doppler exo

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Exercice 1 D’après Centrale 10
Cet exercice vise à établir l’expression du décalage en fréquence par effet Doppler. On convient de
ne pas tenir compte de l’atténuation de l’amplitude des ondes au cours de leur propagation. Un signal
est émis à l’instant tpar un émetteur situé en Oen direction d’un recepteur au point Pse rapprochant
de Oà la vitesse vsupposée constante. On note t0l’instant de réception au point P. On note cla célérité
de l’onde et r(t)la distance OP.
OP
OP = r(t)
vOr
1 - Exprimer t0en fonction de t,r(t0)et c.
2 - L’émetteur émet un signal périodique de période T. Exprimer t0+ T0l’instant de réception d’un
signal émis à t+ T et montrer que T0=T
1+v/c .
3 - Le signal reçu est réémis instantanément et sans déformation, il revient en Oà l’instant t00.
Exprimer t00 en fonction de t0,r(t0)et c.
4 - On note t+ T00 l’instant de réception en Oen signal réémis à t0+ T0. Montrer que
T00 = (1 −v/c)T0
5 - On note f= 1/T, la période du signal d’émission, on suppose dans les calculs que vc, déduire
des résultats précédents que le décalage en fréquence par effet Doppler pour un signal ayant subi une
réflexion sur un obstacle se rapprochant à la vitesse vest donné par :
∆f=f00 −f≈2v
c×f
M. BARTHES

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Solution
1 - La distance lors de la réception est r(t0), on obtient
donc :
t0=t+r(t0)/c
2 - Entre l’émission à l’instant t+T et la réception à l’instant
t0+T0, la distance OP a diminué de vT0. On peut donc écrire :
t0+ T0=t+T+r(t0+ T0
c=t+T+r(t0 c−vT0 c
En simplifiant avec l’expression précédent on obtient :
T0= T −vT0
csoit T0=T 1 + v/c
3 - La distance à parcourir est r(t0), on obtient :
t00 =t0+r(t0)/c
4 - Entre t0et t0+ T0, l’obstacle s’est déplace de vT0. L’ins-
tant de réception en Oest donc donné par :
t00 + T00 =t0+ T0+r(t0)−vT0
c
En simplifiant, on obtient :
T00 = (1 −v/c)×T
5 - La période du signal reçu après réflexion sur un obstacle
est donc de :
T00 =1−v/c
1 + v/c T
La fréquence est donc donnée par :
f00 =1 + v/c
1−v/c f≈(1 + 2v/c)f
Le décalage en fréquence s’obtient alors facilement :
∆f=2v
cf
M. BARTHES