Le théor`eme suivant est généralement appelé lemme ou théor`eme

Le th´eor`eme suivant est g´en´eralement appel´e lemme ou th´eor`eme de pom-
page pour les langages r´eguliers.
Th´eor`eme: Soit Lun langage. Si Lest r´egulier, alors il existe un entier
p≥1(appel´e longueur de pompage) tel que pour tout mot w∈Lavec |w| ≥ p
il existe des mots x, y, z tels que w=xyz et
1. |xy| ≤ p;
2. |y|>0;
3. pour tout entier i≥0on a xyiz∈L.
D´emonstration: La d´emonstration s’articule autour de l’id´ee suivante: si
un automate fini Mreconnaˆun mot dont la longueur est sup´erieure ou ´egale
au nombre d’´etats de l’automate, alors Mtraverse un mˆeme ´etat deux fois
pendant la lecture de ce mot.
Puisque Lest r´egulier, il existe un automate fini M= (S, Σ, δ, ι, F ) qui
reconnaˆL. On pose p=|S|. Supposons que w=a1. . . anest un mot de L
avec |w| ≥ p. Puisque Mne contient que p´etats, Mpasse au moins deux
fois par un mˆeme ´etat slors de la lecture des ppremiers symboles a1, . . . , ap
de w. Supposons que cet ´etat est atteint une premi`ere fois apr`es la lecture
de ksymboles. On pose x=a1. . . ak(et x=λsi k= 0, i.e. si l’´etat sest
l’´etat initial). L’´etat sest atteint une deuxi`eme fois apr`es la lecture des l
symboles suivants ak+1,...,ak+let on pose y=ak+1 . . . ak+l. On a |xy| ≤ p
puisqu’on a montr´e que l’´etat sest visit´e deux fois pendant la lecture des p
premiers symboles de w. On a aussi |y|>0 puisque |y|=l > 0.
Finalement, on choisit z=ak+l+1 . . . anet donc on a w=xyz, tel que
requis. ` A partir de l’´etat s, la lecture de yforme une boucle qui nous ram`ene
`a l’´etat s. Puis la lecture de zm`ene l’automate de s`a un ´etat acceptant
puisque w∈L. Consid´erons maintenant le comportement de M`a la lecture
du mot xyizo`u i≥0 est un entier. La lecture de xm`ene `a spuis la lecture
de icopies de y(pompage de la boucle) nous ram`ene de nouveau `a set la
lecture de znous m`ene `a un ´etat acceptant. Ce mot est donc accept´e par M
et donc xyiz∈L.
Comment utiliser le th´eor`eme du pompage? Il sert pricipalement `a d´emontrer
qu’un langage n’est pas r´egulier. La structure de tous ces arguments est
la mˆeme: on suppose qu’un langage est r´egulier et qu’il satisfait donc le
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th´eor`eme. Puis on montre que pour toute longueur de pompage pon peut
trouver un mot wqui ne peut pas ˆetre “pomp´e”. De cette contradiction on
peut conclure que Ln’est pas r´egulier.
Par exemple, supposons qu’on veut montrer que le langage L={a2n:
n∈N}n’est pas r´egulier.
´
Etape 1: Supposons que Lest r´egulier. Donc il satisfait le th´eor`eme de pompage
pour une certaine longueur de pompage p.
´
Etape 2: Soit w=a2p. Ce mot est dans le langage Let sa longueur est sup´erieure
`a p. Donc wpeut ˆetre pomp´e, c’est `a dire qu’il peut ˆetre d´ecompos´e
sous la forme w=xyz satisfaisant les conditions du th´eor`eme.
´
Etape 3: On a |xy| ≤ pet donc en particulier |y| ≤ p. D’apr`es le th´eor`eme
on a xy2z∈L. Mais xy2z=a2p+|y|. Comme on a 2p<2p+|y| ≤
2p+p < 2p+1, le mot xy2za une longueur qui se trouve strictement
entre deux puissances successives de 2 donc il ne peut faire partie de
L. Contradiction!
=⇒Ln’est pas r´egulier.
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