Lemme du pompiste régulier

Lemme du pompiste
IFT2105
29 septembre 2015
1 Lemme du pompiste - Rappel
Soit L∈REG. Le lemme du pompiste dit la chose suivante :
Il existe une longueur de pompage p > 1 telle que pour tout mot w∈L
de longueur au moins p,wpeut ˆetre ´ecrit par w=xyz avec
1. |y| ≥ 1,
2. |xy| ≤ pet
3. ∀i≥0, xyiz∈L
En logique propositionnelle cela signifie :
(∃p > 1) 
∀w∈Σ∗ [(w∈L)∧(|w| ≥ p)]
∃x, y, z ∈Σ∗
(w=xyz)∧(|y| ≥ 1) ∧(|xy| ≤ p)∧(∀i≥0, xyiz∈L) .
Pour montrer qu’un langage n’est pas r´egulier, il suffit de montrer que
(∀p > 1) 
∃w∈Σ∗ [(w∈L)∧(|w| ≥ p)]
∀x, y, z ∈Σ∗
(w=xyz)∧(|y| ≥ 1) ∧(|xy| ≤ p)∧(∃i≥0, xyiz /∈L) .
1.1 FINI
Soit Lun langage fini, tous les langages finis sont r´eguliers (car FINI ⊂
REG), donc le lemme du pompiste doit tenir.
Or, comme xyiz∈Lpour tout i≥0, cela n’implique-t-il pas que Lsoit
de cardinalit´e infinie ? Apr`es tout, il y a un nombre infini de ipossibles.
N’a-t-on pas une contradiction ?
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Non ! Il n’y a pas de contradiction. Pour tout langage fini L, il existe
bien une longueur de pompage ptelle que pour tout w∈Lavec |w| ≥ p,
∃x, y, z avec xyz =w,|xy| ≤ p,|y| ≥ 1 et ∀i≥0, xyiz∈L. Posons p−1 la
longueur du mot le plus long dans L(il en existe au moins un puisque Lest
fini). Ainsi, il n’existe pas de mot w∈Lavec w≥p. On peut dire n’importe
quoi sur un tel mot et la proposition reste vraie par vacuit´e.
2 Montrez que les langages suivants sur Σ = {a, b}
ne sont pas r´eguliers
2.1 L={x·an
x∈Σ∗et |x|=n}
On suppose que Lest r´egulier et on montre qu’on arrive `a une contra-
diction dans le lemme du pompiste.
Soit p≥1 la longueur de pompage donn´ee par le lemme. ´ Etudions le
mot w=bpap. On a bien que w∈Let |w|= 2p≥p.
Soit xyz =wune d´ecomposition quelconque en trois partie de w. Sup-
posons que les deux premi`eres conditions du lemme tiennent, soient |xy| ≤ p
et |y| ≥ 1 et montrons que la troisi`eme condition ne peut pas tenir.
Si |xy| ≤ pet |y| ≥ 1, alors yne contient que des bmais au moins un b.
Observons le mot donn´e lorsqu’on pompe une fois. xy2z=bp+|y|ap. Ce mot
contient strictement plus de bque de aet ne peut pas ˆetre dans le langage
L. On arrive `a une contradiction et on conclut que L /∈REG.
2.2 Montrons que L={xx 
x∈Σ∗}n’est pas r´egulier
Si Lest r´egulier, alors le lemme du pompiste doit tenir
Soit p≥1. ´ Etudions le mot w=apbpapbp∈Lqui peut ˆetre divis´e en
trois parties xyz. Si on a que |xy| ≤ pet |y| ≥ 1, alors yne contient que des
aet au moins un a.xy3zne peut pas faire parti de Lpuisqu’il est de la forme
ap+2|y|bpapbp. En particulier, on observe que la premi`ere moiti´e contient plus
de aque la deuxi`eme moiti´e. Lne peut pas ˆetre r´egulier.
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2.3 Montrons que L0={xy 
|x|=|y|et x6=y}n’est pas
r´egulier
Lest constitu´e des mots de longueur paire qui ne sont pas constitu´es de
deux mots identiques.
Regardons plutˆot les languages L={xy 
|x|=|y|et x=y}et M=
{x
|x|= 2n}. On a
L=M∩L0
On a d´ej`a montr´e que Ln’´etait pas r´egulier dans la question pr´ec´edente.
Si Mest r´egulier, alors on conclura que L0ne l’est pas puisque la classe REG
est ferm´ee sous la compl´ementation et sous l’intersection.
En effet, si M∈REG et L0∈REG, alors L0∈REG et M∩L0=L∈REG
ce qui est une contradiction.
2.3.1 Montrons que M={x
|x|= 2n}est r´egulier
Il est d´ecid´e par l’automate suivant :
P
start I
Σ
Σ
3 Montrez que REG est ferm´ee sous la soustraction
d’ensemble
Soient L, M ∈REG on rappelle la d´efinition de soustraction sur les en-
sembles :
L\M≡L−M:= L∩M
REG est ferm´ee sous l’intersection et la compl´ementation, donc L, M ∈
REG =⇒L∩M∈REG.
3.1 L={ap
pest premier}
Supposons que Lest r´egulier et contradisons le lemme du pompiste.
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Posons w=ano`u nest un premier et n>p+ 1 (un tel nexiste puisqu’il
existe un nombre infini de nombres premiers). Donc w∈L,|w| ≥ p.
Soit une d´ecomposition w=xyz avec |y| ≥ 1 et |xy| ≤ p. Posons i=|xz|,
alors |xyiz|=|x|+|y| × i+|z|=|xz|+|y| × |xz|= (1 + |y|)× |xz|. Or,
(1 + |y|) et |xz|sont plus grands que 1, car
|y| ≥ 1 =⇒1 + |y|>1 et
|xy| ≤ p=⇒ |xz|≥|xyz| − max |y|> p + 1 −p > 1.
Ainsi, |xy|xz|z|est compos´e. On a donc que xy|xz|z /∈Let Ln’est pas
r´egulier.
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