Continuité - schumaths

CONTINUITE
I. INTRODUCTION
A. EXEMPLE 1
On considère la fonction E qui à tout réel x positif, associe sa partie entière E(x).
1. Compléter le tableau suivant, puis tracer
la courbe représentative de E dans le repère
orthonormé ci-contre.
y
6
5
x
E(x)
0
0,3
1
1,5
2,3 4
4
3
2. Compléter :
Pour tout nombre x de [0 ; 1[, E(x) = ….
E(1) = ……
2
1
Pour tout nombre x de [1 ; 2[, E(x) = ….
E(2) = ……
-1
0
1
2
3
4
5
6 x
-1
La courbe de la fonction E ne peut pas se tracer
sans lever le crayon :
La fonction E n’est pas continue sur [0 ; +∞[
B. AUTRES EXEMPLES.
Fonctions continues
Fonction non continue
y
y
3
y
2
3
2
1
-1
0
2
1
2
1
x
1
-1
-1
0
1
2 x
0
1
2
3 x
-1
-2
Fonction continue sur [-1 ;2]
-1
Fonction continue sur [0 ;2]
Fonction non continue sur [-1 ;3]
Remarque :
La fonction représentée ci-dessus
est continue sur chacun des
intervalles [-1 ;1,5] et ]1,5 ; 3]
C.
1. Compléter :
La courbe ci-contre représente une fonction f continue sur
l’intervalle [
; ].
Pour tout nombre x de cet intervalle, f(x) ∈ [
y
5
4
;
].
3
2. Lire sur le graphique les solutions de l’équation f(x) = 2.
2
S = …………………………………
1
-2
D.
1. Compléter :
La courbe ci-contre représente une fonction g définie sur
l’intervalle I = [
; ].
Pour tout nombre x de cet intervalle, g(x) ∈ [
;
]
-1
0
1
2 x
y
5
4
3
2. g est-elle continue sur l’intervalle I ?
3. Lire sur le graphique les solutions de l’équation g(x) = 3.
S = …………………………
2
1
0
1
2
3
4
x
Exercices n° :
I. FONCTIONS CONTINUES SUR UN INTERVALLE
1. DEFINITION :
Une fonction f définie sur un intervalle I sera dite continue sur I, si sa courbe se dessine d’un trait, sans
lever le crayon.
2. PROPRIETE DES VALEURS INTERMEDIAIRES.
Théorème 1 (Admis) :
Si une fonction f est continue sur un intervalle [a ; b], alors pour tout nombre λ compris entre f(a) et f(b),
l’équation f(x) = λ admet au mois une solution dans [a ; b].
(toutes les valeurs intermédiaires entre f(a) et f(b) sont prises au moins une fois)
En particulier, si f(a) et f(b) sont de signes contraires, l’équation f(x) = 0 admet au moins une solution dans
l’intervalle [a ; b].
3 . CAS D’UNE FONCTION STRICTEMENT MONOTONE.
Rappel : Une fonction strictement monotone sur un intervalle I est une fonction qui est
soit strictement croissante sur l’intervalle I
soit strictement décroissante sur cet intervalle.
Théorème 2 (Admis).
Si f est une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [a ; b], alors, pour tout nombre λ
compris entre f(a) et f(b), l’équation f(x) = λ admet une unique solution dans [a ; b].
4. EQUATIONS f (x) = 0
Le théorème ci-dessous est une conséquence du théorème précédent :
Théorème 3 .
Si une fonction f , continue et strictement monotone sur un intervalle [a ; b] est telle que f(a) et f(b) sont de
signes contraires, alors l’équation f(x) = 0 admet une unique solution dans [a ; b].
5. Conventions.
Dans un tableau de variations, les flèches obliques siginifient la continuité et la stricte monotonie de la
fonction sur l’intervalle concerné.
Exemple : Considérons une fonctions f dont est donné le tableau de variations :
x
-2,5
-1
2
f(x)
D’après son tableau de variations, la fonction f est :
- continue et strictement croissante sur l’intervalle [- 2,5 ; -1]
- continue et strictement décroissante sur l’intervalle [ – 1 ; 2]
6. CONTINUITE DES FONCTIONS DERIVABLES.
Théorème 4 ( Admis) :
Si f est une fonction dérivable sur un intervalle I, alors f est continue sur I.
7. FONCTIONS USUELLES.
Propriétés :
• Les fonctions polynômes sont continues sur ℝ.
• Si une fonction rationnelle est définie sur un intervalle I, alors elle est continue sur I.
• La fonction racine carrée ( la fonction : ⟼ √ ) est continue sur [ 0 ; + ∞[.
8. AUTRES CAS