 0
écriture dans une bon.
B.5
Projecteurs orthogonaux, distance à un sev
B.5.1
Projecteurs orthogonaux, définition et caractérisation
Définition 11
Soit p ∈ L (E). p est un projecteur orthogonal de E lorsque p est un projecteur
de E sur un sev F parallèlement à F ⊥ . On parle alors du projecteur orthogonal de E sur F .
– C’est ainsi un cas particulier de projecteur de E où la base et la direction du projecteur sont orthogonaux
(la direction n’est plus à préciser alors: c’est F ⊥ ).
⊥
– Ainsi : soit p ∈ L (E). p est un proj orthog de E ssi p est un proj (i.e. p 2 = p par exemple) et (Imp) = ker p
ssi p est un proj et Imp ⊥ ker p (Imp et ker p étant déjà supplémentaires car p 2 = p, l’orthogonalité suffit
⊥
pour caractériser (Imp) = ker p).
Exemples 15
1. les proj orth en dim 2 et 3.
2. Soit E un espace euclidien dont on note (.|.) le produit scalaire de norme associée k.k. On se donne p un
projecteur de E.
(a) Montrer que p est un projecteur orthogonal si et seulement si il vérifie
∀x,y ∈ E,
(p(x)|y) = (x|p(y)).
(b) Montrer que p est un projecteur orthogonal si et seulement si il vérifie
∀x ∈ E,
kp(x)k ≤ kxk.
Remarque 17
1) Écriture d’un projecteur sur un sev muni d’une base orthonormale. Soit p un projecteur orthogonal non nul.
Considérons une base (f1 ,...,fp ) orthonormale de F = Imp (6= {0}).
On a alors :
∀x ∈ E,p (x) = (x | f1 ) f1 + ... + (x | fp ) fp
2) Notons que la propriété précédente est en fait caractéristique : si p : E → E est telle qu’il existe une famille
orthonormale (f1 ,...,fp ) tq
∀x ∈ E,p (x) = (x | f1 ) f1 + ... + (x | fp ) fp
alors p est (linéaire et c’est) un projecteur orthogonal de E : c’est le projecteur orthogonal sur vect (f 1 ,...,fp ).
3) Écriture d’un projecteur sur un sev muni d’une base orthogonale. Soit p un projecteur orthogonal non nul.
Considérons une base (u1 ,...,up ) orthogonale de F = Imp (6= {0}). On a alors :
∀x ∈ E,p (x) =
(x | u1 )
ku1 k
2
u1 + ... +
(x | up )
kup k
2
up
En effet, on peut par exemple appliquer le 1) à (f1 ,...,fp ) =
µ
u1
up
,...,
ku1 k
kup k
¶
qui est une bon de F
Mathématiques
page 13
chapitre : géométrie euclidienne
4) Cas particuliers importants.
1. p est le projecteur orthogonal sur la droite vectorielle D = vectv avec v 6= 0.
∀x ∈ E,p (x) =
(x | v)
kvk
2
v
2. p est le projecteur orthogonal sur l’hyperplan H = u⊥ avec u 6= 0. ∀x ∈ E,p (x) = x −
B.5.2
(x | u)
kuk
2
u
Distance d’un point à un sous-espace
– Dessin en dim 2 et dim 3 c’est connu
– La partie {d (x,y) ,y ∈ F } est une partie non vide (car F 6= ∅) et minorée (par 0) ; elle admet donc une borne
inférieure. On peut alors donner la définition :
Définition 12 Soient F un sev de E et x ∈ E. La distance de x à F,notée
d (x,F ), est par définition
d (x,F ) = inf {d (x,y) ,y ∈ F }
Proposition 12 Soient F un sev de E et x ∈ E.
d (x,F ) = d (x,p (x)) (= kx − p (x)k)
où p est le projecteur orthogonal sur F .
Ainsi d (x,F ) = inf {d (x,y) ,y ∈ F } = min {d (x,y) ,y ∈ F } est un plus petit élément, il est atteint en y 0 = p (x). Il
est de plus atteint en un point unique ie si (d(x,F ) = d(x,y) et y ∈ F ) alors y = y 0 .
Exemples 16
1. On considère E = R2 [X] le R-espace vectoriel des polynômes de degré ≤ 2 à coefficients
R1
réels. Si f et g sont dans E, on pose (f | g) = 0 f (t) g (t) dt.
– Montrer que cela définit un produit scalaire sur E.
¡
¢
– Déteminer la base orthogonale obtenue en appliquant le procédé de Gram-Schmidt à 1,X,X 2 .
¢2
R1¡
– Déterminer inf 2 0 t2 − at − b dt.
(a,b)∈R
B.5.3
Cas particulier : distance d’un point à un hyperplan
– Dans le cas où F plus haut est un hyperplan H = u⊥ (où u ∈ E, 6= 0), on a, pour x ∈ E :
°
°
° (x | u) ° |(x | u)|
°
°
u° =
d (x,H) = kx − p (x)k = °
° kuk2 °
kuk
Mathématiques
page 14
chapitre : géométrie euclidienne
– Dessin en dim 3. d (x,H) est la va de la composante de x suivant la normale à H.
– Soit B = (e1 , . . . ,en ) une bon de E, x = (x1 , . . . ,xn )B , u = (a1 , . . . ,an )B 6= 0 et H = u⊥ :
Pn
| 1 ai x i |
d(x,H) = pPn 2
1 ai
B.6
Symétries orthogonales
Définition 13 Soit s ∈ L (E).
1. s est une symétrie orthogonale de E lorsque s est une symétrie de E par
rapport à un sev F et parallèlement à F ⊥ . On parle alors de symétrie
orthogonale par rapport à F .
2. Une réflexion de E est une symétrie orthogonale par rapport à un hyperplan de E.
⊥
– Ainsi s ∈ L (E) est une symétrie orthogonale ssi s2 = idE et ker (s + idE ) = (ker (s − idE )) ssi s2 = idE
et ker (s + idE ) ⊥ ker (s − idE ) (car s2 = idE donne déjà ker (s + idE ) et ker (s − idE ) supplémentaires) ssi
s = 2p − idE avec p projecteur orthogonal de E.
Exemples 17
1. Dessins les symétries et réflexions de R2 , R3
2. Retour sur la transposition dans Mn ( ).
Remarque 18 Soit r une réflexion de E par rapport à H = u⊥ . On a ∀x ∈ E,r (x) = x − 2
en effet :dessin dans la marge et, pour tout x ∈ E,
r (x)
(x | u)
kuk
2
u
2p (x) − x où p est le proj orth sur H
Ã
!
(x | u)
= 2 x−
2 u −x
kuk
=
=
x−2
(x | u)
kuk
2
u
Exemples 18
1. On se place dans 3 . Soit X = (x,y,z) ∈ 3 .Trouver les coordonnées (x0 ,y 0 ,z 0 ) de l’image de
X par
– (1) la projection orthogonale sur la droite d’équation x = y = z.
– (2) la symétrie orthogonale par rapport à la droite engendrée par (2,1, − 1).
– (3) la projection orthogonale sur le plan d’équation 2x + y − z = 0.
2. Dans 4 muni du produit scalaire usuel, on considère le sous-espace défini par le système d’équations:
½
x1 + x 2 + x 3 + x 4 = 0
x1 − x 2 + x 3 − x 4 = 0
Déterminer la matrice dans la base canonique de la symétrie orthogonale par rapport à F .
Mathématiques
chapitre : géométrie euclidienne
page 15
C Automorphismes orthogonaux, matrices orthogonales
C.1
Automorphismes orthogonaux, groupe orthogonal
Pour toute cette partie, on se donne (E, (. | .)) un espace euclidien de dimension n ∈ N ∗ .
C.1.1
Définition et premières propriétés
Définition 14 Soit u ∈ L (E). u est un endomorphisme orthogonal lorsqu’il
conserve le produit scalaire, c’est-à-dire lorsque
∀ (x,y) ∈ E 2 , (u (x) | u (y)) = (x | y)
Remarque 19
1. Nous étudierons en détail les dimensions 2 et 3 (parties suivantes).
2. (a) Les symétries orthogonales (et donc les réflexions) sont des endomorphismes orthogonaux car si s
désigne la symétrie orthogonale par rapport à F sev de E, pour tout (x,y) ∈ E 2 , si on écrit x =
xF + xF ⊥ et y = yF + yF ⊥ avec xF ,yF ∈ F et xF ⊥ ,yF ⊥ ∈ F ⊥
(s (x) | s (y))
et (x | y)
=
(xF − xF ⊥ | yF − yF ⊥ )
= (xF | yF ) + (xF ⊥ | yF ⊥ )
= (xF + xF ⊥ | yF + yF ⊥ )
= (xF | yF ) + (xF ⊥ | yF ⊥ )
=
(s (x) | s (y))
(b) Un endomorphisme orthogonal qui est une symétrie, est une symétrie orthogonale .
3. Attention les projecteurs orthogonaux ne sont pas, sauf id E , des endomorphismes orthogonaux : nous
allons voir ça plus bas.
Proposition 13 Première caractérisation dans L (E) des endomorphisme orthogonaux. Soit u ∈ L (E). u est un endomorphisme orthogonal ssi u conserve
la norme c’est-à-dire : ∀x ∈ E, ku (x)k = kxk
Proposition 14 Un endomorphisme orthogonal est bijectif.
Définition 15 Un endomorphisme orthogonal de E est ainsi appelé automorphisme orthogonal de E ; on parle aussi d’isométrie vectorielle de E.
– Falsh back : un proj orthog différent de idE n’étant pas bijectif, ce n’est pas un automorphisme orthogonal.
Propriété 5
1. (Un automorphisme orthogonal conserve l’orthogonalité).
Soit u ∈ L (E) orthogonal. Pour tout (x,y) ∈ E 2 , si x ⊥ y alors u (x) ⊥
u (y) .
2. Soit u ∈ L (E) orthogonal, F un sev de ¡E. Si
¢ F est stable par u (i.e.
u (F ) ⊂ F ) alors F ⊥ est stable par u (i.e. u F ⊥ ⊂ F ⊥ ).
C.1.2
Caractérisation : lien avec les bases orthonormales
Proposition 15 Deuxième caractérisation dans L (E) des endomorphisme
orthogonaux Soit u ∈ L (E). Les trois assertions suivantes sont équivalentes :
1. u est un automorphisme orthogonal.
2. u transforme toute base orthonormale de E en une base orthonormale
de E.
3. il existe une base orthonormale de E dont ”l’image” par u est une base
orthonormale de E.
Mathématiques
C.1.3
chapitre : géométrie euclidienne
page 16
Le groupe orthogonal
– On s’intéresse maintenant à la structure de l’ensemble noté O (E) des automorphismes orthogonaux de E ;
on a O (E) ⊂ GL (E) et :
1. idE ∈ O (E) ;
2. si u ∈ O (E) et v ∈ O (E) alors u ◦ v ∈ O (E) car
∀x ∈ E, ku ◦ v (x)k
=
u∈O(E)
3. si u ∈ O (E) alors u−1 ∈ O (E) car
°
°
∀x ∈ E, °u−1 (x)°
On en déduit
=
u∈O(E)
kv (x)k = kxk
° ¡ −1
¢°
°u u (x) ° = kxk
Définition 16 Et proposition. L’ensemble des automorphismes orthogonaux
de E est un sous-groupe de (GL (E) ,◦) ; on le note O (E) et on l’appelle
groupe orthogonal de E.
Remarque 20
1) O (E) n’est bien entendu pas un sev de L (E) (0 ∈
/ O (E)
2) Si u ∈ O (E) et λ ∈ R. λu ∈ O (E) ssi λ = 1 ou λ = −1.
Exemples 19
Caractérisations ”fortes” des automorphismes orthogonaux. Soit E un espace vectoriel euclidien et soit u une application de E dans E (on ne suppose pas a priori que u est linéaire). On considère les assertions suivantes :
(i) u est un automorphisme orthogonal.
(ii) ∀ (x,y) ∈ E 2 , (u (x) | u (y)) = (x | y).
(iii) u (0) = 0 et pour tout (x,y) ∈ E 2 , ku (x) − u (y)k = kx − yk.
(iv) ∀x ∈ E, ku (x)k = kxk.
1. Montrer que les assertions (i), (ii) et (iii) sont équivalentes.
2. L’assertion (iv) est-elle équivalente aux trois autres?
C.1.4
Matrice d’un automorphisme orthogonal dans une base orthonormale, déterminant d’un automorphisme orthogonal
Lemme 1 Soit (E; .) un espace euclidien de dimension n, u ∈ L(E), B =
(e1 ; . . . ; en ) une bon de E et M = MB (u). On notera M = [C1 ; . . . ; Cn ]:
Alors
∀ (i,j) ∈ [[1; n]]2 : u(ei ).u(ej ) = (Ci | Cj )can
Proposition 16 Soient u ∈ O (E), B une bon de E et M = MB (u). On a :
t
M M = In
– Autrement dit : M ∈ GLn (R) (ça on le savait) et t M M = M t M = In i.e. M −1 =t M .
– Attention : il est fondamental que la base dans laquelle on écrit la matrice de u soit orthonormale.
Proposition 17 (conséquence) Si u ∈ O (E), alors det u ∈ {−1; 1}.
– Attention : cette condition n’est pas suffisante.
!
1
1
Exemple dans R euclidien canonique, u de matrice
dans la base canonique a pour déterminant
0
2
1 mais n’est pas orthogonale puisqu’elle envoie (1,0) de norme 1 sur (2,0) qui n’est pas de norme 1.
2
Ã
2
Mathématiques
C.1.5
chapitre : géométrie euclidienne
page 17
Groupe spécial orthogonal, rotations vectorielles
L’application det définit un morphisme de groupes de (O (E) ,◦) dans ({−1; 1} ,×) i.e. l’application
O (E) → {−1; 1} est un morphisme de groupes car det est un morphisme de groupes de (GL (E) ,◦) dans
u
7→ det u
( ∗ ,×) et O (E) est un ssgpe de (GL (E) ,◦).
Son noyau, qui n’est autre que l’ensemble des automorphismes de déterminant 1 est donc un sous groupe de
O (E) :
On consigne
Proposition 18 L’ensemble des automorphismes orthogonaux de déterminant 1 est un sous-groupe de (O (E) ,◦).
Définition 17 On l’appelle groupe spécial orthogonal de E et on le note
SO (E) :
SO (E) = {u ∈ O (E) / det u = 1}
Les éléments de SO (E) sont appelés rotations vectorielles de E ou automorphismes orthogonaux directs ou isométries (vectorielles directes). Les
éléments de O (E) \SO (E) sont appelés automorphismes orthogonaux indirects ou isométries (vectorielles indirectes).
– Pourquoi automorphismes orthogonaux directs? (note 2 ).
– parceque si u ∈ SO (E) alors pour toute base B = (e1 ,...,en ) de E, (u (e1 ) ,...,u (en )) est une base de E
(car u ∈ GL (E)) et detB (u (e1 ) ,...,u (en )) = det u = 1 donc (u (e1 ) ,...,u (en )) est de même orientation
que (e1 ,...,en ) ; ainsi u conserve l’orientation...
– de plus si u ∈ O (E) et envoie une base sur une base de même orientation, alors det u > 0 et donc
det u = 1 (car det u = ±1) donc u ∈ SO (E).
Ainsi donc, les automorphismes orthogonaux directs sont les eutomorphismes orthogonaux qui conservent
l’orientation i.e. qui envoient une base sur une base de même orientation (si on a orienté E ce la veut dire
qu’une base directe est envoyée sur une base directe, une indirecte sur une indirecte).
Souvenir : en dimension 2 on retrouve la conservation des angles orientés (dim plus grande notion d’angle
orienté pas définie).
– Il vient
Proposition 19 Caractérisations dans L (E) des rotations vectorielles. Soit
u ∈ L (E). Les assertions suivantes sont équivalentes.
1. u est une rotation (u ∈ SO (E)) ;
2. u transforme toute base orthonormale de E en une base orthonormale
de E de même orientation ;
3. il existe une base orthonormale de E transformée par u en une base orthonormale de E de même orientation.
– En particulier, si E est orienté, on peut ajouter les deux caractérisations :
– u transforme toute base orthonormale directe de E en une base orthonormale directe de E ;
– il existe une base orthonormale directe de E transformée par u en une base orthonormale directe de
E.
2. Remarque orale : nous verrons pourquoi rotation plus tard : on espère bien que dans le plan et dans l’espace ce soient effectivement
des rotations...
Mathématiques
C.1.6
chapitre : géométrie euclidienne
page 18
Où l’on reparle des symétries orthogonales et des réflexions
– Sur la matrice en bon d’une symétrie orthogonale.
Soit s une symétrie orthogonale. On a vu que s ∈ O (E). Considérons la matrice M de s dans un bon de
E.
On a : t M M = In et M 2 = In c’est–à-dire que l’on a M = M −1 =t M :
Proposition 20 La matrice M en base orthonormale d’une symétrie orthogonale vérifie
M = M −1 =t M
Ainsi M est en particulier symétrique.
– Une symétrie orthogonale peut être directe ou indirecte (de déterminant −1) en général. Il y a un cas
particulier important où l’on sait : lorsque l’on est dans le cas d’une réflexion. Soit r une réflexion par
rapport à H = x⊥ . Considérons une base (e1 ,...,en−1 ) de H complétée en (e1 ,...,en−1 ,x) base de E. Dans
cette base, la matrice de r est très jolie :


1 0
0



 0 ... ...




..

. 1
0 
0
0 −1
donc det r = −1.
On consigne
Proposition 21 Une réflexion est un automorphisme orthogonal indirect (i.e.
de déterminant −1).
Remarque 21
1) Une réflexion envoie ainsi une base sur une base d’orientation contraire.
2) cas gén des sym orth, comment savoir si dir ou indir : regarder la belle matrice de s F dans une base de F
complétée par une base de F ⊥ et observer que cela dépend de n et de dim F : direct si n − dim F est pair, indirect
si n − dim F est impair.
Un petit mot encore des réflexions :
Proposition 22 Soient a,b ∈ E, a 6= b et kak = kbk. Il existe une et une seule
réflexion r de E telle que r (a) = b.
– Remarque 22 1. r (a) = b ⇔ r (b) = a (car r 2 = idE ) i.e. r échange a et b.
2. si on n’a pas égalité des normes, pas de r.
3. si a = b 6= 0, il n’y a pas unicité dès que n ≥ 2 d’une reflexion fixant a : toute reflexion d’hyperplan
contenant a convient
4. si a = b = 0 toute réflexion convient.
Mathématiques
Exemples 20
page 19
chapitre : géométrie euclidienne
1. Soit E un espace euclidien, et λ ∈
∀x ∈ E
. Soit u un vecteur de E. Soit f l’application définie par
f (x) = x + λ(x|u)u
Trouver une condition nécessaire et suffisante sur λ et u pour que f soit un automorphisme orthogonal.
Décrire f quand cette condition est remplie.
C.2
Matrices orthogonales
On se donne dans toute cette partie n ∈ N∗ .
C.2.1
Définition, caractérisations
Définition 18 Une matrice P ∈ Mn (R) est dite orthogonale lorsque t P P = In .
D’après ce que l’on sait sur l’inversibilité et l’inverse d’une matrice, on a les équivalences :
P orthogonale ssi (def) t P P = In ssi P t P = In ssi P t P =t P P = In ssi P ∈ GLn (R) et P −1 =t P
Proposition 23 Soit P ∈ Mn (R).
1. Si P est orthogonale, alors det P ∈ {−1; 1}.
2. P est orthogonale ssi t P est orthogonale.
Proposition 24 Et définitions. On a :
1. L’ensemble des matrices orthogonales est un sous-groupe de
(GLn (R) ,×). On l’appelle groupe orthogonal et on le note O (n).
2. L’application O (n) → {−1; 1} est un morphisme de groupes.
P
7→ det P
3. {P ∈ O (n) / det P = 1} est un sous-goupe de O (n). Il est appelé groupe
spécial orthogonal et on le note SO (n).
Remarque 23 Soit P = (C1 ,...,Cn ) ∈ Mn (R). On a t P P = ((Ci | Cj )) ( calculs déjà effectués) et donc
P
t
ssi P
∈
∈
O (n) ssi (C1 ,...,Cn ) est orthonormale pour le ps can de Rn
O (n) ssi (L1 ,...,Ln ) est orthonormale pour le ps can de Rn
On résume :
Proposition 25 Caractérisations des matrices orthogonales. Soit P
Mn (R). Les assertions suivantes sont équivalentes :
∈
1. P ∈ O (n) ;
2. les vecteurs colonnes (de Rn ) de P forment une bon de Rn euclidien
canonique ;
3. les vecteurs lignes (de Rn ) de P forment une bon de Rn euclidien canonique.
Remarque 24 Ajoutons que, si on travaille dans Rn euclidien orienté canonique (i.e. la base canonique est prise
directe), les assertions suivantes sont équivalentes :
1. P ∈ SO (n) ;
2. les vecteurs colonnes (de Rn ) de P forment une bon directe de Rn ;
3. les vecteurs lignes (de Rn ) de P forment une bon directe de Rn .
Mathématiques
C.2.2
chapitre : géométrie euclidienne
page 20
Matrices orthogonales et automorphismes orthogonaux
Proposition 26 Soient P ∈ Mn (R) et E un espace euclidien de dimension n.
Les assertions suivantes sont équivalentes :
1. P ∈ O (n) ;
2. Pour tout bon B de E l’endo de E de matrice P dans B est orthogonal.
3. Il existe une bon B de E tel que l’endo de E de matrice P dans B soit
orthogonal.
Remarque 25
1. En particulier P orthogonale ssi l’endomorphisme canonique (de R n ) associé à P est un
automorphisme orthogonal de Rn euclidien canonique ; puisque la base can est orthonormale pour le ps
canonique (note : cela rejoint bien que les colonnes forment une bon de eucl can).
2. Via le choix d’une base orthonormale B de E les groupes O (E) et O (n) sont isomorphes :
O (E)
u
→ O (n)
7→ MB (u)
3. Comme de plus det u = det MB (u), les matrices du groupe spécial orthogonal sont exactement les matrices
en base orthonormale des rotations et
SO (E)
u
→ SO (n)
7→ MB (u)
est un isomorphisme de groupes.
4. Les sym orthog. Si P est la mat de u dans bon, u sym orthog ssi u ∈ O(E) et u 2 = Id ssi t P = P −1 et
P 2 = In ssi P ∈ GLn (R) et t P = P = P −1 .
C.2.3
Matrice orthogonale et changement de bases orthonormales
Lemme 2 Soit (E; .) un espace euclidien de dimension n, B = (e 1 ; . . . ; en ) une
bon de E , χ = (x1 ; . . . ; xn ) une famille de E et M = MB (χ). On notera
M = [C1 ; . . . ; Cn ]: Alors
∀ (i,j) ∈ [[1; n]]2 : xi .xj = (Ci | Cj )can
Proposition 27 Soient P ∈ Mn (R) et E un espace euclidien de dimension n.
1. P ∈ O (n) ssi P est la matrice de passage entre deux bases orthonormales (i.e. il existe B et B 0 bon tq P = PBB0 ).
2. P ∈ SO (n) ssi P est la matrice de passage entre deux bases orthonormales de même orientation (i.e. il existe B et B 0 bon de même orientation
tq P = PBB0 ).
Remarque 26 La démo de la propo précédente laisse apparaitre que pour β bon de E et β 0 base de E:
β 0 bon de E ⇐⇒ P (β,β 0 ) ∈ O (n)
Exemples 21
Une décomposition des matrices inversibles. Soit n ∈ N∗ . Soit A ∈ GLn (R). Montrer qu’il existe un unique couple
(O,T ) de matrices de Mn (R) tel que A = OT , O ∈ O (n) et T est triangulaire supérieure et ses coefficients
diagonaux sont strictement positifs. (On pourra penser à une interprétation en termes de changement de bases et à
rappeler le généreux Schmidt).
Mathématiques
C.3
chapitre : géométrie euclidienne
page 21
Produit mixte
Vu en SI.
(E, (. | .)) désigne ici un espace euclidien de dimension n ∈ N ∗ supposé orienté.
– Présentation Ce produit mixte aura une interprétation géom forte (cf dim 2 et 3) comme surface, volume...
Il nous permettra aussi de donner une def intrinsèque (sans les coordonnées) du produit vect en dim 3. On
veut définir le produit mixte d’une famille de n vecteurs de E comme étant le déterminant dans une bon
directe qcq de la famille en question. Pour cela il nous faut montrer que ce det ne dépend pas de la bon
directe choisie.
– Considérons B et B 0 des bon directes de E. On a detB0 = detB0 B × detB or B et B 0 sont des bon de même
orientation donc detB0 B = det PB0 B = 1 donc detB0 = detB .
– Ainsi donc le déterminant dans une bon directe ne dépend pas pas de la bon directe choisie. Ceci nous
autorise à définir :
Définition 19 Soit (v1 ,...,vn ) ∈ E n . On appelle produit mixte de (v1 ,...,vn ) et
on le note [v1 ,...,vn ] le déterminant de (v1 ,...,vn ) dans une bon directe de E :
[v1 ,...,vn ] = det (v1 ,...,vn ) où B est une bon directe de E.
B
Remarque 27
1) Le produit mixte possède toutes les propriétés du déterminant :
1.
En
→ R
est une forme n-linéaire alternée.
(v1 ,...,vn ) 7→ [v1 ,...,vn ]
2. Pour tout (v1 ,...,vn ) ∈ E n , [v1 ,...,vn ] = 0 ssi (v1 ,...,vn ) est liée.
3. Pour tout (v1 ,...,vn ) ∈ E n , et tout f ∈ L (E), [f (v1 ) ,...,f (vn )] = det f × [v1 ,...,vn ].
2) De plus :
1. pour tout (v1 ,...,vn ) ∈ E n , [v1 ,...,vn ] > 0 ssi (v1 ,...,vn ) est une base directe de E.
2. Si u ∈ O (E), pour tout (v1 ,...,vn ) ∈ E n , [u (v1 ) ,...,u (vn )] = det u [v1 ,...,vn ]
½
[v1 ,...,vn ] si u ∈ SO (E)
=
− [v1 ,...,vn ] si u ∈ O (E) \SO (E)
3) Un changement d’orientation de E change le produit mixte en son opposé.
D Angle orienté de deux vecteurs non nuls en dimension 2
(E2 , (. | .)) désigne dans toute cette partie un plan vectoriel euclidien orienté
1 →
−
−
−
−
−
u vecteur normalisé à partir de →
u . On
– Soient (→
u ,→
v ) des vecteurs non nuls de E2 . Posons →
u1 = →
k−
uk
−
−
−
−
complète →
u 1 par →
u 2 de telle sorte que (→
u 1 ,→
u 2 ) soit une bond de E2 (Rq : une seule façon de faire ) . On
1 →
−
→
−
→
−
peut alors écrire →
v = x1 u 1 + x2 u 2 et on a x21 + x22 = 1 donc il existe α ∈ R unique à 2π près tel que
k−
vk
x1 = cos α, x2 = sin α. α est notre homme :
– Petit dessin :
Mathématiques
chapitre : géométrie euclidienne
page 22
−
−
Définition 20 Soient →
u et →
v des vecteurs non nuls de E2 . Le réel α, unique à 2π
près, défini par la relation
1 →
1 →
−
−
−
v = (cos α) →
u + (sin α) →
u2
−
k→
vk
k−
uk
µ
¶
1 →
−
→
−
où
est la bond construite ci-dessus , est une mesure de l’angle orienté
u
,
u
2
−
k→
uk
³
´
−
→
−
[
u ,→
v .
´
³
−
−
[
u ,→
v est la valeur α ≡ αmod2π telle
La mesure principale de l’angle orienté →
0
que α0 ∈ ]−π; π].
Remarque 28
1) Voir dans le cours : On montrera bientôt que α peut s’interpréter comme l’angle d’une rotation : c’est l’angle
1 →
1 →
−
−
de l’unique rotation envoyant →
u sur →
v.
−
−
kuk
kvk
−
z→
−
−
2) Si on identifie E2 au plan complexe via le choix d’une bond B de E2 , alors α ≡ arg v mod2π où z→
u et z→
v sont
−
z→
u
→
−
→
−
les affixes complexes de u et v dans la base B .
−
−
Proposition 28³Soient´ →
u et →
v des vecteurs non nuls de E2 , α une mesure de
→
−
→
−
l’angle orienté [
u , v . On a :
−
−
−
→
(→
u |→
v ) = k→
u k k−
v k cos α
−
−
−
−
[→
u ,→
v ] = k→
u k k→
v k sin α
Remarque 29
−
−
−
−
(→
u |→
v)
[→
u ,→
v]
1) On a donc cos α = →
et sin α = →
.
−
→
−
−
−
kukk v k
k u k k→
vk
´
³
−
→
(→
u |−
v)
−
−
[
u ,→
v alors cos α0 = →
2) Si α0 ∈]−π; π] est la mesure principale de l’angle orienté →
détermine α0 au
−
k−
u k k→
vk
−
−
signe près, et le signe de [→
u ,→
v ] donne le signe de α0 .
−
−
−
−
On a : α0 = 0 ssi (→
u ,→
v ) sont colinéaires de même sens ; α0 = π ssi (→
u ,→
v ) sont colinéaires de sens opposés ;
π
−
−
→
−
→
−
→
−
→
−
u ⊥→
v.
α0 > 0 ssi ( u , v ) est directe ; α0 < 0 ssi ( u , v ) est indirecte ; α0 = ± ssi →
2
3) On a les propriétés connues :
³
´
³
´
³
´
−
−
−
−
−
−
[
[
[
mes →
u ,→
v + mes →
v ,→
w ≡ mes →
u ,→
w mod2π ( Chasles )
´
´
³
³
−
−
−
−
[
[
u ,→
v mod2π
v ,→
u ≡ −mes →
mes →
et autres...
−
−
−
pour tout →
u ,→
v ,→
w vecteurs non nuls de E2 . On les démontrera comme application du cours sur les rotations
du’un plan euclidien. Notons
que la seconde est une conséquence immédiate de la première puisque
³ cependant
´
→
−
→
−
→
−
[
pour tout u non nul, mes u , u ≡ 0 (mod 2π).
E Produit mixte en dimension 2
E.1 Expression analytique dans une bond
Si B = (e1 ,e2 ) est une bond de E2 , on a, pour tout x1 ,x2 ,y1 ,y2 ∈ R :
·µ
¶ µ
¶ ¸
x1
y1
,
= x 1 y2 − x 2 y1
x2 B
y2 B
Mathématiques
chapitre : géométrie euclidienne
page 23
E.2 Expression à l’aide de l’angle orienté
−
−
−
−
−
−
On l’a vu plus haut pour →
u et →
v des vecteurs non nuls de E2 : [→
u ,→
v ] = k→
u k k→
v k sin α .
E.3 Interprétation géométrique du produit mixte
On se place dans le plan affine euclidien orienté (cadre usuel de nos travaux géométriques). Rien de bien spectaculaire
en fait : étant donné que l’on adopte ici une point de vue géométrique, on travaille plutôt avec des points i.e. avec des
représentants des vecteurs.
Soient A,B,C des points du plan affine euclidien orienté muni d’un repère orthonormal (O,i,j).
On a
¯h−−→ −→i¯
¯
¯
¯ AB,AC ¯ = 2Aire (ABC) = Aire (ABDC)
Remarque 30 En termes vectoriels dans E2 euclidien orienté de dimension 2 :
−
−
−
−
|[→
u ,→
v ]| =Aire du parallélogramme défini par (→
u ,→
v).
F
Petites choses particulières à l’espace euclidien orienté de dimension 3
(E3 , (. | .)) désigne dans toute cette partie un espace euclidien orienté de dimension 3.
F.1 Produit vectoriel en dimension 3
F.1.1
Définition
Proposition 29 Pour tout (u,v) ∈ E32 , il existe un unique vecteur wu,v de E3
tel que :
∀x ∈ E3 , [u,v,x] = (wu,v | x)
Définition 21 Avec les notations plus haut, le vecteur wu,v est appelé produit
vectoriel de u et v et on le note u ∧ v.
F.1.2
Propriétés
– Par définition même, on a la propriété :
∀ (u,v) ∈ E32 ,∀x ∈ E3 , [u,v,x] = (u ∧ v | x)
(et de plus, la propriété que pour tout x ∈ E3 on a [u,v,x] = (u ∧ v | x) est caractéristique de u ∧ v).
Proposition 30 L’application . ∧ . :
E 3 × E3
(u,v)
métrique (équivaut à alternée) ; ce qui signifie :
1. Bilinéarité :
2. Antisymétrie :
3. Alternée :
→ E3
est une application bilinéaire antisy7→ u ∧ v
Mathématiques
page 24
chapitre : géométrie euclidienne
La loi de composition interne ∧ n’est donc pas commutative. Elle n’est pas associative non plus : cf la relation a)
de la propriété 3.
⊥
Propriété 6
1. u ∧ v est orthogonal à u et à v (u ∧ v ∈ (vect (u,v)) ).
2. u ∧ v = 0E ssi (u,v) liée.
3. Si (u,v) est libre, alors (u,v,u ∧ v) est une base (un ”trièdre”) directe de
E3 .
4. Si u ⊥ v, alors ku ∧ vk = kuk . kvk.
5. Si (a,b) est orthonormale, alors (a,b,a ∧ b) est une base orthonormale directe de E3 .
2
Remarque 31 On se souviendra que ku ∧ vk = [u,v,u ∧ v].
Proposition 31 Expression analytique en base orthonormale
directe

 du pro

y1
x1
duit vectoriel. Soit B une b.o.n.d. de E. Si u =  x2  et v =  y2 
y3 B
x3 B
alors
¯ 
 ¯
¯ x 2 y2 ¯
¯
¯
 ¯ x 3 y3 ¯ 


¯ 
 ¯
x 2 y3 − x 3 y2
 ¯ x 1 y1 ¯ 
¯ 
¯
u ∧ v =  x 3 y1 − x 1 y3  = 
−
 ¯ x 3 y3 ¯ 
¯
¯ 
x 1 y2 − x 2 y1 B 
 ¯ x 1 y1 ¯ 
¯
¯
¯ x 2 y2 ¯
B
Propriété 7 Pour tout u,v,w ∈ E3 , on a :
1. (Formule du double produit vectoriel) u ∧ (v ∧ w) = (u | w) v − (u | v) w.
2
2. u ∧ (v ∧ u) = kuk v − (u | v) u.
2
2
2
2
3. ku ∧ vk = kuk kvk − (u | v) .
Remarque 32 On n’oubliera pas que la loi de composition interne ∧ sur E 3 n’est ni commutative, ni associative.
Exemples 22
1. a, b, et c sont trois vecteurs d’un espace euclidien orienté de dimension 3 dont on note ( | ) le
produit scalaire. Soit u ∈ E un vecteur non nul et f l’application de 3 dans 3 définie par f (x) = x ∧ u.
(a) Montrer que f est linéaire.
(b) f est-elle injective?
(c) Montrer que f 3 et f sont proportionnelles.
(d) Déterminer la matrice de f dans une bond bien choisie.
2. a et b désignent deux vecteurs non nuls d’un espace euclidien de dimension trois. Quel est le rang de
l’application g de E dans E définie par
∀ x ∈ E : g(x) = (a|x)a + b ∧ x
Indication: On pourra s’intéresser, pour x ∈ ker g, au lien entre a et x.
F.2 Angle non orienté entre deux vecteurs non nuls de l’espace
La notion d’angle non orienté entre deux vecteurs non nuls est une notion générale aux espaces euclidiens (et
donc en particulier pour la dimension 3), contrairement à la notion d’angle orienté qui est particulière à la dimension 2.
Mathématiques
chapitre : géométrie euclidienne
page 25
Définition 22 E3 n’a pas besoin d’être orienté pour cette définition. Soient u
et v des vecteurs non nuls de E3 . La mesure θ ∈[0; π] de l’angle non orienté
entre u et v est défini par la relation :
(u | v)
kuk kvk
¯
¯
¯ (u | v) ¯
¯ ≤ 1 d’après l’inégalité de Cauchy-Schwarz, et la connaisCette définition est légitime car kuk kvk 6= 0, ¯¯
kuk kvk ¯
sance de cos θ détermine un unique θ ∈ [0; π]. On a donc
cos θ =
θ = arccos(
(u | v)
).
kuk kvk
Remarque 33
1) Cela revient à définir θ ∈ R à 2π près et au signe près.
2) Avec les hypothèses et notations de la définitions, θ = 0 ssi (u,v) colinéaires et de même sens ; θ = π ssi (u,v)
π
colinéaires et de sens contraires ; θ = ssi u ⊥ v.
2
3) Si (u,v) est libre, alors dans le plan vect (u,v) (muni de la structure euclidienne induite par celle de E 3 ), une
mesure de l’angle orienté (u,v)
c est θmod (2π) ou −θmod (2π) selon l’orientation de vect (u,v) que l’on fixe.
On retrouve pour finir les relations connues :
Proposition 32 Pour tout (u,v) ∈ E32 on a
(u | v) = kuk kvk cos θ et ku ∧ vk = kuk kvk sin θ
Remarque 34 Expression du produit vectoriel en fonction de l’angle θ .
F.3 Interprétation géométrique du produit mixte en dimension 3
Soient A,B,C,D des points de l’espace affine euclidien orienté de dimension 3.
On a
¯h−−→ −→ −−→i¯
³−−→ −→ −−→´
¯
¯
¯ AB,AC,AD ¯ =Volume du parallélépipède défini par AB,AC,AD
Remarque 35 En termes vectoriels, dans E3 :
−
−
−
−
−
−
|[→
u ,→
v ,→
w ]| =Volume du parallélépipède défini par (→
u ,→
v ,→
w) .
Mathématiques
page 26
chapitre : géométrie euclidienne
G Les automorphismes orthogonaux du plan vectoriel euclidien
G.1 Description des matrices orthogonales 2 × 2
– Soit M =
M
µ
a
b
c
d
¶
∈ M2 (R).
µµ
¶ µ
¶¶
c
∈
O (2) ⇐⇒
,
est une bon de R2 euc can
d


½
½
a = cos θ
a = cos θ


 2


∃θ ∈ R/
∃θ ∈ R/




b
=
sin
θ
 a + b2 = 1


½
½ b = sin θ0
c2 + d2 = 1 ⇐⇒
c = sin θ 0
c = sin θ
⇐⇒
⇐⇒
∃θ ∈ R/
∃θ ∈ R/



0


ac + bd = 0
d
=
cos
θ
d
= cos θ 0






0
0
0
cos θ sin θ + sin θ cos θ = 0
sin (θ + θ ) = 0


a = cos θ







b = sin θ



½


a
=
cos
θ
c = sin (−θ) = − sin θ






∃θ ∈ R/





b
=
sin
θ
d = cos (−θ) = cos θ


½
c = sin θ 0
ou
⇐⇒
⇐⇒ ∃θ ∈ R/
∃θ ∈ R/

 
0


d
=
cos
θ
a
=
cos
θ





 0
 


θ ≡ −θmod2π ou θ 0 ≡ −θ + πmod2π
b = sin θ




c = sin (−θ + π) = sin θ



 

d = cos (−θ + π) = − cos θ
µ
¶
cos θ −ε sin θ
⇐⇒ ∃θ ∈ R,∃ε ∈ {−1; 1} ,M =
sin θ ε cos θ
a
b
Résumons :
Proposition 33 O (2) =
½µ
cos θ
sin θ
– Ajoutons de plus que pour θ ∈ R et ε ∈ {−1; 1}, det
G.1.1
¶
−ε sin θ
ε cos θ
µ
¾
,θ ∈ R,ε ∈ {−1; 1} .
cos θ
sin θ
−ε sin θ
ε cos θ
¶
¡
¢
= ε cos2 θ + sin2 θ = ε.
Description du groupe spécial orthogonal SO (2)
Proposition 34 Description et propriétés du groupe spécial orthogonal
SO (2).
½µ
¶
¾
cos θ − sin θ
1. SO (2) =
,θ ∈ R (i.e. les matrices de SO (2) sont
sin θ cos θ
µ
¶
cos θ − sin θ
exactement les matrices de la forme
avec θ ∈ R).
sin θ
cos θ
µ
¶
cos θ − sin θ
2. Si on note, pour θ ∈ R, Rθ la matrice
, on a :
sin θ cos θ
(a) ∀ (θ,θ 0 ) ∈ R2 ,Rθ Rθ0 = Rθ+θ0 = Rθ0 Rθ .
−1
(b) ∀θ ∈ R, (Rθ ) = R−θ .
3. (SO (2) ,×) est un groupe commutatif.
Remarque 36 On a R0 = I2 .
On a aussi : R → SO (2) est un morphisme de groupes de (R,+) dans (SO (2) ,×)
θ 7→ Rθ
. On peut ajouter que le noyau de ce morphisme est {θ ∈ R/Rθ = I2 } = {θ ∈ R/ cos θ = 1 et sin θ = 0} = 2πZ.
Mathématiques
G.1.2
chapitre : géométrie euclidienne
page 27
Description de O (2) \SO (2)
Proposition 35 Description
de O (2)
½µ
¶ \SO (2).
¾
cos θ
sin θ
O (2) \SO (2) =
,θ ∈ R (i.e. les matrices de SO (2) sont
sin θ − cos θ µ
¶
cos θ
sin θ
exactement les matrices de la forme
avec θ ∈ R).
sin θ − cos θ
G.2 Plan large sur les automorphismes orthogonaux du plan
(E2 , (. | .)) désigne dans toute cette partie et la suivante un plan (E 2 est de dimension 2) vectoriel euclidien.
G.2.1
Description générale des automorphismes orthogonaux du plan
Proposition 36 Un automorphisme orthogonal du plan euclidien E 2 est soit
une rotation, soit une réflexion.
Remarque 37
1) Détermination de l’axe d’une réflexion et dépendance par rapport au choix de la base .
De plus du fait :
– de l’isomorphisme de groupes entre (SO (E2 ) ,◦) et (SO (2) ,×) via le choix d’une bon,
– et de la commutativité du groupe (SO (2) ,×),
il vient que :
Proposition 37 Le groupe (SO (E2 ) ,◦) des rotations vectorielles du plan vectoriel euclidien E2 (le groupe spécial orthogonal de E2 ) est commutatif.
G.3 Les rotations (vectorielles) du plan vues de plus près lorsque le plan est orienté : angle
d’une rotation
(E2 , (. | .)) est dans cette partie supposé orienté
G.3.1
Définition
Oral. On veut maintenant définir l’angle d’une rotation et rejoindre nos connaissances. Il y a plusieurs façons de
le faire. Nous choisisons de la faire en observant l’action de la rotation concernée sur une bon.
Proposition 38 Soit r une rotation (vectorielle) de E2 (r ∈ SO (E2 )). Il existe
θ ∈ R, unique à 2π près, tel
µ que dans toute¶base orthonormale directe de E 2
cos θ − sin θ
.
la matrice de r soit Rθ =
sin θ cos θ
Autrement dit (vectoriellement) : signification en termes vectoriels : il existe θ ∈ R, unique à 2π près, tel que
pour toute bond (u1 ,u2 ) de E2 , r (u1 ) = cos θu1 + sin θu2 et r (u2 ) = − sin θu1 + cos θu2 .
Définition 23 Avec les notations précédentes, on dit que r est la rotation
d’angle θ (où θ est une mesure de l’angle de r).
Remarque 38 Attention , l’angle dépend de l’orientation choisie .
Mathématiques
G.3.2
chapitre : géométrie euclidienne
page 28
Propriétés
Pour toute la suite, pour θ ∈ R, on notera rθ la rotation de E2 d’angle θ.
Propriété 8 On retombe sur des choses connues...
1.
2.
3.
4.
∀ (θ,θ 0 ) ∈ R2 ,rθ ◦ rθ0 = rθ+θ0 = rθ ◦ rθ0 .
−1
∀θ∈ R, (rθ ) = r−θ .
∀θ∈ R, (rθ = idE2 ⇐⇒ θ ≡ 0mod2π).
Si θ À 0mod2π alors ker(rθ − idE2 ) = {0}.
Preuve. On choisit une base orthonormale directe B, et de l’isomorphisme entre (SO (E 2 ) ,◦) et (SO (2) ,◦) qui
s’établit SO (E2 ) → SO (2)
et de ce qui a été fait sur SO (2) on déduit les propriétés plus haut.
rθ 7→ MB (u) = Rθ
Remarque 39 Avec le 1) on retrouve bien entendu que (SO (E2 ) ,◦) est commutatif.
Propriété 9 Où l’on retombe en terrain connu. Soit r la rotation vectorielle
d’angle θ ∈ R.
−
1. Pour tout vecteur unitaire →
a de E2 , on a :
−
−
−
−
(→
a | r (→
a )) = cos θ et [→
a ,r (→
a )] = sin θ
2.
n→
³
´
−o
−
−
−
∀→
u ∈ E2 \ 0 ,mes →
u\
,r (→
u ) ≡ θ (mod2π)
´
³
−
−
−
u\
,r (→
u ) a une mesure indépendante de →
u égale
(i.e. l’angle orienté →
à l’angle de la rotation r modulo 2π).
Remarque 40
1. On retrouve bien ce qui est pour nous une rotation : que la rotation r d’angle θ est l’application de E2 dans E2 qui envoie un vecteur u sur le vecteur de même norme que u et, lorsque u 6= 0, faisant
un angle θ avec u.
2. Le lien entre la notion d’angle de vecteurs et de rotation peut maintenant être précisé.
3. Et Chasles dans tout ça !
Exemples 23
Compléments sur les rotations et réflexions d’un plan vectoriel euclidien orienté. Soit (E, (. | .)) un plan vectoriel
euclidien orienté.
1. C’est bien connu, les rotations conservent les angles orientés. Soit r une rotation de E. Montrer que pour tout
³ n→
´ ³
´
− o´2 ³ →
−
−
−
−
−
[
(→
u ,→
v ) ∈ E\ 0
, r (−
u\
) ,r (→
v) ≡ →
u ,→
v (mod2π).
2. C’est bien connu, les réflexions inversent les angles orientés. Soit s une réflexion de E. Montrer que pour tout
³ n→
´
³
´
− o´2 ³ →
−
−
−
−
−
[
(→
u ,→
v ) ∈ E\ 0
, s (−
u\
) ,s (→
v) ≡− →
u ,→
v (mod2π).
G.3.3
Décomposition en produit (composée) de réflexions
Oral : pour plus de précisions (angles and co ce qui est connu dans le cas affine, cf exo), il est indéniable que le
produit de deux réflexions est une rotation (car déterminant 1) mais en fait on a mieux :
Proposition 39 Toute rotation du plan vectoriel euclidien est le produit (la
composée) de deux réflexions.
Preuve. Voui avec un beau dessin.
Remarque 41
Mathématiques
chapitre : géométrie euclidienne
page 29
1) Il n’y a pas unicité d’une décomposition d’une rotation donnée en produit de deux réflexions. id E2 = s1 ◦ s1 =
s2 ◦ s2 avec s1 6= s2 . Plus général : c’est général, c’est le cas pour toute rotation,
dessin
2) Un automorphisme orthogonal du plan est soit une réflexion, soit le produit de deux réflexions (et c’est dans
ce cas une rotation).
Ainsi, tout automorphisme orthogonal du plan est produit d’au plus deux réflexions .
3) Les réflexions engendrent le groupe des automorphismes du plan (c’est général à la dimension n quelconque ;
ce qui est particulier ici c’est le au plus 2 réflexions : en général c’est au plus n ).
Exemples 24
1. Reconnaître (préciser si c’est une isométrie, donner les éléments caractéristiques s’il y a lieu,
faire un petit dessin...) les applications linéaires de R 2 euclidien orienté canonique de matrices dans la base
canonique :
√ ¶ µ
√
¶
¶ µ
¶ µ
¶ µ
µ
¶
µ
1
1
1
−
2
0
1
1
1
1
1
0
3/2
3
1/2
−
√
,
, √
,
,√
,
0 3
1 −1
1 1
0 −3
3/2
1/2
3
1
2
2
2. Vrai ou Faux? Soient E2 un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 2, et u ∈ L (E 2 ).
(a) Soient
B = (e1 ,e2¶) une base orthonormale de E2 et θ ∈ R. u est la rotation d’angle θ ssi MB (u) =
µ
cos θ − sin θ
: V F
sin θ cos θ
µ
¶
cos θ
sin θ
(b) u est une réflexion ssi il existe une bon B et il existe θ ∈ R tels que M B (u) =
:
sin θ − cos θ
V F
µ
¶
cos θ
sin θ
(c) Si u est une réflexion, alors, pour toute bon B, il existe θ ∈ R tels que M B (u) =
:
sin θ − cos θ
V F
¶
µ
cos θ
sin θ
:
(d) Si u est une réflexion, alors, il existe θ ∈ R tel que pour toute bon B, M B (u) =
sin θ − cos θ
V F
3. On se place dans R2 muni de sa structure euclidienne orientée canonique. On pose a = (1,2) et b = (−1,1).
Donnez une mesure de l’angle orienté des vecteurs a et b. Donnez la matrice dans la base canonique de la
réflexion s par rapport à Ra et celle de la réflexion de t par rapport à Rb. Calculez matriciellement t ◦ s ;
quel est son angle?
4. Soient a1 et a2 deux vecteurs unitaires du plan orienté faisant un angle α. On note s 1 et s2 les réflexions de
droites Ra1 et Ra2 respectivement. En raisonnant matriciellement dans une base judicieuse, montrer que
s2 ◦ s1 est la rotation d’angle 2α.
H Les automorphismes orthogonaux en dimension 3
(E3 , (. | .)) désigne dans toute cette partie un espace vectoriel euclidien de dimension 3.
On va montrer ici qu’en dimension 3 il y a trois types d’isométries :
– les isométries de déterminant 1 (isométries directes) i.e. les rotations : nous allons les étudier en détail, on
dégagera l’axe, l’angle lorsque l’espace sera orienté...
Mathématiques
page 30
chapitre : géométrie euclidienne
– les isométries de déterminant −1 (isométries indirectes) qui se décomposent en deux catégories :
– les réflexions i.e. les symétries orthogonales par rapport à un plan : on connait,
– les autres, qui ne sont ni des réflexions (ni des rotations) : on ne s’attardera pas (c’est hors programme)...
mais par exemple : −idE3 est orthogonal, n’est pas une rotation -déterminant –1, n’est pas une réflexion puisque dim ker u − idE3 = 0 6= 2.
H.1 Les réflexions de l’espace (un mot)
Les résultats qui suivent sont connus.
– Une réflexion u est par définition une symétrie orthogonale par rapport à un plan vectoriel de l’espace,
c’est-à-dire que u ∈ L (E3 ), u2 = idE3 , ker (u − idE3 ) est de dimension 2 et ker (u − idE3 ) ⊥ ker (u + idE3 )
(u est alors la réflexion par rapport au plan ker (u − idE3 )).
cf bô dessin.
– La matrice M dans une bon de E3 d’une réflexion est orthogonale et symétrique : M 2 = M t M = I3 (M est
inversible et M −1 = M =t M ).
– Une belle base pour les réflexions. Soit u une réflexion. Dans une base (e 1 ,e2 ,e3 ) où (e1 ,e2 ) est une base de
ker (u − idE33 ) et (e3 ) est une base de ker (u + idE3 ) = (ker (u − idE3 ))


1 0 0
 0 1 0 
0 0 −1
⊥
la matrice de u est
On a e3 orthogonal à e1 et à e2 . On peut choisir la base (e1 ,e2 ,e3 ) orthonormée (il suffit de prendre (e1 ,e2 )
bon de ker (u − idE3 ) et de prendre e3 normé).
– Une réflexion est une isométrie vectorielle indirecte de l’espace (mais contrairement au plan, il y a dans
l’espace, comme nous allons le voir des isométries vectorielles indirectes qui ne sont pas des réflexions).
H.2 Les rotations vectorielles de l’espace (SO (E3 ))
H.2.1
Petit travail préliminaire
Proposition 40 Soit u une rotation vectorielle de E3 différente de idE3 .
1. Il existe un réel θ et une bon (x1 ,x2 ,x3 ) de E dans laquelle la matrice de
u est


cos θ − sin θ 0
 sin θ
cos θ 0 
0
0
1
2. le sev ker (u − idE3 ) des vecteurs invariants par u est la droite vectorielle
x3 .
⊥
3. u induit une rotation du plan (ker (u − idE3 )) = vect(x1 ,x2 ).
H.2.2
Axe et angle d’une rotation de l’espace orienté
– Soit u une rotation de E3 orienté. On veut maintenant définir l’axe (un axe est une droite orientée) et l’angle
de u. On commence par faire le point sur l’orientation d’un HP .
Mathématiques
chapitre : géométrie euclidienne
page 31
Définition 24 On suppose E3 orienté. Soit u une rotation de E3 différente de
idE3 .
1. La droite ker (u − idE3 ) orientée (arbitrairement) est appelé un axe de
la rotation u.
2. Si on note ∆ un axe de u. L’angle de u est par définition l’angle de la
⊥
rotation induite dans le plan (ker (u − idE3 )) orienté par sa normale
∆.
Remarque 42
1) Il y a deux axes possibles à une rotation (6= idE3 ) car il y a deux orientations possibles d’une droite de l’espace
(qui se fait simplement par le choix d’un vecteur directeur de la droite).
⊥
L’axe de la rotation (6= idE3 ) étant choisi, il n’y a qu’un seul angle (à 2π près) car l’orientation du plan (ker (u − id E3 ))
est alors fixé (par l’orientation de E3 ).
Si on change l’orientation de l’axe, l’oriention du plan orthogonal change aussi ; une rotation (6= id E3 ) étant
donnée, il y a donc deux couples axe-angle possible : la rotation d’axe ∆ et d’angle θ est aussi la rotation d’axe
∆0 d’orientation contraire à ∆ et d’angle −θ. Ainsi le signe de l’angle dépend de l’axe (ie de l’orientation de la
droite ker (u − idE3 )) choisi.
Notation 1 On notera par la suite Rot (∆,θ) la rotation d’axe ∆ droite orientée
et d’angle θ.
³→
³ →
− −´
− −´
−
−
c est une bond de
a , b ,→
c où →
a dirige et oriente ∆ et b ,→
2) la matrice de Rot (∆,θ) dans la base →
´
³
⊥
→
−
→
−
⊥
orienté par ∆ i.e. par a , est
a
= (ker (Rot (∆,θ) − idE3 ))


1
0
0
 0 cos θ − sin θ 
0 sin θ cos θ
³ →
´
− −
−
−
Si →
a est pris normé, la base →
a , b ,→
c est orthonormale directe.
Dessin
3) par souci de non exclusion de θ = 0mod2π, et pour être cohérent avec ce qui précède (et l’appréhension
géométrique) on conviendra aisément que la rotation d’axe ∆ et d’angle 0 est l’identité (oral : par abus on peut
considérer que tout axe est axe de l’identité : le sev des invariants est ici égal à tout l’espace).
4) Une rotation Rot d’angle π est une symétrie orthogonale par rapport à la droite ker (Rot − id E3 ). Avec idE3 c’est
la seule rotation qui est aussi une symétrie. En effet si u est à la fois une rotation et une symétrie orthogonale,
alors dans une bon (e1 ,e2 ,e3 ) bien choisie, il existe θ ∈ R tel que la matrice de u est


1
0
0
 0 cos θ − sin θ 
0 sin θ cos θ
et elle est d’autre part symétrique donc − sin θ = sin θ donc sin θ = 0 donc θ ≡ 0mod2π ou θ ≡ πmod2π i.e.
u = idE3 ou u est un retournement (d’axe vecte1 ). Réciproqument idE3 et un retournement sont bien à la fois des
rotations et des symétries orthogonales.
Définition 25 Une rotation d’angle π est appelé retournement (ou demi-tour).
Mathématiques
H.2.3
chapitre : géométrie euclidienne
page 32
Décomposition d’une rotation en produit (composée) de deux réflexions
– Tout d’abord le produit de deux réflexion u2 ◦ u1 est une rotation de E3 : c’est un aut orthog (comme
composée de deux aut orthog) et son déterminant vaut det u2 ◦ u1 = det u2 det u1 = (−1) × (−1) = 1.
Soyons maintenant un peu plus précis.
Si u1 et u2 sont les réflexions par rapport aux plans P1 et P2 , alors :
• si P1 = P2 , alors u2 ◦ u1 = idE3 ,
• si P1 6= P2 , alors u2 ◦ u1 est une rotation différente de idE3 d’axe porté par la droite vectorielle P1 ∩ P2
En effet :
1) OK u2 ◦ u1 = u21 = idE ,
2) Si P1 6= P2 alors u2 ◦ u1 6= idE sinon u2 ◦ u1 = idE donc u2 = u−1
= u1 donc P1 = P2 ce qui n’est
1
pas .D’autre part comme P1 6= P2 , P1 ∩ P2 est une droite vectorielle Or P1 ∩ P2 ⊂ ker (u2 ◦ u1 − idE ) car
si x ∈ P1 ∩ P2 alors u2 (u1 (x)) = u2 (x) = x. De plus dim P1 ∩ P2 =d im(ker (u2 ◦ u1 − idE )) = 1 (car
u2 ◦ u1 6= idE ), donc ker (u2 ◦ u1 − idE ) = P1 ∩ P2 .
Précisions : pour ce qui est de l’angle, lorsque E3 est orienté, nous nous contenterons de constater sur le
dessin qu’il vaut 2α, où α est l’angle orienté (par une orientation de P 1 ∩ P2 ) entre P1 et P2 (α est défini
modulo π -analogue de l’angle entre deux droites du plan orienté) -c’est l’angle entre les droites traces de
⊥
P1 et P2 dans le plan (P1 ∩ P2 ) orienté par P1 ∩ P2 ).
Dessin
– On s’intéresse maintenant à la réciproque : une rotation est elle toujours produit de deux réflexions?
Proposition 41 Toute rotation de E3 est le produit de deux réflexions.
Exemples 25
1. Expression vectorielle de l’image d’un vecteur par une rotation de l’espace. Soit a un vecteur unitaire
de E euclidien orienté de dimension 3. On note r la rotation d’axe dirigé et orienté par a et d’angle α.
– Montrer :
∀x ∈ E,r (x) = (cos α) x + (sin α) (a ∧ x) + (1 − cos α) (a | x) a.
– Quel résultat obtient-on lorsque x est unitaire et orthogonal à a.
– En déduire une expression simple de cos α et sin α à l’aide d’un tel vecteur x.
– Que reste-t-il si x n’est pas unitaire et ortho à a?
2. Soit f un automorphisme indirect d’un espace euclidien E de dimension 3.
– Prouver que −f est une rotation de E.
– Décrire alors f .
H.3 Plan large sur les automorphismes orthogonaux de l’espace
Oral : on l’a dit en intro, dans l’espace il y a comme aut orthog : les réflexions (aut orthog ind), les rotations (aut
orthog directidE3 ou 6= idE3 ) , et (contrairement au plan) des aut qui ne sont ni des rot ni des ref : des aut orthog
indirects qui ne sont pas des ref ;
Mathématiques
H.3.1
page 33
chapitre : géométrie euclidienne
Description générale des automorphismes orthogonaux de l’espace
Proposition 42 Soit u un automorphisme orthogonal de E3 .
– lorsque det u = 1, u est une rotation ;
– lorsque det u = −1, u est
– ou bien une réflexion ;
– ou bien du ”troisième type” la composée d’une rotation Rot différente de idE3 et de la réflexion par rapport au plan orthogonal à
ker (Rot − idE3 ) (c’est l’axe de Rot si E3 est orienté).
Remarque 43 Pour rotations et réflexions il faut savoir retrouver les éléments caractéristiques (cf c) pour précisions). Le troisième type n’est pas à connaître, il suffit de ne pas oublier qu’il existe (si on vous demande de
préciser ses caractéristiques, on vous aidera). Toutefois précisons que (cela se voit sur les matrices par exemple) :
– composée commutative dans notre écriture avec axe et plan orthogonaux
⊥
– ”axe” de la rot est porté par ker u + idE3 qui est une droite et le plan de la ref est (ker u + idE3 ) .
H.3.2
Décomposition en produit (composée) de réflexions
Proposition 43 Tout automorphisme orthogonal de E3 est produit d’au plus
trois réflexions de E3 .
Preuve. Quick .
Remarque 44
1) Ces décompositions en produit de réflexion n’ont rien d’unique.
2) Le produit d’une réflexion est une réflexion ; une réflexion est produit d’une réflexion.
3) Le produit de deux réflexions est une rotation (à cause du déterminant puisque le déterminant d’une réflexion
est −1) ; une rotation est le produit de 2 réflexions.
4) (toujours à cause du déterminant) le produit de trois réflexions est soit une réflexion soit un automorphisme
orthogonal qui n’est ni une réflexion ni une rotation ( i.e du troisième type ) ; un automorphisme orthogonal qui
n’est ni une réflexion ni une rotation est le produit d’exatement (et pas moins) 3 réflexions.
5) .... et en dim 3 , tout endo ortho est produit d’au plus 3 ref !!!
H.3.3
Annexe : comment reconnaître une isométrie vectorielle donné par sa matrice dans une b.o.n. ? un
plan d’attaque
Soit u ∈ L (E3 ). On se demande si (ou on veut montrer que) u est une isométrie vectorielle de E 3 (i.e. si u ∈
O (E3 )) et si c’est le cas on veut trouver sa nature (rotation, réflexion ou ”troisième type”) et donner ses éléments
caractéristiques (axe et angle si c’est une rotation, plan de la réflexion si c’est une réflexion, éventuelllement
-mais c’est hors-programme, on sera donc aidé dans ce dernier cas- préciser les caractéristiques de l’isométrie
du ”troisième type” si c’en est une).
Dans certains cas (cf exos et problèmes), on étudie directement u i.e. sans nécessairement passer par les matrices
. Dans d’autres il est judicieux de travailler matriciellement, en particulier lorsque u est donné par sa matrice
dans une bon de E3 . C’est dans ce contexte que nous allons nous placer ici.
On suppose u donnée par sa matrice M dans une base orthonormale de E 3 .
1. Pour montrer que u ∈ O (E3 ) , on vérifie que M est une matrice orthogonale (i.e. M ∈ O (3)) :
– en montrant que t M M = I3 (ce n’est pas forcément très clair pour la rédaction),
– ou bien en montrant que les vecteurs colonnes de M forment une base orthonormale de R 3 euclidien
canonique,
– ou bien en montrant que les vecteurs lignes de M forment une base orthonormale de R 3 euclidien
canonique.
Mathématiques
page 34
chapitre : géométrie euclidienne
2. Si u ∈ O (E3 ), on calcule det u = det M (∈ {−1; 1}) (ou, à l’oral en particulier, on utilise la méthode de
l’exo utilisant la comatrice ( cf exemple 26 ) sachant que l’on peut exiger de vous une explication de cette
méthode), et alors :
(a) Premier cas det M = 1. u est alors une rotation . Si u n’est pas l’identité (ce qui aurait été remarqué
de suite), et que E3 est orienté, on cherche ses éléments caractéristiques : un couple axe-angle que
nous noterons respectivement ∆ et θ ∈]−π; π] :
– Étape 1 : la droite vectorielle supportant l’axe ∆ est ker (u − id E ), elle s’obtient en résolvant le sys
 

x1
x1
tème M  x2  =  x2 .
x3
x3
– Étapes 2 et 3, première méthode
−
−
– Étape 2 : on choisit un vecteur normé →
a de la droite ker (u − idE ) et on prend ∆ orienté par →
a.
→
−
→
−
– Étape 3 : on choisit un vecteur non nul x orthogonal à a
→
− − →
⊥
−
−
−
−
−
(i.e. →
x 6= 0 et →
x ∈−
a ⊥ = (ker (u − idE )) ) et on a alors u (→
x ) = (cos θ) →
x + (sin θ) →
a ∧→
x , et
on peut donc reconnaître ainsi θ par exemple par la connaissance de cos θ (donne θ au signe
−
−
−
−
près) et sin θ (donne le signe de θ). Notons qu’avec la relation u ( →
x ) = (cos θ) →
x +(sin θ) →
a ∧→
x
(mais on le comprend bien géométriquement) il vient :
−
−
−
−
−
(u (→
x)| →
x)
[→
x ,u (→
x ) ,→
a]
−
−
−
cos θ =
et
sin
θ
=
en particulier sin θ est du signe [→
x ,u (→
x ) ,→
a]
2
2
→
−
→
−
kxk
kxk
– Étapes 2 et 3, une deuxième méthode utilisant la trace d’un endomorphisme (toléré même si pas
explicitement au programme) :
– Étape 2 : la trace de M , trM (somme des coefficients de la diagonale de M ) est égale à tru qui
vaut d’autre part 1 + 2 cos θ. On a donc 1 + 2 cos θ = trM ce qui permet de déterminer cos θ et
on connait donc θ au signe près.
−
– Étape 3 : on choisit un vecteur non nul (souvent on le prend normé) →
a de la droite ker (u − idE )
−
et on prend ∆ orienté par →
a et on cherche alors le signe (maintenant déterminé par notre
−
choix de ∆) de θ. Pour cela il suffit de prendre un vecteur →
x ∈ E3 (le plus simple possible
→
−
pour les calculs) non colinéaire à a (i.e. n’appartenant pas à ker (u − idE )) et
−
−
−
le signe de [→
x ,u (→
x ) ,→
a ] est alors celui de sin θ.
– Remarque, avant de se lancer à corps perdu dans les étapes 2 et 3, on regarde si M n’est pas
par hasard symétrique ; en effet si t M = M , alors u est à la fois une rotation et une symétrie, u est
donc soit idE3 (mais dans ce cas ça se voit bien avant), soit le retournement par rapport à ker (u − id E )
(i.e. la rotation d’axe porté par ker (u − idE ) et d’angle π i.e. une symétrie orthogonale par rapport
à ker (u − idE ))
– Remarque, avant de se lancer à corps perdu dans le calcul de det(M ) : M étant orthogonale , si
on munit R3 de sa structure eucli can orientée on a C1 ∧ C2 = ±C3 et vaut C3 ssi M ∈ SO (E3 ) ....
(b) Deuxième cas det M = −1. u est alors une réflexion ou bien du ”troisième type” .
– Si t M = M (M est symétrique), alors u est une symétrie orthogonale qui n’est pas une rotation,
c’est donc soit une réflexion, soit −idE3 (mais dans ce cas ça se voit bien avant -on rappelle que
−idE3 est du ”troisième type”).

 

x1
x1
– Dans le cas général : On détermine ker (u − idE3 ) en résolvant le système M  x2  =  x2 
x3
x3
et alors :
\ si dim ker (u − idE3 ) = 2 ( i.e ker (u − idE3 ) est un plan), alors
⊥
u est la réflexion par rapport à ker (u − idE3 ) (notons que (ker (u − idE3 )) = ker (u + idE3 )),
Mathématiques
page 35
chapitre : géométrie euclidienne
\ si dim ker (u − idE3 ) = 0 , alors u est du troisième type (on peut alors demander quelques précisions, on se souviendra pour cela de ce qui a été dit aux paragraphes plus haut).
(c) On aura noté que le fait de remarquer au préalable que M est symétrique (i.e. t M = M ) réduit le
considérablement le champs desposiibles : u est une symétrie orthogonale, c’est donc soit id E3 (rotation, det u = 1), soit une réflexion (det u = −1), soit un retournement (rotation, det u = 1), soit −id E3
(”troisième type”, det u = −1).
Annexe 2. Étude vectorielle
Soit u ∈ L (E3 ).
On se pose ici la question suivante : comment reconnaître que u ∈ O (E 3 ) et si c’est le cas comment trouver sa
nature et ses caractéristiques éventuelles?
1. Étude vectorielle : u est donnée par une expression vectorielle (par u (x) en fonction de x ou par l’image de
vecteurs, d’une base ou autres)...
(a) Pour montrer que u ∈ O (E3 ) :
i.
ii.
iii.
iv.
v.
ou bien on vérifie que u conserve le produit scalaire ;
ou bien on vérifie que u conserve la norme ;
ou bien on vérifie que u envoie une bon sur une bon ;
ou bien on vérifie que u apparaît comme composée d’automorphismes orthogonaux ;
...
(b) Si u ∈ O (E3 ), pour préciser ou trouver la nature de u :
i. on calcule det u :
det u
1
−1
(Isométrie directe)
•rotation
u
ii. on détermine le sev des invariants ker (u − idE3 ) :
(Isométrie
indirecte)

 •réflexion
ou

• ”troisième type”
dim ker (u − idE3 )
3
2
1
0
u
• idE3
•réflexion
•rotation 6= idE
•”troisième type”
(c) Si u est une réflexion, pour préciser ou trouver la nature de u : le plan de réflexion est ker (u − id E3 ) ;
la direction orthogonale est ker(u + idE3 ).
(d) Si u est une rotation, pour préciser ou trouver la nature de u :
– ou bien u = idE3 ;
– ou bien u 6= idE3 et dans ce cas lorsque E3 est préalablement orienté :
i. l’axe ∆ de u est la droite ker (u − idE3 ) que l’on oriente au choix ;
−
ii. ∆ étant orienté par un vecteur →
a , l’angle de u peut se déterminer par exemple en utilisant
une des méthodes vues en H-3-3.
Exemples 26 3 est muni du produit scalaire canonique et est orienté par la base canonique.
1. Déterminer la matrice dans la base canonique de 3 de la rotation d’angle θ autour du vecteur w = (1; 1; 0).
2. Soit f un endomorphisme de 3 dont la matrice dans la base canonique est


8 1 −4
1
−4 4 −7 
A=
9
1 8 4
Reconnaitre f et en déterminer les éléments caractéristiques.
Mathématiques
chapitre : géométrie euclidienne
page 36
3. La comatrice à la rescousse. Soient n ∈ N∗ et M ∈ Mn (R).
(a) Montrer que si M est orthogonale alors comM = (det M) M. En déduire une méthode pour déterminer
le signe de det M .
√ 

3
1
√6
1 
 est orthogonale ; M est elle la matrice dans
(b) Application. Montrer que M = 4
1
√
√3 − 6
− 6
6
2
une base orthonormée d’une rotation?
4. Soit E un espace euclidien de dimension 3 et (a; b; c) ∈ 3 tels que a2 + b2 + c2 = 1. Donner relativement à
une bond β de E la matrice de :
– la réflexion par rapport au plan d’équation ax + by + cz = 0 dans β.
– la rotation autour de la droite dirigée et orientée par le vecteur u de coordonnées (a; b; c) et d’angle
π
.
2
I Exos en vrac
1. On note Φ le produit scalaire sur C 0 ([0; 2π];
) défini par:
Φ(f ; g) =
On note enfin fn et gn les éléments de C 0 ([0; 2π];
Z
2π
f (t)g(t)dt.
0
) définis par:
Si n 6= 0, fn (t) = cos(nt), gn (t) = sin(nt) et f0 (t) = 1.
Prouver qu’il s’agit là d’une famille orthogonale.
2. Soit E un espace vectoriel muni d’un produit scalaire ( | ) quelconque. A et B sont des parties de E, A ◦
désigne l’orthogonal de A dans E et pour a ∈ E on désigne comme d’habitude par ϕ a la forme linéaire sur
E définie par ϕa (x) = (a|x). Prouver les résultats suivants:
\
A◦ = (Vect A)◦ ; A◦ =
ker ϕa ; A ⊂ B =⇒ B ◦ ⊂ A◦
a∈A
3. Soient f et g continues sur [a; b] telles que : ∀x ∈ [a; b] ,f (x) g (x) ≥ 1.
Montrer que f et g sont toutes deux à valeurs strictement positives ou f et g sont toutes deux à valeurs
R
R
2
strictement négatives. Montrer que [a;b] f [a;b] g ≥ (b − a) .
¾
½
R
R
1
En déduire la valeur de inf [a;b] f [a;b] , f ∈ C 0 ([a; b] ,R∗ ) .
f
4. Soit E un -espace vectoriel et (.|.) un produit scalaire sur E, de norme associée k.k. Soit n ∈ ∗ , et
x1 , . . . ,xn des vecteurs de E. Montrer :
k
n
X
i=1
x i k2 ≤ n
n
X
i=1
kxi k2
Peut-on caractériser l’égalité?
5. Déterminant de Gram.
(a) Préliminaires: Soit n et p deux entiers naturels non nuls et M ∈ M n;p ( ). Prouver que rgt M M = rg M .
Indication: En notant (.|.)n le produit scalaire canonique sur n , on prouvera que pour tout (X; Y ) ∈
p
× n on a (Y |M X)n = (t M Y |X)p . On étudiera ensuite les noyaux respectifs des applications
X → M X de p dans n et X →t M M X de p dans p .
Soit E un espace euclidien de dimension p dont on note (.|.) le produit scalaire.
Mathématiques
(b) Soient n ∈
page 37
chapitre : géométrie euclidienne
∗
, et x1 . . . ,xn des vecteurs de E. On définit :
G(x1 , . . . ,xn ) = [(xi |xj )]1≤i,j≤n ∈ Mn ( ),
matrice de Gram associée aux vecteurs x1 , . . . ,xn . On pose également :
Γ(x1 , . . . ,xn ) = det G(x1 , . . . ,xn ),
déterminant de Gram associé aux vecteurs x1 , . . . ,xn .
Soit B une base orthonormée de E, et A = M atB (x1 , . . . ,xn ).
i. En étudiant t AA, trouver une relation entre G(x1 , . . . ,xn ) et A, et en déduire que
rg G(x1 , . . . ,xn ) = rg(x1 , . . . ,xn ).
ii. Montrer que Γ(x1 , . . . ,xn ) = 0 ⇐⇒ (x1 , . . . ,xn ) liée.
iii. On suppose ici (x1 , . . . ,xn ) libre et on noteP
F = Vect(x1 , . . . ,xn ). On note pF la projection orthon
gonale sur F . Soit x ∈ E: on écrit pF (x) = i=1 λi xi .
Exprimer alors (pF (x)|pF (x)) en fonction des scalaires (x|xj ) et des scalaires λj . Exprimer de
même, pour tout i, (x|xi ) en fonction des scalaires (xi |xj ) et des λj .
Montrer alors que :
Γ(x,x1 , . . . ,xn )
.
∀x ∈ E, d(x,F )2 =
Γ(x1 , . . . ,xn )
6. Vrai ou Faux?
Soit (E, (. | .)) un espace euclidien de dimension n ∈ N∗ . 1) Soit B une base de E. Le seul vecteur orthogonal
à tous les vecteurs de B est le vecteur nul : V F . 2) Soit (v1 ,v2 ,v3 ) ∈ E 3 . (v1 ,v2 ,v3 ) est orthogonale si et
2
2
2
2
seulement si kv1 + v2 + v3 k = kv1 k + kv2 k + kv3 k : V F . 3) Pour tout λ ∈ R∗ , λ (. | .) est un produit
scalaire sur E : V F . 4) Il y a une infinité de produits scalaires sur E : V F . 5) Il existe une base
orthonormale de E qui est aussi orthonormale vis-à-vis de n’importe quel produit scalaire sur E : V F
. 6) Soit (v1 ,...,vn ) une base de E. Il existe un produit scalaire sur E tel que (v 1 ,...,vn ) est orthonormale pour
ce dernier : V F . Un tel produit scalaire est unique : V F .
7. cor Soit A une matrice de Mn (R). On suppose que A est antisymétrique.
(a) Soit X un vecteur colonne à n lignes. Montrer que t XAX = 0. Montrer ensuite que si AX = X, alors
X = 0. En déduire que I − A est inversible (I désigne la matrice identité).
−1
(b) On pose P = (I + A) (I − A) . Montrer que P est orthogonale et que I + P est inversible.
(c) Réciproquement, soit P une matrice orthogonale telle que I + P soit inversible. Montrer qu’il existe
−1
une unique matrice antisymétrique A telle que P = (I + A) (I − A) .
8. Soient E2 un espace vectoriel euclidien orienté de dimension 2, et u ∈ O (E 2 ) .
Reproduire si besoin est (en laissant plus de place) et compléter le tableau suivant :
Qui est u?
Que vaut det u?
Quel est le nombre ≤ 2
de réflexions apparaissant
dans une décomposition de
u en produit de réflexions?
Que vaut dim ker (u − idE2 )?
Quelle propriété particulière
possède la matrice de u
dans une bon?
Comment déterminer les
éléments caractéristiques
de u?
Pourquoi u ∈ O (E2 ) est-il encadré plus haut?
idE2
rotation 6= idE2
réflexion
Mathématiques
9.
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11.
12.
13.
14.
chapitre : géométrie euclidienne
page 38
est muni du produit scalaire canonique et est orienté par la base canonique.
(a) Soit f un endomorphisme de 3 dont la matrice dans la base canonique est


−2 −1 2
1
A =  2 −2 1 
3
1
2 2
3
Reconnaitre f et en déterminer les éléments caractéristiques.
Soient E un espace euclidien orienté de dimension 3, f ∈ L (E) \ {0}. Montrer que f est une rotation si et
seulement si f conserve le prosuit vectoriel (i.e. :∀ (x,y) ∈ E 2 ,f (x ∧ y) = f (x) ∧ f (y)).
Soit E un espace euclidien. Déterminer les endomorphismes qui commutent avec toutes les symétries
orthogonales.
Indication: On pourra commencer par prouver, si f est un tel endomorphisme, que pour tout a dans E, a et
f (a) sont liés.
cor Soit E un espace euclidien et f un endomorphisme de E. Soit B une base orthonormée de E et M la
matrice de f dans B.
(a) Montrer l’existence et l’unicité d’un endomorphisme f ∗ de E tel que ∀x,y ∈ E (f (x)|y) = (x|f ∗ (y)).
(b) Comparer ker f ∗ et (Im f )⊥ , Im f ∗ et (ker f )⊥ .
−
−
−
cor Petites manipulations autour du produit mixte . Dans V3 orienté, on considère les trois vecteurs →
u,→
v et →
w
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
et leur produit mixte : [ u , v , w ] = p. Montrer que ( u ∧ v ) ∧ ( u ∧ w ) = p u . Exprimer ensuite en fonction
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
de p les produits mixtes suivants : p1 = [→
u +→
v ,→
v +→
w ,→
w +→
u ], p2 = [→
u ∧→
v ,→
v ∧→
w ,→
w ∧→
u ],
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
→
−
p3 = [( u + v ) ∧ ( u + w ) , ( v + w ) ∧ ( v + u ) , ( w + u ) ∧ ( w + v )],
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
p4 = [(→
u ∧→
v ) ∧ (→
u ∧→
w ) , (→
v ∧→
w ) ∧ (→
v ∧→
u ) , (→
w ∧→
u ) ∧ (→
w ∧→
v )].
cor Dans tout l’exercice, E désigne un espace vectoriel euclidien de dimension n ≥ 2. On notera (u | v)
le produit scalaire de vecteurs u et v de E, et kuk la norme issue de ce produit scalaire. On rappelle généreusement qu’une réflexion de E est une symétrie orthogonale de E par rapport à un hyperplan de E ;
si H désigne cet hyperplan, on parlera alors de la réflexion d’hyperplan H (la réflexion étant entièrement
déterminée par H).
(a) Si f est un endomorphisme de E et λ ∈ R, on dit que λ est valeur propre de f lorsque ker (f − λid E ) 6=
{0E } ; dans ce cas ker (f − λidE ) est appelé sous-espace propre associé à la valeur propre λ.
Soit H un hyperplan de E. Montrer que les valeurs propres de la réflexion d’hyperplan H sont 1 et
−1 et donner les sous-espaces propres associés.
(b) Soit H un hyperplan de E et u un vecteur non nul orthogonal à H. Démontrer que la réflexion s
d’hyperplan H est définie par :
(x | u)
∀x ∈ E,s (x) = x − 2
2 u
kuk
(c) Pour g une isométrie vectorielle de E et s une réflexion d’hyperplan H, démontrer que g ◦ s ◦ g −1 est
une réflexion. Quel est son hyperplan?
(d) On dit que deux hyperplans sont perpendiculaires lorsque l’un contient l’orthogonal de l’autre. Ils sont
donc, en particulier, distincts. Soient k (où k ∈ N∗ ) hyperplans H1 ,...,Hk deux à deux perpendiculaires
et u1 ,...,uk des vecteurs non nuls tels que, pour tout i, ui est orthogonal à Hi . Montrer que les vecteurs
u1 ,...,uk sont orthogonaux. En déduire que k ≤ n.
(e) Soient s1 et s2 des réflexions de E d’hyperplans respectifs H1 et H2 . Montrer que s1 et s2 commutent
si et seulement si s1 = s2 ou H1 et H2 sont perpendiculaires (on pourra utiliser la question 1.).
(f) On suppose dans cette question que n = 2 et que E est orienté.
Les hyperplans sont alors les droites vectorielles D de E : dans ce cas, on parlera d’une réflexion d’axe
D.
Soient D1 et D2 deux droites vectorielles distinctes de E. On choisit deux vecteurs unitaires d 1 sur
D1 et d2 sur D2 , et on note (e1 ,e2 ) la base orthonormée directe de E de premier vecteur e1 = d1 ; on
appelle θ le réel de ]0; 2π[ tel que
d2 = (cos θ) e1 + (sin θ) e2 .
Soient s1 et s2 les réflexions d’axes D1 et D2 respectivement.
i. Donner les matrices de s1 et s2 dans la base (e1 ,e2 ).
Mathématiques
chapitre : géométrie euclidienne
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ii. Démontrer que s2 ◦ s1 est la rotation vectorielle ρ d’angle de mesure 2θ.
iii. O (E) désigne le groupe orthogonal de E. Soit G le sous-groupe de (O (E) ,◦) engendré par s 1 et s2
c’est-à-dire le plus petit (pour l’inclusion) sous-groupe de (O (E) ,◦) contenant s 1 et s2 . On veut
décrire G lorsque ce dernier est fini. On suppose donc que G est fini.
A. En considérant les puissances successives de ρ (les ρ k , k ∈ N), montrer qu’il existe p,m entiers
pπ
.
naturels premiers entre eux tels que θ =
m
B. Montrer que s2 = ρ ◦ s1 et que pour tout k ∈ {0,...,m − 1} s1 ◦ ρk ◦ s1 = ρm−k .
©
ª
C. En déduire que G = idE ,ρ,ρ2 ,...,ρm−1 ,s1 ,ρ ◦ s1 ,ρ2 ◦ s1 ,...,ρm−1 ◦ s1 . Vérifier aussi que les
éléments de G ainsi donnés sont bien distincts.
D. Donner l’ordre de G et démontrer que G contient exactement m réflexions.
15. cor
(a) E
× \{(0,0)} et A =
3 désigne
 ici un espace euclidien orienté de dimension 3. Soient (a,b) ∈
a b b
b a b
b b a
a) Trouver une C.N.S sur (a,b) pour que A soit orthogonale.
Trouver une C.N.S sur (a,b) pour que A soit dans le groupe spécial orthogonal.
b) On suppose que A est dans le groupe spécial orthogonal et que A 6= I 3 . Préciser la nature et les
éléments caractéristiques de l’endomorphisme f de E3 de matrice A relativement à une base orthonormée directe (i,j,k) de E3 .
(b) Soit M = (mi,j ) unePmatrice orthogonale (M ∈ On ( )). On appelle (ej )1≤j≤n la base canonique de
n
n
et on pose u = j=1 ej ; on note (c1 ,c2 , . . . ,cn ) le système des vecteurs colonnes de M . On note
( | ) le produit scalaire canonique sur n
i. Montrer que
n X
n
X
i=1 j=1
ii. En déduire que

mi,j = 
n
X
j=1

cj |u
¯
¯
¯
¯ n n
¯
¯X X
¯
¯
m
i,j ¯ ≤ n.
¯
¯
¯ i=1 j=1